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1、1.1集合集合1.2函数函数1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.3函数的极限函数的极限1.5函数的连续性函数的连续性1 . 3 函数的极限函数的极限(1)一、数列极限的定义及性质一、数列极限的定义及性质二、函数极限的定义二、函数极限的定义三、函数极限的性质三、函数极限的性质四、两个重要极限四、两个重要极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”引例1、割圆术：引例1、割圆术：播放播放播放播放刘徽刘徽1、概念的引入1、概念的引入一、数列极限的定义及性质一、数列极限的定义及性质R正六边形的
2、面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A?正形的面积正形的面积126 nnA?,321nAAAAS1211262(sin) ,.26 2nnnAR= 引例2、截丈问题：引例2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211= =X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;2122= =X第二天截下的杖长为第二天截下的杖长为?;21nnXn=天截下的杖长为第=天截下的杖长为第nnX21= =0定义定义:一个定义在正整数集上的函数称为整标一个定义在正整数集上的函数称为整标函数函数：( )yf nnN+ +=. 特别地，令 特别地，令( )naf n
3、= =，得到的一列有序数 ，得到的一列有序数 12,na aa? (1) 称为数列称为数列.其中的每个数称为数列的项其中的每个数称为数列的项,na称为通项称为通项(一般项一般项)，数列，数列(1)记为记为na. 2、数列的定义、数列的定义数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取12,.na aa?注意注意:1a2a3a4anax例如例如;,2 , 8 , 4 , 2?n;,21,81,41,21?n2n21n11, 1,1,( 1),;n ?)1(1 n;,)1(,34,21, 21?nnn + +)1(1nnn + +3 412
4、,;2 3nn+ +?1nn+ +3、数列的极限3、数列的极限nan 观察数列当时的变化趋势. 观察数列当时的变化趋势.问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.意味着什么?如何用数学语言刻划它.nnnan =+=+1( 1),11.当 无限增大时无限接近于当 无限增大时无限接近于通过观察通过观察:我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的“距离距离”来刻化两个数的来刻化两个数的接近程度接近程度. na1=nnn11)1(1= =+=+ 1)1(11nn随着随着n的增加，的增加，1/ /n会越来越小会越来越小.1na =nnn11)1(1= 随着随着n的增加，的增加，1/
5、/n会越来越小会越来越小.例如例如=+=+ 1)1(11nn,1100 =给定=给定,10011 时只要n11,100na 有有 = = 1,给定给定11,n 只要时只要时11,na 有有 = =1,10给定给定11,10n由只要时只要时11,10na 有 任意给定任意给定1(), =nN只要时只要时1. 时只要n11,1000na 有有1,1000 =给定=给定11,10000na 有时只要n1,10000 =给定=给定, 0 给定给定,)1(时只要时只要 = Nn1.na 有成立 确保1na 时，总有时，总有 naa +,(,) ,().当时 所有的点都落在内只有有限个 至多只有个 落在其
6、外当时 所有的点都落在内只有有限个 至多只有个 落在其外 lim0,0,.nnnaaNnNaa = = 1,na 要使要使11,nn 即即 即即 ,1 =取=取N,时则当时则当Nn 1( 1)1nnn + + 即即. 1)1(lim1=+=+nnnn即即1,na 就有就有数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在.数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在.例2例2(),lim.nnnaC CaC =设为常数证明=设为常数证明证证naC CC = =,成立成立 所以,所以,0= =,n对于一切自然数对于一切自然数lim.nnaC= =说明:说明:常数
7、列的极限等于同一常数.常数列的极限等于同一常数.例3例3. 1, 0lim= 0,nnaq =要使=要使lnln ,nq 即 0, 就有就有nq. 0lim= = nnq, 0= =q若若; 00limlim=nnnq则则, 10即即()1 例4例42sinlim0 .(1)nnn=+证明=+证明用定义证明数列极限存在时,用定义证明数列极限存在时, 可以证明=可以证明4、收敛数列的性质收敛数列的性质23baab22abnabax证证:用反证法用反证法.limnnaa= =及及lim,nnab= =且且.ab 取取,ba =2因因lim,nnaa= =故存在故存在N1, nbaaa,2从而从而n
8、aba+ + N2 时时, 有有2banx+ N1 时时, 2ba+2ab2ab假设假设22abnabbxnbax+223abnbaab ,2矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必惟一因此收敛数列的极限必惟一.则当则当n N时时, NNN= =12max,取取故假设不真故假设不真!na满足的不等式满足的不等式（1）惟一性）惟一性定理1定理1收敛的数列极限惟一.收敛的数列极限惟一.x（2）有界性）有界性定义定义:对数列对数列na, 若若0M ,nN+ + ,恒有恒有,naM 则称数列则称数列na有界有界, 否则否则, 称为无界称为无界. 例如,例如,1+=+=nnxn数列数列nny2=数列=数列数轴上对
9、应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点na都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上. 有界；有界；无界无界.定理2定理2收敛的数列必定有界.收敛的数列必定有界.推论无界数列必定发散.推论无界数列必定发散.数列有界是数列收敛的必要条件.数列有界是数列收敛的必要条件.有界数列未必收敛,如(-1)有界数列未必收敛,如(-1)n-1-1.注意注意:例例51( 1).nna = 证明数列是发散的= 证明数列是发散的例例51( 1).nna = 证明数列是发散的= 证明数列是发散的证证lim,nnaa= =设设由定义由定义,0,0,nNnNaa 当时 有当时 有,.na事实上是有界的 但却发散事实上是有界的
10、 但却发散2212212,21,22NNNNnN nNaaaaaa += =+=+=取则这是不对的（如1）！=+=+ NN+ +,则则nN当当时, 有时, 有0na (0). (0) , NN+ +,则则nN当当时,有时,有0na (0) , (0). NN+ +,则则nN当当时,有时,有nar () ,r ().r （）（）,则,则 00a （）（） 0lim0nnnaa若？若？(用反证法证明用反证法证明)（4）四则运算性质（4）四则运算性质定理 4定理 4: 若若lim,limnnnnaabb= = =, 则则 (1) (1) lim()limlimnnnnnnnababab =； (2)
11、 ； (2) lim()limlimnnnnnnnaba bab =； (3) 如果=； (3) 如果lim0nnbb= =，则，则nnab 也是收敛数列，而且也是收敛数列，而且limlimlimnnnnnnnaaabbb= 推论推论: 若若limnnaa= =, 则则 (1)(1) lim()limnnnnkakaka= = =，其中，其中 k 是一个常数； (2) 是一个常数； (2) lim()(lim),mmmnnnnaaa= = =，其中，其中 m 是一个正整数是一个正整数例6例6).21(lim222nnnnn+?求求解解222221lim)21(limnnnnnnnn+ + +
12、+=+=+?2)1(21limnnnn+=+=)11(21limnn+=+=.21= =先变形再求极限先变形再求极限.（5）保不等式性（5）保不等式性定理 5定理 5: 若若lim,limnnnnaabb= = =，且，且0,nnabnN ,则,则 (limlim)nnnnabab 即即 推论 2推论 2 若若limnnaa= =，且，且000 ,nanN（）（）,则,则 00a （）（） 证：证：构造辅助整标函数构造辅助整标函数00,nnncbanN= = 由定理 4 和定理 3 的推论 2 得证！ 由定理 4 和定理 3 的推论 2 得证！ （1)夹逼准则夹逼准则定理 6定理 6 如果数列
13、 如果数列,nnab及及nc满足下列条件: 满足下列条件: 0(1)()(2) lim, lim,nnnnnnnbacnNbaca= 那么数列 那么数列na的极限存在, 且的极限存在, 且limnnaa= =. . 5、极限存在准则、极限存在准则1,nnNba ,naba +即当时恒有,naca +上两式同时成立上两式同时成立,nnnabaca +,naa 即成立证证,()nnba ca n NN ,nnnbac也成立也成立例7例7lim 138nnnnn+ +求+求解解813883,nnnnn+然然( (显显1)1);na故是单调增加的故是单调增加的133,a = =（2（2又又）3,ka
14、假定假定13kkaa+ +=+=+33+ + , 3 所以所以1,kkaa 设设kkaa + +133,则则kkaa +133,.11lim存在存在nnn+1(1)nnan=+=+?+ +=+=21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn +=+=?nnnnnnn1!)1()1( + + + +?证明证明用单调有界准则证明.用单调有界准则证明.例例9证证00(1)()111!nniiiinin nnniinCn= =+ +?1(1)nnan=+=+).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn +=+=?11111(1)11
15、(1)12!11121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nnannnnnnnnnnnn+= =+=+?+=+?1,nnaa+ +显然显然;na是单调递增的是单调递增的正的正的11112!nan + +?+ +?1212111 +n?1213 =n, 用数学归纳法可证：当时, !用数学归纳法可证：当时, !注注备用题备用题).12111(lim222nnnnn+ + + + +?求求解解,11112222+ + + + + + +nnnnnnnn?nnnnnn111limlim2+=+=+又又, 1= =22111lim1limnnnnn+=+=+, 1= =由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222= =+ + + + +nnnnn?
