多项式的最大公因式

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1、 2.32.3 多项式的最大公因式多项式的最大公因式 多项式多项式的最大公因式是的最大公因式是多项式理论多项式理论的一的一个个重要组成部分重要组成部分. . 要掌握要掌握最大公因式的概念最大公因式的概念, , 会求两个或多个多项式的最大公因式会求两个或多个多项式的最大公因式, , 并能并能熟练熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要条件项式互素的充要条件. . 2.3.1 2.3.1 最最大公因式大公因式 （i） 如果如果满足满足（ii）对对于于 ,如果如果 以下两个条件，则称以下两个条件，则称 是是 的一的一个个最大公因式最大公因式：注记：注记：

2、 2.3.2 最大公因式的存在性及其求法最大公因式的存在性及其求法例例2.4 设设 定理定理2.5的的证证明中用来求最大公因式的方法，明中用来求最大公因式的方法，叫做叫做 辗转除法辗转除法因式，即因式，即 和和 具有完全相同的具有完全相同的若若仅仅求求 ，为为了避免了避免辗转辗转相除相除时时出出现现注记注记: :分数运算分数运算,可用一个数乘以除式或被除式，可用一个数乘以除式或被除式，这是因为这是因为 为非零常数为非零常数在在辗转相除的过程当中也可以这样做辗转相除的过程当中也可以这样做! 注记注记: : （1）定理）定理 2.6中的中的 不唯一不唯一. 例如，例如，设设 ，则，则 取取 ，有，

3、有 取取 ，也有，也有 取取 , ,也有也有 （2）定理定理 2.6的的逆命题不成立逆命题不成立.例例2.5 设设2.3.3 多项式的互素多项式的互素 由定义，两个多项式互素当且仅当它们的由定义，两个多项式互素当且仅当它们的公因式只有零次多项式公因式只有零次多项式.多项式的互素具有以下性质：多项式的互素具有以下性质：2.3.4 最大公因式最大公因式概念的推广i) 进一步，进一步，F上的多项式上的多项式d(x)如果满足条件如果满足条件ii) 若若 ， 注记：注记： 表示最高次表示最高次项项系数系数为为1的最的最大公因式大公因式 2. 1.1. 的最大公因式的最大公因式一定存在一定存在.用用2.3.5 多个多项式的互素多个多项式的互素. 注意注意: 当当n(n2)个多个多项项式式 互互素素时时，它，它们们不一定两两互素，即未必有不一定两两互素，即未必有