运用生成函数求数列的和

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1、上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页1上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束组合数学组合数学首首 页页本讲内容：本讲内容：1.生成函数与数列生成函数与数列2.运用形式幂级数求数列的和运用形式幂级数求数列的和2上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页重要知识回顾重要知识回顾p对于实数序列对于实数序列a0，a1，a2，an，函数，函数g(x)a0a1xa2x2anxn称为给定序列的称为给定序列的生成函数生成函数或或母函数母函数。并约定，若某个并约定，若某个ai0 (i0,1,2,)，则项则项aixi

2、 可以省略不写。可以省略不写。p几个生成函数的幂级数展开式（几个生成函数的幂级数展开式（ P4546 ）。）。3上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页例例1：已知已知 是数列是数列an(n=0,1,2,)的的生成函数，求生成函数，求f(x)的形式幂级数展开式及通项的形式幂级数展开式及通项an。解：解：由由P46公式公式(9)可得：可得：从而：从而：4上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页例例2：写出下列序列的生成函数：写出下列序列的生成函数：(1)2,-2,2,-2,2,-2,2,-2,(2)数数列列an=n(

3、n+1),n=0,1,2,3 ,解：解：(1)设其生成函数为设其生成函数为f(x)，则：，则：P46公式公式9：5上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页例例2：写出下列序列的生成函数：写出下列序列的生成函数：(1)2,-2,2,-2,2,-2,2,-2,(2)数数列列an=n(n+1),n=0,1,2,3 ,(2) 设其生成函数为设其生成函数为f(x)，则：，则：6上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页定理定理2.5.1 若若h(x)为为an的生成函数，即的生成函数，即则则为为bn=a1+a2+an (n=0,

4、1,2,3 ,)的生成函数。的生成函数。证明见课本证明见课本P547上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页例例3：计算级数计算级数 的和。的和。解：解：令令an=n(n+1),n=0,1,2,3 ,例例2已求得已求得an的生成函数为的生成函数为再由定理再由定理2.5.1知知bn的生成函数为的生成函数为8上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页例例4：计算级数计算级数 的和。的和。解：解：令令an=n2,n=0,1,2,3 ,设设an的生成函数为的生成函数为9上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页从而从而bn的生成函数为的生成函数为10上上 页页下下 页页教师：周志轩教师：周志轩结结 束束高等数学高等数学首首 页页练习练习1：写出下列每个序列的生成函数：写出下列每个序列的生成函数：(1)数列数列 , n=0,1,2,3 ,(2)数列数列an=n(n+1)(n+2), n=0,1,2,3 ,解答见解答见P53例例1例例2练习练习2：计算级数计算级数 的和。的和。11