线性代数第二章矩阵.ppt

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1、1 1、某班级同学早餐情况、某班级同学早餐情况这个数表反映这个数表反映了学生的早餐了学生的早餐情况情况. .姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周同学周同学1211张同学张同学0000陈同学陈同学0221为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵的引入一、矩阵的引入一、矩阵的引入一、矩阵的引入2 2、某航空公司在、某航空公司在，四城市之间的航线图四城市之间的航线图其中其中 表示有航班表示有航班. . 为了便于计算为了便于计算, ,把表中把表中的的 改成改成, ,空白地方空白地方填上填上, ,就得到一个数表就得到一个数表: :北京北京杭州杭州广州广州上海上海这个数表反映

2、这个数表反映了四城市间交了四城市间交通联接情况通联接情况. .为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示广州广州杭州杭州北京北京上海上海发站发站广州广州 杭州杭州 北京北京 上海上海到站到站3 3、线性方程组、线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究. .二、矩阵的定义二、矩阵的定义二、矩阵的定义二、矩阵的定义定义定义）排成的）排成的 行行 列的矩形数表，称为数域列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（由数域中的个数（

3、记作：记作：元素元素行标行标列标列标称为矩阵的称为矩阵的元元. .中的一个中的一个矩阵矩阵. .F或或或或元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.注：注：注：注： 、只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为行矩阵行矩阵,只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵.、 行数与列数相等的矩阵称为行数与列数相等的矩阵称为阶方阵阶方阵,、若，且，若，且，称称两矩阵同型两矩阵同型. .、称为称为方阵的行列式方阵的行列式.若，且，若，且，称称两矩阵相等两矩阵相等. .、例如例如实矩阵实矩阵矩阵（行矩阵）矩阵（行矩阵）矩阵矩阵（阶方阵）（

4、阶方阵）矩阵矩阵（列矩阵）（列矩阵）复矩阵复矩阵阶方阵阶方阵两矩阵同型两矩阵同型两矩阵相等两矩阵相等三、几种特殊的矩阵三、几种特殊的矩阵三、几种特殊的矩阵三、几种特殊的矩阵、零矩阵零矩阵个个元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵.注意注意 不同的零矩阵未必相等的不同的零矩阵未必相等的. .记作记作 或或 . .、对角矩阵对角矩阵主对角线以外的所有主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为元素全为零的方阵称为对角阵对角阵.不全为不全为0 0记作记作、单位矩阵单位矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为1 1的对角阵称为的对角阵称为单位阵单位阵. .全为全为1 1记作记作4

5、4、数量矩阵数量矩阵记作记作主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为 的对角阵称为的对角阵称为数量阵数量阵. .全为全为5 5、三角矩阵三角矩阵形如形如形如形如的矩阵称为的矩阵称为上三角矩阵上三角矩阵. .的矩阵称为的矩阵称为下三角矩阵下三角矩阵. .上三角矩阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵. .记作记作6 6、负矩阵负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；若若，则称，则称为为 的的负矩阵负矩阵.记作记作7 7、行行阶梯形矩阵阶梯

6、形矩阵2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. .如如称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵8 8、行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为1.1.3 3）首非零元所在列其它元素均为）首非零元所在列其它元素均为. .如如称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；、标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为. .如如之间之间的的关系式关系式一个一个线性变换线性变换. .四

7、、矩阵与线性变换的关系四、矩阵与线性变换的关系四、矩阵与线性变换的关系四、矩阵与线性变换的关系个变量与个变量个变量与个变量表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量其中其中 为常数为常数. .线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .若线性变换为若线性变换为称之为称之为恒等变换恒等变换. .对应对应单位阵单位阵. .(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念五、小结五、小结五、小结五、小结(2) (2) 特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵；单位矩阵；单位矩阵；对角矩阵对角矩阵对角

8、矩阵对角矩阵；零矩阵零矩阵. .矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别? ?思考题思考题思考题思考题 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同不同. .另外行列式与矩阵的记号也是不同的另外行列式与矩阵的记号也是不同的. .解答解答解答解答一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法1 1 1 1、定义、定义、定义、定义注意注意: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法

9、运算运算. .若若规定规定2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（设（设均是同型矩阵）均是同型矩阵）（1 1） （交换律）（交换律）（2 2） （结合结合律）律）（3 3）（4 4）（5 5） （减法）（减法）二、数乘矩阵二、数乘矩阵二、数乘矩阵二、数乘矩阵1 1 1 1、定义、定义、定义、定义若若规定规定2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律 （设（设 均是均是 矩阵，矩阵， ）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（6 6）1 1）数乘矩阵是数）数乘矩阵是数去乘去乘中的每一个元素中的每一个元素. .注意注意注意注意: :（5 5）2 2）若）若 ，则，则矩阵的加法与数

10、乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算. . . .三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法1 1 1 1、引例、引例、引例、引例设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种三种型型如果生产这三种型号的计算机每台的利润如果生产这三种型号的计算机每台的利润( (单位：单位：万万甲甲乙乙那么这两家公司的月利润那么这两家公司的月利润 ( (单位：万元单位：万元) ) 为多少为多少? ?号的计算机，月产量（单位：台）为号的计算机，月产量（单位：台）为元台元台)为为 甲公司每月的

11、利润为甲公司每月的利润为29.129.1万元，乙公司的利润为万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系的元素之间有下列关系34.134.1万元万元. .依题意依题意2 2 2 2、定义、定义、定义、定义若若规定规定其中其中注：注：注：注： 1 1）条件）条件 左左矩阵矩阵的的列列数等于数等于右右矩阵矩阵的的行行数数2 2）方法）方法等于等于左左矩阵矩阵 的的第第 行行与与右右矩阵矩阵 的的第第 列列对应元素对应元素左行右列法左行右列法矩阵乘积矩阵乘积 的元素的元素乘积的和乘积的和. .3 3）结果）结果 左行右列左行右列左左矩阵矩阵的的行行数数为为乘积乘积的行数的行

12、数，右右矩阵矩阵的的列列数为乘积数为乘积的列数的列数. .特别：特别：特别：特别：与与矩阵的乘积矩阵的乘积与与矩阵的乘积为矩阵的乘积为为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数一个阶方阵一个阶方阵例例1 1设设解解3 3 3 3、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征1 1、无交换律、无交换律2 2、无消去律、无消去律3 3、若、若4 4 4 4、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）注注注注不尽相同，不尽相同， 亦不尽相同亦不尽相同. .( 1 )四、方阵的幂

13、四、方阵的幂四、方阵的幂四、方阵的幂1 1 1 1、定义、定义、定义、定义规定规定若若注：注：注：注： 1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. .2 2、 只能是正整数只能是正整数. .（1 1）（2 2）2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律 （设（设 均是均是 阶方阵，阶方阵， ）（4 4）（3 3）（5 5）注：注：注：注：（1 1）（2 2）（7 7）例例3 3设设，计算，计算解解下用下用数学归纳法数学归纳法证明证明猜想猜想当当 时，等式显然成立时，等式显然成立. . 当当 时，等式成立，时，等式成立，即即等式成立等式成立. .所以所以猜想正确猜

14、想正确. .要证要证 时成立，此时有时成立，此时有解解例例4 4 设设，计算，计算 . .易见易见把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . .例例五、五、五、五、矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置1 1 1 1、定义、定义、定义、定义2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）（4 4）（3 3）特别特别特别特别例例5 已知已知解解所以所以而且而且显然显然对称矩阵对称矩阵的的特点是：特点是：它的元素以它的元素以主对角线主

15、对角线为对称轴为对称轴对应相等对应相等. .如如3 3 3 3、对称矩阵、对称矩阵、对称矩阵、对称矩阵定义定义定义定义 设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵. . 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, , 对称对称矩阵的数乘也是对称矩阵矩阵的数乘也是对称矩阵. .但两个对称矩阵的乘积不但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵一定是对称矩阵. .特别特别特别特别证明证明例例6 6 设列矩阵设列矩阵 ，满足，满足为为 阶单位矩阵，且阶单位矩阵，且 ，证明，证明 是对是对称矩阵，且称矩阵，且 . .是对是对称矩阵称矩阵. .又

16、又六、方阵的行列式六、方阵的行列式六、方阵的行列式六、方阵的行列式注意注意注意注意 方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念. . 1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 由阶方阵由阶方阵的元素所构成的行列式（各元的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式. .记作记作2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）（1 1）（2 2）（4 4）（3 3）注注注注例例8 8已知已知解解所以所以易见易见1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的

17、各个元素的代数余子式 按照按照 的位置所构成矩阵的转置的位置所构成矩阵的转置. .七、伴随矩阵七、伴随矩阵七、伴随矩阵七、伴随矩阵称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵. .2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）或或 同理可得同理可得性质性质性质性质证明证明所以所以00九、小结九、小结九、小结九、小结矩矩阵阵运运算算数乘数乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵伴随矩阵伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵方阵的幂方阵的幂线性运算线性运算线性运算线性运算对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵反

18、对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵加法加法乘法运算中的，乘法运算中的，在数的运算中，当数在数的运算中，当数时，时，则则 称为称为 的倒数的倒数，个矩阵个矩阵 ，在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，一、背景一、背景一、背景一、背景1 1 1 1、数、数、数、数2 2 2 2、矩阵、矩阵、矩阵、矩阵则矩阵则矩阵称为的称为的可逆矩阵可逆矩阵，（或称为（或称为 的逆的逆）；）；有有单位阵单位阵相当于数的相当于数的那么，对于矩阵那么，对于矩阵，如果存在，如果存在一一有有称为称为 的逆阵的逆阵. .例例使得使得的逆矩阵记作的逆矩阵记作二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质二、逆

19、矩阵的概念和性质1 1 1 1、定义定义对于对于 阶方阵阶方阵 ，如果有一个，如果有一个 阶方阵阶方阵 ，则称方阵则称方阵 是是可逆可逆的，的，是是 的逆矩阵的逆矩阵. .并把方阵并把方阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵. .若设若设 和和 是是 逆矩阵，逆矩阵，则有则有所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的, ,即即说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的. .证明证明于是于是例例1 1 设设, ,求求 的逆矩阵的逆矩阵. .解解设设则则证明证明，使得，使得两边求行列式，有两边求行列式，有定理定理定理定理1 1 1 1若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则若矩阵

20、若矩阵 可逆，则可逆，则即有即有定理定理定理定理2 2 2 2矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵. .证明证明因为矩阵与其伴随矩阵有因为矩阵与其伴随矩阵有，故有，故有又因为又因为所以，按逆矩阵的定义，即有所以，按逆矩阵的定义，即有例例2 2解解当当 时，时， 称为称为奇异矩阵奇异矩阵；证明证明推论推论 若若或或，则，则当当 时，时， 称为称为非非奇异矩阵奇异矩阵. .2 2 2 2、奇异矩阵与非奇异矩阵、奇异矩阵与非奇异矩阵、奇异矩阵与非奇异矩阵、奇异矩阵与非奇异矩阵易知易知于是于是只证只证时，时，3 3 3 3、运算规律、运算规律、运算

21、规律、运算规律 （设（设 均是均是 阶可逆方阵）阶可逆方阵）1 1）若）若 且且证明证明由推论，即有由推论，即有2 2）若）若 且且且且3 3）若）若 ，且，且 同阶，同阶，推广推广证明证明4 4）若）若 且且5 5）若）若 6 6）若）若 证明证明且且证明证明而而因为因为所以所以为整数）为整数）（其中（其中7 7）其它的一些公式）其它的一些公式 8 8）一些规定）一些规定四、应用四、应用四、应用四、应用例例3 3求下列矩阵的逆，其中求下列矩阵的逆，其中解解1 1）依对角矩阵的性质知：依对角矩阵的性质知：依矩阵的逆的定义，必有依矩阵的逆的定义，必有易知：易知：解解2 2）即即计算计算其中其中例

22、例4 4的行列式的行列式.解解例例5 5求求解解设设且满足且满足有有而而设设求求例例6 6其中其中为矩阵为矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵. .解解例例7 7 解矩阵方程解矩阵方程解解设设例例8 8证明证明证明证明例例9 9所以所以 可逆可逆. .由由，得，得例例1010可逆，并求它们的逆矩阵可逆，并求它们的逆矩阵. .由由设方阵设方阵满足方程满足方程，证明，证明证明证明所以所以 可逆可逆. .逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. .逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在五、小结五、小结五、小结五、小结定义法定义法初等变换法（后面介绍）初等变换法（后面介绍）一、矩阵的分块一、

23、矩阵的分块一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用经常采用分块法分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块子块，以子块为，以子块为元素的形式上的矩阵称为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.例例即即注：注：分块时首先满足分块时首先满足 ，再考虑对角或三角矩阵，再考虑对角或三角矩阵，然后然后考虑考虑 以及其它的特殊矩阵以及其它的特殊矩阵. .按行

24、分块或按列分块是两种特殊的分块形式按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式. .二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则1 1 1 1、矩阵的加法、矩阵的加法、矩阵的加法、矩阵的加法设设 与与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中其中 与与 为同型矩阵，则为同型矩阵，则分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.2 2 2 2、数乘、数乘、数乘、数乘则则3 3 3 3、乘法、乘法、乘法、乘法设设 ，分块成，分块成其中其中 的列数分别等于的列数分别等于 的行数的行数. .其中其

25、中4 4 4 4、转置、转置、转置、转置则则那么那么分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置.都是方阵都是方阵. .5 5 5 5、分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵 设设为阶方阵，若为阶方阵，若的分块矩阵只有在主对角的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余子块全为零，那么方阵子块全为零，那么方阵就称为就称为分块对角阵分块对角阵.即如即如都是都是分块对角分块对角阵阵. .分块分块分块分块对角矩阵具有下述性质对角矩阵具有下述性质对角矩阵具有下述性质对角矩阵具有下述性质: : :

26、 :1 1 1 1）2 2 2 2）3 3 3 3）若若则有则有若若 ，则有，则有5 5 5 5）若若则则均为可逆方阵均为可逆方阵. .4 4 4 4）若若则则6 6 6 6、设设则则例例1 1 设设三、应用三、应用三、应用三、应用求求解解分块分块则则又又于是于是例例2 2 设设求求解解-1例例3 3 设设求求其中其中解解例例5 5 设设求求解解 令令其中其中所以所以而而所以所以 可求可求. .称为矩阵称为矩阵的的个个行向量行向量. .矩阵矩阵有有个行，个行，称为矩阵称为矩阵的的个个列向量列向量. .矩阵矩阵有有个列，个列，四、两种特殊的分块法四、两种特殊的分块法四、两种特殊的分块法四、两种特

27、殊的分块法-按行分块与按列分块按行分块与按列分块. .行记作行记作，则矩阵，则矩阵便记为便记为若第若第列记作列记作若第若第，则矩阵，则矩阵便记为便记为对于线性方程组对于线性方程组若记若记其中其中 称为称为系数矩阵系数矩阵，称为称为增广矩阵增广矩阵.称为称为未知数向量未知数向量，称为称为常数项向量常数项向量，按分块矩阵的记法，可记按分块矩阵的记法，可记利用矩阵的乘法，此方程组可记作利用矩阵的乘法，此方程组可记作如果把系数矩阵按行分成如果把系数矩阵按行分成 块，则线性方程组块，则线性方程组可记作可记作这就相当于把每个方程这就相当于把每个方程记作记作如果把系数矩阵按列分成如果把系数矩阵按列分成 块，

28、则与块，则与 相乘的相乘的 相应相应的的应分为应分为 块，从而可记作块，从而可记作即即对于矩阵对于矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积矩阵的乘积矩阵，若把，若把 按行分成按行分成 块，把块，把 按列分成按列分成块，块，其中其中便有便有另外另外：以对角矩阵：以对角矩阵 左乘矩阵左乘矩阵 时，把时，把 按行按行分块，有分块，有另外另外：以对角矩阵：以对角矩阵 右乘矩阵右乘矩阵 时，把时，把 按列按列分块，有分块，有 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最基本矩阵的分块是一种最基本, ,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .(1) (1) 加法加法(2) (2) 数乘数乘(3

29、) (3) 乘法乘法分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：同型矩阵，采同相同的分块法；同型矩阵，采同相同的分块法；数数 乘矩阵乘矩阵 ，需，需 乘乘 的每一个子块；的每一个子块；若若 与与 相乘，需相乘，需 的列的划分与的列的划分与的行的划分相一致的行的划分相一致. .五、小结五、小结(4) (4) 转置转置(5) (5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵(6) (6) 两种特殊的分块法：按行分块与按列分块两种特殊的分块法：按行分块与按列分块. .六、思考题六、思考题六、思考题六、思考题证证证证引

30、例引例 求解线性方程组求解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组解解即即其中为任意常数其中为任意常数. .总结总结1 1、上述解方程组的方法称为、上述解方程组的方法称为高斯消元法高斯消元法2 2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换（1 1）交换方程次序；）交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程的倍加到另一个方程）一个方程的倍加到另一个方程3 3、这三种变换均可逆、这三种变换均可逆. .4 4、方程组的变换可以看成矩阵的变换、方程组的变

31、换可以看成矩阵的变换. .1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换. .（1 1）互换两行：）互换两行：（2 2）数乘某行：）数乘某行：（3 3）倍加某行：）倍加某行：二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换（Elementary TransformationElementary TransformationElementary TransformationElementary Transformation）定义定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的的初

32、等变换初等变换同理，把同理，把 换成换成 可定义矩阵的可定义矩阵的初等列变换初等列变换. .ERTERTERTERTECTECTECTECTETETETET初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换定义定义经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵就称矩阵就称矩阵，记作，记作等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系就称为具有上述三条性质的关系就称为等价等价（1 1）反身性：）反身性：（2 2）对称性：）对称性：（3 3）传递性：）传递性：利用利用初等初等行行变换可把

33、矩阵变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .利用利用初等初等行行变换，也可把矩阵化为变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵. .定理定理利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为阵化为标准形矩阵标准形矩阵.三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩1 1、子阵与、子阵与 阶子式阶子式将矩阵将矩阵的某些行和列划去（可以只的某些行和列划去（可以只划去某些行或列划去某些行或列），剩下的元素按原来的顺序构成的），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做新矩阵叫做矩阵矩阵 的子矩阵的子矩阵. .中，任取中，任取 行行 列列在在矩阵矩阵

34、位于这些行与列交叉处的位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在个元素，依照它们在中的位置次序不变而得的中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 的一个的一个定义定义定义定义阶子式阶子式. .矩阵共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式. .最低阶为最低阶为 阶，阶， 最高阶为最高阶为 阶阶. .如：矩阵如：矩阵取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .易见易见而在这个矩阵中而在这个矩阵中, ,都是矩阵都是矩阵 的

35、子矩阵的子矩阵. .2 2 2 2、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩定义定义定义定义（1 1）（2 2）则则 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式. .记为记为 或或 . .（1 1）性质：性质：性质：性质：（2 2）（3 3）（4 4）阶方阵阶方阵 ，（5 5）其中其中（6 6）最高阶非零子式最高阶非零子式的阶数称为的阶数称为矩阵的矩阵的秩秩，定义定义定义定义阶方阵阶方阵 ，为为满秩阵满秩阵. .，则称，则称 定义定义定义定义，则称，则称 为为行满秩阵行满秩阵；，则称，则称 为为列满秩阵列满秩阵；结论结论结论结论矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数行阶

36、梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数，则称，则称 为为降秩阵降秩阵. .例例解解计算计算A A的的3 3阶子式，阶子式， 用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去变换法去求矩阵的秩求矩阵的秩. .四、应用举例四、应用举例四、应用举例四、应用举例解解例例并求的一个最高阶非零子式并求的一个最高阶非零子式. .设设，求矩阵的，求矩阵的秩，秩，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵：求的一个最高阶非零子式求的

37、一个最高阶非零子式知的一个最高阶非零子式为阶，知的一个最高阶非零子式为阶，的阶子式共有个，的阶子式共有个，考察的行阶梯形矩阵考察的行阶梯形矩阵记记则在则在中找一个三阶非零子式中找一个三阶非零子式根据初等行变换对应到根据初等行变换对应到A中可以找到一个三阶非零子式中可以找到一个三阶非零子式易验证易验证的一个最高的一个最高阶非零子式阶非零子式.例例 设设其中其中求求解解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故例例4 4 将下列矩阵利用初等变换化为将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形行阶梯形, ,再再化化为为行最简形行最简形, ,最后最后化为标准形化为标准形. .并求其并求

38、其秩秩. 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换初等行变换. . 化矩阵为标准形时，初等行变换和初化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用等列变换均可以使用. .依次为行阶梯形和行最简形矩阵。依次为行阶梯形和行最简形矩阵。最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，依次为依次为秩显然为秩显然为. .、子阵与子阵与 阶子式阶子式、秩的定义及性质秩的定义及性质五、小结五、小结、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（Elementary transformationElementary transformation）初等行初等行(

39、(列列) )变换变换（1 1）（2 2）则则 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式. .记为记为 或或 . .最高阶非零子式最高阶非零子式的阶数称为的阶数称为矩阵的矩阵的秩秩，、经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵就称矩阵就称矩阵，记作，记作、矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质利用初等行变换可把矩阵利用初等行变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .利用初等行变换，也可把矩阵化为利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵. .、利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵阵化为化

40、为标准形矩阵标准形矩阵. .、矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. .一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念定义定义、对调、对调、对调、对调就称为就称为初等矩阵初等矩阵. .记作记作、数乘、数乘、数乘、数乘记作记作、倍加、倍加、倍加、倍加记作记作基本事实基本事实基本事实基本事实( (左行右列左行右列左行右列左行右列)

41、)相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于相当于二、基本结论二、基本结论二、基本结论二、基本结论、初等矩阵均可逆、初等矩阵均可逆、为初等矩阵为初等矩阵、有限个初等矩阵有限个初等矩阵、为可逆阵为可逆阵三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用又又因此因此类似的类似的因此因此又又因此因此因此因此又又例例 设设求证求证证证:例例2 2解解例例3 3解一解一由例由例2 2得得解二解二用初等变换解矩阵方程：用初等变换解矩阵方程：, ,求，求，使使例例4 4用初等变换解矩阵方程：用初等变换解矩阵方程：例例5 5, ,求，求，使使例例6 6已知矩阵的伴随矩阵已知矩阵的伴随矩阵, ,且且，求，求. .解解例例7 7, ,求，求，使使解解