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1、一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.4 平面及其方程高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 208页例页例18、例、例19高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室例例1 1. .求过三点即解解: 取该平面 的法向量为的平面 的方程. 利
2、用点法式得平面 的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室此平面的三点式方程三点式方程也可写成 一般情况一般情况 : 过三点的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 211页习题页习题8高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室特别地特别地, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. 时,平面方程为 分析分析:利用三点式 按第一行展开得 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 209页例页例20、习题、习题7高等数学多媒体课件 High
3、Mathematics山东水利职业学院数理化教研室二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量/x 轴; A x+C z+D =
4、 0 A x+B y+D = 0 C z + D = 0 A x + D =0 B y + D =0/y 轴；/ z 轴;/xoy 面;/ yoz 面 ；/zox 面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 B y + C z = 0过x轴A x+C z = 0过y轴A x+B y= 0过z轴 z=0:xoy面面X=0:yoz面Y=0:xoz 面高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.（例22）思考；思考；用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已
5、知点得化简,得所求平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室特别有下列结论：特别有下列结论：机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室例例3. 求两求两平面平面解解: 应用公式有应用公式有
6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的夹角夹角. .（例（例2323）因此因此高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .（例19）解解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室外一点,求例例5. 设解解: :设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学多媒体课件 High Mathematics山东水利职业学院数理化教研室
