函数综合考点解读1、结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析2、能用反比例函数、一次函数、二次函数解决实际问题3、能解决二次函数与圆的综合问题考题精析1 . 如图，若抛物线y=-x?+3与x 轴围成封闭区域 （ 边界除外）内整点 （ 点的横、纵坐标都是整数）的个数为k , 则反比例函数丫= 旦（x> 0 ）的图象是X)v八 ”5 -4 -3 -2 -1 -0 ~-1LC.A5-4'3 '2-1 '0~-1L2 3 4 5 x2 3 4 5 x【 考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x 轴的交点.【 分析】找到函数图象与x 轴、y 轴的交点，得出k = 4 ,即可得出答案.【 解答】解：抛物线y= -x?+ 3 ,当y=0时，x=±当 x=0 时，y=3,则抛物线y=-x?+3与x 轴围成封闭区域（ 边界除外）内整点（ 点的横、纵坐标都是整数）为（-1，1), (0, 1), (0, 2), (1, 1)；共有 4 个,k=4；故选：D.2 . 下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）①函数y=x；②函数y=x?；③函数y=工 .xA . ① ② B . ② ③ C . ① ③ D . 都不是 【 考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形.【 分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点.【 解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.故选C3 .已知抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数丫= 卜的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1 ,则一X次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）【 考点】F3： 一次函数的图象；G4：反比例函数的性质；H3：二次函数的性质.【 分析】根据抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数y= 2的图象在第一象限有一个公共点，可得b > 0 ,根X据交点横坐标为1 ,可得a+b+c=b,可得a, c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.【 解答】解：• • •抛物线丫=a*2+6*+（:与反比例函数丫 = 上 的图象在第一象限有一个公共点，XA b > 0 ,• ・•交点横坐标为1,.\a+b+c=b,/. a+c=O,A ac<0,. . . 一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.故选：B.4. 一次函数丫=1^+13满足k b > 0 ,且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【 考点】F7： 一次函数图象与系数的关系.【 分析】根据y随x的增大而减小得：k < 0 ,又k b > 0 ,则b V O .再根据k, b的符号判断直线所经过的象限.【 解答】解：根据y随x的增大而减小得：k < 0 ,又k b > 0 ,则b < 0 ,故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限. 故选A.5 . 已知二次函数y=ax，bx+c (aW O )的图象如图所示，以下四个结论：① a > 0；② c> 0；③ b? - 4ac< 0 , 正确的是( )A . ① ② B . ② ④ C . ① ③ D . ③ ④【 考点】H4：二次函数图象与系数的关系.【 分析】①由抛物线开口向上可得出a > 0 ,结论①正确；②由抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴可得出c V O ,结论②错误；③由抛物线与x 轴有两个交点，可得出△= b 2 -4 ac>0 ,结论③正确；④由抛物线的对称轴在y 轴右侧，可得出- 2 > 0 , 结论④错误. 综上即可得出结论.2a【 解答】解：①• • •抛物线开口向上,•*.a>0,结论①正确；②• . •抛物线与v轴的交点在y 轴负半轴，.,.c < 0 ,结论②错误；③• . •抛物线与x 轴有两个交点，A=b2 - 4 a c > 0 ,结论③正确；④• . •抛物线的对称轴在y 轴右侧，/. —> 0 - 结论④错误.故选C.6 . 如图，已知^A B C的顶点坐标分别为A (0, 2)、B (1, 0)、C (2, 1 ) , 若二次函数y=x2+bx+l的图象与阴影部分( 含边界) 一定有公共点，则实数b 的取值范围是( )A. bW - 2 B. b< - 2 C. b 2 - 2 D. b> - 2【 考点】H4：二次函数图象与系数的关系. 【 分析】对称轴x = - 5 W l时，二次函数y=x2+bx+l的图象与阴影部分（ 含边界）一定有公共点.【 解答】解：抛物线y=x2+bx+l与y轴的交点为（0, 1）VC （ 2, 1） ,二对称轴x = - 5 W l时，二次函数y=x2+bx+l的图象与阴影部分（ 含边界）一定有公共点，：.b ^ - 2,故选：C.7 .对于函数y = 2 ,当函数值y〈-l时，自变量x的取值范围是 -2 < x V 0 .X【 考点】G4：反比例函数的性质.【 分析】先求出y = - l时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论.【 解答】解：• • •当y = - l时 ,x = -2 ,. •. 当函数值y < - 1时，- 2 < x < 0 .故答案为：-2 V x < 0 .8 .函数y1=x与 丫2=乌的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当X V 2时，y随x的增大而减小；③当x > 0时，函数的图象最低点的坐标是（2, 4 ） ,其中所有正确结论的序号是① ③ .【 考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化- 旋转.【 分析】结合图形判断各个选项是否正确即可.【 解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y = ? = 4 ,即在第一象限内，最低点的坐标为（2, 4 ） ,故正确；. . . 正确的有①③.故答案为：①③. 9 .在平面直角坐标系中，已知一次函数y = x - l的图象经过Pi （ x i，y］） 、P2 （ x2, y2）两点，若x】Vx2,则 vi V v，（ 填" V " 或" = " ）【 考点】F8： 一次函数图象上点的坐标特征.【 分析】根据k = l结合一次函数的性质即可得出y=x - 1为单调递增函数，再根据X1VX2即可得出Y 1
：的面积为一 一 冬 涉 I（ 用含n的代数式表示）【 考点】F8： 一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质.【 分析】 由点心的坐标可得出O Ai=2,根据直线I］、12的解析式结合解直角三角形可求出A iB i的长度,由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出O A2=3,通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积.【 解答】解：• . •点Ai （ 1 ,圾） ,：.OAi=2.•直线 lx： y=v^3x» 直线 L： y=-^-x,A Z AxOBi=30o.在 Rt^O AiBi 中，0Ai=2, NAQBi=30°, NOAiBi=90°,A]BI= LOBI , /. AiBi=•••△AiBiCi为等边三角形，•*. AiA；7--^A iB i= l >2・・ OA2=3, AzBzf/ 3,同理，可得出：A3B3=隼乙!,A4B4=-^^…AnBn= ( y )n"2V3.2 n - 3. •. 第n个等边三角形AnBnCn的面积为故答案为：亨( •! •产3 ：1 1 .已知抛物线：y=ax2+bx+c ( a > 0 )经 过A ( - 1, 1), B (2, 4 )两点，顶点坐标为(m, n ) ,有下列结论：①b < l；②cV2；③O V m V *；④nWl.则所有正确结论的序号是① ② ④ .【 考点】H4：二次函数图象与系数的关系.【 分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b= -a + l、c= -2 a + 2 ,结合a > 0 ,可得出bV I、c < 2 ,即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m = - g ,可得出即m V 3 ,结论③不正确；由抛物线y=ax?+bx+c ( a > 0 )经过A ( - 1, 1 ) ,可得出n W l,结论④正确. 综上即可得出结论.【 解答】解：• . ♦抛物线过点A ( -1 , 1), B (2, 4),. (a-b+c=lI4a+2b+c=4...b= - a+1, c= - 2a+2.Va>0,A b < l, c<2,结论①②正确；• . •抛物线的顶点坐标为(m, n),. b -a+1 1 1. . m= " -— --= - - — —，2a 2a 2 2a结论③不正确；, 抛物线 y=ax?+bx+c ( a > 0 )经过 A ( - 1 , 1 ) ,顶点坐标为(m, n),n W l,结论④正确.综上所述：正确的结论有①②④. 故答案为：①②④.1 2 .如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以lc m /s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中,当运动时间为3 s时, 四边形EFGH的面积最小，其 最 小 值 是18 cnA【 考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质.【 分析】设运动时间为t (0 W tW 6 ),则AE=t, AH=6 - t ,由四边形EFGH的面积= 正方形ABCD的面积- 4个4 A E H的面积，即可得出S y q .EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论.【 解答】解：设运动时间为t (0 W tW 6 ),则AE=t, AH=6 - t,根据题意得：S 四 如 EFGH=S 正 方 形ABCD-4s岫£ 产6 * 6 - 4义£1 ( 6 - t ) =2t2 - 12t+36=2 ( t - 3 ) 2+18,. •. 当t= 3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3； 181 3 .已知反比例函数y上(k W O )的图象经过点B (3, 2 ) ,点B与点C关于原点。
对称，BA_Lx轴X于点A, CDJ_x轴于点D.(1)求这个反比函数的解析式；( 2 )求4A C D的面积.【 考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化- 旋转.【 分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2 )根据三角形的面积公式，可得答案.【 解答】解：(1)将B点坐标代入函数解析式，得 解得k = 6 ,反比例函数的解析式为丫= 电；X( 2 )由B ( 3 , 2 ) ,点B与点C关于原点0对称，得C ( - 3 , - 2 ) .由BA J _ X轴于点A , C D _ L x轴于点D ,得 A ( 3 , 0 ) , D ( - 3 , 0 ) .SMCD=±AD・ CD=£ [ 3 - ( - 3 ) ] X | - 2 = 6 .1 4 .如图，在AAB C中，A C = BC , A B，x轴，垂足为A.反比例函数y= K （ x > 0 ）的图象经过点C,交XA B 于点 D.已知 A B= 4 , BC = £ .（ 1 ）若OA = 4 ,求k的值；（ 2 ）连接O C ,若BD = BC ,求O C的长.【 考点】G 6 ：反比例函数图象上点的坐标特征；K H ：等腰三角形的性质；K Q ：勾股定理.【 分析】（ 1 ）利用等腰三角形的性质得出A E, B E的长，再利用勾股定理得出O A的长，得出C点坐标即可得出答案；（ 2 ）首先表示出D , C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出co的长.【 解答】解：（ 1 ）作C E L A B ,垂足为E,V A C = BC , A B= 4 ,，A E= BE= 2 .在 R Q B C E 中，BC = - |, BE= 2 ,V OA = 4 , • ♦•C点的坐标为：（ 万 * , 2） ,丁点c在产上的图象上，Xk=5,( 2 )设A点的坐标为(m, 0),5VBD=BC=y,・ 'A 吟’• ,.D, C两点的坐标分别为：(m, 1 ) , ( m - 1 , 2).• . •点C, D都在尸K的图象上，x. 3 _ z 3、.nn=2 (m - —),2 2• • m=6，.，.C点的坐标为：( 卷，2),作CF_Lx轴, 垂足为F,9/.O F=-|, CF=2,在 RtAOFC 中 ,OC2=OF2+CF2,1 5 .在平面直角坐标系中，将一点（ 横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“ 互换点" ，如 （-3 , 5 ）与 （5, - 3 ）是一对" 互换点” .（1）任意一对" 互换点” 能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（ 2） M、N是一对“ 互换点” ，若点M的坐标为（m, n） ,求直线M N的表达式（ 用含m、n的代数式表示） ；（ 3）在抛物线y=x?+bx+c的图象上有一对“ 互换点"A、B ,其中点A在反比例函数y= - 2的图象上，直 线AB经过点P （ 1 , 1 ） ,求此抛物线的表达式.【 考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式.【 分析】（1）设这一对“ 互换点” 的坐标为（a, b）和（b, a） .①当ab=O时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当abWO时，由b』 可得a *，于是得到结论；a b（ 2）把M （ m, n） , N （ n, m）代入y=cx+d,即可得到结论；（3）设点A （ p, q） ,则q = 3 由直线AB经过点P ［） ,得到p + q = l,得到q= - 1或q = 2 ,将D 2 2这一对“ 互换点" 代入y=x?+bx+c得，于是得到结论.【 解答】解：（1）不一定，设这一对" 互换点” 的坐标为（a, b）和（b, a） .①当ab=O时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当abWO时，由屋可得修，即（a, b）和（b, a）都在反比例函数尸K （ kWO）的图象上；a b x（ 2）由M （ m, n）得N （ n, m） ,设直线M N的表达式为y=cx+d （ c2 0 ） .则 有 产 + 产 解 得 ,lnc+d=ml I d=nrl-n直线M N的表达式为y= - x+m+n；（3）设点A （ p, q） ,贝I」D・• , 直线AB经过点P （ 5，卷） ，由（ 2）得lp+q，p+q=l,.2 1・・p—二1，D解并检验得：p=2或p= - 1,q= - 1 或 q=2,这一对“ 互换点” 是（2, - 1）和 （ -1, 2） ,将这一对“ 互换点" 代入y=x2+bx+c得,: 蓝 北 解 得b=-2c = -l'此抛物线的表达式为y=x2- 2 x - l.16. 小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x- 1 |的图象与性质进行了探究. 下面是小慧的探究过程,请补充完整： （1）函数v = lx -1］的自变量X的取值范围是 任意实数（ 2）列表，找出y与x的几组对应值.X .., - 10123 ...y ・ ・, b1012 ...其中，b= 2 ；（ 3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象;【 分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把x = - l代入函数解析式，求出y的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论.【 解答】解：（1）二 、无论为何值，函数均有意义,.♦•X为任意实数.故答案为：任意实数；(2) , 当 x= - 1 时，y= - 1 - 11 =2,b=2.故答案为:2；（3）如图所示;（4）由函数图象可知，函数的最小值为0.故答案为：函数的最小值为0 （ 答案不唯一） . (2 )将直线I 向上平移4 个单位得到I1，k 交x 轴于点C .作出h 的图象， 卜 的解析式是y=-2x+6( 3 ) 将直线I 绕点A 顺时针旋转90。
得到l2, L 交 L 于点D . 作出L 的图象，tanNCAD=_^_.【 考点】F9： 一次函数图象与几何变换；F3： 一次函数的图象.【 分析】(1)分别令x=0求得y、令y=0求得x , 即可得出A、B 的坐标，从而得出直线I 的解析式；(2 ) 将直线向上平移4 个单位可得直线k根据"上加下减"的原则求解即可得出其解析式；( 3 ) 由旋转得出其函数图象及点B 的对应点坐标，待定系数法求得直线 1 的解析式，继而求得其与y 轴的交点，根据tan/CAD=tan/EAO=器可得答案.0A【 解答】解：(1)当y=0时，-2x+2=0,解得：x = l,即点A (1, 0),当 x=0 时，y = 2 ,即点 B (0, 2),如图，直线AB即为所求； (2 )如图，直线I1即为所求，直线l i的解析式为y= - 2x+2+4= - 2x+6,故答案为：y= - 2x+6；( 3 )如图，直线12即为所求,方法一、：直线I绕点A顺时针旋转90 得到12，/BAD=90°,A ZCAD+ZOAB=90°,又•；NOAB+NABO=90°,，/CAD=NABO,tanZCAD=tan Z A B O = ^-= ~方法二：• • • 直线I绕点A顺时针旋转90。
得到12,由图可知，点B (0, 2 )的对应点坐标为(3, 1),设直线12解析式的y=kx+b,将点 A (1, 0 )、(3, 1 )代入，得：(k+b=0 ,I 3k+b=l舄解得： ，b-^772•••直线12的解析式为y』- 吉，当 x=0 时，y= - y ,...直线12与y轴的交点E (0,/.tanZCAD=tanZ EAO=— = T =—,0A Y 2 故答案为: 1.1 8 .设 a、b 是任意两个实数，用 max {a, b}表示a、b 两数中较大者，例如：max{ - 1, - 1}= - 1,max{l, 2)=2, max{4, 3} = 4 ,参照上面的材料，解答下列问题：(1) max{5, 2}= 5 , max{0, 3} = 3 ；( 2 ) 若 max{3x+l, - x+l}= - x + 1 ,求 x 的取值范围；( 3 ) 求函数y=xz - 2x - 4 与y= - x+2的图象的交点坐标，函数y=xz - 2x - 4 的图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2 的图象，并根据图象直接写出max{-x+2, x? - 2x - 4}的最小值.【 考点】H7：二次函数的最值；F3： 一次函数的图象；F5： 一次函数的性质；H2：二次函数的图象.【 分析】(1)根据max{a, b}表示a、b 两数中较大者，即可求出结论；(2 ) 根据max{3x+l, -x + l} = - x + l,即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；( 3 ) 联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y= -x+ 2 的图象，观察图形，即可得出max{ - x+2, x? - 2x - 4}的最小值.【 解答】解 : (1) max{5, 2}=5, max{0, 3}=3.故答案为：5； 3.(2) *.,max{3x+l, - x+l}= - x+1,3x+l W - x+1,解 得 : xWO.(3 ) 联立两函数解析式成方程组，.尸X2 - 2X- 4 ,解得：『 二,y=-x+2 1/1=4 ［ 了 2=-1，交点坐标为( - 2, 4 ) 和 (3, - 1).画出直线y = -x + 2 ,如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{-x+2, x? - 2x - 4}取最小值- 1. 1 9 .如图，R S A O B 的直角边0 A 在 x 轴上，OA=2, AB=1,将 R gA O B 绕点。
逆时针旋转90 得到RtACO D ,抛物线y= Yx?+bx+c经过B、D 两点.(1 ) 求二次函数的解析式；( 2 ) 连接B D ,点 P 是抛物线上一点，直线OP把aBO D 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.【 考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化- 旋转.【 分析】(1 ) 由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2,从而得出点B、D 坐标，代入解析式即可得出答案；( 2 ) 由直线0P把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD,知 DQ=BQ,即点Q 为 BD的中点，从而得出点Q 坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P 坐标.【 解答】解：(1) ,.•RtZkAOB绕点逆时针旋转90 得到RtZkCOD,，CD=AB=1、OA=OC=2,则点B (2, 1)、D ( - 1, 2 ) , 代入解析式，得:-y+2b+c=lRF~b+c = 2610C^3~二次函数的解析式为y=- 援x2+[x+M；o 2 3 ( 2 ) 如图,• . •直线OP把aBO D 的周长分成相等的两部分，且 OB=OD,DQ=BQ,即点Q 为 BD的中点，• ••点 Q 坐标为("I", "I"),设直线OP解析式为y=kx,将点Q 坐标代入，得：| k=1,解得：k=3,二直线0 P 的解析式为y=3x,代入 y= - -1-X2+^-X+4^-,得：- 寒 2+加 斗 = 3*,b Z J b N J解得：x = l或 x= - 4,当 x=l 时,y=3,当 x= - 4 时，y= - 12,. •.点 P 坐标为(1, 3 ) 或 ( - 4, - 12).2 0 .已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n.(1)若这个二次函数的图象与x 轴交于点A (1, 0 ) , 点 B (3, 0 ) , 求实数m, n 的值；( 2 ) 若^A BC是有一个内角为30。
的直角三角形，N C 为直角，sinA, cosB是方程x2+mx+n=0的两个根，求实数m, n 的值.【 考点】HA：抛物线与x 轴的交点；T7：解直角三角形.【 分析】(1)根据点A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出m、n 的值；( 2 ) 分NA=30 或NB=30 两种情况考虑：当NA=30 时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n 的值；当NB=30 时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n 的值.【 解答】解：(1 ) 将 A (1, 0)、B (3, 0 ) 代入y=x2+mx+n中 ,E叫解得：产 一 4,9+3m+n=0l I n=3 ・' ・ 实 数m= - 4、n=3.( 2 )当NA=30 时，sinA=cosB=-1-,- n=-^-2 2 2 2. i 1・・ m= - 1, n=一；4当 NB=30°时，sinA=cosB=12/. . m巫+® n巫 巫2 2 2 2•*. m= - 5/3, n=-^-.综上所述：m= - l^ n=4•或 m =- 、 石、n=g.4 4 。