总复习课件

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1、新人教版八年级上册新人教版八年级上册期末总复习期末总复习第第第第1111章章章章三角形三角形三角形三角形第十二章第十二章 全等三角形全等三角形地十三章地十三章 轴对称轴对称地十四章地十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解第十五章第十五章 分式分式第第11章章三角形中的边角关系三角形中的边角关系1三角形的概念三角形的概念三角形有三条边，三个内角，三个顶点三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边的公共端点

2、是三角形的顶点，三角形三角形ABC用符号表示为用符号表示为ABC，三角形三角形ABC的边的边AB可用边可用边AB所对的角所对的角C的小写的小写字母字母c表示，表示，AC可用可用b表示，表示，BC可用可用a表示表示.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形图形叫做三角形1三角形的概念三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形图形叫做三角形注意：注意：1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；次相接；2:三角形是一个封闭的图形；三角形是

3、一个封闭的图形；3: ABC是三角形是三角形ABC的符号标记，单独的符号标记，单独的的没有意义没有意义2三角形的三边关系注意：注意：1：三边关系的依据是：两点之间线段是短：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是三角形第三边的取值范围是:两边之差两边之差第三边第三边3)B.3cm、8cm、10cmC.三条线段之比为三条线段之比为1:2:

4、3D.3a、5a、2a+1(a1)CC考点二：三角形三边关系考点二：三角形三边关系例例3ABC的三边长分别为的三边长分别为4、9、x,求求x的取值范围；的取值范围；求求ABC周长的取值范围；周长的取值范围；当当x为偶数时，求为偶数时，求x；当当ABC的周长为偶数时，求的周长为偶数时，求x；若若ABC为等腰三角形，求为等腰三角形，求x考点三：三角形的三线考点三：三角形的三线例例4：下列说法错误的是（：下列说法错误的是（）A:三角形的三条中线都在三角形内。三角形的三条中线都在三角形内。B:直角三角形的高线只有一条。直角三角形的高线只有一条。C:三角形的三条角平分线都在三角形内。三角形的三条角平分线

5、都在三角形内。D:钝角三角形内只有一条高线。钝角三角形内只有一条高线。例例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（）A:中线。中线。B:高线。高线。C:角平分线。角平分线。D:不能确定。不能确定。BB6三角形的内角和定理：三角形三角形的内角和定理：三角形的内角和等于的内角和等于180(2)从剪拼可以看出：从剪拼可以看出：A+ B+ C=180（1）从折叠可以看出：）从折叠可以看出：A+ B+ C=180(3)由推理证明可知：由推理证明可知：A+ B+ C=180证明

6、三角形内角和定理的方法证明三角形内角和定理的方法添加辅助线思路：1、构造平角 21EDCBA图1ABC图2DE12EDFABC图312添加辅助线思路添加辅助线思路:2、构造同旁内角、构造同旁内角EABC图1（EDF（1234（ABC图27三角形的外角三角形的外角三角形的外角的定义三角形的外角的定义:三角形一边与另一边的延长线三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与内角的关系：三角形的外角与内角的关系：2:2:三角形的一个外角三角形的一个外角等于等于它不相邻的两个内角的和；它不相邻的两个内角的和；1:1:三角形的一个外角与它相邻的内角三角形的

7、一个外角与它相邻的内角互补互补；3:三角形的一个外角三角形的一个外角大于大于任何一个与它不相邻的内角。任何一个与它不相邻的内角。4:三角形的外角和为三角形的外角和为360360。考点四：三角形内角和定理：考点四：三角形内角和定理：解：解：设设B=x，则，则A=3x，C=4x，从而从而:x+3x+4x=180，解得，解得x=22.5即：即：B=22.5，A=67.5，C=90例例3 ABC中，中，B= A= C，求，求ABC的三个内角度数的三个内角度数.例例4如图，点如图，点O是是ABC内一点，内一点，A=80，1=15，2=40，则，则BOC等于（等于（）A.95B.120C.135D.650

8、分析与解：分析与解：O=180-（OBC+ OCB）=180-（180-（1+ 2+ A）= 1+ 2+ A=135考点四：三角形内角和定理：考点四：三角形内角和定理：巩固练习1.在ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足abc,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个？a888b567c45,4,37,6,5,4,3变式：1.已知小明家距离学校10千米,而小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到学校的距离是d千米,则d满足 ？2.如图，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于点D，求ABD的度数。答案ABD=30变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3米和7米

9、，问这个等腰三角形的周长是多少？2.如图，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于点D，求ABD的度数。答案ABD=30变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3米和7米，问这个等腰三角形的周长是多少？3.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由.4.如图，ACBD，AE平分BAC交BD于点E，若1=64，则2= . 5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个

10、数是（）A6 B7 C8 D9 6.已知：如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P求证：P=908.如图1，求证：BOC=A+B+C如图2，ABC=100，DEF=130，求A+C+D+F的度数7.求证：三角形内角之和等于18010.已知如图所示,在ABC中,DE/BC,F是AB上的一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,求证EGHADE.9.如图，已知，直线ABCD，证明：A+C=AEC.例例2、如图，已知如图，已知AD是是ABD和和ACD的公共的公共边边.ABCD1234证法：延长证法：延长ADBDE= B+ 3 CDEC+ 4（三角形的

11、任意一个外角等于与它不相邻的两内角（三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两内角之和）之和） BDC =BDE + CDE B+ C+ 3+ 4.又又BAC3+ 4, BDCB+ C+ BACE证明：BDC=BAC+B+C附加：证明：等腰三角形两底角的平分线相等。等腰三角形两底角的平分线相等。已知：如图，在ABC中AB=AC，BD，CE是ABC的角平分线。求证：BD=CE.第十二章第十二章 全等三角形全等三角形一一.全等三角形全等三角形：1 1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？

12、：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1 1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2 2）：全等三角形的周长相等、面积相等。）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3 3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。线、高线分别相等。知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）

13、法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法回顾知识点：回顾知识点：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSSSSS”) )边角边边角边: :两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成（可简写成“SASSAS”) )角边角角边角: :两角和它们的夹边对应相等的两个三角

14、形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成（可简写成“ASAASA”) )角角边角角边: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成全等（可简写成“AASAAS”) )斜边斜边. .直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成三角形全等（可简写成“HLHL”) )方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1 1）已知两边）已知两边- 找第三边找第三边 (SSS)找夹角找夹角（SAS)(2)(2)已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已

15、知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 (AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3)(3)已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。用法：用法：用法：用法： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角

16、的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法：用法：用法： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)1)要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应角对应角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；要写在对应的位置上；（3 3）要记住）要记住“有三个角对应相等有三

17、个角对应相等”或或“有两边及其有两边及其中一边的对角对应相等中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（4 4）时刻注意图形中的隐含条件，如）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角” 、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”练习练习1：如图，：如图，AB=AD,CB=CD. 求证求证: AC 平分平分 BADADCB证明：在证明：在 ABC和和 ADC中中 AC=AC AB=AD CB=CD ABC ADC （SSS） BAC= DAC AC平分平分 BAD2、如图，、如图，D在在AB上，上，E在在AC上，上，AB=AC , B= C, 试问试问AD=AE吗？为什

18、么？吗？为什么？EDCBA解解： AD=AE理由：理由： 在在 ACD和和 ABE中中 B= C AB=AC A= A ACD ABE （ASA） AD=AE3、如图，、如图，OB AB,OC AC,垂足为垂足为B,C,OB=OCAO平分平分 BAC吗？为什么？吗？为什么？OCBA答：答： AO平分平分 BAC理由：理由： OB AB,OC AC B= C=90 在在Rt ABO和和Rt ACO中中 OB=OC AO=AO Rt ABO Rt ACO （HL） BAO= CAO AO平分平分 BAC 4、如图，、如图，AC和和BD相交于点相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：求证：DC A

19、B证明：在证明：在 ABO和和 CDO中中 OA=OC AOB= COD OB=OD ABO CDO （SAS） A= C DC ABAODBC练习练习5： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？那块去合适？为什么？BAFEDCBA6、如图，已知、如图，已知AC EF,DE BA,若使若使 ABCEDF,还需要补还需要补充的条件可以是充的条件可以是 或或或或或

20、或AB=EDAC=EFBC=DFDC=BF7：已知：已知 AC=DB, 1= 2. 求证求证: A= D21DCBA证明：在ABC和DCB中 AC=DB 1= 2 BC=CB ABCDCB （SAS） A= D 8、如图，已知，如图，已知，AB DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。给予证明。FEDCBA ABFDEC CBFFEC ABCDEF答：答：9、如图，已知、如图，已知E在在AB上，上， 1= 2， 3= 4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由

21、：在 EBC和和 EBD中中 1= 2 3= 4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在 ABC和和 ABD中中 AB=AB 1= 2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD10、已知，、已知， ABC和和 ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条在一条直线上求证：直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将 ABC绕点绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？度），以上的结论还成立吗？证明证明： ABC和和 ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC

22、 DC=EC BCA= DCE=60 BCA+ ACE= DCE+ ACE即即 BCE= DCA在在 ACD和和 BCE中中 AC=BC BCE= DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD分析：分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于相等。至于D，因为，因为AD和和BC是对应边，因此是对应边，因此ADBC。C符合题意。符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角错对应角。例题精析：例

23、题精析：连接例题例例2如图如图2，AECF，AD BC，ADCB，求证：求证：ADFCBE分析：分析：已知已知ABCA1B1C1，相当于已知，相当于已知它们的对应边相等它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系选取其中一部分相等关系.例例3已知：如图已知：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是分别是ABC和和A1B1C1的高的高.求证：求证：AD=A1D1图图3例例4：求证：有一条直角边和斜边上的高：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。对应相等的两个直角三角形全等。分析：分析：首先要分清首先要分清题设题设和和结

24、论结论，然后按要求，然后按要求画出图形画出图形，根据题意写出根据题意写出已知求证已知求证后，再写出证明过程。后，再写出证明过程。说明：说明：文字证明题文字证明题的书写格式要标准的书写格式要标准。如图：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处， 已知1+2=100，则A= 度；50例例5、如图、如图6，已知：，已知：A90，AB=BD，ED BC于于D.求证：求证：AEED提示：提示：找两个全等三角形，需连结找两个全等三角形，需连结BE.图图6例6、如图：AB=AC，BD=CD，若B=28则C= ；5、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，AD=CB，O为为AC任一点，过任一点，过O作直线作直线

25、分别交分别交AB、CD的延长线于的延长线于F、E，求，求证：证：E= F.提示：提示：由条件易证由条件易证ABCCDA从而得知从而得知BACDCA，即：，即：AB CD.第十三章第十三章 轴对称轴对称把一个图形沿着一条直线折叠，如果直把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称图形。这条直线就是它的对称轴对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这能与另一个

26、图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做条直线对称。这条直线叫做对称轴对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点对称点_.一一.轴对称图形轴对称图形1、轴对称图形：、轴对称图形：2、轴对称：、轴对称：3 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称区别区别联系联系图形图形(1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, 只只对对( ( ) ) 图图形形而而言言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的

27、位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. .一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：4、轴对称的性质：关关于某直线对称的两个图形是全等形。于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称

28、，那么对称如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。平分，那么这两个图形关于这条直线对称。解:3.1 1、什么叫线段垂直平分线？、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线，也叫也叫中垂线

29、。中垂线。2 2、线段垂直平分线有什么性质？、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段的与这条线段的两个端点的距离相等两个端点的距离相等 （纯粹性）。你能画图说明吗？二二.线段的垂直平分线线段的垂直平分线3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）4.线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等与线段两个端点距离相等的所的所有点的集合。有点的集合。三三.用坐标表示轴对称小结：用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x轴对称轴对称的点的点横坐标

30、相等横坐标相等,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数.关关于于y轴对称的点轴对称的点横坐标互为相反数横坐标互为相反数,纵坐纵坐标相等标相等.点（点（x, y）关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_.点（点（x, y）关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x, y)( x, y)1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)

31、与点与点P(8,b+2).若点若点p与点与点p关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.若点若点p与点与点p关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.练 习246-20(抢答抢答) 思考思考：如图如图,分别作出点分别作出点P,M,N关于直线关于直线x=1的对称点的对称点,你能发现它们坐标之间分别有什么你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗关系吗?1531425-2 -1 012345-4-3-2-1x=1P(-2,4)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,4)x y 点（点（x, y）关于直线）关于直线x=1对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（2-x, y）类似

32、: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ; 归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线x=m对称，则;y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m= )(n= )4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP三三.（等腰三角形（等腰三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等腰三角形的等腰三角形的性质性质. .等腰三角形的两个底角相等。（等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角等边对等角）. .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

33、线、底边上的高互相重合底边上的高互相重合。（。（三线合一三线合一）2 2、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等个角所对的边也相等。（。（等角对等边等角对等边）四四.（等边三角形（等边三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是有一个角是6060

34、0 0的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。3.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半。所对的直角边等于斜边的一半。 1、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC时，时，(1)ADBC _= _;_=_(2) AD是中线是中线_; _= _(3) AD是角平分线是角平分线_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD练习：练习：例例 1：如图如图 1，AD 是是ABC 的角平分线，的角平分线，BEAD 交交 AD 的延的延长线于长线于 E，EFAC 交交 AB 于

35、于 F，求证：，求证：AFFB.图 1BEAE，BEFFEA90，ABEBAD90.ABEFEB，BFEF，AFFB.证明：AE 平分BAC，BADCAD，EFAC，CADAEF.BADAEF，AFEF.求证：BC AB.例例 2：试证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于试证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：在ABC 中，C90，A30.如图 2.图 212证明：如图 3，作出ABC 关于 AC 对称的ABC.则 ABAB.CAB30，BBBAB60.ABBBAB.图 3又ACBB，1如图如图 4，AD 是是ABC

36、 的边的边 BC 上的高，由下列条件中的上的高，由下列条件中的某一个就能某一个就能推出推出ABC 是等腰三角形的是是等腰三角形的是_(把所有正把所有正确答案的序号都填写在横线上确答案的序号都填写在横线上)BADACD；BADCAD；ABBDACCD；ABBDACCD.图 42某等腰三角形的两条边长分别为某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和和 6 cm，则它的，则它的周长为周长为()CA9 cmB12 cmC15 cmD12 cm 或 15 cm3等腰三角形的一个角为 30，则底角为_ 30或 75DBCEAC A.4已知：如图已知：如图 5，ABAC，BDAC.12图 5方法二：BDAC

37、，DBC90C.ABAC，ABCC.求证：DBC12A. 证明：方法一：作A 的平分线 AE 交 BC 于 E，ABAC，AEBC.CEAC90.BDAC，CDBC90.5如图如图 6，在，在ABC 中，中，ABAC，在，在 AB 上取一点上取一点 E，在，在AC 延长线上取一点延长线上取一点 F，使，使 BECF，EF 交交 BC 于于 G，EMCF.求证：求证：EGFG.图 6BEMB，EBEM.又BECF，EMFC.MEGCFG(AAS)EGFG.证明：EMFC，EMBACB，MEGF.又ABAC，BACB.6等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40

38、，求等腰，求等腰三角形底角的度数三角形底角的度数65.BACB180A2180502图 7解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图 7(1)，BACB，ACD40，A50.当等腰三角形为钝角三角形时，如图 7(2)，BACB，ACD40，BAC9040130.BACB180130225.底角度数为 65或 25.7如图如图 8，阴影部分是由，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图空白方格内涂黑两个小正方形，使它们成请用两种方法分别在下图空白方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形为轴对称图形图 8解：如图9.图 98如图如图 10，已

39、知四边形，已知四边形 ABCD，你能画出它关于，你能画出它关于 y 轴对称轴对称的图形吗？它的对应顶点的坐标是怎样变化的？的图形吗？它的对应顶点的坐标是怎样变化的？图 10解：能；如图 11，四边形 ABCD的四个顶点的坐标分别为 A(0,5)，B(2,0)，C(4,3)，D(2,2)，即对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等图 11本章知识导引本章知识导引整式整式整式的概念整式的概念单项式单项式多项式多项式系数系数次数次数项项次数次数整式的运算整式的运算整式乘法整式乘法互互逆逆运运算算整式除法整式除法因式分解因式分解概念概念方法方法同类项同类项合并同类项合并同类项整式加减整式加减幂的运算幂的

40、运算单项式乘单项式单项式乘单项式单项式乘多项式单项式乘多项式多项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式乘法公式提公因式法提公因式法公式珐公式珐互互逆逆变变形形知识要点知识要点:一、幂的一、幂的4个运算性质个运算性质二、整式的乘、除二、整式的乘、除三、乘法公式三、乘法公式四、因式分解四、因式分解考查知识点：（当考查知识点：（当m,n是正整数时）是正整数时）1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法：aman=am+n 2、同底数幂的除法：、同底数幂的除法：aman=am-n ； a a0 0=1(a0)=1(a0)3、幂的乘方、幂的乘方:(am)n=amn 4、积的乘方、积的乘方:(ab)n=anbn 解此

41、类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆知识点一知识点一例2 计算：(-2x2)3=_本题中积的乘方运算是通过改变运算顺序进行的，即将各个因式的积的乘方转化为各个因式的乘方的积，前者先求积后乘方，后者则先乘方再求积例3 计算： (-1)2009+0= 零指数的考查常常与实数的运算结合在一起，是易错点 -8x602.若若10x=5,10y=4,求求102x+3y-1 的值的值.3.计算：计算：0.251000（-2）2000注意点：注意点：（1）指数：加减）指数：加减乘除乘除转化转化（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（3）底数

42、：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化1.(x-3)x+2=1x+2=0,x=-2原式原式=102x103y10=(10x)2(10y)3100.5（-2）2000=a0=1(a0)知识点知识点2 2 整式的乘除法整式的乘除法相关知识：单项式乘以单项式，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式多项式除以单项式常见题型有填空题、选择题和计算与化简求值等低中档题例(1)计算： 2x3(-3x)2=_ (2)计算： 6m3(-3m2)=_. 单项式的乘除法中若有乘方、乘除法等混合运算，应按“

43、先算乘方，再算乘除法”的顺序进行在进行单项式的乘除法运算时，可先确定结果(积或商)的符号，再按法则进行计算18x5-2m计算：计算：(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4)(x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2三数和的平方公式：三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc知识点三知识点三(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=9x2

44、-16-(6x2-4x+9x-6)=9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-5x-10=(1-x2)(1+x2)(1+x4)=(1-x4)(1+x4)=1-x8(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4)(x+4y-6z)(x-4y+6z)=x+(4y-6z)x-(4y-6z)=x2-(4y-6z)2=x2-(16y2-48yz+36z2)=x2-16y2+48yz-36z2(x-2y+3z)2=(x-2y)+3z2=(x-2y)2+6z(x-2y)+9z2=x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2=x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz三数和的平方公式：三数和的平方公式：

45、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc计算计算:(1)98102 (2)2992 (3) 20062-20052007(1)98102=(100-2)(100+2)=1002-22=9996(2)2992 =(300-1)2=3002-23001+1=90401 (3) 20062-20052007=20062-(2006-1)(2006+1)=20062-(20062-12)=20062-20062+1=1 1 、已知已知a+b=5 ，ab= -2， 求（求（1） a2+b2 （2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知、已知a2

46、-3a+1=0，求（，求（1）（2）3、已知、已知求求x2-2x-3的值的值1、因式分解意义：、因式分解意义： 和和积积2、因式分解方法：、因式分解方法：一提一提 二套二套 三看三看二项式：二项式： 套平方差套平方差三项式：三项式： 套完全平方与十相乘法套完全平方与十相乘法看：看： 看是否分解完看是否分解完3、因式分解应用：、因式分解应用：提：提：提公因式提公因式提负号提负号套套知识点四知识点四1.从左到右变形是因式分解正确的是从左到右变形是因式分解正确的是()A.x2-8=(x+3)(x-3)+1B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)

47、D.D2.下列各式是完全平方式的有下列各式是完全平方式的有()AA.B.C.D.D1+把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1. x 5 - 16x 2. 4a 2+4ab- b 23. m 2(m- 2) - 4m(2- m) 4. 4a 2- 16(a - 2) 2 （1）提公因式法）提公因式法 （2）套用公式法）套用公式法二项式二项式:平方差平方差三项式三项式:完全平方完全平方1、多项式、多项式x2-4x+4、x2-4的公因式是的公因式是_2、已知、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则是完全平方式，则m=_5、如果、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么那么a+b=_

48、3、已知、已知x2-8x+m是完全平方式，则是完全平方式，则m=_4、已知、已知x2-8x+m2是完全平方式，则是完全平方式，则m=_x-241644-mx86、如果、如果(a2 +b2 )(a2 +b2 -1)=20,那么那么a2 +b2 =_5-4(不合题意不合题意) 1、计算、计算(-2)2008+(-2)2009 2、计算：、计算： 3、计算、计算: 2005+20052-200624、计算、计算: 3992+399观察观察:请你用正整数请你用正整数n的等式表示你发现的的等式表示你发现的规律规律.正整数正整数n观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n

49、是正整数是正整数观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n是正整数是正整数设设(n为大于为大于0的自然数的自然数).(1)探究探究an 是否为是否为8的倍数，并用文字语言表述你的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；所获得的结论；(2)若若一一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是个数是“完全平方数完全平方数”.试找出试找出a1 ，a2，a n，这一列数中从小到大排列的前这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，个完全平方数，并指出当并指出当n满足什么条件时，满足什么条件时，an 为完全平方数为完全平方数(不不必说明理由

50、必说明理由).两个连续奇数的平方差是两个连续奇数的平方差是8的倍数的倍数前前4个完全平方数为个完全平方数为16、64、144、256n为一个完全平方数的为一个完全平方数的2倍，倍，an是一个完全平方数是一个完全平方数第十五章第十五章第十五章第十五章 分式的复习分式的复习分式的复习分式的复习知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾1.1.要使分式要使分式 有意义的条件是（有意义的条件是（ ）A.x1B.x-1C.x0D.x12.2.要使分式要使分式 的值为的值为0 0条件是（条件是（ ）A.1B.-1C.1D.0关键词：分式有意义的条件是：关键词：分式有意义的条件是：( )( )关键词：分式有意义的条件

51、是关键词：分式有意义的条件是: :( )( )B分母不等于分母不等于0 0分子为分子为0 0，分母不为，分母不为0 0A知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾3.3.化化简简 , ,并写出每一步并写出每一步变变形的依据形的依据解：原式解：原式（平方差和完全平方公式）（平方差和完全平方公式）（分式的基本性质）（分式的基本性质）关键词：分式的基本性质、约分、最简分式关键词：分式的基本性质、约分、最简分式知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾4. 4. 化简：化简： 1【关键词关键词】约分与通分，分式运算约分与通分，分式运算.5.5.计算计算：（1 1）（2）解：原式解：原式解：原式解：原式典型例题典型例题典型

52、例题典型例题例例1.1. 在函数在函数中，自变量中，自变量x的取值范围是（的取值范围是（ ）ABx22CDx2 2巩固练习：巩固练习： 当当x= = 时，分式时，分式没有意义没有意义A3典型例题典型例题典型例题典型例题例例2.2. 先将代数式先将代数式化简，再从化简，再从的范围内选取一个合适的整数的范围内选取一个合适的整数代入求值代入求值典型例题典型例题典型例题典型例题例例3. 3. 已知已知，则代数式，则代数式的值为的值为( )( ) 试一试试一试试一试试一试 a、b为实数，且为实数，且ab=1，设，设P= ,Q= , 则则 P Q（填（填“”、“”或或“”）=想一想想一想想一想想一想探究：

53、探究：当当x、y满足什么条件时，分式满足什么条件时，分式的值为的值为0.0. 分式方程像这样，像这样，分母里含有未知数的方程叫分母里含有未知数的方程叫做做分式方程分式方程.解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、 在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母，化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整式方程、解这个整式方程. . 3 3、 把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简，如果最简公分母的值公分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程的，则整式方程的解是原分式方程的解；解；否则否则，这个解不是原分式方程的

54、解，必须舍去，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .解分式方程的思路是：解分式方程的思路是：分式分式方程方程整式整式方程方程去分母去分母一化二解三检验一化二解三检验练一练练一练练一练练一练的值为的值为_ _ _。1.1.已知分式已知分式的值为的值为0 0，那么，那么2.2.某工程队要修路某工程队要修路am，原计划平均每天修，原计划平均每天修bm，因天气，因天气原因，实际每天平均少修原因，实际每天平均少修cm( (cb) )，实际完成工程将比，实际完成工程将比原计划推迟原计划推迟 天。天。 3.3.计算计算；（1 1）（2 2） 4. 4.化简求值

55、：化简求值： 其中其中 = 3 x=-12.2.解分式方程解分式方程 ，可知方程（，可知方程（ ）A.解为解为x=2B.解为解为x=4C.解为解为x=3D.无解无解知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾BD1.1.分式方程分式方程 的解是（的解是（ ）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=33.3.若关于若关于x的方程的方程有增根，则增根为有增根，则增根为 . .x=2知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾4.4.当当 时，关于时，关于的分式方程的分式方程无解无解-65.5.解下列方程：解下列方程： （1 1）（2 2）【关键词】解分式方程的一般步骤及增根的产生.解下列方程解下列方程 (5) (5)(6)

56、(6)1 1 1 1、如果整数、满足等式、如果整数、满足等式、如果整数、满足等式、如果整数、满足等式 ，求与的值。，求与的值。，求与的值。，求与的值。 解：解：解得：解得：解得：解得：列分式方程解应用题列分式方程解应用题 常见题型及相等关系常见题型及相等关系1、行程问题、行程问题 ：基本量之间的关系： 路程路程= =速度速度 X X 速度，即速度，即s=vts=vt常见的相等关系：常见的相等关系：(1)、相遇问题 ：甲行程甲行程 + + 乙行程乙行程 = =全路程全路程(2)、追及问题： (设甲的速度快)1)、同时不同地： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 甲的行程甲的行程

57、- - 乙的行程乙的行程 = = 甲乙原来相距的路程甲乙原来相距的路程2)、同地不同时： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 - - 时间差时间差 甲走的路程甲走的路程 = = 乙走的路程乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度顺流速度 = = 静水中航速静水中航速 + + 水速水速 逆流航速逆流航速 = = 静水中速度静水中速度 水速水速2 2、工程问题、工程问题 基本量之间的关系：工作量工作量 = = 工作效率工作效率 X X 工作时间工作时间常见等量关系：甲的工作量甲的工作量+ +乙的工作量乙的工作量 = = 合作工作量合作工作量注：工作问题常把总工程看作是单位1

58、，水池注水问题也属于工程问题 例1、甲乙两人甲乙两人 分别骑摩托车从分别骑摩托车从A、B两地相向而行，两地相向而行，甲先行甲先行1小时之后，乙才出以，又经过小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人小时，两人在途中的在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由续前行，乙在由C地到地到A地的途中因故停了地的途中因故停了20分钟，分钟，结果乙由结果乙由C地到地到A地时，比甲由地时，比甲由C地到地到B地还提前了地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车千米，求甲乙两车的速度的速度。分析：本题把时间作为考虑的着眼点。

59、 设甲的速度为 x 千米/时 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间2)、乙用的时间=3)、甲用的时间=例1、甲乙两人甲乙两人 分别骑摩托车从分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的小时，两人在途中的C地相地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到地到A地地的途中因故停了的途中因故停了20分钟，结果乙由分钟，结果乙由C地到地到A地时，比甲由地时，比甲由C地地到到B地还提前了地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲

60、千米，求甲乙两车的速度。乙两车的速度。解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得 解之得， x1=16, x2= - 2, 都是原方程的根 但x= - 2 不合题意，舍去所以x=16时， x+4=20 答：甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20千米/小时。例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单做，则要超过规定时间乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作天完成；现甲乙两人合作4天天后，剩下工程由乙后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几

61、天？定日期是几天？分析：设工作总量为1，工效 X 工时= 工作量设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙的工效分别为(1)、相等关系：甲乙合做4天的量+乙单独做(x-4)天的量=总量1列出方程： (2)、相等关系：甲 做工作量+乙做工作量=1列出方程得：例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作天完成；现甲乙两人合作4天天后，剩下工程由乙后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？定日期是几

62、天？解：设规定日期为x天，根据题意得 解得 x=12,经检验，x=12是原方程的解。答：规定日期是12天。1、审题 ；2、设未知数；列分式方程解应用题的列分式方程解应用题的一般步骤一般步骤3、找出能表示题目全部含意的相等关系，列出分式方程；4、解分式方程；5、验根：先检验是否有增根，再检查是否合符题意；6、写出答案。小结小结3 8:12:15 D x11 1、如图：在、如图：在ABCABC中，中，C =90C =900 0，ADAD平平分分 BACBAC，DEABDEAB交交ABAB于于E E，BC=30BC=30，BDBD：CD=3CD=3：2 2，则，则DE=DE= 。12cABDE全等三

63、角形机动练习：2.2.如图，已知，如图，已知，ABDEABDE，AB=DEAB=DE，AF=DCAF=DC。请。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。予证明。FEDCBA答：答： ABCDEF证明： AB DE A= D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在 ABC和和 DEF中中 AC=DF A= D AB=DE ABCDEF （SAS）3.3.如图，已知，如图，已知，EGAFEGAF，请你从下面三个条件中，再，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确

64、的命题。（只写出一种情况）正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF AB=AC DE=DF BE=CFBE=CF已知：已知： EGAF EGAF 求证：求证：GFEDCBA高高拓展题拓展题4 4. .如图如图, ,已知已知ACACBDBD，EAEA、EBEB分别平分分别平分CABCAB和和DBADBA，CDCD过点过点E E，则，则ABAB与与AC+BDAC+BD相等吗？请相等吗？请说明理由。说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一

65、段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）5.5.如图，在如图，在RABCRABC中，中，ACB=450ACB=450，BAC=900BAC=900，AB=ACAB=AC，点，点D D是是ABAB的中点，的中点，AFCDAFCD于于H H交交BCBC于于F F，BEACBEAC交交AFAF的延长的延长线于线于E E，求证：，求证：BCBC垂直且平分垂直且平分DE.DE.6.6.已知：如图：在已知：如图：在ABCABC中，中，BEBE、CFCF分别分别是是ACAC、ABAB两边上的高，在两边上的高，在BEBE上截取上截取BD=ACBD=AC，在，在CFCF的延长线上截取的延长线上截取CG=ABCG=AB，连结连结ADAD、AGAG。求证：求证： ADG ADG 为等腰直角三角形。为等腰直角三角形。7.7.已知：如图已知：如图2121，ADBACADBAC，DEABDEAB于于E E，DFACDFAC于于F F，DB=DCDB=DC，求证：求证：EB=FCEB=FC