1 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） OBOAABab ;BAOAOBab ;()OPaR 运算律：⑴加法交换律：abba ⑵加法结合律：)()(cbacba ⑶数乘分配律：baba )( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba// （2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0） ，a//b存在实数 λ ，使a＝λb （3）三点共线：A、B、C 三点共线<=>ACAB <=>) 1(yxOByOAxOC其中 （4）与a共线的单位向量为aa 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数, x y使pxayb （3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面<=>ACyABxAP <=>) 1(zyxOCzOByOAxOP其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc 若三向量, ,a bc不共面，我们把{ , , }a b c叫做空间的一个基底，, ,a b c叫做基向量， 2 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设, , ,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOC 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组( , , )x y z，使zkyixiOA，有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作( , , )A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
注：①点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反②在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{ , , }i j k表示空间中任一向量kzjyi xa=（x,y,z） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)aa a a，123( ,,)bb b b，则112233(,,)abab ab ab ， 112233(,,)abab ab ab ，123(,,)()aaaaR ， 1 12 23 3a ba ba ba b， 112233//,,()abab ab abR ， 1 12 23 30aba ba ba b ②若111(,,)A x y z，222(,,)B xyz，则212121(,,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若111(,,)A x y z，222(,,)B xyz，PBAP，则点 P 坐标为)1,1,1(212121zzyyxx 推导： 设 P （x,y,z） 则),,(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然，当 P 为 AB 中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP ④),,(),,,(,,,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中， 三 角 形 重 心P 坐 标 为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxP 3 ⑤ΔABC的五心： 内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点)(ACACABABAP（单位向量） 外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点PCPBPA 垂心 P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为 0，则垂直） 重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP 中心：正三角形的所有心的合一 （4）模长公式：若123(,,)aa a a，123( ,,)bb b b， 则222123||aa aaaa ，222123||bb bbbb （5）夹角公式：1 1223 3222222123123cos|| ||a ba ba ba ba babaaabbb 。
ΔABC中①0• ACAB<=>A为锐角②0• ACAB<=>A为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z，222(,,)B xyz， 则2222212121||()()()ABABxxyyzz， 或222,212121()()()A Bdxxyyzz 7. 空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb， 则AOB叫 做 向 量a与b的 夹 角 ， 记 作,a b； 且 规 定0,a b， 显然有,,a bb a ； 若,2a b， 则称a与b互相垂直， 记作：ab （2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a （3）向量的数量积：已知向量,a b，则|| || cos,aba b叫做,a b的数量积，记作a b，即a b| | | | cos,aba b （4）空间向量数量积的性质： ①||cos,a eaa e②0aba b ③2||aa a 。
（5）空间向量数量积运算律： ①()()()aba bab ②a bb a （交换律） ③()abca ba c （分配律） ④不满足乘法结合率：)()(cbacba 二．空间向量与立体几何 1．线线平行两线的方向向量平行 4 1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行两面的法向量平行 2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 2-1线面垂直线与面的法向量平行 2-2面面垂直两面的法向量垂直 3 线线夹角（共面与异面）]90,0[OO两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角，2, 1coscosnn 3-1 线面夹角]90,0[OO：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin 3-2面面夹角（二面角）]180,0[OO：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的 夹 角 ； 法 向 量 同 进 同 出 ， 则 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 . 21,coscosnn 4． 点面距离h ： 求点00,P x y到平面的距离： 在平面上去一点 ,Q x y， 得向量PQ;； 计算平面的法向量n;.nnPQh• 4-1线面距离（线面平行） ：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行） ：转化为点面距离 【典型例题】 1．基本运算与基本知识（） 例 1. 已知平行六面体 ABCD －DCBA， 化简下列向量表达式， 标出化简结果的向量。
⑴ABBC； ⑵ABADAA； ⑶12ABADCC； ⑷1()3ABADAA GM 5 例 2. 对空间任一点O和不共线的三点, ,A B C，问满足向量式： OPxOAyOBzOC（其中1xyz ）的四点, , ,P A B C是否共面？ 例 3 已知空间三点 A（0，2，3） ，B（－2，1，6） ，C（1，－1，5） ⑴求以向量,AB AC为一组邻边的平行四边形的面积 S； ⑵若向量a分别与向量,AB AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标 2．基底法（如何找，转化为基底运算） 3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标） 4．几何法 例 4. 如图，在空间四边形OABC中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值 O A B C 说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC易错写成,45OA AC，切记！ 例 5. 长方体1111ABCDABC D中，4ABBC，E为11AC与11B D的交点，F为1BC与1BC的交点，又AFBE，求长方体的高1BB。
6 【模拟试题】 1. 已知空间四边形ABCD，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）ABBCCD； （2）1()2ABBDBC； （3）1()2AGABAC 2. 已知平行四边形 ABCD，从平面AC外一点O引向量 ,,,OEkOAOFkOBOGkOC OHkOD （1）求证：四点,,,E F G H共面； （2）平面AC //平面EG 3. 如图正方体1111ABCDABC D中，11111114B ED FAB，求1BE与1DF所成角的余弦 5. 已知平行六面体ABCDABC D中， 4,3,5,90ABADAABAD， 60BAADAA，求AC的长 7 [ 参考答案] 1. 解：如图， （1）ABBCCDACCDAD； （2）111()222ABBDBCABBCBD。
ABBMMGAG； （3）1()2AGABACAGAMMG 2. 解： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD， ∵EGOGOE， ()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH ∴,,,E F G H共面； （2）解：∵()EFOFOEk OBOAk AB ，又∵EGk AC ， ∴//,//EFAB EGAC 所以，平面//AC平面EG 3. 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz， 则(1,1,0)B，13(1,,1)4E，(0,0,0)D， 11(0,,1)4F， ∴11(0,,1)4BE ，11(0,,1)4DF ， ∴11174BEDF， 1111150 0()1 14416BEDF 11151516cos,17171744BE DF 4. 分析：⑴1( 2, 1,3),(1, 3,2),cos2||||AB ACABACBACABAC ∴∠BAC＝60°，||||sin607 3SABAC ⑵设a＝（x，y，z） ，则230,aABxyz 222320,||33aACxyzaxyz 解得 x＝y＝z＝1 或 x＝y＝z＝－1，∴a＝（1，1，1）或a＝（－1，－1，－1） 。
5. 解：22||()ACABADAA 222||||||222ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60 169250201585 所以，||85AC 。