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1、材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学 本课程中所指的是有限单元法在弹本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。限单元法的预备知识。第二讲第二讲 预备知识预备知识弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运
2、动，以及由此产生的应力和变形。动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。相当的构件。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 3、研究的方法：
3、研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单似的，而不是精确的。而弹性力学是对
4、构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学
5、既有联系又有区别。总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然
6、保留了材料力学中关于材算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2) 物物体体是是完完全全弹弹性性的的，亦亦即即当当使使物物体体产产生生变变形形的的外外力力被被除除去去以以后后，物物体体能能够够完
7、完全全恢恢复复原原形形，而而不不留留任任何何残残余余变变形形。这这样样，当当温温度度不不变变时时，物物体体在在任任一一瞬瞬时时的的形形状状完完全全决决定定于于它它在在这这一一瞬瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3) 物物体体是是均均匀匀的的，也也就就是是说说整整个个物物体体是是由由同同一一种种材材料料组组成成的的。这这样样，整整个个物物体体的的所所有有各各部部分分才才具具有有相相同同的的物物理理性性质质，因因而物体的弹性常数而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变才不随位置座标而变。弹性力学中关于材料性质的假定弹性
8、力学中关于材料性质的假定(4) 物物体体是是各各向向同同性性的的，也也就就是是说说物物体体内内每每一一点点各各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物物体体的的变变形形是是微微小小的的，亦亦即即当当物物体体受受力力以以后后，整整个个物物体体所所有有各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体的的原原有有尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远远小小于于1，这这样样，在在考考虑虑物物体体变变形形以以后后的的平平衡衡状状态态时时，可可以以用用变变形形前前的的尺尺寸寸来来代代替替变变形形后后的的尺尺寸寸，而而不不致致有有显显著著的的误误差差
9、；并并且且，在在考考虑虑物物体体的的变变形形时时，应应变变和和转转角角的的平平方方项项或或乘乘积积项项都都可可以以略略去去不不计计，这这就就使使得得弹弹性性力力学学中中的的微微分分方方程程都都成成为为线线性性方方程。程。2-1 外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力一、外力外力可以分为体积力、面积力和节点之集中力*，分别用以下符号表示：1）体积力2）表面力3）节点集中力节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。二、应力二、应力空间三维问题 平面问题三、应变三、应变空间三维问题 平面问题四、位移四、位移空间三维问题 平面问题一维问题 一
10、维问题 一维问题 2-2 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程一、平衡方程一、平衡方程在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得：整理后得到：在上式中消掉得到利用和还可以得到另外两个方程，即：弹性体平衡微分方程该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果整个结构处于平衡状态，结构内部任意点（微元体）都必须满足的条件。对于平面问题，平衡微分方程将退化为以下形式：二、几何方程二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。1 1、应变
11、与位移的关系、应变与位移的关系以为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示：在结构取一微小线段，两个端点变形前的坐标分别为：、两个端点变形后的坐标分别为：、在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：根据应变的定义可得：同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变分量可以表示为：对于平面问题，应变-位移关系可以简化为：对于一维问题，应变-位移关系可以进一步简化为：2 2、应变、应变- -位移关系的矩阵表示位移关系的矩阵表示三维情况令：其中称微分算子，称算子矩阵。二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵
12、形式：三、物理方程（本构关系）三、物理方程（本构关系）1、有限元本构关系的矩阵形式为：对于三维情况有：2 2、对于二维平面应力问题的定义平面应力由此可以得出此时有3 3、对于二维平面应变问题的定义平面应变由此可以得出 此时有 四、相容方程（协调方程）四、相容方程（协调方程） 相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。 由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。2.3 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆
13、，对对C点点写力矩平衡方程：写力矩平衡方程：图图1-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点点C转转动动时时的刚体位移图：的刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式(1-15)是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a的的平平衡衡力力系系在在图图b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等于零。这就叫做等于零。这就叫做虚功原理虚功原理。虚功原理虚功原理 进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时， 和和 这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为为地地振振一一下下让让它它倾倾斜，一定满足斜，一定满足(1-1
14、5)式的关系。式的关系。 将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理，去去指指导导分分析和计算结构。析和计算结构。 对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，(由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图图1-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不
15、是是发发生生在在它它本本身身(状状态态a)的的位位移移上上，(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这这个个位位移移对对于于状状态态(a)来来说说就就是是虚虚位位移移，亦即是状态亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。虚功原理虚功原理 必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲
16、讲，虽虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发发生生的的。它它必必须须是是和和约约束束条条件件相相符符合的微小的刚体位移。合的微小的刚体位移。 还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约束束力力叫叫做做被被动动力力。(如如图图1-8中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图。反之，如图1-8中的中的 和和 是是在在位位移移过过程程中中作作
17、功功的的力力，称称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理虚功原理表述如下：表述如下： 在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在位位移移上上所所作作的的总总功功(各各力力所所作作的的功功的的代代数数和和)
18、恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是这就是虚功方程虚功方程，其中其中P和和 相应的代表力和虚位移相应的代表力和虚位移。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 虚虚功功方方程程(1-16)是是按按刚刚体体的的情情况况得得出出的的，即即假假设设图图1-8的的杠杠杆杆是是绝绝对对刚刚性性，没没有有任任何何的的变变形形，因因而而在在方方程程(1-15)或或(1-16)中中没有内功项出现，而只有外功项。没有内功项出现，而只有外功项。 将将虚虚功功原原理理用用于于弹弹性性变变形形时时，总总功功W要要包包括括外外力力功功(T)和和内内力力功功(U)两两部部分分，
19、即即： W = T - - U ；内内力力功功(- -U)前前面面有有一一负负号号，是是由由于于弹弹性性体体在在变变形形过过程程中中，内内力力是是克克服服变变形形而而产产生生的的，所所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： T - - U = 0 外力虚功外力虚功 T = 内力虚功内力虚功 U 弹弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为为：在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，如如果果发发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外
20、外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功(外外力力功功)等等于于整整个个弹弹性性体体内内应应力力在在虚虚应应变变上上的的虚虚功功(内力功内力功)。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况i点外力分量点外力分量j点外力分量点外力分量外外力力分分量量用用 表表示示；引起的应力分量用引起的应力分量用 表示表示虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移分量为用用 表表示示；引引起起的的虚虚应变分量用应变分量用 表示表示虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移
21、上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。 同同样样，在在虚虚位位移移发发生生时时，在在弹弹性性体体单单位位体体积积内内，应应力力在在虚虚应变上的虚功是：应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到： 这这就就是是弹弹性性变变形形体体的的虚虚功功方方程程，它它通通过过虚虚位位移移和和虚虚应应变变表表明外力与应力之间的关系。明外力与应力之间的关系。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 应该指出，在虚位移发生时，约束力应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力支座反力)是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及及 中的元中的元素进入虚功方程素进入虚功方程(1-17)。
