《习题课复变函数与积分变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题课复变函数与积分变换（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课复变函数与积分变换一、重点与难点重点：难点：1. 复数运算和各种表示法2. 复变函数以及映射的概念1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域2. 映射的概念2习题课复变函数与积分变换二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法 向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限的计算3习题课复变函数与积分变换 1.1.复数的概念4习题课复变函数与积分变换1) 两复数的和2) 两复数的积 3)两复数的商 2. 复数的代数运算5习题课复变函数与积分变换4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. .共轭复数的性质6习题课复变函
2、数与积分变换 3. 3.复数的其它表示法（1 1）几何表示法7习题课复变函数与积分变换（2 2）向量表示法复数的模(或绝对值)8习题课复变函数与积分变换 模的性质三角不等式复数的辐角9习题课复变函数与积分变换辐角的主值10习题课复变函数与积分变换 （3）三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数 z 的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成11习题课复变函数与积分变换 4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有12习题课复变函数与积分变换 几何意义复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加.
3、.从几何上看, 两复数对应的向量分别为13习题课复变函数与积分变换 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有14习题课复变函数与积分变换 2) 幂与根(a) n次幂:15习题课复变函数与积分变换 (b)(b)棣莫佛公式16习题课复变函数与积分变换 5.复球面与扩充复平面南极、北极的定义(1) 复球面17习题课复变函数与积分变换 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的
4、几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 复球面的定义18习题课复变函数与积分变换包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面. .对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. (2) (2) 扩充复平面的定义19习题课复变函数与积分变换 6.曲线与区域（1 1）邻域（2 2）内点20习题课复变函数与积分变换 如果 G 内每一点都是它的内点, ,那末G 称为开集. .(4) (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, , 则称它为一个区域. . (a) D是一个开集； (
5、b) D是连通的, ,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(3) (3) 开集21习题课复变函数与积分变换(5) (5) 边界点、边界 设D是复平面内的一个区域, ,如果点P P 不属于D, 但在P P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P P点我们称为D的边界点. (7) (7)有界区域和无界区域D的所有边界点组成D的边界. . (6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 22习题课复变函数与积分变换 没有重点的曲线 C 称为简单曲线( (或若尔当曲线).).(8) (8) 简单曲线23习题课复变函数与积分变换(9) (9) 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的
6、曲线称为按段光滑曲线. . 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质24习题课复变函数与积分变换(10) (10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.25习题课复变函数与积分变换 7. 复变函数的概念(1)(1)复变函数的定义26习题课复变函数与积分变换(2) (2) 映射的定义27习题课复变函数与积分变换函数极限的定义注意: : 8.8.复变函数的极限28习题课复变函数与积分变换 极限计算
7、的定理29习题课复变函数与积分变换与实变函数的极限运算法则类似. 极限运算法则30习题课复变函数与积分变换（1 1）连续的定义 9.9.复变函数的连续性31习题课复变函数与积分变换 连续的充要条件连续的性质32习题课复变函数与积分变换有理整函数(多项式)有理分式函数 特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的.33习题课复变函数与积分变换三、典型例题34习题课复变函数与积分变换35习题课复变函数与积分变换 其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.36习题课复变函数与积分变换37习题课复变函数与积分变换解38习题课复变函数与积分变换解39习题课复变函数与积分变换解40习题课复变函数与积分变换例6 6 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解 是实数轴,不是区域. 是以 为界的带形单连通区 域. 解41习题课复变函数与积分变换 是以 为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域. 不是区域，因为图中解解在圆环内的点不是内点.42习题课复变函数与积分变换例7 7 函数 将 平面上的下列曲线变成 平面上的什么曲线？解又于是表示 平面上的圆.(1)43习题课复变函数与积分变换
