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1、一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系第八章第八章第八章第八章 向量代数向量代数向量代数向量代数 空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何第一节二阶及三阶行列式第一节二阶及三阶行列式 空间直角坐标系空间直角坐标系 设二元一次方设二元一次方程为程为一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式1. .二阶行列式二阶行列式我们从解二元一次方程组入手，我们从解二元一次方程组入手，当当 a1b2 a2b1 0 时，时， 方程组的解为方程组的解为 二
2、阶行二阶行列式含有两行两列列式含有两行两列. a1, b1 , a2, b2 叫做行列式的叫做行列式的元元素素，行列式中横排叫做行列式中横排叫做行行， 纵排叫做纵排叫做列列，这就叫这就叫二阶行列式二阶行列式，为了便于记忆，为了便于记忆， 我们把我们把 a1b2 a2b1记作记作即即( )(+)利用行列式，利用行列式， 二元一次方程组的解可以表示成：二元一次方程组的解可以表示成： 是由方程组是由方程组 中中 x、y 的系数按原来次序排列成的的系数按原来次序排列成的，称为方程组的称为方程组的系系数行列式数行列式， 分母中的行列式分母中的行列式 记记为为 D. 行列式行列式 是把系数行列式中是把系数
3、行列式中 x 的系数的系数 a1 ，a2 而成的而成的 换成方程组右端的常数项换成方程组右端的常数项 c1，c2行列式行列式，记为，记为 Dx . 行列式行列式 是把系数行列式中是把系数行列式中 y 的系数的系数 b1，b2换成常数项换成常数项 c1，c2 而成的行列式而成的行列式 ，记为，记为 Dy .所以所以，二元一次方程组的解又可表示为二元一次方程组的解又可表示为: :例例 1解方程组解方程组解解 原方程组即为原方程组即为所以所以2. .三阶行列式三阶行列式这就是这就是三阶行列式三阶行列式. 其中其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 称称为行列式的元素，为行列式的
4、元素，横排称为行，横排称为行，纵排称为列纵排称为列. 实线上三实线上三个元素的连乘积取正号，个元素的连乘积取正号，三阶三阶行列式的计算可依下表进行行列式的计算可依下表进行: 虚线上三个元素的连乘虚线上三个元素的连乘积取负号积取负号.即即这样，三元一次方程组的解，这样，三元一次方程组的解，可用三阶行列式表示，可用三阶行列式表示，当当 D 0 时，时， 其中其中 称为方程组的称为方程组的系数行列式系数行列式， x 、 y 和和 z 的系数的系数依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.例例 2计算行列式计算行列式 的值的值解解132 = = 例例 3解解
5、方程方程解解解解之，得之，得 所以原方程为所以原方程为 根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶行列式表示行列式表示. 其具体表达式如下其具体表达式如下:例如，例如，例例 2 中的行列式可按如下方法计算中的行列式可按如下方法计算 以以 的角度转向的角度转向 y 轴的轴的正向，正向，1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 过空间定点过空间定点 O 作三条作三条互相垂互相垂直的数轴，直的数轴， 它们都以它们都以 O 为原点，为原点， 并且通常取相同的长度单位并且通常取相同的长度单位. 这这三条数轴分别称为三条数轴分别称为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴轴. 各轴
6、正向之间的顺序通常各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定按下述法则确定:以以右手握住右手握住 z 轴，轴， 让右手的四指从让右手的四指从 x 轴的正向，轴的正向，图图 8 1这时大拇指所指的方向就是这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向轴的正向. 这个这个法则叫做法则叫做右手法则右手法则. 右手法右手法则则 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系. O 称为称为坐标原坐标原点，点，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面， 简称为简称为坐标面坐标面. x 轴与轴与 y 轴所确定的坐
7、标面称为轴所确定的坐标面称为 x y 坐坐表表面面，类似地有类似地有 y z 坐标面坐标面，z x 坐标面坐标面. 这些坐标面把空间分成这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个八个部分，每一个称为一个卦限卦限. x、y、z 轴的正半轴轴的正半轴的卦限的卦限称为第称为第 I 卦限，卦限，xyzO 八卦限八卦限 空间的点就与一组有序数组空间的点就与一组有序数组 x，y，z 之间建之间建立了一一对应关系立了一一对应关系. 按逆时按逆时针的方向针的方向从从第第 I 卦限开始，卦限开始，从从 Oz 轴的正向向下看，轴的正向向下看， ，先后出现的卦限依次称为第，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限卦限;
8、 第第、 、 、 卦限下面的空间部卦限下面的空间部分依次称为第分依次称为第 、 卦限卦限.xyzOMPRQ 它们分别称为它们分别称为 x 坐标，坐标，y 坐标和坐标和 z 坐标坐标. 有序数组有序数组 x，y，z 就称为点就称为点 M 的坐标，记为的坐标，记为 M( (x，y，z) )， 过点过点 M1 M2 各作三张各作三张平平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 求求它们之间的距离它们之间的距离 d = |M1M2|.设设空间两点空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),(M1QM2 是直角三角形是直角三角形) 易知易知(M1PQ 是直角三角形是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M22. .两点之间的距离两点之间的距离图图 8 - 4所以所以特别地，特别地，点点 M ( x , y , z) 与原点与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距的距离离 两点间距离两点间距离例例 4已知已知 A (3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). AOB 的周长的周长.解解由由两点间距离公式可得两点间距离公式可得由两点间距离公式由两点间距离公式 可得可得所以，所以，AOB 的周长的周长
