人教版高一数学（必修五）教案

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1、高一数学教案(必修五)重庆市凤鸣山中学高一数学备课组数学5第一章解三角形章节总体设计总设计：谭廷文(-)课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用匕通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：( 1 )通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。( 2 )能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。(-)编写意图与特色1 .数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分， 有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相

2、关的数学思想方法的教学， 并且在提出问题、 思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。 在初中， 学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“ 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角” ， “ 如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等， 那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的儿何知识出发，提出探究性问题：” 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系. 我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？ ，在引入余弦定理内容时， 提出探究性问题” 如果已知三角形的两条

3、边及其所夹的角， 根据三角形全等的判定方法， 这个三角形是大小、 形状完全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题， 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。2 .注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系， 注意复习和应用已学内容， 并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为个有机整体， 提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系， 与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。 教科书在引入正弦定

4、理内容时， 让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“ 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系. 我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？ ，在引入余弦定理内容时， 提出探究性问题 如果已知三角形的两条边及其所夹的角， 根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 课程标准和教科书把“ 解三角形”这部分

5、内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容， 这使这部分内容的处理有了比较多的工具， 某些内容可以处理得更加简洁。 比如对于余弦定理的证明， 常用的方法是借助于三角的方法, 需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后， 教科书从余弦定理与勾股定理的比较中， 提出了 个思考问题“ 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ ，并进而指出， “ 从

6、余弦定理以及余弦函数的性质可知， 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么第三边所对的角是直角； 如果小于第三边的平方， 那么第三边所对的角是钝角； 如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. 从上可知，余弦定理是勾股定理的推广. ”3 .重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学， 而如今比较突出的两个问题是， 学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去， 对所学数学知识的实际背景了解不多， 殿学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临 种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归

7、纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。（ 三 ）教学内容及课时安排建议1. 1正弦定理和余弦定理（ 约3课时）1 .2 应用举例（ 约4课时）1 .3 实习作业（ 约1课时）（ 四）评价建议1 .要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中， 应该因势利导， 根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。 如对于正弦定理， 可以启发得到有应用向量方法的证明， 对于余弦定理则可以启发得到三角

8、方法和解析的方法。 在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中， 一个问题也常常有多种不同的解决方案， 应该鼓励学生提出自己的解决办法， 并对于不同的方法进行必要的分析和比较。 对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2 .适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、 动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力， 增强学生应用数学的意识和数学实践能力。 教师要注意对于学生实习作业的指导， 包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题： 1.

9、 1. 1正弦定理授课类型：新授课 教学目标知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发， 共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点正弦定理的探索和证

10、明及其基本应用。 教学难点己知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程I . 课题导入如 图 1 . 1 -1 , 固定A A B C 的边C B 及 NB,使边A C 绕着顶点C转动。 /A思考：NC的大小与它的对边A B 的长度之间有怎样的数量关系？ /显然，边 A B 的长度随着其对角NC的大小的增大而增大。能否 彳/ 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ - BI I . 讲授新课 探索研究（ 图 1 . I T ）在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1 . 12,在 R t A A B C 中，设 B C = a ,

11、A C = b , A B = c , 根据锐角三角函数中正弦函数设计： 欧国茂= s i n J= s i n Z /cs i n A s i n B s i n。 从而在直角三角形A B C 中,s i n / s i n 8 s i n。A则bb（ 图 1 . 1 -2 ）思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（ 由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如 图 1 . 1 -3 , 当A A B C 是锐角三角形时，设边A B 上的高是C D , 根据任意角三角函数的定义, 有 C D -as i nK = Z ? s i n/, 贝 ij : ： -s i

12、 n力 s i n”c同 理 可 得 品bs i n4a从而as i n Ab _ cs i n B s i nfA c B（ 图 1 . 1 -3 ）思考： 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究这个问题。（ 证法二） ：过点A作；71而 ，由向量的加法可得 A B = A C + CB则.而 =.（ 尼 +丽： .J - A B = J - A C + J - CBp | | A B | co s （ 9 00-/l ） = 0 + p | | C B | co s （ 9 00- C ）cs i nA = s i nC , 即 -= ,Cs i nA

13、 s i ne同理，过点c 作 ） 及，可得 士= $s i nB s i nes i nJ s i nZ ? s i n。类似可推出，当A A B C 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（ 由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在-个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _ b _ cs i n J s i nB s i n C 理解定理（ 1 ）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使。 =4 5 1 1 1 ，b = k s i n B , c = 4 s i n C ；（ 2 ）， - = &=，等价于上

14、3=上，=s i n/ s i nZ ? s m C s i n J s i n 8 s i n C smB s i n J s m C从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a = 2 邛；s i n夕已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如s i nR = g s i n 8 。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题分析例 1 . 在 A A 3 C 中，已知 A = 3 2 .0 , 8 = 8 1 .8 , a= 4 2 .9 cm, 解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=180-(A+B)=18

15、0-(32.0+81.8)=66.2 ；根据正弦定理，h_ asinB _ 42.9sin81.8=sinA = sin32.080. (cm)；根据正弦定理,sinC_42.9sin66.2sinA - sin32.0()74.1(cw).评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2 . 在 AA3C中，已知” =20cm, fo=28 cm, A=40 , 解三角形(角度精确到1 , 边长精确到1cm)。解：根据正弦定理，.八 hsinAsin 8 = -28sm40(, 8 9 9 9因为 0 8 0)( 2 ) 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其

16、中边对角，求另一边的对角。V .课后作业第 10页 习题1. 1 A组 第 1 (1)、2 ( 1 ) 题。板书设计 授后记课题：1.1.2余弦定理授课类型：新授课设计： 罗长青I _教学目标知识与技能： 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法： 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论， 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和

17、证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程I.课题导入如图 1. 1 - 4 ,在 AABC 中 , 设 BC=a, AC=b, AB=c,已知a ,b 和 N C ,求边c（ 图 1. 1-4)n.讲授新课 探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如 图 1.1 - 5 ,设 历 = 3 , CA = b, A B = c ,那么 则 = c -c = -b )(2 -b )=a a + b b 2a , b=甘+_2用cCB从

18、而c2 = a2 + b2 - 2abecsC( 图 1. 1-5)同理可证 a2 = b2 +c2-2bccosAb，= / + / -2accosB于是得到以下定理余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a1 = b2 +C1 - 2bccos Ab2 = a +c2 - 2accos Bc2 =a2 + b1 -2ab cos C思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（ 由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：h2+c2-a2-2bc-cosB=cosC=/ + 0 2

19、工lach2+a2-c2-2ba- 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边：已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（ 由学生总结）若 ABC中 ,C=90,则cosC =0,这时0 2 = /+ /由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例1 .在A ABC中，已知& = 2b，c=*+五, 8= 60,求b及A解：V b2-a2 +c2-2accosB= (2V3)2+(V6+V2

20、)2-2-2V3-(V6+V2) cos45=12+(V6+V2)2-473(73+1)=8:.b = 2 5求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一:从+ ,2。2_( 2&)2+(遥 +& )2-(2A/3)2_1CS 2hc = _2x2 应 x ( +夜)=2!Z. A=60.解法二:Vsin 4=； sinB=2 用.sin45。b 2V2又V6+V2 24+1.4=3.8,20 2x1.8=3.6,：. a c ,即0 。 才能有且只有一解；否则无解。2 .当 A为锐角时，如果a 26,那么只有- - 解；如 果 那 么 可 以 分 下 面 三 种 情 况 来 讨 论 ：(

21、 1 )若a b s i n A ,则有两解; 若a = 6 s in 4 ,则只有一解；( 3 )若a 6 s in 4 ,则无解。( 以上解答过程详见课本第9 10页)评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且6 sin 4 a 6时，有两解；其它情况时则只有解或无解。随堂练习1( 1 )在AABC中，已知a = 80, 6 = 100, ZA = 4 5 ,试判断此三角形的解的情况。( 2 )在AABC中，若a = l, c = g , ZC = 40n,则符合题意的b的值有 个 。( 3 )在AABC中，a = xcm, b = 2cm, N6 = 4 5

22、 ,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。( 答案：( 1 )有两解：(2) 0； (3) 2 x 52 + 32 , B |J a2 b2 +c2,. ABC是钝角三角 形 。随堂练习2( 1 )在 AABC 中，已知sin4:sin6:sinC = l:2:3 ,判断AABC 的类型。( 2 )已知八八8(：满足条件 )54 = % 0 5 6 ,判断AABC的类型。( 答案：( 1) AABC是钝角三角 形 ；( 2) ABC是等腰或直角三角形)例3 .在 AABC 中，4 = 60, b = l,分析：可利用三角形面积定理S = ga6sinC = acsinB = .1/)

23、csin/1以及正弦定理a _ b _ c _ a + b + csin / sinB sinC sin / + sin8 + sinC解：由 S = ； 6csi n / =得。 =2 ,贝ij a2 =b +c2 -2Z7CCOS/4=3, B |J = A/3 ,面 积 为 平 ，求sin l + sin 4 + sinC的值a + b + ca + b + c从而sin l + sinB + sinC sin /=2m .课堂练习( 1 )在AABC中，若a = 55, 6 = 1 6 ,且此三角形的面积S = 220囱 ，求角CA 2_ 2( 2 )在A A B C中，其三边分别为a

24、、b、c ,且三角形的面积S = 十， ,求角C4( 答 案 :( 1 ) 60 或 1 2 0 ； ( 2 ) 4 5 )I V .课时小结( 1 )在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;( 2 )三角形各种类型的判定方法；( 3 )三角形面积定理的应用。V .课后作业( 1 )在A A B C中，已知6 = 4 , c = 1 0, 6 = 3 0 ,试判断此三角形的解的情况。( 2 )设x、x + 1、x + 2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。( 3 )在 A A B C 中，4 = 60 , a = l , 6 + c = 2,判断 A A

25、B C 的形状。( 4 )三角形的两边分别为3 cm, 5 cm,它们所夹的角的余弦为方程5 1 7x - 6 = 0的根，求这个三角形的面积。板书设计 授后记课题：2. 2 解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课教学目标知识与技能: 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况， 采用“ 提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌

26、握解法，能够类比解决实际问题。对于例2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论， 开放多种思路， 引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣， 并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程I . 课题导入1 、 复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2 、 设置情境请学生回答完后再提问： 前面引言第一章“ 解三角形”中， 我们遇到这么一个问题， “ 遥不可及的

27、月亮离我们地球究竟有多远呢？ ” 在古代， 天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法， 但由于在实际测量问题的真实背景下， 某些方法会不能实施。 如因为没有足够的空间， 不能用全等三角形的方法来测量， 所以， 有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。n . 讲授新课（ 1 ）解决实际测量问题的过程般要充分认

28、真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 例题讲解（ 2 ） 例 1 、如图，设 A 、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C , 测出A C 的距离是5 5 m , N B A C = 5 1 在 Z A C B = 7 5 求 A 、B两点的距离（ 精确到0 . 1 m ）设计： 欧国茂B图L2 l启发提问L A A B C 中，根据一知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2 ：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可

29、到达的点之间的距离的问题， 题目条件告诉了边A B 的对角，A C 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出A C 的对角，应用正弦定理算出A B 边。解：根据正弦定理，得A8 = ACsin /4 cB sin ZABCAB = ACsinZACBsin/ABC二 55sinZACBsin Z.ABC= 55 sin 75sin(180-51-75)=55 sin 75sin 54* 6 5 . 7 ( m )答:A 、B两点间的距离为6 5 . 7 米变式练习： 两灯塔A 、 B 与海洋观察站C的距离都等于a k m ,灯塔A 在观察站C的北偏东3 0 ,灯塔B 在观察站

30、C南偏东6 0 ,则 A 、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：V 2 a k m例 2 、如图，A、B两点都在河的对岸( 不可到达) ，设计一种测量A 、B两点间距离的方法。分析：这是例1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出A C 和 B C , 再利用余弦定理可以计算出A B 的距离。图 L 2 -2解：测量者可以在河岸边选定两点C 、 D , 测得C D = a ,并且在C 、 D两点分别测得N B C A = a ,Z A C

31、 D 二月，Z C D B =z , Z B D A = ,在 A A D C 和 B D C 中，应用正弦定理得A C =asin(/ +(y)sin180-( + / + )4sin(y + 3)sin( + y + b)B Ca sin/a sin/sin180-(a + + y)sin(a + 夕 + 7)计算出A C 和 B C 后,A B再在A A B C 中，应用余弦定理计算出A B 两点间的距离ylAC2 + BC2 2AC x BC cos a分组讨论:还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距4 0 米的C 、D两点,测得N B C A

32、 = 6 0 , Z A C D = 3 0 , Z C D B = 4 5，Z B D A = 6 0略解：将题中各已知量代入例2 推出的公式，得 A B = 2 0 而评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。n . 课堂练习课本第1 4 页练习第1 , 2 题I V . 课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：( 1 ) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图( 2 ) 建模：根据已知条件与

33、求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立个解斜三角形的数学模型( 3 ) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解( 4 ) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解V . 课后作业课本第2 2 页 第 1 、2 、3 题板书设计 授后记课题： 2 .2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课教学目标知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。 采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过

34、3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程I .课题导入提问：现实生活中, 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题n .讲授新课 范例讲解例1、AB是底部B不可

35、到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。设计： 罗长青图 1.2-4分析：求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是o、B , C D = a ,测角仪器的高是h ,那么，在AACD中，根据正弦定理可得A Ca sin psin(a - P)A B = A E + h=A C si n a + h sin a sin 夕 +sin(a-/?)例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上点

36、A的俯角0 = 5 4 4 0 ,在塔底C处测得A处的俯角 = 5 0 1 。已知铁塔BC部分的高为2 7 . 3 m ,求出山高CD( 精确到1 m )图 1 . 2 - 5师: 根据已知条件, 大家能设计出解题方案吗？ ( 给时间给学生讨论思考) 若在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据N BAD=c求得。解 ： 在 AABC 中，Z B C A = 9 0 + , Z A B C = 9 0 - cr , Z BAC= cc - , N B A D = a . 根据正弦定理，B C = 4 8si n ( a -

37、P) si n ( 9 0 +夕 )所以 AB _8 C si n ( 9 0 + - ) _ B C 8 s psi n ( a - P ) si n ( a-夕 )解 Rt A B D 中， 得 B D = A B s i n Z B A D = 3c期.加。si n ( a - 0)将测量数据代入上式, 得Dn2 7 . 3 cos5 0 i,si n 5 4 0 4 0,B D = - - - - - - - - L,7 - -si n ( 5 4 4 0 , - 5 0 1 )2 7 . 3 cos5 0 i si n 5 4 4 0 si n 4 3 9 177 (m)CD =BD

38、 - B K 177-27. 3=150 (m)答 ： 山的高度约为150米 .师：有没有别的解法呢？生：若在AACD中求C D ,可先求出AC。师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?生：同理，在AABC中，根据正弦定理求得。( 解题过程略)例 3、如图, 辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶, 到A处时测得公路南侧远处- 山顶D在东偏南15的方向上, 行驶5km后到达B处, 测得此山顶在东偏南25的方向上, 仰角为8,求此山的高度CD.图 1.2-6师：欲求出C D ,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在ABCD中师：在 BCD中，已知BD或 BC都可求出CD,根据条件， 易计算

39、出哪条边的长?生：BC边解: 在 ABC 中， ZA=15, NC= 25 T 5 =10 , 根据正弦定理,BC AB _ ,sin A _sinC 八 AB sin A 5 sin 15sinC sin 10 7.4524 (km)CD=BCx tan Z DBCBCx tan8 1047 (m)答 ： 山的高度约为1047米in .课堂练习课本第17页练习第1、2、3 题IV .课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图, 要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。V .课后作业1、 课本第23页练习第6、7、8 题2、 为测某塔AB的高度

40、，在一幢与塔AB相 距 20m的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30,测得塔基B的俯角为4 5 ,则塔A B 的高度为多少m ?答案：2 0+ 生 巨 （ m ）3板书设计 授后记课题： 2 . 2 解三角形应用举例第三课时授课类型：新授课设计： 龚圣龙教学目标知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解,这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1, 还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2 道例题， 强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生的主体地

41、位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到一知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程I . 课题导入 创设情境提问： 前面我们学习了如何测量距离和高度， 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中， 人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向， 保持一定的航速和航向呢？今天我们接

42、着探讨这方面的测量问题on . 讲授新课 范例讲解例 1、如图， 一艘海轮从A出发，沿北偏东7 5的方向航行6 7 . 5 n m i l e 后到达海岛B , 然后从B出发, 沿北偏东32的方向航行54. 0 n m i l e 后达到海岛C .如果下次航行直接从A出发 到 达 C , 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离？ （ 角度精确到0 . 1 , 距离精确到0 . O l n m i l e ）图 1.2-7学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角N ABC,即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的

43、夹角NCAB。解 : 在 AABC 中 , ZABC=180- 75+ 32 =137 , 根据余弦定理,AC=7AB2 + BC2 -2ABxBC x cos ZABC= V67.52 +54.02 - 2 x 67.5x54.0xcos 137= 113. 15根据正弦定理，BC = ACsinNCAB sin ZABCsin Z CAB = BC sin AC=54.0sini370113.15=0. 3255,所以 ZCAB =19. 0 ,750 - ZCAB =56.0答: 此船应该沿北偏东56. 1 的方向航行, 需要航行113. 15n mile例 2、在某点B处测得建筑物AE

44、的顶端A的仰角为6 , 沿 BE方向前进30m ,至点C处测得顶端A的仰角为2 6 , 再继续前进106m至 D点，测得顶端A的仰角为4。，求的大小和建筑物AE的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（ 上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法， 让学生动手练习， 请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（ 用正弦定理求解）由已知可得在A A C D 中，A C = B C = 30 ,A D = D C = 10 百 ，Z A D C = 18 0 - 4 0 ,. 10 = 30 。 s i n 20 s i n （ 18 （ ） - 4。 ） 因为 s i

45、 n 4 6 = 2s i n 2 6 c o s 2 0nc o s 20 - ， 得 20 = 30 28 = 15 ,. .在 R l A A D E 中，A E = A D s i n 6 0 = 15答：所求角8为 15, 建筑物高度为15m解法二：（ 设方程来求解）设 D E =x , A E = h在 R t A A C E 中， （ 1 0 g + x ） 2 + h2= 302在 R t A A D E f , x2+ h2 = （ 10 7 3）2两式相减, 得x = 5返 ， h = 15. , .在 R t A A C E 中, t a n 2 9 = 2 = 10 V

46、 3+ X 3. , 2（9 = 30 , 6 = 15答：所求角6为 15, 建筑物高度为15m解法三：（ 用倍角公式求解）设建筑物高为A E = 8 , 由题意，得N B A C = 6 , N C A D = 26 ,A C = B C = 30 m , A D = C D = 10 同在 R t A A C E 中，s i n 26 = - - - - - - - - - 304在 R t A A D E 中，s i n 4夕 二 一 产， - - - - - - - - - 10 V 3/o + 得 c o s 26 = = - , 2 夕= 30 , 。 = 15 , A E =

47、A D s i n 6 0 0 = 152答：所求角9为 15, 建筑物高度为15m例 3、某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距9海里的C处有一艘走私船， 正沿南偏东7 5的方向以10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解： 如图， 设该巡逻艇沿AB方向经过x小忖后在B 处追上走私船， 则 CB=1 0 x , AB=1 4 x , AC=9,Z ACB=7 5o + 4

48、 5 = 1 2 0 / . （ 1 4 x ） 2 = 92 + （ l Ox ） 2 - 2 x 9x 1 0 x c o s l 2 0 T. o. ,. 化简得 32X2-30X-27=0,即 x =,或 x =- （ 舍去）2 1 6所以 BC = 1 0 x =1 5 , AB =1 4 x =2 1 , mm - e c BC s i n 1 2 0 0 1 5 百 5 有又因为s i n Z BAC =- - - - - - - - - -二 x = - - - -A B 2 1 2 1 4NBAC =3 81 3 ,或 NBAC =1 4 1 4 7 （ 钝角不合题意，舍去）

49、 ，. i . 3 8 1 3,+ 4 5O=83 1 3,答：巡逻艇应该沿北偏东83 1 3 方向去追，经 过 1 . 4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解， 但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解m .课堂练习课本第1 8页练习I V . 课时小结解三角形的应用题时， 通常会遇到两种情况：（ 1 ）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（ 2 ）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这忖需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。V . 课后

50、作业1 、课本第2 3 页练习第9、1 0 、1 1 题2 、我舰在敌岛A 南偏西5 0 。 相 距 1 2 海里的B 处， 发现敌舰正由岛沿北偏西1 0 。 的方向以1 0海里/ 小时的速度航行. 问我舰需以多大速度、 沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ （ 角度用反三角函数表示） 板书设计 授后记设计：张 浩 :I_ 课题：2. 2解三角形应用举例授课类型：新授课教学目标知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一 步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点， 循序渐

51、进地具体运用于相关的题型。 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用， 教师要放手让学生摸索， 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格， , 题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点。情感态度与价值观: 让学生进一步巩固所学的知识， 加深对所学定理的理解， 提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教学过程I.课题导入 创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式， 今天我们来学习它的另一个

52、表达公式。 在 A B C 中，边 B C 、C A 、A B 上的高分别记为h 、h , 、h , , 那么它们如何用已知边和角表示？生： ha = b s i n C = c s i n Bh/ ?= c s i n A = a s i n Chr= a s i n B:= b s i n a A师: 根据以前学过的三角形面积公式S = i a h , 应用以上求出的高的公式如h = b s i n C 代 入 ，2可以推导出下面的三角形面积公式，S = - a b s i n C , 大家能推出其它的几个公式吗？2生：同理可得，S = b c s i n A , S = a c s i

53、n B2 2师： 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外， 知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解n .讲授新课 范例讲解例1、在A A B C中，根据下列条件，求三角形的面积S ( 精确到0 . I c m 2 )( 1 )已知 a = 1 4 . 8 c m , c = 2 3 . 5 c m , B = 1 4 8 . 5 ;( 2 )已知 B = 6 2 . 7 , C = 6 5 . 8 , b = 3 . 1 6 c m ;( 3 )已知三边的长分别为 a = 4 1 , 4 c m , b = 2 7 . 3 c m ,

54、 c = 3 8 . 7 c m分析：这是一道在不同一知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解( 1 )应用 S=1a c s i n B,得2( 2)根据正弦定理,bs i n Bb s i n Cs i n BS = -b c s i n A = - b2 s i n Cs i n A2 2 s i n 8A = 18 0-( B + 0 = 18 0-( 62. 7 0 + 65 . 8 )=5 1. 5S = -x 3. 162sin 62.7根据余弦定理的推论，得38

55、.72 + 41,42 -27 .32x 38 .7 x 41.4和0.7 69 7s i n B = Vl -c o s2 B 弋 7 1-0.7 69 72 40. 638 4S x 41.4x 38 . 7 x 0. 638 4 5 11. 4 （ c m2 ）2例 2、如图,在某市进行城市环境建设中， 要把一个三角形的区域改造成室内公园， 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m , 8 8 m , 127 m ,这个区域的面积是多少？ （ 精确到0. 1c m2 ） ?师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面

56、积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设 a =68 m , b =8 8 m , c =127 m ,根据余弦定理的推论，c2 + a2 - b2c o s B=-2ca 2+68 2 一8 8 2 Ml 7 5 322x 127 x 68s i n B=Vl -0.7 5 322 0. 65 7 8应用 S= a c s i n B2S - X 68 X 127 X 0. 65 7 8 28 40. 38 ( m2 )2答：这个区域的面积是28 40. 38 m2 0例 3、在A A B C 中，求证：., . a2 + b2 s i n2 A + s i n2 B

57、( 1 ) ： = - ： -；c2 s i n2 C( 2) a2 + b2 +C2-2 ( b c c o s A+c a c o s B+a b c o s C)分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（ 1）根据正弦定理，可设= 上= 上= ksin A sinB sinC显 然 k w O , 所以a2 + b2左边二/ s i n ? A + Y s i n ? Bf c2s i n2Cs i n2 A + s i n , Bs i n2 C二右边（ 2）根据余弦定理的推论,右边=2( b e b +c 一 +c a +

58、。 一 +a b幺 士 = ( b2 +c 2 - a 2) + ( c 2 +a 2 -b 2 ) + ( a 2 +b 2 -c=a2 + b2 + c2 =左边变式练习1：已知在A A B C中，N B=30 ,b =6,c =6后 ， 求a及A A B C的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答 案 :a =6, S=9A/3 ; a =12, S=18 7 3变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，( 1) a c o s A = b c o s Bc o s A + c o s B提示：利用正弦定理或余弦定理，“ 化边为角”或 “ 化角为边”(

59、 1) 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生1：( 余弦定理)得.,.c2( a2 - b2) = a4 -b4 = (a2 +b2)(a2 - b2)a2 =b2 c2 =a2 +b2 根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：( 正弦定理)得s i n Ac o s A=s i n Bc o s B,s i n 2A=s i n 2B,.-.2A=2B,. .A=B. 根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考,谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为s i n2 A = s i n2 B ,有

60、可能推出2 A与2 B两个角互补，即2 A + 2 B = 1 80 , A + B = 9 0 ( 2 )( 解略) 直角三角形m .课堂练习课本第2 1页练习第1、2题I V . 课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式， 然后化简并考察边或角的关系， 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。V . 课后作业课本第2 3 页练习第1 2 、1 4 、1 5 题板书设计 授后记第 二 章 数 为 设计： 谭廷文I_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _课题： 2 .

61、 1 散 列 的 槐 金 马 简 单 忐 云 注授课类型：新授课（ 第 1 课时）教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系：了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 对于比较简单的数列， 会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程I . 课题导入三角形数：1 , 3 , 6 , 1 0 ,

62、-正方形数：1 , 4, 9 , 1 6 , 2 5 , I I . 讲授新课1 . 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意： 数列的数是按一定次序排列的，因此， 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2 . 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个数列的第1项 （ 或首项） ，第 2 项，第 n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“ 4 ”是这个数列的第1 项 （ 或首项） ，“ 9 ”是这个数列中的第6 项.3 . 数列的一般形式：% , 4, % ，

63、 ,勺 ， ，或简记为 4 ，其 中 % 是 数 列 的 第 n 项结合上述例子， 帮助学生理解数列及项的定义. 中， 这是一个数列， 它的首项是“ 13是这个数列的第“ 3 ”项，等等.下面我们再来看这些数列的每一项与这项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？( 引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列，第一项与这项的序号有这样的对应关系：序 号12345这个数的第一项与这一项的序号可用个公式：* 来表示其对应关系n即：只要依次用1 , 2 , 3 代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系4 .数列的通项

64、公式：如果数列“ 的 第n项4与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ,它的通项公式 . . . 1 + ( 1 ) ,1 , H , + 1 .可以是4 “ =-，也可以是% = 1 C O S -nI . 2 2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示. 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系， 给了数列的通项公

65、式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5 .数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*( 或它的有限子集 1 , 2 , 3 , n )为定义域的函数% = / ( ),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数片”以如果( i = l、2、3、4 )有意义，那么我们可以得到一个数列门 f 、f(3 )、f, f ( n ) , 6 .数列的分类：1 )根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列. 例如数列1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数歹U. 例如数列1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6是无穷数列2 )根据

66、数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察：课本P 3 3的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？ 范例讲解课 本P 3 4 -3 5例1m .课堂练习课本P 3 6 练习3、4、5 补充练习 :根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式:( 3 ) 0 ,1 ,0 , 1 ,0 , 1 ,； ( 4 ) 1 ,3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 7 , 9, 9,( 5 ) 2 , 6

67、, 1 2 , 2 0 ,3 0 , 4 2 ,. . .( 4 )将数列变形为 1 +0 , 2 +1 ,3 +0 , 4 +1 ,5 +0 , 6 +1 ,7 +0 , 8 +1 ,( 5 )将数列变形为 1 X2 , - 2 X3 , 3 X4 , - 4 X5 , 5 X6 ,，/ . a = ( -l )n +ln ( n +l )IV . 课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。V . 课后作业课本P 3 8 习题2 . 1 A 组的第1 题板书设计 授后记课题： 2 . 1 散 列 的 极 舍 专

68、 简 单 忐 云 注授课类型：新授课( 第 2 课时)设计： 谭廷文教学目标 L- - - - - - - - - - - - - - - -知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与明 的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教学过程I . 课题导入 复习引入数列及有关定义n . 讲授新课数列的表示方法1 、 通项公式法如 果 数 列 的 第n项与

69、序号之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列0 ， 1 ， 2 , 3 , 的通项公式为外= % + e犷 ） . J 的通项公式为即= 1 伽 e * 1为 ；1 1 1 1 _ 1 , 小1 , 不， 孑，7, 即 （ w e 7 7 ）2 3 4 的通项公式为 ；2 、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形. 具体方法是以项数为横坐标，相应的项队为纵坐标，即 以 （ &%） 为坐标在平面直角坐标系中做出点（ 以前面提到的数列1 1 1 工为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧

70、，而点的个数取决于数列的项数. 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3 、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活. 用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图,模型一：自上而下：第 1 层钢管数为4 ：即：第 2 层钢管数为5 ；即：第 3 层钢管数为6 ；即：第 4 层钢管数为7 ；即：第 5 层钢管数为8 ；即：第 6 层钢管数为9 ；即：寻其规律，建立数学模型.94=1+32 5 = 2 + 33 6 = 3 + 34 7 = 4 + 35 8 5 + 36 9 = 6 + 3第 7 层钢管数为1 0 ：即：7 - 1 0 = 7 + 3若用明表示钢管

71、数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 , = ” + 3 （ 1WnW7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型， 运用这一关系， 会很快捷地求出每一层的钢管数. 这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？ （ 启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 。即。 =4； % = 5 = 4 + 1 = %+ 1 ； / = 6 = 5 + 1 =勺 +1依此类推：an = an_x 4 - 1 ( 2 W n W 7 )对于上述所求关系， 若知其第1项， 即可求出其他项， 看来， 这一

72、关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列 4的 第1项( 或前几项) ，且任一项叫与它的前一项% _1 ( 或前n项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的种方法。如下数字排列的一个数列：3 , 5 , 8 , 1 3 , 2 1 , 3 4 , 5 5 , 8 9递推公式为：ax = 3, a2 = 5 , an = an_ + a_2 ( 3 8 )数列可看作特殊的函数， 其表示也应与函数的表示法有联系, 首先请学生回忆函数的表示法:列表法，图象法，解析式法. 相对于列表法表示个函数，数列有这样的表示法：用 劭 表示第一项，用“ 2表

73、示第一项，用 表 示 第 然 项 ，依次写出成为4、列表法简记为 乐 . 范例讲解q 1例3设数列 4满足J , 1 / 八写出这个数列的前五项。I %解：分析：题中已给出 % 的 第1项即修= 1 ，递推公式：=1 + n- iI 1 2 1 5 2解：据题意可知：a , = l , a2 = 1 H- - - = 2 , a3 = 1 H- - -= , t z4 = 1 H- - -= 一 , % = a2 3 % 3 5 补充例题例4已知ai= 2, an + i = 2an写出前5项 , 并 猜 想an .法一：q= 2 a2 = 2 x 2 = 22 % = 2 x 2 ? = 2

74、 3 ,观察可得 = 2 a法二：由。 + = 2a口 * * an - 2 % _ 即 =2 “ - 1a2n - xa-n . - xa-an-l an-2 aXX = 2 In-34a = a2 T =2 m.课堂练习课本P3 6 练习2 补充练习1 .根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式( 1 ) a1 =0 , an + i =an + ( 2 n 1 ) ( n GN) ；( 2 ) at =1 , a. = 2% ( n EN) ；3 + 2( 3 ) % =3 , a “ + = 3 a “ 一2 ( n e N) .解： a =0 , a2 = 1,

75、% = 4 , a4 =9 , a5 =1 6 , / . an = ( n 1 ) 2 ;g、 ， 2 1 2 2 1 2 . 212 3 3 2 4 4 5 5 3 6 + 1( 3 ) 。 | = 3 = 1 + 2 * 3 , 4 2 = 7 = 1 + 2 x 3 、ay =1 9 =l + 2 x 32,%= 55 = 1 + 2 x 3 3 , 牝 =1 6 3 = 1 + 2 x 3 、a, , = l + 2 3 - ;IV.课时小结本节课学习了以下内容：1 .递推公式及其用法；2 .通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（ 或n项 ）之间的关系.V.

76、课后作业习题2 。1 A组的第4 、6 题板书设计 授后记课题： 2. 2等差数列授课类型：新授课（ 第 1 课时）; 设计：薛靖I_!教学目标知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法, 能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点等差数列的性质教学过程I .

77、课题导入 创设情境上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法. 这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P 4 1 页的4个例子：0 , 5 , 1 0 , 1 5 , 2 0 , 2 5 , 4 8 , 5 3 , 5 8 , 6 3 1 8 , 1 5 . 5 , 1 3 , 1 0 . 5 , 8 , 5 . 51 0 0 7 2 , 1 0 1 4 4 , 1 0 2 1 6 , 1 0 2 8 8 , 1 0 3 6 6观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与

78、它前面一项的差等于同一个常数（ 即等差） ；（ 误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项） ，我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列I I . 讲授新课1 . 等差数列： 一般地， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（ 常用字母 d ”表示） 。（ 1 ） .公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（ 2 ） .对于数列 % , 若 % a , i =d （ 与 n无关的数或字母） ，n 2 , nG N + , 则此数列是等差数列，d为公差。思考：数列、 、的通项公式存在吗？如果存在，分

79、别是什么？2 . 等差数列的通项公式：an -a+ （ n - 1 ） J 或 % =一 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得. 若一等差数列 % 的首项是外, 公差是d,则据其定义可得：。 2 = d 即：。 2 = % + d。 3 一。 2 = d 即：+ d =+ 2 d% = d 即：4 = 。 3 + d = 4 + 3 d由此归纳等差数列的通项公式可得：an = a +（ - l ） d已知一数列为等差数列，则只要知其首项外和公差d , 便可求得其通项知。由上述关系还可得：。 加= % + （ ? 一 l ） d即：a = am - (m - 1 )J则：an = a +

80、 ( - l )d = ai n (m - l )d + ( - V)d - am + (/? m )dn - c i即等差数列的第二通项公式 an=am+ (n - n i )d ， d =二 一m-n 范例讲解例 1 求等差数列8 , 5 , 2 的第2 0 项(2 ) - 4 0 1 是不是等差数列- 5 , - 9 , - 1 3 的项？如果是，是第儿项？解：由4 =8 , d = 5 8 = 2 5 = 3 n =2 0 , 得= 8 + (2 0 1 )x( 3 ) = 4 9 由 % = 5 , d = 9 ( 5 ) = - 4 得数列通项公式为：an =- 5 - 4 (n

81、- l )由题意可知， 本题是要回答是否存在正整数n , 使得- 4 0 1 = - 5 - 4 (/ ?- 1 )成立解之得n =1 0 0 ,B P - 4 0 1 是这个数列的第1 0 0 项例 3 已知数歹U % 的 通 项 公 式 =p + q,其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定 % 是不是等差数列，只 要 看 %- 见 一 ( n 2 2 ) 是不是一个与n无关的常数。解：当 n 2时， (取数列 % 中的任意相邻两项即_ 与 % (n 2 2 )an - a , 1 = (p n + q ) - p (n

82、- l ) + q = p n + q - ( p n - p + q ) = p 为常数 % 是等差数列，首 项 % = p + q,公差为p 。注：若p =0 , 则 % 是公差为0的等差数列, 即为常数列q , q , q,. . . 若 p # 0 , 贝 是 关 于 n的次式， 从图象上看， 表示数列的各点均在一次函数y =p x +q 的图象上， 一次项的系数是公差, 直线在y 轴上的截距为q .数列 % 为等差数列的充要条件是其通项%=p n +q (p 、q是常数)，称其为第3通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足3 个通项公式中的一个。D L 课堂练习课本P 4 5

83、练 习 1 、2 、3 、4 补充练习I . ( 1 ) 求等差数列3 , 7 , 1 1 , 的第4项与第1 0 项 .分析：根据所给数列的前3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项 .解：根据题意可知：% =3 心 7 3 =4 . 该数列的通项公式为：% = 3 + (” - 1 ) X4 , 即凡=4 一1 (” 2 1 , GN*) 24 =4 X 4 1 =1 5 , t z)0 =4 X 1 0 1 =3 9 .评述：关键是求出通项公式.(2 )求等差数列1 0 , 8 , 6 ,的第2 0 项 .解：根据题意可知：。3 = 9 -= 9 - 7 = 2/ .

84、d = % - % = 7 -2 = 5/ . 佝 = 知 +94 ) d = 7 + 5 * 5 = 3 2 a3 = 2 , a9 = 3 2 范例讲解课本P 4 4的例2解略课本P 4 5练习5己知数列 。 “ 是等差数列( 1 ) 2 7S - a , + a是否成立？ 2a s = 4 + 1)是否成立？据此你能得到什么结论？( 3) 2 =a . +a (n k 0)是否成立？ ？你又能得到什么结论？结论：( 性 质 ) 在等差数列中，若m+ n = p + q ,则 ,am + an = ap + aq即 m+n=p+q am + an = ap+ ag (m, n, p, q

85、GN)但 通 常 由 % , + a = ap+ at / 推不出 m+ n = p + q ,a , 0 + an = am +探究：等差数列与一次函数的关系m .课堂练习1 . 在等差数列 % 中，已知牝 =10，% 2 = 3 1 ，求首项与公差d2 .在等差数列 % 中，若%=6 ag =1 5求生4IV .课时小结节课学习了以下内容：1 . 4 = 弯= 。 , 人儿成等差数列2 .在等差数列中，m+ n = p + q = am + an = ap + aq ( m, n , p , q G N )V .课后作业课本P 4 6第4、5题 板书设计 授后记课题： 3 . 3等 姜 酸

86、 列 的 前n女 。授课类型：新授课（ 第1课时）教学目标知识与技能： 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到般，再从般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程I . 课题导入“ 小故事” ：高斯是伟大的数学家，天

87、文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目， 老师说： “ 现在给大家出道题目：1+ 2+ 100= ? ”过了两分钟, 正当大家在：1+ 2= 3； 3+ 3= 6 ； 4 + 6 = 10算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“ 1+ 2+ 3+ + 100= 5 05 0。教师问：“ 你是如何算出答案的？高斯回答说：因 为1+ 100= 101；2+ 9 9 = 101；5 0+ 5 1= 101,所以101X5 0= 5 05 0”这个故事告诉我们：（ 1 ）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。（ 2 ）该故事还告诉我们求

88、等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介 绍 的 “ 倒序相加”法 。I I .讲授新课1 .等差数列的前几项和公式1 ： s2证明： Sn - ay+a2+a3- - - 1- an_1 + an S“ = % +%T+ a, ” 2 + + “ 2 +4 + ：2S = （ 为 + % ） + （ 电 + % - i） +（ % + a吁2 ） + + （ % + % ）为 +an = 。2 + a, i = 。3 +。 “ -2 . . . . .设计：张 浩II_!，2 S“ = ( % + % ) 由此得：S“ = ( | ；怎 )从而我们可以验证高斯十岁时计算上述

89、问题的正确性.2.等差数列的前 项和公式2 ： S“ = 叫+忆1)42用上述公式要求S“ 必须具备三个条件： ， 卬， 怎但 4= %+( - 1 ) . 代入公式 1 即得：S“ = % + ( ”此公式要求S“ 必须已知三个条件：n , a, d ( 有时比较有用) 范例讲解课本P 4 9 - 5 0的例1 、例 2 、例 3由例3 得与4 之间的关系：由S“ 的定义可知，当 n =l时，Si = a；当 ne 2时: an - S - S_, , ( =1 )即WS, i ( N 2 )i n . 课堂练习课本P 5 2 练 习 1 、2 、3 、4I V . 课时小结本节课学习了以下

90、内容：1 . 等差数列的前项和公式1 ： S, , = +” )22 . 等差数列的前项和公式2 ： 5 = n at +迎 二 更V . 课后作业课本P 5 2 - 5 3 习题 A组 2 、3 题 板书设计 授后记设计：陈 莉 ：I_课题：2 . 3 等 差 散 列 的 的 n 项彳。授课类型：新授课( 第 2 课时)教学目标知识与技能： 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质， 并会用它们解决一些相关问题； 会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究$ 支的最值；过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受

91、数学源于生活,又服务于生活的实用性， 引导学生要善于观察生活, 从生活中发现问题, 并数学地解决问题。教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题教学过程I. 课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1 . 等差数列的前项和公式1 ： s = ( 十% )22 . 等差数列的前项和公式2 ： 5 = n a , +迎 二 更n . 讲授新课探究：课本P5 1 的探究活动结论： 一 一般地， 如果一个数列 % , 的前n 项和为5 “ = p r e +例 + r , 其中p 、 q、 r为常数，且 pwO ,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少

92、？由 = p z ? + +，得 S = % = p + q +7当 2 2 时 % = S“ S“T = (P 2 + q n + r )- p (n - l )2 + q (n - l ) + r = 2 p n - (p + q )： , d an- an_x = 2p - n (p + q ) - 2p (n - l )- (p + q ) = 2 p对等差数列的前n项和公式2 ： S“ = n a +迎 二 1 2 4 可化成式子：Sn = - | n2+ ( a , - ) n , 当 d W O , 是一个常数项为零的二次式 范例讲解等差数列前项和的最值问题课本P5 1 的例4解

93、略小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法：( 1 ) 利用a “ ：当a “ 0 , d 0 , 前n 项和有最大值. 可由知20,且a “ + W 0 , 求得n 的值.当。“ 0 ,前n项和有最小值可由a ”寄0 ,且 明 三 川 , 求 得n的值.（ 2 ）利用S ：由Sn = g n 2 +（ a 1 g） n利用二次函数配方法求得最值时n的值m .课堂练习1 . 一个等差数列前4项的和是2 4 ,前5项的和与前2项的和的差是2 7 ,求这个等差数列的通项公式。2 .差数列 % 中， = 1 5 ,公差d= 3 ,求数列 % 的前n项和S“ 的最小值。IV.课时小结1 .前n项和为

94、S“ = p a ?+” + 广，其 中p、q、r为常数，且pH。，一定是等差数列，该数列的首项是q = p + q + r公差是d= 2 p通项公式是为5, = % = p + q + r,当眸 1S-p”(p + q),当整 22 .差数列前项和的最值问题有两种方法:（ 1 ）当心 0 , d 0 ,前n项和有最大值. 可由% ，0 ,且a “ + i W0 ,求得n的值。当a “ 0 ,前n项 和 有 最 小 值 . 可 由W 0 ,且a “ + i、0 ,求得n的值。（ 2 ）由Sn = g n 2 + （ a 1 - g ） n利用二次函数配方法求得最值时n的值V.课后作业课本P5

95、3习题 A组 的5、6题板 书设计 授后记课题：2 . 4等f r t散 列 r- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -授课类型：新授课 ; 设计：张浩（ 第1课时） 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义：理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源

96、于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 教学重点等比数列的定义及通项公式 教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 教学过程I . 课题导入复习：等差数列的定义： 。 “ 一* _ i = d，( n2 2 , ne N+)等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。课本P4 1 页的4个例子：1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , ( 3 ) 1 , 2 0, 2 O2, 2 0 2 04, 1 0000x1 . 01 9 8 , lO O O O xl. 01 9 82 , 1 0000xl. 0

97、1 9 83 , 1 0000x 1 . 01 9 84 ,1 0000xl. 0 1 9 85,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第 项与前一项的比都等于同一个常数。n . 讲授新课i . 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示 ( q WO ) , 即 ：= q ( g WO )1 。“ 从第二项起”与 “ 前一项”之比为常数( q ) % 成等比数列O = q (n e N g W O )%2 隐含：任 一 项 % 彳

98、0且4。0#0 ”是 数 列 % 成等比数列的必要非充分条件.3 q = l时， a j 为常数。2 . 等比数列的通项公式1 : % . q /0)由等比数列的定义，有：a2 - ayq ；a3 a2cj （a、q）q a1q2 ；% = a3q - （a、q2）q - aqy: = an_xq = % ( q q # 0) 3 . 等比数列的通项公式2: a = a, q” (a1芹0)4 . 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：等比数列 明 的通项公式* = 4 p T (q 0)上的一些孤立的点。当 0 ,

99、 q 1时，等比数列 4是递增数列；当q 0 , 0 q 0 , 0 q l时，等比数列 /是递减数列；当q 1时，等比数列 a 是递减数列；当g G2 = ab n G = y ab ，a GCT h.反之， 若 G ? = a 贝= 即 a , G 力成等比数列。； . a , G 力成等比数列a G# 0 ) 范例讲解课本P 5 8 例4 证明： 设数列 aj的首项是4 ， 公 咽 小 ; 也, 的首项为仇， 公匕为生,那么数列 % 也, 的第n项与第n + 1 项分别为:i - q 仇 必 与 修 , 仇 % 即为伉（ 死 2 尸 与 卬 仇 （ 4 必 ） . . 山= 坨 私 ）

100、” = a” - b ” 卬仇（ 4生 尸 2,它 是 ， 个与n无关的常数，所以 % , 是一个以q 0 2 为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列 % 与 2 ,数列 2 也一定是等比数列吗？h探究：设数列 4 与 4 的公比分别为名和6 ，令c “ = & ，则c , +| = 4 出2 . . . 2H = _Z 3L =（ %L）（ 如） =如 ，所以，数列 % 也一定是等比数列。% an / bn % bn/b课本P 5 9的练习4已知数列 4 是等比数列，（ 1 ） =% % 是否成立？成立吗？为什么？（ 2 ） a ； = an_ia,l + l（ n 1 ） 是否成立

101、？你据此能得到什么结论？a： = an_kan + k （ Z 0 ） 是否成立？你又能得到什么结论？结论：2 .等比数列的性质：若 m+n = p +k , 则a , / ” 二在等比数列中，m+n = p +q , 。 加 ， 。 “ ， 。 ， 应有什么关系呢？由定义得：am = aq, n an = axq x ap = axqpx ak = ax - qkm .课堂练习课本P 5 9- 6 0 的练习3 、5I V . 课时小结1 、若 m+n = p +q , am - an =ap- aq2 、若 % , 是项数相同的等比数列，则 %, 、 2 也是等比数列b .V . 课后作业

102、课本P 6 0 习题2 . 4 A 组的3 、5 题板书设计 授后记课题： 2 . 5 等 此 散 列 的 的n顼4。授课类型：新授课（ 2课时）设计： 欧国茂教学目标知识与技能： 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路； 会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。教学重点等比数列的前n 项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题教学过

103、程I . 课题导入 创设情境 提出问题 课本P 6 2 “ 国王对国际象棋的发明者的奖励”n . 讲授新课 分析问题 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列， 我们可以得到一个等比数列， 它的首项 是 1 , 公比是2 , 求第一个格子到第6 4 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前6 4 项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。1 、等比数列的前n项和公式：当 时，=% （ 1一 / ） 或s“二a - a ”q 1 - q -q当 q = l 时，Sn = n a当已知外, q , n时用公式；当已知Q1 , q , 。 时，用公式.公式的推导方法一：一般地，设等比数列

104、为, 。 2 + 的， 它的前n 项和是= | + 2 + 3 + = Q + % +3 H- - -an得S2 n ) =Q + + 。 冈q Sn = aq + aq2 H a、q，(1 一q 电= a, - axqn. . 当q # l 时，SW) *1 q或 S 二一 Mi - q当 q = l 时，Sn - n ax公式的推导方法二：有等比数列的定义，= 2= = M = q 1 2 - 1H4- / 7 4- 4- / 7根据等比的性质，有 一- - - - - - - -Q + a2 4- - - - F Q 一 s . 一/S - a= qS - a即 = = (1 - q )

105、Sl t = 1 - anq (结论同上)S” 一斯围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.公式的推导方法三：Sn - 6 Z , + a , + a3 H an a , + q a + a2 + a3- an_t)= i + , 1 = 4| +q (S“ -% )= (1- 7)S =at - anq (结论同上) 解决问题有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。由 4 = l, q = 2, = 64 可得c q (i - q ) 1x(1- 2 ) . 64 ,I、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

106、/ . - I C2$4- 1这个数很大，超过了 1. 84x1()19。国王不能实现他的诺言。 例题讲解课本P65 - 66的 例 1、例 2 例 3 解略i n . 课堂练习课本P66的练习1、2、3I V. 课时小结等 比 数 列 求 和 公 式 ： 当 q=l 时 ， S = 当 qHl 时 ，S“ =叫一 “ 。 或i-qs “ =;- - - - - -i-qv . 课后作业课本P69习题A组的第1、2 题 板书设计 授后记课题： 2. 5 等 咙 散 列 的 的 n 女彳。授课类型：新授课（ 第 2 课时）教学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的

107、S“ , *, q , n , q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学， 对学生进行思维的严谨性的训练， 培养他们实事求是的科学态度.教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式教学难点灵活使用公式解决问题教学过程I . 课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：当 时，S“ = 一/ ） 或 S =幺二3 g -q -q当 q = l 时，5 “= /当已知为，q , n时用公式；当已知外, q , 4“ 时，用

108、公式n . 讲授新课1、等比数列前n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别是Sn , S2n , S3n ,求证：s+ st=sn（ s2 n+ s3n）设计： 龚圣龙2、设 a 为常数, 求数列a, 2a2, 3a , n a ,的前n 项和；(1) a=0 忖，SFO(2) a# 0 时，若 a = l ,则 Sn=l+2+3+n=gn(n - 1)若 aW l, S aS“=a ( l+a+a-na), Sn= -71 - (n + l)an + nan+1(1 -a)2m .课堂练习w .课时小结V . 课后作业板书设计 授后记课题：数列复习小结 - - - - - - - - -

109、- - - - - - - - - - - - -2 课时 : 设计：罗长青I _教学目的：1 . 系统掌握数列的有关概念和公式。2 . 了解数列的通项公式与前n 项和公式S ,的关系。3 . 能通过前n 项和公式S“ 求出数列的通项公式乙。授课类型：复习课课时安排：2 课时教学过程:一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列.(2)等差、等比数列的定义.(3)等差、等比数列的通项公式.( 4) 等差中项、等比中项.(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法.三、方法总结1 . 数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数

110、形结合的思想.2 . 等差、等比数列中，2 、a , n , d(g)、S“ “ 知三求二” ，体现了方程( 组) 的思想、整体思想，有时用到换元法.3 . 求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1 , 公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.4 .数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等.四、知识精要：1、数列a j S ( 1)S“ - S , i(2 2) 数列的通项公式a = 数列的前n项和S = ai+ a2+ ai+ - - - + a2、等差数列 等差数列的概念 定义 如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个

111、常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 等差数列的判定方法1 .定义法：对于数列 % ,若。 用 凡= 1 （常数） ，则数列 % 是等差数列。2 .等差中项：对于数列 % ,若= 4 + % + 2 ,则数列 4 是等差数列。 等差数列的通项公式如果等差数列 4 的首项是g,公差是d,则 等 差 数 列 的 通 项 为 =%+ （ -l） d。 说明 该公式整理后是关于n的一次函数。 等差数列的前n项和1. 2. S ,=呻 + 若 说明 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 等差中项如果a , A , b成等差数列，那么A叫做。与

112、b的等差中项。即：A = - 2 Aa + b2 说明 : 在个等差数列中，从第2项起，每 一 项 （ 有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质1 .等差数列任意两项间的关系: 如 果 。 ， 是等差数列的第九项，a,“ 是 等 差 数 列 的 第 项 ，且公差为d,则有+ （ 一 ? ）d2 .对于笔差数列 ，若n + m = p + q ,则 %+ %= “+4。a+ anr _- _人 _、_也就是：al+ a= a2+ a_l= a3+ an_2 =，如图所示：严2，。3,，, - 2，许-1 ,，

113、%3 .若 豳U % 是等差数列，5 是其前n项的和，kwN * ,那么Sk , S2k - Sk , Si k - S2k成等差数列。如下图所示:、a x+a2+a、 ,3 +- + akJ + ak+i +- + a2k + a2k+i+ + a3k、 _ J 、 _、 ， JSk s2k -sk S3k -S2k3 、等比数列 等比数列的概念 定义 如果一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表 示 ( 彳0 ) 。 等比中项如果在a与 之 间 插 入 一个数G,使a , G, b成等比数列

114、，那么G 叫做。与b的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么 = 2,即G2=ab。a G 等比数列的判定方法1 . 定义法：对于数列 % ,若 也 = q ( g # O ) , 则数列 % 是等比数列。an2 .等比中项：对于数列 % ,若 a/“ + 2 = a ； M，则数列 % 是等比数列。 等比数列的通项公式如果等比数列 % 的首项是外, 公比是q,则 等 比 数 列 的 通 项 为 = 。 口 、 等比数列的前n项和-2，14 . 若数列 4 , 是等比数列，S ,是其前n 项的和，k eN* ,那 么 臬 ，S2 k- Sk, 53* -$ 2* 成等比数列。如下图所示：S

115、*+a2+ a3+ - - - + ak +ak+ + . + a 2k + a2k + i + + a3k、 、 , J 、 , J 、 、 , JS kS2k Sk S 3 k -S 2 k4 、数列前n 项和( 1) 重要公式：1 C O ( +1)l + 2 + 3d n =- - - - - - - ;2p+22+32+.w2 = n ( n + l ) ( 2n + l )；6l3 + 23+ -n3 =4 ( + l ) 2.2( 2 ) 等差数列中，Sm + n = Sm + Sn + m n d 等 比 数 列 中 ，S , =Sn+ q Sm= Sm +qmSn( 4 )

116、裂项求和：一 - -= - 一一 ；( 川=( + 1) ! - ! )n (n + 1) n n +1第 三 束 不 等 式课题： 3.1不等式与不等关系第 1 课时授课类型：新授课【 教学目标】1 . 知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（ 组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2 . 过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3 .情态与价值： 通过解决具体问题， 体会数学在生活中的重要作用， 培养严谨的思维习惯。【 教学重点】用不等式（ 组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（ 组）研究含有不等关系

117、的问题。理解不等式（ 组）对于刻画不等关系的意义和价值。【 教学难点】用不等式（ 组）正确表示出不等关系。【 教学过程】设计： 欧国茂1-课题导入在现实世界和日常生活中， 既有相等关系， 又存在着大量的不等关系。 如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。2.讲授新课1 ) 用不等式表示不等关系引例1邛 速 4 0 k m / h 的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v 不超过

118、4 0 k m / h ,写成不等式就是：v 4 0引 例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2 . 5 % , 蛋白质的含量p应不少于2 . 3 % 写成不等式组就是用不等式组来表示7 2 . 5 %2.3%问题1 ：设点A与平面a的距离为d , B 为平面a上的任意一点，则dMABI 。问题2 ：某种杂志原以每本2 . 5元的价格销售，可以售出8 万本。据市场调查，若单价每提高 0. 1 元，销售量就可能相应减少2 000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2 0万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为( 8-土x -2浸 5

119、x 0. 2 ) x 万元，那么不等关系“ 销售的总收入仍不低于2 0万元”可以表示为不等式r- 2 5( 8-x 0. 2 ) x 2 0问题3 ：某钢铁厂要把长度为4 000m m 的钢管截成5 00n m 和 6 00m m 两种。按照生产的要求，6 00m m 的数量不能超过5 00m m 钢管的3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得5 00 m m 的 钢 管 x 根，截得6 00m m 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系：( 1 ) 截得两种钢管的总长度不超过4 000m m ;( 2 ) 截得6 00m m 钢管的数量不能超过5 00m m 钢管数量

120、的3 倍；( 3 ) 截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：, 5 00x + 6 00y y ；x 0;y 0.3 .随堂练习1 、试举儿个现实生活中与不等式有关的例子。2 、课本P 82 的练习1 、24 .课时小结用 不 等 式 ( 组 ) 表 示 实 际 问 题 的 不 等 关 系 ，并 用 不 等 式 ( 组 ) 研 究 含 有 不 等 关 系 的 问 题 。5.评价设计课 本P83习 题3. 1A组 第4、5题【 板 书 设 计 】【 授 后 记 】设计： 欧国茂第2课时授 课 类 型 ：新授课【 教 学 目 标 】1 .知识与技能

121、：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2 .过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方 法 ；3 . 情 态 与 价 值 ：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【 教 学 重 点 】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【 教 学 难 点 】利用不等式的性质证明简单的不等式。【 教 学 过 程 】1.课 题 导 入在 初 中 ，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。(1 )不等式的两边同时加上或减去同一个 数 ，不等号的方向不改变；即 若 。 b = a+c b+c(2 )不

122、等式的两边同时乘以或除以同 个正数，不等号的方向不改变；即 若a 瓦c0 n ac be(3 )不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即 若a b,c ac 0,a+ c b + c2) (a + c) - (b + c) = a - b 0,a + c b + c .实际上，我们还有Q c = Q C ,（ 证明：二 ”,，bc ,. . a- b0 , b c 0 .根据两个正数的和仍是正数，得( ab) + ( bc ) 0 ,即 ac 0 ,Aac .于是，我们就得到了不等式的基本性质：( 1 ) a b , b c a c( 2 ) a b = a + c b +

123、c( 3) a b , c 0 ac b e( 4) a h .c ac b , c d na + c b + d ；( 2 ) a h O, c d O ac h d ；( 3) a b O, n e N, n a1 1 hn y a y h o证明：1 ) V ab,. , . a+ c b +c .V c d ,I. b+c b+d .由、得 a+ c b + d .a b,c 0 = ac be2 ） = ac bdc d ,b 0 = be bd3）反证法）假设标，y/a y/b = a b矛盾,y/a = y/b = a = h：./a4b . 范例讲解 :例1、已知a b 0 ,

124、c Oa b证明：以为a bO ,所以ab0, -0。ab于是 a x hx ,即ab ab b a由 c a b3 .随堂练习11、课本P82的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1) ( Vs + 6 +2 V6 ；(2) ( V3 V2 ) 2 ( V6 I)? ；(4)当 ab0 时，log a log J,2 2答案： v (2) (3) (4) 补充例题例 2、比较(a+3) (a5 )与(a+2) ( a - 4 )的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开,合并同类项之后，判断差值正负( 注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少

125、，在这里无关紧要) 。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：(a+3) Ca 5 ) (a+2) (a4)=(a2- 2 a - l 5 ) 一 (a2- 2 a - 8 )= - 7 0： 设计：薛靖I_!( a+ 3) ( “ - 5 ) ( a+ 2 ) ( a4)随堂练习21、 比较大小：( 1 ) ( A- + 5) ( x + 7 )与( x + 6 ) 2( 2 ) x2 + 5x + 6与2 x ? + 5x + 94 .课时小结本节课学习了不等式的性质， 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式， 还研究了如

126、何比较两个实数( 代数式) 的大小作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论5 .评价设计课本P8 3习题3. 1 A组 第2、3题； B组 第1题【 板书设计】课题： 3. 2元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课【 教学目标】1 .知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法， 培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2 .过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过

127、程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3 . 情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【 教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。【 教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。【 教学过程】L课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P 8 4互联网的收费问题教 师 引 导 学 生 分 析 问 题 、 解 决 问 题 ， 最 后 得 到 一 元 二 次 不 等 式 模 型 ：x1 -5 x 0 . . . . . . . . .

128、 . .(1 )2讲授新课1) 一元二次不等式的定义象x 2 - 5 x 0这样，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2 )探究一元二次不等式/-5x0的解集怎样求不等式(1 )的解集呢？探究：(1 )二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：X,= 0,X2=5二次函数有两个零点：X,= 0,X2=5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 J(2 )观察图象，获得解集 A人画出二次函数y = /-5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 2 |当x 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y 0 ,即5 x 0 ；当0x 5时，函数

129、图象位于x轴 下 方 , 此 时 ,y0 ,即5 x 0 ；所以，不等式/-5犬0的解集是 x lO x 0 , (a 0 )或+ 4 x + c 0 )一般地，怎样确定一元二次不等式a x ? + h x + c 0与a x ? + b x + c 0 )与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程a / + 6 x + c = 0的判别式 = / 一 4 a c三种取值情况( 0 , A = 0 , A 0 )来确定. 因此，要分二种情况讨论(2 ) a 0分 (), A = 0 , x + c 0与a x ? + 6 x + c O s K a x2 + b x + c O (a

130、 = O )的解集：设相应的一元二次方程a r ? + b x + c = 0 (a工0 )的两根为修、且 不 0A = 0A 0 ）的图象y = ax2 +fex + cy = ax2 +bx-c肛y = ax2 +bx-cV- - - - X一元二次方程ax2 + bx + c -0(a0粕 根有两相异实根x1,x2x 0（ Q0）的解集卜或x /b 2aRax2 + Ox + c 0 ）的解集卜归 x 0的解集.解：因为 = ( ) , 方 程4 x 2 4 x + l = 0的 解 是 玉 = 、2 =；.所以，原 不 等 式 的 解 集 是x-2例3 ( 课本第8 8页) 解不等式-

131、/ + 2 % - 3 0 .解：整理，得尤2 -2X + 30.因为( ) , 方 程 2一2+ 3 = 0无实数解,所 以 不 等 式 2x + 3 0 （ 或 0 ）计算判别式 , 分析不等式的解的情况：i . A 0 时, 求根x , x2, 若A0 ,若A 0 ,贝卜 x2；则X x 0,则x w /的一切实数;ii. A = 0 时 , 求 根 X | = X 2 = x （） ,“ 若A 0,则xe 0；若A M0,则x = x （） .iii. A 0 时, 方程无解，0,则xe R ；. 若A 3 9 . 52 0 1 80移项整理得：X2+9X-71100显然 0,方程x

132、? +9 x - 71 1 0 = 0有两个实数根，即%= 88. 9 4 , % = 79 . 9 4。所以不等式的解集为 x l x 79 . 9 4 在这个实际问题中，x 0 ,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79 . 9妹m / h .例4、一个汽车制造厂引进了 一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（ 辆）与创造的价值y （ 元）之间有如下的关系：y = -2x2+220x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 0 0元以匕 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到- 2 x2+ 2 2 0 %

133、60 0 0移项整理，得X2-110X + 3000 0 ,所以方程/1 1 O x + 3 0 0 0 = 0有两个实数根% , = 5 0 , x2 = 60由二次函数的图象，得不等式的解为：5 0 x 0的解集为 x l - l x： ，求a b ? 应 用 二 （ 一元二次不等式与二次函数的关系）例：设4 = % 1丁 -4 % + 3 0 , 8 = 1 | 2 x + a 8 W 0 ,且 求 a 的取值范围.改：设尤2 - 2 x + a - 8 4 0对于一切x e （ l , 3 ）者B成立，求a的范围.改：若方程/ 一2 x + a - 8 = 0有两个实根看, ，且玉2

134、3 , x2 1 ,求a的范围.随堂练习21、 已知二次不等式水2 +汝 + ，0的 解 集 为 x l x 0 的解集.设计：陈 莉 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _!2、若 关 于 机 的 不 等 式 加（2z + l） x + z 1 2 0 的解集为空集，求加的取值范围.改 1：解集非空改 2：解集为一切实数4 .课时小结进 步 熟 练 掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系5 .评价设计课本第89页的习题3. 2A组第3、5 题【 板书设计】课题： 3. 3 .1二元一次不等式（ 组 ）与平面区域第 1 课时授课类型：新授课【

135、 教学目标】1 . 知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2 .过程与方法： 经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程， 提高数学建模的能力；3. 情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。【 教学重点】用二元一次不等式（ 组）表示平面区域；【 教学难点】【 教学过程】1.课题导入1 . 从实际问题中抽象出二元一次不等式（ 组）的数学模型课本第91页 的 “ 银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2 .讲授新课1 . 建立二元一次不等式模型把实

136、际 问 题 包数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。（ 把文字语言 转化 符号语言）（ 资金总数为 25 000 000 元）n x + y K 25000000 （ 1）（ 预 计 企 业 贷 款 创 收 1 2 % ,个 人 贷 款 创 收 1 0 % ,共 创 收 30 0 0 0 元 以 上 ） n（ 12%） x+（ 10%） y 30000 即 12x + 10 3000000( 2 )（ 用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）x 0,y 0 ( 3 )将 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）合在一起，得到分配资金应满足的条件:x+y 3000000

137、x 0, y 02 .二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（ 1 ）二元次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1 的不等式叫做二元一次不等式。（ 2 ）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（ 3 ）二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式（ 组）的 x 和 y 的取值构成有序实 数 对 （ x, y） ,所有这样的有序实数对（ x, y）构成的集合称为二元诙不等式（ 组）的解集。（ 4 ）二元一次不等式（ 组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（ 组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可

138、以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（ 组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3 . 探究二元一次不 等 式 （ 组）的解集表示的图形（ 1 ）回忆、思考回忆：初中一元一次不 等 式 （ 组）的解集所表示的图形数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（ 组）的解集表示什么图形？（ 2 ）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x- y 6 的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x- y= 6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类:第二类:第三类:在直线x- y= 6 上的点；在直线x- y= 6 左上方的区域内的点;在直线x- y= 6 右

139、下方的区域内的点。设点是直线x- y= 6 上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x- y 6 , 请同学们完成课本第 9 3 页的表格，横坐标X- 3- 2- 10123点 P的纵坐标y点 A的纵坐标为并思考：当点A与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说, 直线x- y= 6 左上方的坐标与不等式x- y 6 有什么关系？直线x- y= 6 右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x- y 6 的解为坐标的点都在直线x- y= 6的左上方；反过来，直线x- y= 6 左上方的点的坐标都满足不等式x- y 6 表示直线x- y=

140、 6 右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（ 3 ）结论：二元一次不等式A x By OQ在平面直角坐标系中表示直线4 户 即 00某侧所有点组成的平面区域. （ 虚线表示区域不包括边界直线）4 .二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线力广如俏0同一侧的所有点（ x , y ） ,把它的坐标（ 乂丁） 代 入 4廿 场 4所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ 版, ，从A x By C的正负即可判断 八 + 所 。 0 表示直线哪一侧的平面区域.（ 特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）【 应用举例】例 1画出不等式x +

141、4y 4 表示的平面区域。解：先画直线x + 4） ， = 4 （ 画成虚线）.取 原 点 （ 0 , 0 ） , 代 AX + 4y- 4, / 0 + 4X0 - 4= - 4 0 , 底 二 :o I 2 ） 4 “ y4. 原点在x + 4y 4 表示的平面区域内，不等式X + 4） ， 4 表示的区域如图：归纳： 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“ 直线定界， 特殊点定域” 的方法。 特殊地，当C/0时，常把原点作为此特殊点。变 式 1 、画出不等式4 x - 3 y 4 1 2 所表示的平面区域。变式2、画出不等式x 2 1 所表示的平面区域。y 3x + 1 2例 2 用平面

142、区域表示. 不等式组r 的解集。x2y分析： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解 ：不 等 式 y - 3 x + 1 2表 示 直 线 y = - 3x + 1 2 右下方的区域， x2 y表示直线x = 2 y 右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式 J分一所表示的平面区域的公共部分。变 式 1 、画出不等式（ x + 2y + l ） （ x - y+ 4） 0表示的平面区域。变式2、由直线x + y

143、 + 2 = 0 , x + 2y + l=0和 2x + y + l = 0围成的三角形区域（ 包括边界）用不等式可表示为3.随堂练习1 、课本第9 7 页的练习1 、2、34.课时小结1 .二元一次不等式表示的平面区域.2 .二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法.3 .二元一次不等式组表示的平面区域.5 .评价设计课 本 第1 0 5页 习 题3. 3 A 组 的 第1题【 板 书 设 计 】课题：3.3.1二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ）与平面区域第2课时授课类型：新授课设计： 谭廷文【 教 学 目 标 】1 .知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；

144、能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2 .过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3 . 情 态 与 价 值 ：结合教学内容，培 养 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 和 “ 用数学”的意识，激励学生创 新 。【 教 学 重 点 】理解二元 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 并 能 把 不 等 式 （ 组 ）所表示的平面区域画出来；【 教 学 难 点 】把实际问题抽象化，用 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ）表示平面区域。【 教 学 过 程 】1 .课题导入 复习引入二元 一 次 不 等 式A x B y O Q在 平 面 直 角

145、坐 标 系 中 表 示 直 线 某 一 侧 所 有 点 组成的平面区域.（ 虚线表示区域不包括边界直线）判 断 方 法 ： 由 于 对 在 直 线A x + B （ =0同 一侧 的 所 有 点（ x , y ） ,把 它 的 坐 标（ x , y ）代入Ax C ,所得到实数的符号都相同，所 以 只 需 在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 特 殊 点 （ 刘, % ） , 从力加+ 旗+C的 正 负 即 可 判 断1/研S 0表示直线哪 侧 的 平 面 区 域 . （ 特 殊 地 ，当 今0时,常把原点作为此特殊点） 。随 堂 练 习 11、画 出 不 等 式2无+ 尸6 0表示的平面区

146、域. X * 京/【 应用举例】例3某 人 准 备 投 资1 2 0 0万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数 据 表 格 （ 以班级为单位） ：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/ 万元教师年薪/ 万元初中4 522 6/班2/ 人高中4 035 4/ 班2/ 人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班X个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在2 0 - 3 0之间,所以有2 O 4 x + y W 3 O考虑到所投资金的限制，得至U 2 6x + 5 4 y + 2 x 2 x + 2 x 3 y W 1 2 0 0即x + 2 y 4 0另

147、外，开设的班数不能为负，则x N O , y N O把上面的四个不等式合在一起，得到：2 0 x + y 3 0x + 2 y 0y 0用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（ 阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生 产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐1 8 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐I t ,硝酸盐1 5 t ,现库存磷酸盐1 0 t J 盐66t ,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画H ；相应的平面区域。解：设x , y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：4 x + y 1 01 8 x + 1 5 y

148、 0y 0在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（ 阴影部分） 。 补充例题例1、画出下列不等式表示的区域( 1 ) ( x - y ) ( x - y - l) 0 ； ( 2 ) x | y | 0 f % y 0解：（ 1 ） 或 矛盾无解， 故点（ 犬 ,y ）在一带形区域内x - y 1（ 含边界） 。（ 2 ）由x W 2 x ,得x20；当y0时 有 产 一点（ x , y ）在一条形区域内（ 边界） ；2 x - y 0当yVO,由对称性得出。指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解2 x - y - 3 0例2、利用区域求不等式组，2 x + 3 y - 6 0的整

149、数解3 x - 5 y - 1 5 0分 析 ：不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线L : 2 x y 3 = 0 , /2 : 2 x + 3 y - 6 = 0 ,。： 3 x - 5 y 1 5 = 0所围成的三角形区域内部( 不含边界) 。设/ 1 C / 2 =A ，/ , n/3 = B ,l2 nZ3 = C,求得区域内点横坐标范围， 取出x的所有整数值， 再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的y的整数值。解 ：设 乙： 2 % y 3 = 0 , 12 : 2 x + 3 y -6 = 0 ,a： 3 x - 5 y 1 5 = 0 , r yl2 =

150、 A ,1 5 3 7 5 1 2ICB , l2n l3= C, B ( 0-3 ) , C ( f ,-丁 ) 。于是看出区域内点的y -1横坐标在( 0,看7 5 ) 内 ，取x = l , 2, 3,当x = l忖 ，代 入 原 不 等 式 组4有 0 , ) | x | +1 ； ( 2) . | x | | y | ； ( 3 ) . x | y |x + y -6 0x v 2 02 . 画出不等式组 表示的平面区域”3x 0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（ 组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟 记 “ 直线定界、特殊点定域”方法的内涵。2 .讲

151、授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个 A配件耗时 T h ,每生产一件乙产品使用4 个 B配件耗时2 h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个 A配件 和 1 2 个 B配件，按每天8 h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（ 1 ）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：x + 2 y 84 x 0y 0（ 2 ）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（ 坐标

152、为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（ 3 ）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（ 4 ）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z, 则 z必 + 取 这 样 ， 上述问题就转化为：当 x , y满足不等式（ 1 ）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把 z= 2 r + 3 y变形为y = -2 x + 7- ,这是斜率为-2一 ，在 y 轴上的截距为 74 的直线。当 z3 3 3 3变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给2 Q 7定一个点，（ 例 如

153、 （ 1 , 2 ） ） ,就能确定一条直线（ y = -x + ） ,这说明，截距三可以由3 3 3平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 三与不等式组（ 1 ）的区域的3 3交点满足不等式组（ 1 ） ,而且当截距（最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线y = 2 x + Z与不等式组（ 1 ）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P, 啮冰二3 3年J -使直线经过点P 时截距三最大。3（ 5 ）获得结果：由上图可以看出， 当实现y = + ：金国直线x = 4 与直线x + 2 y- 8 = 0 的交点M （ 4 , 2 ）171 4时，截距工的值最大，最大值为

154、上 ，这 时 2 x + 3 y= 1 4 . 所以，每天生产甲产品4件，乙产品3 32 件时，工厂可获得最大利润1 4 万元。2 、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的 一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z= 2 x + y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解( X J ) 叫可行解.由所有可行解组成的集

155、合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.3 、 变换条件，加深理解探究：课本第1 0 0 页的探究活动( 1 ) 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换儿组数据试试。(2)有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？3 .随堂练习1 . 请同学们结合课本儿- 练 习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题. S( 1 ) 求旅2 9y的最大值，使式中的x 、y满足约束条件 x + y 4 l , Vy z - i . , ,_ 6- 2 - 1 /解：不等式组表示的平面区域如图所示：

156、啊 : 当 ； r=0 ,片0 时，z = 2x+ y= 0点 ( 0 , 0 )在 直 线 ： 2 % + 尸。上 .作一组与直线平行的直线I :2x+ y= t , tGR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于/ 的直线中，以经过点A ( 2 , - 1 ) 的直线所对应的， 最大. 所以 Z M2X2 - 1 =3 . 触 堤 R( 2 ) 求 北 3 户5 y 的最大值和最小值，使式中的x 、y满足约束条件 ，5 x + 3 y 3 .解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直 线 3 / 5 片力在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点( - 2 ,

157、- 1 ) 的直线所对应的t最小，以经过点( 二9 ,：1 7)的直线所对应的t8 8所以 z 而 产 3 X ( - 2 ) + 5 X ( - 1 ) =7 1 .9 1 7Z re x =3 X + 5 X =1 48 84 .课时小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:（ 1 ）寻找线性约束条件，线性目标函数；（ 2 ）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（ 3 ）在可行域内求目标函数的最优解5 .评价设计课本第1 0 5 页习题 A 组的第2题 .【 板书设计】课题： 3 . 3 . 2简单的线性规划第 4 课时授课类型：新授课【 教学目标】1 .知识与技能：掌握线性规划

158、问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2 . 过程与方法： 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程， 提高数学建模能力；3 . 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【 教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解：【 教学难点】把实际问题转化成线性规划问题， 并给出解答， 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。设计： 谭廷文【 教学过程】1 .课题导入 复习引入 :1 、 二元一次不等式A x+ By+ C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax + 8 y

159、 + C =0 某一侧所有点组成的平面区域（ 虚线表示区域不包括边界直线）2 、目标函数，线性目标函数，线性规划问题， 可行解，可行域，最优解：2 .讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 范例讲解例5 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供0 . 0 7 5 k g的碳水化合物，0 . 0 6 k g的蛋白质，0 . 0 6 k g的脂肪，1 k

160、g食物A 含有0 . 1 0 5 k g碳水化合物,0 . 0 7 k g蛋白质，0 . 1 4 k g脂肪，花费2 8 元；而 1 k g食物B含有0 . 1 0 5 k g碳水化合物，0 . 1 4 k g蛋白质，0 . 0 7 k g脂肪，花费2 1 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B多少 k g?指出： 要完成一项确定的任务, 如何统筹安排, 尽量做到用最少的资源去完成它, 这是线性规划中最常见的问题之一 .例6 在上一节例3中， 若根据有关部门的规定， 初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初

161、中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？指出： 资源数量定, 如何安排使用它们， 使得效益最好, 这是线性规划中常见的问题之结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解， 无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：( 1 )寻找线性约束条件，线性目标函数；( 2 )由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；( 3 )在可行域内求目标函数的最优解3 .随堂练习课本第103页练习24 .课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，

162、用图解法求得数学模型的解, 即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解, 最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。5 .评价设计课本第105页习题3. 3A组的第3题【 板书设计】授课类型：新授课课题：3. 3. 2简单的线性规划第5课时设计： 欧国茂【 教学目标】1 .知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2 .过程与方法： 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程， 提高数学建模能力；3 . 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德

163、。【 教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【 教学难点】把实际问题转化成线性规划问题， 并给出解答， 解决难点的关键是根据实际问题中的己知条件，找出约束条件和1 = 1标函数，利用图解法求得最优解。【 教学过程】1.课题导入 复习引入 :1 、 二元 一次不等式A x+ By+ C 0在平面直角坐标系中表示直线A x+ By+ C= O某一侧所有点组成的平面区域( 虚线表示区域不包括边界直线)2 、目标函数，线性目标函数，线性规划问题， 可行解，可行域，最优解：3 、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：2.讲授新课1 .线性规划在实际中的应用：例7 在上一节例4中，若生产1 车

164、皮甲种肥料，产生的利润为1 0 0 0 0 元；生 产 1 车皮乙种肥料， 产生的利润为5 0 0 0 元， 那么分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2 .课本第1 0 4 页 的 “ 阅读与思考”错在哪里？若实数X , 满足1 x + v K 3 , 求 4 x + 2 y 的取值范围.错解：由、同向相加可求得：0 2 x W 4 即 0 W 4 x W 8 由得 一IWy-xWl将上式与同向相加得0 W 2 y W 4 十 得 0 W 4 X 十 2 y W 1 2以上解法正确吗？ 为什么？( 1 ) 质疑 引导学生阅读、讨论、分析. 辨析 通过讨论， 上述解法中, 确

165、定的0 W 4 x W8及0 W 2 y W4是对的， 但用X的最大( 小)值及的最大( 小) 值来确定4 x 十 2 y的最大( 小) 值却是不合理的. X 取得最大( 小) 值时，y并不能同时取得最大( 小) 值。由于忽略了x和 y的相互制约关系，故这种解法不正确.( 3 ) 激励 产生上述解法错误的原因是什么? 此例有没有更好的解法? 怎样求解？正解：因为 4 x + 2y = 3 (x + y ) + (x - y )且由已有条件有： 3 4 3 (x + y )4 9 (5 )- 1 x - y 1 (6 )将 (5 ) (6 )两式相加得 2 4 4 x +2y = 3 (x +

166、y ) + ( x - y ) 4 1所以 2 4 4 x + 2 y 4 1 03.随堂练习1x + y 21、求 =一了的最大值、最小值，使 x 、 y 满 足 条 件 20y 0x -4 y -32、设 z = 2x + y , 式中变量x 、 y 满足 - 3x + 5y l4 .课时小结 结论一 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. 结论二 线性目标函数的最大值、 最小值也可能在可行域的边界上取得， 即满足条件的最优解有无数多个.5 .评价设计课本第105页习题3. 3 A 组的第4 题【 板书设计】课题： 3. 4 基 本 不 等 式 疝 W土 史2第 1课时授课

167、类型：新授课【 教学目标】1 . 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理 中 的 不 等 号 取 等 号 的 条 件 是 ：当且仅当这两个数相等；2 . 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3 . 情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【 教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式，石 丝 2 的证明过程；2【 教学难点】设计： 罗长青基 本 不 等 式 等号成立条件2【 教学过程】1 .课题导入基 本 不 等 式 疝 l a b。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a = b 时 ，正 方 形 EFG

168、H缩为一个点，这时有a2 + b2 = 2ab。2 .得到结论：一般的，如果a,eR,那么小 + 2 2 2 ( 当 且 仅 当 。=6时取 = 号)3 .思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 a2 + b2- 2ab = (a- b )2当a H 时加6) 2 0 , a = b ,( a 6) 2 = 0 ,所以，( a ： ) ? NO, g | J ( a2 + b2) 2ab .4. 从几何图形的面积关系认识基本不等式疝空2特别的，如果a 0 ,如0 ,我们用分别代替a 、b , 可得a+ 6 N 2 疝 ,通常我们把上式写作： 而 0 ,b 0 )2 )从不等式的性质推导基本不

169、等式J 茄 丝 22用分析法证明：要证 -4 a b ( 1 )2只要证 a + b _ _ _ _ _ _ ( 2 )要 证 ( 2 ) ,只要证 a + b - _ _ _ _ _ _ _ 0 ( 3 )要 证 ( 3 ) ,只要证 ( _ - _ ) 2 ( 4)显然，( 4) 是成立的。当且仅当a = b 时( 4 ) 中的等号成立。3 )理解基本不等式J 拓 0, 0, x0, y 0, 70, y0y % 三+ 2 2 2 库 = 2即三+ 2 2 .y x y y x y x x+ y22、 +“N2jx2y2 o历00A (x+y) ( / + / ) ( / + 7 ) 2

170、2而 2dx2y2 . 27%33 = 8 x3/即( x+y) ( / + / )( /+ 7 )3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证(a+6) (6+c) (c+a) 8 abc分析：对于此类题目，选择定理：空 之 疝( a0, 6 0 )灵活变形，可求得结2果 .解：b, c都是正数，a +后2疝0b + c 2y b c 0c+ a 2 ac 0/. ( a + 6) (b + c) ( c + a ) 2 2 2y h c 2y ac = 8 ab c即( a + b ) (b + c) ( c + z ) 8 ab c.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2 + Z

171、 /2 2公；两正数a、6的算术平均数（ 空 ） ,2几何平均数（J拓 ） 及它们的关系（ 幺 心 J拓 ） .它们成立的条件不同， 前者只要求a、26都是实数，而后者要求a、6都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（ 下一节我们将学习它们的应用） .我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab Wa2+ b2, _ , a + bab W (-)- -2-.2 25.评价设计课本第113页习题 A 组的第1题【 板书设计】课题： 3 . 4基 本 不 等 式 巴 史2第2课时授课类型：新授课【 教学目标】1 .知识与技能： 进一步掌握基本不等式疝 丝2；会应用此不

172、等式求某些函数的最值；2能够解决一些简单的实际问题2 .过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式J拓43心 ，并会用此定2理求某些函数的最大、最小值。3 .情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【 教学重点】基本不等式J茄 2 7 10 0 , 2 (+ 、 )2 4 0 。 等号当且仅当乂= 丫时成立， 此时* = 丫= 10 .因此，这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是4 0 m .(2 )解法一：设矩形菜园的宽为x m,则 长 为 (3 6 2 ” ) m,其 中 0Vx ,，

173、其2面积 S = x (3 6 2 x ) 2x (3 6 2 % ) (2 + %_名 y=3_2 2 2 8当且仅当2 r = 3 6 2 x , 即x=9忖菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最大为8 1 m2解法二：设矩形菜园的长为x m ., 宽为y m , 则 2 (x + y )= 3 6 , x + y = 18 , 矩形菜园的血积为x ym?。由- J xy = = 9 可得 孙 240000 + 720 x 2卜 = 240000 + 720x2x40 = 297600当x =图2 ,即* = 40时， / 有最小值2976000.x因此，当 水 池 的 底 面

174、 是 边 长 为4 0 m的正方形时，水池的总造价最低，最 低 总 造 价 是2 9 7 6 0 0元评 述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归 纳 ：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：( 1 )先理解题意，设变量，设 变 量 时 速 把 要 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 为 函 数 ；( 2 )建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；( 3 )在定义域内，求出函数的最大值或最小值；( 4 )正确写出答案.3.随堂 练 习Q 11 . 已

175、 知 反0,当X取什么值时，/+与 的 值 最 小 ? 最 小 值 是 多 少 ？2 .课 本 第1 1 3页 的 练 习1、2、3、44 .课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：( 1 )函数的解析式中，各项均为正数：( 2 )函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；( 3 )函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取 等 。5 .评价设计课 本 第1 1 3页 习 题 A

176、组 的 第2、4题【 板 书 设 计 】课题： 3 .4基 本 不 等 式 而 三 巴 电2第3课时授课类型：习题课【 教学目标】1 .知识与技能：进一步掌握基本不等式疝小；会用此不等式证明不等式， 会应用此2不等式求某些函数的最值， 能够解决一些简单的实际问题；2 .过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式J拓 W空并会用此定理求2某些函数的最大、最小值。3 . 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【 教学重点】掌握基本不等式，石4丝2 ,会用此不等式证明不等式， 会用此不等式求某些函数的最值2【 教学难点】

177、利用此不等式求函数的最大、最小值。【 教学过程】L课题导入1 .基本不等式：如果a, b是正数，那么痴（ 当且仅当a = b时取 = 号） .2 .用基本不等式，石 竺2求 最 大 （ 小）值的步骤。22.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式24例1已知m0,求证- - -1 - 6m 24。m 思维切入 因为m0,所 以 可 把2二4和6m分别看作基本不等式中的a和b ,直接利用基本不m等式。 证明 因 为m0,由基本不等式得设计： 谭廷文 + 6 /n 2 x x6m =2724x6 = 2x12 = 24m v m24 ,当且仅当一=6 m，即m=2时，取等号。m24规律技巧总结 注意：

178、m0这一前提条件和一x6m =144为定值的前提条件。m3.随堂练习1 思维拓展1已知a, b, c, d都是正数，求证(ab + cd)(ac + b d) 4ab ed . 思维拓展2 求证( 6 Z2 + b2 ) ( C2 + /) 2 ( o c +仇/ ) 2 .4例2求证： - - - - -a 7 .a 3 思维切入 由于不等式左边含有字母a ,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母4 4a ,而左边 + 。= + ( 。- 3 ) + 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证.C L 3 Q 3 证明 白 + 3 =白 +( 4 3 ) + 3 2 2 /吃(。-3 )

179、 +3 = 24 + 3 = 74当且仅当二一二a - 3即a = 5时， 等号成立.3规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2 )利用不等式求最值9例3 ( 1 )若x 0 ,求/ ( x ) = 4 x + 的最小值；x9( 2 )若x 0和4X X2=36两个前提条件； 中x 0来转化.x解1)因 为x 0由基本不等式得9/9 I 9 3 9/ ( x ) = 4 x + 2 2 j 4 / + = 2 j 3 6 = 1 2 ,当且仅当4 1 = 即 x = - 8 t , x ) = 4 x + 取x x x 2 x最小值1 2 .因为 x 0 ,由基本不等式得：-

180、/ ( % ) = - ( 4 x + 2 ) = ( - 4 % ) + ( - - ) 2 J ( - 4 x ) - ( - - ) = 2 病= 1 2 ,x x v x所以 / ( x ) 5 )的最小值.x-52 Q 思 维 拓 展2若x0, y0,且 一 + = 1,求xy的最小值.% y4 .课时小结用 基 本 不 等 式 疝 4证明不等式和求函数的最大、最小值。25 .评价设计1 .证 明 ：a2 +b2 +2 2 a + 2b2 .若x - 1 ,则x为 何 值 时x + 有最小值，最小值为几?X + 1【 板 书 设 计 】课题： 不等式复习小结授 课 类 型 ：复习课【

181、 教 学 目 标 】; 设计：陈莉I_ !1 .会 用 不 等 式 （ 组 ）表示不等关系：2 .熟悉不等式的性质，能 应 用 不 等 式 的 性 质 求 解 “ 范围问题” ，会用作差法比较大小;3 .会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4 .会 作 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5 .明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。【 教 学 重 点 】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用 二 元 一 次 不 等 式 （ 组 ）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不

182、等式的应用。【 教 学 难 点 】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用【 教 学 过 程 】1 .本章知识结构不等支系， ， 不等一元二次不等式及其髀法二元一次不等式 | w本不等大（ 组 ） 与平面区域2.知识梳理（ - ）不等式与不等关系1、应 用 不 等 式 （ 组 ）表示不等关系;不等式的主要性质：（ D 对称性：a b = b a|加 中 的 秋 性 战 蚓 何 的 | | H火 b , b c =a c( 3 )加法法则：ab=a + cb + c； a b,c d a + cb + d( 4 )乘法法则：a b,c 0 ac be ； a b,c

183、 0 ac b 0,c d 0 ac bd( 5 )倒数法则：a b,ah 0 a b( 6 )乘方法则：a b 0 n a e N *且 1 )( 7 )开方法则：a b O n H 限n G N * 旦n 1)2、 应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、 应用不等式性质证明(二) 一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx + c 0或a x 2 +么+ c 0A = 0A 0)的图象y = ax2 + Z ? x + c廿*y = ax2 + + c肛y = ax2 + b x + cu-X一元二次方程ax2 +bx + c = Q( a 0粕根有两相异

184、实根X , , X2( X j 0( 0 )的解集( x |x X22aRax2 + 0 x + c 0 )的解集% ! % 1 X 0 在平面直角坐标系中表示直线 / 册00某一侧所有点组成的平面区域.（ 虚线表示区域不包括边界直线）2 、二 元 次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线4 广如信0同一侧的所有点（ x , y ） ,把它的坐标（ x , y） 代 入 / 广 的 C ,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ 的 ，从A x By C的正负即可判断A x+ Bp - C 0 表示直线哪一侧的平面区域.（ 特殊地，当 （ 7 # 。时，常把原点作为此

185、特殊点）3 、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x 、y 的一次式z= 2 x + ） ， 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（ x , y ）叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4 、求线性目标函数在线性约束条件下的最优

186、解的步骤：（ 1 ）寻找线性约束条件，线性目标函数；（ 2 ）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3 ）在可行域内求目标函数的最优解（ 四）基 本 不 等 式 痴 巴 也21 、如果a , b 是正数，那 么 卓 女 2府（ 当且仅当。= 匕时取 = 号） .2 、基本不等式J 茄 W 竺 几 何 意 义 是 “ 半径不小于半弦”23.典型例题1 、用不等式表示不等关系例 1 、某电脑用户计划用不超过5 0 0 元的资金购买单价分别为6 0 元、70 元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。例 2 、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料

187、用奶粉、咖啡、糖，分别为9 g 、4 g 、3 g ；乙种饮料用奶粉、 咖啡、 糖， 分别为4 g 、 5 g 、 5 g . 已知买天使用原料为奶粉3 6 0 0 g , 咖啡2 0 0 0 g , 糖 3 0 0 0 g 。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。2、 比较大小例 3 ( V 3 + V 2 ) 2 6 + 2 后；(2) ( V3 V2 ) 2 (网I) ?；(4)当 ab0 时，log a log ( b22(5) (a+3) ( a - 5 ) ( a + 2 ) (a-4)( 尤2+ 1x4+ x2+ 3、利用不等式的性质求取值范围例 4 如果3 0 x

188、 4 2 , 1 6 y 2 4 ,则(1) x + y 的取值范围是, (2) x 2 y 的取值范围是,X( 3 ) H 的取值范围是, (4) 一的取值范围是例 5 已知函数 / (x) = a / ， 满足 一 4 4 / W - 1 , 一 1V / (2) V 5 ,那么/(3 )的取值范围是. 思维拓展 已知一1 - l a - b 0； (2) -x2+ 8 x -3 0例 7 已知关于x 的方程(k-l)x2+(k+l)x+k+l=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围5 、 二元一次 方 程 （ 组）与平面区域例 8画出不等式组x + y -6 0X - y 0表示的平面区域。y 3x 2例 9已知x 、y 满足不等式 0 , y 02x + y0y0点的坐标，及相应的Z的最大值7、利用基本不等式证明不等式例 8 求证（ 。 2+/） 匕2 + 2 ） 2（ + 8 4 ） 28 、 利用基本不等式求最值2 Q例 9 若 x 0 , y 0 , 且一+ = 1 , 求 x y 的最小值% y 思维拓展求/( x ) = 4x + =9- (x5)的最小值.x-54.评价设计课本第115页复习参考题 A组的第1、2、3, 4、5、6、7、8题。【 板书设计】谢谢!