解析几何课件(吕林根 许子道第四版).ppt

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1、解析几何课件(第四版)吕林根 许子道等编第四章第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第一章第一章 向量与坐标向量与坐标第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 两向量的数性积两向量的数性积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的矢

2、性积两向量的矢性积第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.6 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲

3、面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论5.1 二次曲线二次曲线与直线的相关位置与直线的相关位置 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向5.7 应用不变量化简二次曲线方程应用不变量化简二次曲线方程 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有

4、大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量( (矢量矢量) )既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量的几何表示：向量的几何表示：| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或或或两类量两类量: 数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的可用一个数值来描述的量量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,1.1 1.1 向量的概念向量的概念返回下一页所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .模为模为1 1的向量的向量. .零向量：零向量： 模为模为0 0的向量的向量. .

5、单位向量：单位向量：或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向两个模相等，方向相反的向量叫做互为量叫做互为反向量反向量. .上一页下一页返回零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . 定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量叫做叫做共线向量共线向量. . 定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量叫做叫做共面向量共面向量. .零向量与任何共面

6、的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. .上一页返回OAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则. . 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对角线向量 1.2 1.2 向量的加法向量的加法下一页返回OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）上一页下一页返回OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回向量减法向量减法上

7、一页下一页返回ABC上一页返回1.3 1.3 数乘向量数乘向量下一页返回定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）第一分配律：）第一分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系（3 3）第二分配律：）第二分配律：上一页下一页返回证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得上一页下一页返回按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回例例

8、1 1设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 如图如图 因为 所以 但 因而 即 ABCM(图1.11)上一页下一页返回例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证证 设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么所以所以且且上一页返回1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解下一页返回.,24 . 1,2 . 4 . 1212121212121唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数）（的线性组合，即的线性组合，即可

9、以分解成可以分解成或者说向量或者说向量线性表示，线性表示，可以用向量可以用向量共面的充要条件是共面的充要条件是与与不共线，那么向量不共线，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereeree+ += =.,)34 . 1(,3 . 4 . 1321321321321321唯一确定唯一确定被被并且其中系数并且其中系数的线性组合，即的线性组合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量线性表示，或说空间线性表示，或说空间可以由向量可以由向量任意向量任意向量不共面，那么空间不共面，那么空间如果向量如果向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee- -+ +

10、 += =.,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底这时这时ee上一页下一页返回 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空间向量的基底叫做空间向量的基底这时这时eee.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPP

11、PEFFECDABABCD= = = =上一页下一页返回 连接连接AF，因为因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有上一页下一页返回.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关的向量叫做线性无关关的向量叫做线性无关性相性相叫做线性相关，不是线叫做线性相关，不是线个向量个向量那么那么（使得使得个数个数在不全为零的在不全为零的，如果存，如果存个向量个向量对于对于定义定义nnnnnaaanaaanaaannLLLL- -+ + + + l ll ll ll ll ll l. 0= =a

12、a线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为一个向量一个向量推论推论.线性相关线性相关量，那么这组向量必量，那么这组向量必一组向量如果含有零向一组向量如果含有零向推论推论.5 . 4 . 1相关相关那么这一组向量就线性那么这一组向量就线性分向量线性相关分向量线性相关如果一组向量中的一部如果一组向量中的一部定理定理.,24 . 4 . 121组合组合向量是其余向量的线性向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个充要条件是其中有一个线性相关的线性相关的时，向量时，向量在在定理定理naaanL 上一页下一页返回.6 . 4 . 1是它们线性相关是它们线性相关两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件定理定

13、理.7 . 4 . 1件是它们线性相关件是它们线性相关三个向量共面的充要条三个向量共面的充要条定理定理.8 . 4 . 1线性相关线性相关空间任何四个向量总是空间任何四个向量总是定理定理上一页下一页返回横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系. 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标下一页返回面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2、坐标面与卦限坐标面与卦限 上一页下一页返回空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: 坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点称为称为点点

14、M的的坐标坐标，x称为横坐标称为横坐标, y称为纵坐标，称为纵坐标， z称为竖坐标称为竖坐标.3、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标 上一页下一页返回称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.4 4、空间向量的坐标、空间向量的坐标 上一页下一页返回显然，显然，向量的坐标向量的坐标：向向径：径：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：(点点M关于原点关于原点O)上一页下一页返回),(Mzyx既表示点既表示点5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回解解设设为直线上的点，为直

15、线上的点，6、线段的定比分点坐标、线段的定比分点坐标上一页下一页返回由题意知：由题意知：上一页下一页返回定理定理1.5.4 已知两个非零向量7、其它相关定理、其它相关定理则则共线的充要条件是共线的充要条件是 定理定理1.5.6 已知三个非零向量，则，则共面的充要条件是共面的充要条件是 上一页返回空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影 1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影下一页返回空间一向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影上一页下一页返回关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.11.6.1）证证由此定义，由此定义，上一页下一页返回定理定理1 1的说明：的说明：射影为正；射

16、影为正；射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；(4) 相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.21.6.2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）上一页下一页返回关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.31.6.3）上一页下一页返回解解上一页返回启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.M1M2 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积下一页返回数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于

17、其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积乘积. .定义定义上一页下一页返回关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：若若 、 为数为数：（3 3）若）若 为数为数：上一页下一页返回设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回由由勾股定理勾股定理向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回为空间两点为空间两点. . 空间两点间距离公式空间两点间距离公式

18、上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. .上一页下一页返回由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .上一页

19、下一页返回当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回方向余弦的特征方向余弦的特征上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 上一页返回两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回解解上一页下一页返回证证上一页下一页返回 1.8 1.8 两向量的矢性积两向量的矢性积下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页返回定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式 1.9 1.

20、9 三向量的混合积三向量的混合积下一页返回（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：上一页下一页返回解解例例1上一页下一页返回解解上一页下一页返回式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例： 2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一页返回根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解上一页下一页返回解解根据题意有根

21、据题意有所求方程为所求方程为上一页下一页返回以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：当当 A2+B2+C2-4D 0 时时, 是球面方程是球面方程.由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+

22、C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.上一页下一页返回以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页返回二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数

23、方程二、曲面的参数方程例例例例7 7 7 7 求以求以求以求以z z 轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为R R 的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程. . . .注意注意注意注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的. . . .抛物柱面抛物柱面平面平面抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： 三、母线平行与坐标轴的柱面方程三、母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征

24、：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面 ，抛物柱面，抛物柱面，母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴上一页下一页返回abzxyo椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxy = 0yo 双曲双曲柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回zxyo抛物抛物柱面柱面柱面柱面上一页返回空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：下一页返回2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程例例1

25、 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程下一页返回 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解上一页下一页返回螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升

26、的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距上一页返回 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程下一页返回平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形

27、平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点上一页下一页返回解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得上一页下一页返回取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设，则，则，为一，为一平面平面.上一页下一页返回平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；

28、平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面的一般方程平面的一般方程上一页下一页返回设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解上一页下一页返回将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程上一页下一页返回设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解上一页下一页返回化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为或或上一页

29、返回解解3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置下一页返回上一页下一页返回点到平面距离公式点到平面距离公式上一页下一页返回在在第一个平面内任取一点，比如（第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），上一页返回定义定义（通常取锐角）通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置下一页返回按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/上一页下一页返回例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置

30、关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角上一页下一页返回两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.上一页返回定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程下一页返回方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程二、空间直线

31、的对称式方程直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）（点向式方程）上一页下一页返回上一页下一页返回因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与又与直直线线 垂直的直线方程垂直的直线方程.解解: 设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知平面的法向量已知直线的方向向量已知直线的方向向量取取上一页下一页返回三、空间直线的参数式方程三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程由由直

32、线的对称式方程直线的对称式方程上一页下一页返回例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标上一页下一页返回因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程得参数方程得参数方程令令上一页下一页返回解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程上一页返回定义定义直线和它在平面上的射影直线的夹直线和它在平面上的射影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置下一页返回直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角

33、公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/上一页下一页返回解解为所求夹角为所求夹角上一页下一页返回直线与平面的交点直线与平面的交点上一页下一页返回分析分析: : 关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1. M. M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上, ,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交, ,交点既在交点既在P P1 1上上, ,又在又在 L L上上, ,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点. . 例例2 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 又与

34、直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程.解解 过过M作平行于作平行于 平面平面 P 的一个平的一个平P1 PMLP1M1上一页下一页返回求平面求平面 P1与已知直线与已知直线 L的交点的交点P1: 即即P1:上一页返回定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之为该两直两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角线的夹角.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式3.6 3.6 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置下一页返回两直线的位置关系：两直线的位置关系：直线直线直线直线例如，例如，上一页下一页返回解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求

35、直线的方程所求直线的方程上一页下一页返回解解先作一过点先作一过点M且与已知且与已知直线垂直的平面直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令MNL上一页下一页返回代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为上一页返回LdP1是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的的距离距离d . 设设 为为L上上任一点，如图任一点，如图SS又又于是于是点到直线的距离公式点到直线的距离公式3.7 3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置下一页返回例例1010 求点求点(5,4,2)到直线到

36、直线的的距离距离d.解解上一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：4.1 4.1 柱面柱面下一页返回观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: 定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.母线母线准准线线上一页下一页返回柱面举例：柱面举例：抛物柱面抛物柱面平面平面抛物

37、柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：上一页下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面 ，抛物柱面，抛物柱面，母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴母线母线/ 轴轴上一页下一页返回1. 椭圆柱面椭圆柱面xyzO2. 双曲柱面双曲柱面上一页返回 定义定义4.2.14.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做族直线所产生的曲面叫做锥面锥面. .这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线. .那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点. .锥面的方程是一个三元方程

38、锥面的方程是一个三元方程. .特别当顶点在坐标原点时：特别当顶点在坐标原点时：4.2 4.2 锥面锥面下一页返回 n次齐次方程次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次方程次齐次方程：准线准线顶点顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原反之，以原点为顶点的锥面点为顶点的锥面的方程是的方程是n次齐次次齐次方程方程 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线不锥面的准线不唯一，和一切母线唯一，和一切母线都相交的每一条曲都相交的每一条曲线都可以作为它的线都可以作为它的母线母线.上一页下一页返回请同学们自

39、己用截痕法请同学们自己用截痕法研究其形状研究其形状.椭圆锥面椭圆锥面上一页下一页返回解解 圆锥面方程圆锥面方程或或上一页返回 定义定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为转一周所产生的曲面称为旋转曲面旋转曲面或称或称回旋回旋曲面曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的旋转轴旋转轴这条曲线叫旋转曲面的这条曲线叫旋转曲面的母线母线4.3 4.3 旋转曲面旋转曲面下一页返回曲线曲线 CCy zo绕绕 z轴轴上一页下一页返回曲线曲线 CxCy zo绕绕z轴轴.上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMNzP

40、y zo绕绕 z轴轴.f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S上一页下一页返回曲线曲线 C旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMNzP.绕绕 z轴轴.f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S上一页下一页返回建立旋转曲面的方程：建立旋转曲面的方程：如图如图将将 代入代入得方程得方程上一页下一页返回方程方程上一页下一页返回例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面yzoxyzox上一页下一页返回 xyoz xyoz

41、旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面上一页下一页返回旋旋转转椭椭球球面面xyzxyz上一页下一页返回旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo上一页下一页返回几种 特殊旋转曲面v1 双叶旋转曲面v2 单叶旋转曲面v3 旋转锥面v4 旋转抛物面v5 环面上一页下一页返回x0y1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回x0zy. .绕绕 x 轴一周轴一周1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面上一页下一页返回x0zy.1 1 双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面.绕绕 x 轴一周轴一周上一页下一页返回axyo

42、2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回axyoz. .上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上一页下一页返回a.xyoz.2 2 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周上一页下一页返回3 3 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo上一页下一页返回.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回x yoz.

43、两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面.3 3 旋转锥面旋转锥面上一页下一页返回yoz4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周上一页下一页返回yoxz. .抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面上一页下一页返回y.oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.4 4 旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面上一页下一页返回卫星接收装置卫星接收装置卫星接收装置卫星接收装置例例.上一页下一页返回5 5环面环面环面环面yxo

44、rR绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.上一页下一页返回5 5环面环面环面环面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo.上一页下一页返回救生圈救生圈.5 5 环面环面环面环面上一页返回二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐

45、标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面二次曲面4.4 4.4 椭球面椭球面下一页返回截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo椭球面椭球面上一页下一页返回椭球面的方程 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭球面椭球面上一页下一页返回椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为的

46、交线为椭圆椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是的交线也是椭圆椭圆.上一页下一页返回椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.上一页下一页返回球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为上一页返回单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与与 曲面相截截得中心在原点曲面相截截得中心在原点 的的椭圆椭圆一、单叶双曲面一、单叶双曲面4.5 4.5 双曲面双曲面下一页返回与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当

47、 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.上一页下一页返回单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截，与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.上一页下一页返回二、双叶双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyoz上一页下一页返回 单叶单叶：双叶双叶：. .yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进

48、锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大无限增大时，时， 双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进双曲面及其渐进锥锥面面面面上一页返回第五章 二次曲线的一般理论 在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。下一页返回为了方便起见，特引进一些记号：上一页下一页返回上一页返回讨论二次曲线与直线的

49、交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）5.1 5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置下一页返回（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：上一页下一页返回上一页下一页返回上一页返回1.二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.1满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.即1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I205.2 5.2 二次曲线的渐

50、近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线下一页返回2. 二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是： 推论推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.上一页下一页返回二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： 如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I20，分两种情况：上一页下一页返回 定义定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次中心二次曲线曲线，没有中心的

51、二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线非中心二次曲线. 定义定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.上一页返回 定义定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线切线，这个重合的交点叫做切点切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线切线，直线上的每个点都可以看作切点切点. 定义定义5.

52、3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.5.3 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线下一页返回 定理定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论推论 如果(x0,y0)是二

53、次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：上一页下一页返回 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0上一页返回1.二次曲线的直径二次曲线的直径 定理定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭

54、于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.5.4 5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径下一页返回 推论推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理定理5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线2.共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向. 定义定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.上一页返回 定义定义5.5.1

55、二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.5.5 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向下一页返回 定义定义5.5.2 方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根定理定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数.定理定理5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零. 定理定理5.5.3 由二次曲线(1)的特征根确定的主方向X:Y，当0时，为二次曲线的非渐近主方向；当0时，为二次曲线的渐近主方向. 定理定理5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条

56、主直径.上一页返回1.平面直角坐标变换平面直角坐标变换为转轴公式.5.6 5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类返回为移轴公式，下一页2.二次曲线方程在平面直角坐标变换下的变化二次曲线方程在平面直角坐标变换下的变化将 代入得则上一页下一页将 代入原二次曲线方程得则上一页下一页令得由sin+ cos得由cos- sin得由+ 得所以，上一页下一页3.二次曲线方程的化简和分类二次曲线方程的化简和分类 定理定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个： 定理定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：上

57、一页下一页返回上一页返回1.二次曲线的不变量二次曲线的不变量定义5.7.1 由F(x,y)的系数组成的一个非常数函数f ，如果经过直角坐标变换函数值不变，那么这个函数f叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量不变量.如果这个函数f的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量半不变量.5.7 5.7 应用不变量化简二次曲线方程应用不变量化简二次曲线方程返回下一页返回上一页下一页定理定理5.7.1 二次曲线在直角坐标变换下有三个不变量与一个半不变量返回上一页下一页定理定理5.7.2 当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下是不变量。返回上一页下一页2. 利用不变量化简二次曲线方程利用不变量化简二次曲线方程返回上一页下一页3.应用不变量对二次曲线的方程进行分类应用不变量对二次曲线的方程进行分类上一页下一页