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1、函数奇偶性函数奇偶性函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念: : 偶函数定义偶函数定义: : 如果对于如果对于f(x)f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x x, ,都有都有f(-f(-x)=f(x), x)=f(x), 那么函数那么函数f(x)f(x)就叫偶函数就叫偶函数. .奇函数定义奇函数定义: : 如果对于如果对于f(x)f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x x, ,都有都有f(-x)=-f(x) ,f(-x)=-f(x) ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫奇函数就叫奇函数. .对奇函数、偶函数定义的说明对奇函数、偶函数定义的说明: 定义域关于原点对称是定义域关于原点对
2、称是函数具有奇偶性的必要条件函数具有奇偶性的必要条件（前提条件）。（前提条件）。 a ,b-b,-axo利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；域是否关于原点对称；(2)确定确定f(x)与与f(x)的关系；的关系；(3)作出相应结论作出相应结论判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断下列函数是否具有奇偶性(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1,3分析：先求定义域，再判断f(x)与f(x)的关系解析：(1)函数f(x)xx3
3、x5的定义域为R.当xR，xR.f(x)xx3x5(xx3x5)f(x)f(x)xx3x5为奇函数(2)函数f(x)x21的定义域为R，当xR，xR.f(x)(x)21x21f(x)，f(x)x21是偶函数(3)函数f(x)x1的定义域是R，当xR时，xR，f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，f(x)f(x)且f(x)f(x)，(xR)f(x)x1既不是奇函数，也不是偶函数(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在31,3，而3 1,3f(x)x2，x1,3既不是偶函数，也不是奇函数点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提练习练习. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)(1
4、)(2)(2)(3)(3)(4)(4) 说明：说明：根据奇偶性根据奇偶性, ,函数可划分为四类函数可划分为四类, , 偶函数偶函数 奇函数奇函数 既奇又偶函数既奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 题题2.已知函数已知函数且且f(-2)=10，则则f(2)等于等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10A1 2.函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数，则下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是4跟踪训练跟踪训练2偶函数偶函数f(x)(x
5、R)满足：满足：f(4)f(1)0，且在区，且在区间间0,3与与3，)上分别递减和递增，使上分别递减和递增，使f(x)0的自变量的自变量范围是范围是()A(，4)(4，)B(4，1)(1,4)C(，4)(1,0)D(，4)(1,0)(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B利用函数的奇偶性求函数的解析式利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在(，)上的偶函数，上的偶函数，当当x(，0)时，时，f(x)xx4，求当，求当x(0，)时，时，f(x)的的表达式表达式解析：当x(0，)时，x(，0)，因为x(，0)时，f(x)xx4，所以f(x)(x)(x
6、)4xx4，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xx4.跟踪训练跟踪训练3若若f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)x(1x)，求当，求当x0时，函数时，函数f(x)的解析式的解析式分析：将x0上，这是解决本题的关键解析：由f(x)是奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)；当x0时，f(0)f(0) f(0)+ f(0)=0 2 f(0)=0即f(0)0.当x0时，f(x)x(1x)1利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原
7、首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；点对称；(2)确定确定f(x)与与f(x)的关系；的关系；(3)作出相应结论作出相应结论2若若f(x)f(x)或或 f(x)f(x)0，则，则f(x)是偶函数是偶函数3若若f(x)f(x)或或 f(x)f(x)0，则，则f(x)是奇函数是奇函数4函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质奇偶性是函数的整体性质5由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则
8、，则x也一定也一定是定义域内的一个自变量是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称即定义域关于原点对称)6奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反反7偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同同8设设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：共定义域上：奇奇奇，奇奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，奇偶，偶偶偶，偶偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇题题5.定义在定义在R上的函数上的函数f（x）满足：）满足：任意任意x、yR，有，有f（x+y）= f（x）+ f （y），），当当 x0，f（x）0， f（1）= 2.求证：（求证：（1）判断函数）判断函数f（x）的奇偶性）的奇偶性 ；（2） f（x）在）在R上是减函数上是减函数;（3）求函数在区间）求函数在区间 3，3上的最值上的最值.练习：练习：已知函数已知函数f(x)对一切对一切x,y满足满足f(x+y)=f(x)+f(y)（1）求证：）求证：f(x)是奇函数；是奇函数；（2）若）若f(-3)=a，试用，试用a表示表示f(12)
