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1、第六章第六章 优选法及其应用优选法及其应用 优优选选法法 是根据生产和科研中的不同问题 ，以数学原理为指导，合理安排实验点，减少试验次数，以求迅速找到最佳点的一类科学方法，优选法可以解决那些实验指标与因素间不能用数学形式表达，或者虽有表达式但很复杂的那些问题。 优选法的目标优选法的目标就是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案 我国从70年代初开始，首先由数学家华罗庚等人推广，随后优选法开始在生产实际中得到大量应用。 它适合于单因素、多因素试验。它适合于单因素、多因素试验。一般步骤一般步骤：（1 1）首先应估计包含最优点的试验范围）首先应估计包含最优点的试验范围如果用如果用a a表示下
2、限，表示下限，b b表示上限，试验范围为表示上限，试验范围为aa，bb（2 2）然后将试验结果和因素取值的关系写成）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达式数学表达式不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的方法的方法方便起见，仅讨论目标函数为方便起见，仅讨论目标函数为f f（x x）的情）的情况况 第一节 单因素优选法 如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题 一一 0.618法 又称为“黄金分割法黄金分割法”或“折纸法折纸法
3、”。 它一般适用于试验次数预先不做规定的情试验次数预先不做规定的情况况。而且目标函数为单峰函数时。 例例1 为了改善某油品的性能，需在油品中加入一种添加剂，其加入量在200克/吨到400克/吨，试确定添加剂的最佳加入量。ab单峰函数f(x)由于总试验次数不限，可以采用0.618法。步骤如下步骤如下： 1 1 确定第一个试验点确定第一个试验点： 200+（400-200）X0.618=323.6 2 确定第二个试验点确定第二个试验点： 200+(400-200)X(1-0.618)=276.4 3 3 比较试验（比较试验（1 1）和（）和（2 2）的结果）的结果： 若试验(2)比(1)好，在32
4、3.6处把右段剪去,找出第三个试验点的位置： 200+(323.6-200)X(1-0.618)=247.2 如果试验(1)结果比(2)的好,则剪去左边一段,按相同方法找出第三个试验点. 4 4 比较第比较第(3)(3)和第和第(2)(2)的试验结果的试验结果, ,再找出第再找出第(4)(4)次试验点次试验点, ,并比较并比较, , 直到满意为止。直到满意为止。 由上边的例子可见： （1）采用0.618法安排试验时,每次剪去的长度都是上次的0.382,无论剪右或是剪左,中间段都将保留下来. （2） 0.618法安排试验时，是在试验范围内找出最佳试验点，如果最初的试验范围不如果最初的试验范围不准
5、确，那么最终的结果也就不可靠准确，那么最终的结果也就不可靠。二二 分数法分数法 当试验条件不能用连续数表示或预先规定了总的试验次数时，就不能采用0.618法。 1 1 菲比那契数列菲比那契数列 F1=1 F2=1 Fn+2=Fn+Fn+1 即：1，1，2，3，5，8，13，21 2 试验点的确定 如试验范围已定，要求只做n次试验， 首先从菲比那契数列中找到第n+2项Fn+2，把试验范围分为Fn+2份,再找到第n+1项Fn+1，该值为第一个试验点所在位置，即分数法的第一个试验点在试验范围总长的Fn+1/Fn+2位置进行。以后试验点的取法均按类似于0.618法依次进行,直到n次试验全部做完，比较各
6、试验结果即可得到最佳方案。 例如例如：某化学反应的温度为120200度，要求只进行4次试验，找出最好的试验结果。总试验次数为n=4Fn+2=F6=8，Fn+1=F5=5，第一次试验点在总范围的5/8处：120+（200-120）X5/8=170第二试验点采用“加二头，减中间”的方法：200+120-170=150比较试验（1）和（2）的结果，发现（2）好，去掉170以上部分，按下式找第三试验点：170+120-150=140比较第（2）和第（3）试验结果，仍是（2）好，去掉140以下部分，找第四试验点： 170+140-150=160比较试验（2）和（4），结果仍是（2）好。决定150为最佳反
7、应温度。三三 平分法平分法 该方法适合于“只朝一个方向进行，而不需比较两个试验结果”的试验，即在试验在试验范围内，目标函数单调，则可以选用此法范围内，目标函数单调，则可以选用此法。平分法的作法为平分法的作法为： 总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为：总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为：（a+b）/2根据试验结果的满意程度，决定划去范围的哪一半。重复根据试验结果的满意程度，决定划去范围的哪一半。重复上面的试验，直到找到一个满意的试验点。上面的试验，直到找到一个满意的试验点。 如以下例子： 例如： 某润滑油中加入某润滑油中加入6666的复合剂后质量的复合剂后质量符合要求，为了符合要求，为
8、了降低成本降低成本，在保证质量的，在保证质量的前提下，选择复合剂的最佳加入量。前提下，选择复合剂的最佳加入量。 根据经验，复合剂少于根据经验，复合剂少于1818时不合格，时不合格，所以试验范围为所以试验范围为18186666，第一次试验取，第一次试验取范围的中点，即范围的中点，即4242，合格，则舍去，合格，则舍去42426666这段，取取这段，取取18421842的中点即的中点即3030，若不合格，则舍去，若不合格，则舍去18301830这段，在这段，在30423042的中点取值，的中点取值，直到满意为止，直到满意为止。四四 抛物线法抛物线法 前面几种方法都是通过比较实验结果的好坏，逐步找出
9、最好试验点。 如果通过单因素法已取得了三个试验点的数如果通过单因素法已取得了三个试验点的数值值( (往往是三个以上的实验中选取往往是三个以上的实验中选取最好点及其相邻最好点及其相邻的两点的两点),那么在此基础上，用抛物线法就可以使那么在此基础上，用抛物线法就可以使试验进一步深化试验进一步深化, ,最优点位置更加准确。最优点位置更加准确。 如右图所示：如右图所示： 设在x1,x2,x3点上做试验，结果为y1,y2,y3,通过XY平面上的三点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3,y3)做抛物线，抛物线的顶点为( x0, y0 )为试验曲线的最优点。用插入法可得到抛物线方程抛物线方程和顶点的X
10、坐标:第二节第二节 双因素优选法双因素优选法一一坐标轮换法坐标轮换法: 具体做法是： 首先从横向或纵向(两个因素)试验范围的0.618处划一条折线，在其上对另一因素用单因素优选法找出较好点，然后将该因素固定在这个较优点上，反过来对前一个因素用单因素优选法选出更优点，如此反复进行，直到达到满意的试验结果。二二 爬山法爬山法 在大型生产中，改变生产条件可能带来较坏的结果，从而带来难以在大型生产中，改变生产条件可能带来较坏的结果，从而带来难以承受的经济损失，所以，一般来说不允许多因素同时改变，而且试验条承受的经济损失，所以，一般来说不允许多因素同时改变，而且试验条件也不允许大幅度地改变件也不允许大幅
11、度地改变。 爬山法就是先找出一个起点，通常是生产上正爬山法就是先找出一个起点，通常是生产上正在使用的生产条件，以这个点为基准做第一次试验，在使用的生产条件，以这个点为基准做第一次试验，选出一个因素选出一个因素然后在其减少（或增加）的方向找第然后在其减少（或增加）的方向找第二个点做试验，若这个结果优于第一个结果，则按二个点做试验，若这个结果优于第一个结果，则按相同的方向找第三个试验点，否则，按相反方向找相同的方向找第三个试验点，否则，按相反方向找第三个试验点，反复进行，直到得到最佳结果（第三个试验点，反复进行，直到得到最佳结果（相相对于所选因素对于所选因素）。爬山法例如：500m1500m100
12、0m2000m0 mYX第三节第三节 多因素优选法多因素优选法 多因素优选法通常是将多因素多因素优选法通常是将多因素简化为简化为双因素或单双因素或单因素的情况来处理因素的情况来处理。一 平分平面法 设三个因素为x,y,z，试验范围为立方体，即在0x1,0y1,0z1中找最佳点，如图所示。 先在三个平面：x=1/2,0y1,0z1; 0x1,y=1/2,0z1; 0x1,0y1,z=1/2; 用双因素法最出最好点A1、B1、C1： A1=(1/2,y1,z1) B1=(x2,1/2,z2) C1=(x3,y3,1/2) 然后比较三个点上的试验结果，若A1最好，且0y1/2,0z1/2，则去掉原立
13、方体的3/4，留下的长立体如下图示，用同样的方法继续选优。43 多因素方法降维法多因素问题：首先对各个因素进行分析，找出主要因素，略去次要因素，划“多”为“少”，以利于解决问题43 多因素方法降维法一、等高线法又叫坐标轮换法（1）固定其中一个因素在适当的位置，或者放在0.618处，对另外一个因素使用单因素优选法，找出好点（2）固定该因素于好点，反过来对前一个因素使用单因素优选法，选出更好点，如此反复43 多因素方法降维法例如：有两个因素需要考虑，一个是用量，例如：有两个因素需要考虑，一个是用量，其范围（其范围（1000，2000），另一个是温度，），另一个是温度，其范围（其范围（1000，20
14、00）。）。因素1因素22000161810001000g 2000g（1）固定温度于）固定温度于0.618处处（2）优选出用量的最佳点）优选出用量的最佳点A（3）固定用量于点固定用量于点A（4）优选温度最佳点优选温度最佳点B（5）固定温度于点固定温度于点B（6）再次优选用量最佳点再次优选用量最佳点CABCD因素1因素2等高线的一般做法：假设试验范围为一长方形，a1x1b1 a2x2b2a2a1b1b2A1A2X1(1)X1(2)X2(1)先固定到X1(1)，优化到x2(1)再固定到x2(1)优化到x1(2)x1(1)x1(2)b1x1(1)a1a2b2去掉左边部分（即不含最优点A2的部分x1
15、(1)X1(2)b1固定于x1(2)，优化得到x2(2)去掉下半段（即不含A3的部分）x2(2)A3依次类推，直到满意为止例例48 阿托品是一种抗胆碱药。为了提高阿托品是一种抗胆碱药。为了提高产量，降低成本，利用优选法选择合适的产量，降低成本，利用优选法选择合适的酯化工艺条件：酯化工艺条件：根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验范围：范围： 温度：温度：5575 时间：时间：30210分钟分钟（1）参照生产条件，先固定温度为）参照生产条件，先固定温度为55，用单，用单因素法优选时间，得最优时间为因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其分钟，其收率
16、为收率为41.6（2）固定时间为）固定时间为150分钟，用单因素法优选温度，分钟，用单因素法优选温度，得最优温度为得最优温度为67，其收率为，其收率为51.5（3）固定温度为）固定温度为67，用单因素法优选时间，用单因素法优选时间，得最优时间为得最优时间为80分钟，其收率为分钟，其收率为56.9（4）再固定时间为）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选，分钟，又对温度进行优选，结果还是结果还是67。此时试验结束，可以认为最优。此时试验结束，可以认为最优条件为：条件为：温度：温度：67；时间；时间：80分钟分钟采用此工艺生产，平均收率提高了采用此工艺生产，平均收率提高了15二、纵横对折法二、纵横
17、对折法假设试验范围为一长方形， a1x1b1 a2x2b2a1b1a2b2B1A1x1(1)x2(1) 分别固定到x1和 x2的中点，找到最优点B1和A1，比较A1和B1的结果后，舍去不合适的定义域部分，并重复进行，直到满意为止。例例49某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油最多和用量，使分离出的白油最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为5090（体积百分比），用量范围为（体积百分比
18、），用量范围为3070（重量百分比），（重量百分比），精度为精度为5。 。 作法：先横向对折，即将用量固定在作法：先横向对折，即将用量固定在50，用单因素的，用单因素的0618法选取最优浓度为法选取最优浓度为80（即图（即图410）的点）的点3。而后。而后纵向对折，将浓度固定在纵向对折，将浓度固定在70，用，用0618法对用量进行优法对用量进行优选，结果是点选，结果是点9较好。比较点较好。比较点3与点与点9的试验结果，点的试验结果，点3比点比点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再纵好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在向对折，将浓度固定在80，对用
19、量进行优选，试验点，对用量进行优选，试验点11、12的结果都不如的结果都不如3好，于是找到了好点，即点好，于是找到了好点，即点3（见表（见表43），试验至此结束。），试验至此结束。三、平行线法三、平行线法 在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假设试验范围为一单位正方形设试验范围
20、为一单位正方形, 即即 0x11，0x21 上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不失普遍性，可以假设它是单位立方体：失普遍性，可以假设它是单位立方体：0x11，0x21，0x31 又设又设x3为较难调变的，那么将为较难调变的，那么将x3先后固定在先后固定在0.618和和0.382处，就得到两个平行平面处，就得到两个平行平面:0x11，0x21 X30.618 与与0x11，0x21 X3=0.382 这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用（任何）两因素求出最优点，设最优点为（任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和和A2（见图见图415）。然后比较）。然后比较A1和和A2上的试验结果。上的试验结果。平行线加速法:
