§1.3 §1.3 矢量场的环量矢量场的环量矢量场的环量矢量场的环量 旋度旋度旋度旋度 一、矢量场的环量与环量面密度一、矢量场的环量与环量面密度1 1、矢量场的环量、矢量场的环量矢量场矢量场沿场中的一条闭合路径沿场中的一条闭合路径 的曲线积分称为矢量场的曲线积分称为矢量场 沿闭合路径沿闭合路径 的环量 环流的计算 物理意义物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢量场的旋涡源量场的旋涡源 2 2、环量面密度、环量面密度 在矢量场中，一个给定点在矢量场中，一个给定点 处沿不同方向处沿不同方向 ，其环量面密度，其环量面密度的值是不同的的值是不同的二、矢量场旋度二、矢量场旋度 1 1、旋度的定义、旋度的定义 方向：方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向环量面密度取最大值的面元正法线方向 大小：大小：等于该环量面密度最大值即等于该环量面密度最大值即 2 2、旋度在坐标系下的表示、旋度在坐标系下的表示 在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示 在圆柱坐标系中的表示在圆柱坐标系中的表示在球坐标系中的表示在球坐标系中的表示 3 3、旋度的性质、旋度的性质 矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场的旋度是一个矢量矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度矢量场在某点处沿矢量场在某点处沿方向的环量面密度，等于旋度在该方向的环量面密度，等于旋度在该方向上的投影方向上的投影 4 4、旋度运算的基本公式、旋度运算的基本公式 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转换关系 四、旋度与散度的区别四、旋度与散度的区别 矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系 如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场或保守场)；如果；如果矢量场散度为零，则称为无源场矢量场散度为零，则称为无源场旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描述场分量沿着各自方向上的变化规律述场分量沿着各自方向上的变化规律。
【【例例题题1】】求求矢矢量量场场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在在点点M(1，，0，，1)处的旋度以及沿处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度方向的环量面密度解解】】矢量场矢量场A的旋度的旋度 在点在点M(1，，0，，1)处的旋度处的旋度 n方向的单位矢量方向的单位矢量 在点在点M(1，，0，，1)处沿处沿n方向的环量面密度方向的环量面密度 【【例例题题2】】在在坐坐标标原原点点处处放放置置一一点点电电荷荷q，，在在自自由由空空间间产产生生的的电场强度为电场强度为 求自由空间任意点求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度电场强度的旋度 【【解解】】 。