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1、第七章第七章 不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础一、流体微团运动一、流体微团运动（1）平移）平移 （2）线变形）线变形 （3）角变形）角变形 （4）旋转变形）旋转变形流体质点运动表达式流体质点运动表达式式中，式中，项项平移速度分量；平移速度分量； 、项项旋转运动所引起的速度分量；旋转运动所引起的速度分量； 、项项角变形、线变形所引起的角变形、线变形所引起的 速度分量。速度分量。 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理第二节第二节 有旋流动与无旋流动有旋流动与无旋流动一、定义一、定义 物理特征：物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，流体微团（质点）绕自身轴旋转，称为有旋（涡）流动，
2、反之，为无旋（涡）流动。称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。 数学表达，数学表达， 有旋流有旋流 无旋流无旋流二、无旋流（无涡流）二、无旋流（无涡流）有分析数学可知有分析数学可知 式成立，流场中一定存在一个函式成立，流场中一定存在一个函数数 函数函数 称为流速称为流速势势函数。函数。流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导因为函数的导数值与微分次序无关，因为函数的导数值与微分次序无关，所以所以 式成立，一定存在一个势函数式成立，一定存在一个势函数 ，所以，所以， 无旋流又称为无旋流又称为势流势流。三、有旋流（有涡流）三、有旋流（有涡流）从几何意义上描述，有涡
3、线、涡束、涡管等概念。从几何意义上描述，有涡线、涡束、涡管等概念。 这些概念与流线雷同这些概念与流线雷同。表征涡流的强弱，有表征涡流的强弱，有涡通量涡通量（漩涡强度）、（漩涡强度）、速度环速度环量。量。 （一）（一）涡线涡线 定义，定义，某一瞬时，在涡（流）场中，有一某一瞬时，在涡（流）场中，有一条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。角速度的矢量都与该曲线相切。 与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡线不相交。线不相交。 （二）（二）涡束、涡管
4、涡束、涡管：在涡流场中，取一微小面积，在涡流场中，取一微小面积，围绕这个微小面积作出的一束涡线围绕这个微小面积作出的一束涡线微小涡束。微小涡束。（三）（三）涡通量涡通量 （1）涡量）涡量定义：涡量定义：涡量旋转角速度矢量旋转角速度矢量 涡量是空间坐标和时间的矢性涡量是空间坐标和时间的矢性函数，有涡流则构成一个矢量场，函数，有涡流则构成一个矢量场，也称为涡量场。也称为涡量场。哈米尔顿算子哈米尔顿算子 是一个矢性微分算子是一个矢性微分算子与与 对照。对照。（2）涡量的连续性方程）涡量的连续性方程由数学分析知由数学分析知上式表明，涡量上式表明，涡量 的散度等于的散度等于0，即即 （ 7-2-5）式（
5、式（7-2-5）为涡量的连续性方程。）为涡量的连续性方程。 （3）涡线微分方程）涡线微分方程 对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。 取一微分段取一微分段 ，微分段在空间坐标上的分，微分段在空间坐标上的分量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。即即 （7-2-6）式（式（7-2-6）为涡线微分方程。）为涡线微分方程。 （四）涡通量（四）涡通量 微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相
6、等的,若微小涡束，其横断面积若微小涡束，其横断面积 ，旋转角速度为，旋转角速度为微小涡束的涡通量（漩涡强度）为微小涡束的涡通量（漩涡强度）为 。 也可以表示为：也可以表示为：涡通量的符号：涡通量的符号： 有旋流重要运动特征：有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各同一瞬时，通过同一涡管各截面的涡量相等，及涡通量为常数，则截面的涡量相等，及涡通量为常数，则或或 （7-2-9） 式（式（7-2-9）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转角速的愈大。角速的愈大。有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、涡管、涡通量，与
7、流速场的流线、流管、流量对应。涡管、涡通量，与流速场的流线、流管、流量对应。五、速度环量五、速度环量 在流体力学中也常用在流体力学中也常用速度环量速度环量，来表征涡流的强，来表征涡流的强弱。弱。 速度矢量速度矢量 封闭周线封闭周线 流速矢与切线的夹角流速矢与切线的夹角速度环量即速度环量即速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。速度环量符号：速度环量符号： 切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正值，反之为负。值，反之为负。（一）斯托克斯定理（一）斯托克斯定理斯托克斯公式：斯托克斯公式：或写为：或写为：即即（
8、二）汤姆逊定理（二）汤姆逊定理 对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等于于0。 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间变化。封闭曲线的速度环量不随时间变化。结论：利用速度环量也可以判断有涡流与无涡流。结论：利用速度环量也可以判断有涡流与无涡流。推论：推论： 根据斯托克斯定理，沿曲线的速度环量等于根
9、据斯托克斯定理，沿曲线的速度环量等于以该曲线为成都曲面的涡通量。以该曲线为成都曲面的涡通量。 速度环量不随时间变化意味着涡通量也不随速度环量不随时间变化意味着涡通量也不随时间变化。时间变化。 具有单值势函数的理想流体，如果某一时刻具有单值势函数的理想流体，如果某一时刻为有旋流，则总是有旋流。为有旋流，则总是有旋流。 如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。第三节第三节 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程1. 1. 流体运动的连续性微分方程的建立流体运动的连续性微分方程的建立
10、 中心点流速中心点流速 前面：前面： 后面：后面： 密度：密度： dt时段从后面流入的流体质量为时段从后面流入的流体质量为dt时段从前面流出的流体质量为时段从前面流出的流体质量为规定流入为正，流出为负，规定流入为正，流出为负， dt时段从前后面流入流时段从前后面流入流出的质量差为出的质量差为同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为Y向：向：Z向：向：Dt时段内，从微分六面体各个面流入流出质量差为时段内，从微分六面体各个面流入流出质量差为Dt时段内，微分六面体内质量的变化时段内，微分六面体内质量的变化同一时段内，流入流出六面体总的流体质量的差值同一时段内，
11、流入流出六面体总的流体质量的差值=六面体内因密度变化所引起的质量变化。六面体内因密度变化所引起的质量变化。 可压缩流体非恒定流的连续性微分方程可压缩流体非恒定流的连续性微分方程 对于不可压缩流体：对于不可压缩流体： 不可压缩均质流体的连续微分方程不可压缩均质流体的连续微分方程物理意义：体积守恒（质量守恒）物理意义：体积守恒（质量守恒） 第四节第四节 理想流体运动方程及其积分理想流体运动方程及其积分思路：理想流体思路：理想流体 实际流体实际流体1.理想流体特征理想流体特征（1） 理想流体不具有粘滞性：理想流体不具有粘滞性：（2） 理想流体动水压强的特性理想流体动水压强的特性:（同实际流体）（同实
12、际流体） （3）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力 无切向力。无切向力。2. 理想流体运动微分方程的建立理想流体运动微分方程的建立 中心点压强中心点压强 沿沿x x方向的表面力方向的表面力（前）（前） （后）（后）沿沿x x方向的质量力方向的质量力: :欧拉运动微分方程（推导）欧拉运动微分方程（推导）3.3.实际流体的运动微分方程实际流体的运动微分方程(N-S(N-S方程方程) ) (7-6-3) (7-6-3)式中式中 为粘性项为粘性项. . 为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子4.4.理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分 对于理想流体运动微分
13、方程，一般质量力已知，对于理想流体运动微分方程，一般质量力已知，密度已知，所以该方程有密度已知，所以该方程有4 4个未知量，个未知量， 与连续性微分方程与连续性微分方程 联立，联立，4 4个方程，个方程，4 4个未知量，应该可解，但是个未知量，应该可解，但是- 至今仍未找到它的通解，在特殊情况下有特解。有的讲义至今仍未找到它的通解，在特殊情况下有特解。有的讲义用葛罗米柯（用葛罗米柯（ ）积分，）积分，葛罗米柯将理想流体运动微葛罗米柯将理想流体运动微分方程进行了变换，得到了葛罗米柯方程。葛罗米柯方程也只分方程进行了变换，得到了葛罗米柯方程。葛罗米柯方程也只能在质量力是有势的条件下才能积分。工程流
14、体力学一般用伯能在质量力是有势的条件下才能积分。工程流体力学一般用伯努利努利(D.Bernoulli)积分积分 .伯努利积分在以下具体条件下积分伯努利积分在以下具体条件下积分（1）恒定流）恒定流（2）流体为均质不可压缩，）流体为均质不可压缩，（3）质量力为有势力）质量力为有势力（4）沿流线积分）沿流线积分积分积分积分得：积分得：当质量力只有重力时，当质量力只有重力时， 代入上式代入上式 上式为理想流体元流的能量方程上式为理想流体元流的能量方程( (伯努利方程伯努利方程) ) 实际流体元流的能量方程实际流体元流的能量方程本章重点本章重点一、流体微团运动：一、流体微团运动：平移平移 、线变形、角变
15、形、旋转变形。、线变形、角变形、旋转变形。二、有旋流与无旋流二、有旋流与无旋流（1）无旋流（势流）存在函数）无旋流（势流）存在函数 称为流速称为流速势势函数函数（2）有旋流（有涡流）有旋流（有涡流）三、描述有涡流的概念：涡线、涡束、涡管三、描述有涡流的概念：涡线、涡束、涡管 表征涡流的强弱：表征涡流的强弱：涡通量涡通量（漩涡强度）、（漩涡强度）、速度速度环量。环量。四、涡通量四、涡通量 (1)(1)涡量涡量 (2)(2)涡通量涡通量涡通量涡通量 根据有旋流重要运动特征：根据有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管同一瞬时，通过同一涡管各截面的涡量相等，即涡通量为常数。各截面的涡量相等，即涡通
16、量为常数。五、速度环量五、速度环量（一）斯托克斯定理（一）斯托克斯定理（二）汤姆逊定理（二）汤姆逊定理 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间变化。闭曲线的速度环量不随时间变化。六、不可压缩流体连续性微分方程六、不可压缩流体连续性微分方程七、理想流体的运动微分方程七、理想流体的运动微分方程八、实际流体的运动微分方程八、实际流体的运动微分方程(N-S方程方程)九、流场与涡量场对应关系九、流场与涡量场对应关系流线：流线： 涡线：涡线：流线方程：流线方程： 涡线方程：涡线方程：连续性微分方程连续性微分方程流量流量 涡通量涡通量
