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1、均匀设计和均匀设计软件Uniform Design and its SoftwareUniform Design and its Software王玉方2003年6月16日报告的主要内容n n均匀设计的概念、特点、原理n n均匀设计的具体应用方法n n均匀设计软件关键词n n均匀设计 Uniform Designn n试验法 Experimentationn n均匀设计软件 Uniform Design SoftwareUniform Design Software1 什么是均匀设计n n均匀设计的概念n n均匀设计的特点1.1 均匀设计的概念 均匀设计均匀设计(Uniform Design)
2、(Uniform Design)是一种试验设计是一种试验设计方法方法(Experimental Design Method),(Experimental Design Method),称为均匀称为均匀设计设计(Uniform Design)(Uniform Design)或均匀设计试验或均匀设计试验法法(Uniform Design Experimentation)(Uniform Design Experimentation)。所有的试所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，均匀设计也不例外，它代表性点的方法，均匀设计也不例
3、外，它是只考是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法方法。它由方开泰教授和数学家王元在。它由方开泰教授和数学家王元在19781978年共年共同提出，是数论方法中的同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法伪蒙特卡罗方法”的的一个应用。一个应用。1.2 均匀设计的特点 均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正
4、交设分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设计计 (Orthogonal Design)(Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代是根据正交性来挑选代表点的，它在挑选代表点时有两个特点表点的，它在挑选代表点时有两个特点: : 均匀分均匀分散，整齐可比。散，整齐可比。“均匀分散均匀分散”使试验点均衡地布使试验点均衡地布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性,“,“整齐可比整齐可比” ” 使试验结果的分析十分方便，易使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可分析各因素对
5、指标的影响大小和变化规律。但是，分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但是，为了为了1.2 均匀设计的特点（续1）照顾照顾“整齐可比整齐可比”, ,它的试验点并没有能做到充它的试验点并没有能做到充分分 “ “均匀分散均匀分散”; ;为了达到为了达到“整齐可比整齐可比”，试验，试验点的数目就必须比较多点的数目就必须比较多( (例如用正交表安排每因例如用正交表安排每因素素为为q q个水平数的多因素试验个水平数的多因素试验, ,试验的次数试验的次数为为rqrq2 2,r,r为自然数为自然数) )。均匀设计只考虑试验点在试验范围。均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分内充分“均匀散布均匀散布”而不考虑而
6、不考虑“整齐可比整齐可比”, ,因因此它的试验布点的均匀性会比正交设计试验点的此它的试验布点的均匀性会比正交设计试验点的均匀性更好，使试验点具有更好的代表性。由于均匀性更好，使试验点具有更好的代表性。由于这种方法不再考虑正交设计中为这种方法不再考虑正交设计中为“整齐可比整齐可比”而而设置的实验点，因而大大减少了试验次数，这是设置的实验点，因而大大减少了试验次数，这是它与正交试验设计法它与正交试验设计法1.2 均匀设计的特点（续2）的最大不同之处。采用均匀设计，每个因素的每的最大不同之处。采用均匀设计，每个因素的每个水平仅做一次试验，当水平数增加时，试验数个水平仅做一次试验，当水平数增加时，试验
7、数随水平数增加而增加，若采用正交设计，试验数随水平数增加而增加，若采用正交设计，试验数则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需做做961961次次5 5因素因素3131水平的试验，采用均匀设计只需水平的试验，采用均匀设计只需做做3131次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果的处理要采用回归分析方法的处理要采用回归分析方法线性回归或多项式线性回归或多项式回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归回归分析。回归分析中可对模型中因素进行
8、回归显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系1.2 均匀设计的特点（续3）时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才能完成。能完成。2 均匀设计的原理n n均匀设计表和使用表各部分的含义n n均匀设计表的构造方法n n均匀设计表的使用表的产生方法n n混合水平均匀设计表的产生方法2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义 均匀设计和正交设计相似，也
9、是通过一套精均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精心设计的表来进行试验设计的。均匀设计心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用表用U Un n(q(qs s) )或或 U Un n* *( (q qs s) )表示表示, ,其中代表均匀设计其中代表均匀设计, ,代表代表要做的试验次数要做的试验次数, ,代表每个因素代表每个因素有有个水平个水平，代表该代表该表有表有列，有和无代表的是用两种列，有和无代表的是用两种不同类型的均匀设计表不同类型的均匀设计表, ,类型表是类型表是由由U Un+1n+1类型的类型的表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以下下用
10、用均匀设计表均匀设计表U U1111(11(116 6) )、U U9 9* *(9(94 4) )和它们各自的和它们各自的使用表介绍一下表的各部分代表的意义使用表介绍一下表的各部分代表的意义( (表中未表中未用列已经删除用列已经删除) )：均匀设计均匀设计表表U U1111(11(116 6) )和它的使用表和它的使用表 均匀设计均匀设计表表 U U1111(11(116 6) U) U1111(11(116 6) )的的使用使用表表 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 61 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5
11、5 56 6 6 67 7 7 78 8 8 89 9 9 91010101011111111 1 2 3 5 7 10 1 2 3 5 7 10 1 2 3 5 7 10 1 2 3 5 7 10 2 4 6 10 3 9 2 4 6 10 3 9 2 4 6 10 3 9 2 4 6 10 3 9 3 6 9 4 10 8 3 6 9 4 10 8 3 6 9 4 10 8 3 6 9 4 10 8 4 8 1 9 6 7 4 8 1 9 6 7 4 8 1 9 6 7 4 8 1 9 6 7 5 10 4 3 2 6 5 10 4 3 2 6 5 10 4 3 2 6 5 10 4 3
12、2 6 6 1 7 8 9 5 6 1 7 8 9 5 6 1 7 8 9 5 6 1 7 8 9 5 7 3 10 2 5 4 7 3 10 2 5 4 7 3 10 2 5 4 7 3 10 2 5 4 8 5 2 7 1 3 8 5 2 7 1 3 8 5 2 7 1 3 8 5 2 7 1 3 9 7 5 1 8 2 9 7 5 1 8 2 9 7 5 1 8 2 9 7 5 1 8 210 9 8 6 4 110 9 8 6 4 110 9 8 6 4 110 9 8 6 4 111 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 1111
13、 11 11 11 11 11S S列列 号号D D2 2 1 5 1 50.16320.16323 3 1 4 5 1 4 50.26490.26494 4 1 3 4 5 1 3 4 50.35280.35285 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 50.42860.42866 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 60.49420.4942说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使
14、用表的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表s s s s一栏的数一栏的数一栏的数一栏的数字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行试验时该如何选择设计表的列；使用表中试验时该如何选择设计表的列；使用表中试验时该如何选择设计表的列；使用表中试验时该如何选择设计表的列；使用表中D D D D栏代表不同因素栏代表不同因素栏代表不同因素栏代表不同因素数选择设计
15、表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。均匀设计均匀设计表表U U9 9* *(9(94 4) )和它的使用表和它的使用表 均匀设计均匀设计表表U U9 9* *(9(94 4) U) U9 9* *(9(94 4) )的使用的使用表表1 2 3 41 2 3 41 12
16、23 34 45 56 67 78 89 91 3 7 91 3 7 92 4 6 82 4 6 83 9 1 73 9 1 74 2 8 64 2 8 65 5 5 55 5 5 56 8 2 46 8 2 47 1 9 37 1 9 38 4 6 28 4 6 29 7 3 19 7 3 1s s列列 号号D D2 2 1 2 1 20.15740.15743 3 2 3 4 2 3 40.19800.19802.2 均匀设计表的构造方法 用好格子用好格子点法点法(Good Lattice Point)(Good Lattice Point)构造均构造均匀设计表的方法如下：匀设计表的方法如
17、下：(1) (1) 定义试验次数定义试验次数n,n,寻求比小的整数寻求比小的整数h,h,且使且使和和的最大公约数为的最大公约数为1,1,符合这些条件的正整数组符合这些条件的正整数组成一个向量成一个向量h=(hh=(h1 1,h hm m) )；(2) (2) 均匀设计均匀设计表的表的第列第列由由u uijij= =ihihj jmodmod n( n(同余同余运算运算) ) 产生产生，若，若jhjhi i超过超过 n,n,则用它减则用它减去去 n n的一个的一个适当的倍数，使差落在适当的倍数，使差落在1,n1,n之中之中。u uijij可以递推可以递推来生成来生成：u u1j1j= =h hj
18、 j，u ui+1,ji+1,j= =u uijij+h+hj j( (若若u uijij+h+hj jnn) )或者或者u ui+1,ji+1,j= =u uijij+h+hj-nj-n( (若若u uijij+h+hj jn)n)，这里这里i=1,n-1i=1,n-1。2.2 均匀设计表的构造方法（续1） 用上述方法生成的表记用上述方法生成的表记作作U Un n(n(nm m),),例如例如n=11n=11时，时，可以形成象前面介绍可以形成象前面介绍的的U U1111(11(116 6) )表。向量表。向量h h称为该称为该表的生成向量，可以表的生成向量，可以将将U Un n(n(nm m
19、) )记成记成U Un n(h)(h)。给定给定n,n,相应的相应的 h h可以用上面的方法求得，从而可以用上面的方法求得，从而 m m也就确也就确定了，所以定了，所以 m m是是 n n的一个函数，称为欧拉函数的一个函数，称为欧拉函数，记为记为E(n)E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列。根据数论结果可知：能有多少列。根据数论结果可知：(1)(1)当当n n为素数为素数时时,E(n-1)=n-1;(2),E(n-1)=n-1;(2)当当n n为素数为素数幂幂时时, ,即即n n可表示可表示成成n=pn=pl l, ,这里这里p p为素数为素数,
20、l,l为正整数为正整数，E(n)=n(1-1/p)E(n)=n(1-1/p)，如如n=9,n=9,可表为可表为n=3n=32 2, ,于是于是 E(9)=9(1-1/3)=6,E(9)=9(1-1/3)=6,即即U U9 9最多可以最多可以有有6 6列列;(3);(3)若若 n n不属于上述两种情况，不属于上述两种情况，2.2 均匀设计表的构造方法（续2）这时这时 n n一定可以表示为不同一定可以表示为不同数的方幂积，数的方幂积，即：即：n=pn=p1 1l1l1p p2 2l2l2p ps slsls, ,这里这里p p1 1,p ps s 为为不同的素数不同的素数，l l1 1,l ls
21、s为正整数，这时为正整数，这时E(n)=n(1-1/pE(n)=n(1-1/p1 1)(1-)(1-1/p1/ps s),),例如例如n=12n=12可表为可表为n=2n=22 23,3,于是于是E(12)=12(1-E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,1/2)(1-1/3)=4,即即U U1212最多可能有最多可能有4 4列。上述的三列。上述的三种情形中以种情形中以 n n为素数时最好，最多可以为素数时最好，最多可以有有n-1n-1列，列，非素数时表的结构中永远不可能有非素数时表的结构中永远不可能有 n-1n-1列，比如列，比如E(6)=2E(6)=2，则最多只能安排两个试验因
22、素，为此则最多只能安排两个试验因素，为此, ,王元和方开泰建议王元和方开泰建议，用用 U Un+1n+1 表划去最后一行构造表划去最后一行构造形成新的形成新的U Un n* *表，如表，如U U6 6* *(6(66 6) )可有可有6 6列之多。列之多。2.3 均匀设计表的使用表的产生方法 每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的原因是：从均匀设计原因是：从均匀设计表表U Un n(n(nm m) )中选出中选出 s s列列, , 则可能则可能的选择的选择有有( (m ms
23、)s)种，种， 但不同列组合起来所代表的点但不同列组合起来所代表的点集的均匀性是不同的，所设计试验的效果也是不集的均匀性是不同的，所设计试验的效果也是不同的，因而如何选用均匀设计表中的列必须引入同的，因而如何选用均匀设计表中的列必须引入一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的准则很多准则很多, ,其中偏差其中偏差(discrepancy)(discrepancy)是使用历史最是使用历史最久、最为广泛接受的方法，均匀设计也同样采用久、最为广泛接受的方法，均匀设计也同样采用偏差来衡量其设计表的均匀性，偏差越小，则设偏差来衡量其设计表的均匀性，偏差越小，则
24、设计表的均匀性越好。计表的均匀性越好。2.3 均匀设计表的使用表的产生方法（续1） 由于这个报告的目的是向大家介绍这种试验由于这个报告的目的是向大家介绍这种试验方法，而且关于偏差计算的内容也很多，因而关方法，而且关于偏差计算的内容也很多，因而关于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方法在此不做介绍（有特别需要者可以参见参考文法在此不做介绍（有特别需要者可以参见参考文献献1 1 ）使用者只需要按每个均匀设计表所附的使）使用者只需要按每个均匀设计表所附的使用表进行试验安排即可。比如，欲进行一个因用表进行试验安排即可。比如，欲进行一个因素、每因素素、每因素
25、1313水平的试验，可以选用均匀设计水平的试验，可以选用均匀设计表表U U1313* *(13(134 4) )，使用表中推荐的列为使用表中推荐的列为1,3,4,1,3,4,则所有则所有1313次试验时各因素的水平组合为：次试验时各因素的水平组合为：2.3 均匀设计表的使用表的产生方法(续2)均匀设计均匀设计表表U U1313*(13*(134 4) )和它的使用表及和它的使用表及3 3因素时各次试验的因素水平组合方式因素时各次试验的因素水平组合方式1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 41 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 67 7
26、 7 78 8 8 89 9 9 9101010101111111112121212131313131 5 9 111 5 9 112 10 4 82 10 4 83 1 13 53 1 13 54 6 8 24 6 8 25 11 3 135 11 3 136 2 12 106 2 12 107 7 7 77 7 7 78 12 2 48 12 2 49 3 11 19 3 11 110 8 6 1210 8 6 1211 13 1 911 13 1 912 4 10 612 4 10 613 9 5 313 9 5 3S S S S列列 号号D D D D2 2 2 2 1 31 30.0
27、9620.09623 3 3 3 1 3 41 3 40.14420.14424 4 4 4 1 2 3 41 2 3 40.20760.2076试验次数序号试验次数序号试验次数序号试验次数序号因素因素因素因素1 1 1 1选用水平选用水平选用水平选用水平因素因素因素因素2 2 2 2选用水平选用水平选用水平选用水平因素因素因素因素3 3 3 3选用水平选用水平选用水平选用水平1 1 1 11 1 1 19 9 9 9111111112 2 2 22 2 2 24 4 4 48 8 8 83 3 3 33 3 3 3131313135 5 5 54 4 4 44 4 4 48 8 8 82 2
28、 2 25 5 5 55 5 5 513131313131313136 6 6 66 6 6 612121212101010107 7 7 77 7 7 77 7 7 77 7 7 78 8 8 88 8 8 82 2 2 24 4 4 49 9 9 99 9 9 9111111111 1 1 110101010101010106 6 6 6121212121111111111111111131313139 9 9 91212121212121212101010106 6 6 613131313131313135 5 5 53 3 3 32.4 混合水平均匀设计表的产生方法 上面介绍的是各试验
29、因素水平数相等情况下上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用的拟水平法。一个试验次数为的拟水平法。一个试验次数为 n n的设计表，试验的设计表，试验因素中某个或几个因素的水平数不足因素中某个或几个因素的水平数不足n,n,为为m(n m(n 必必须为须为 m m的的整数整数倍倍),),则将设计表中代表该因素的水则将设计表中代表该因素的水平合并，具体的
30、合并方法平合并，具体的合并方法是：是：设设 i i为该试验因素为该试验因素的第的第 i i水平水平(i=1,2,n)(i=1,2,n)，将将 i i从小到大分成从小到大分成 m m组，每组，每组有组有n/mn/m个个i,i,用用 i i所在所在的组的的组的数值数值 m m代替代替设计表中的设计表中的 i,i,这样就形成了混合水平设计表混这样就形成了混合水平设计表混合水平的设计表的例子如下：合水平的设计表的例子如下：2.4 混合水平均匀设计表的产生方法(续1)用用U U1010* *(10(108 8) )产生产生3 3因素因素的的U U1010(105(1052 2) )的过程的过程 用用U
31、U1111构造构造U U1010计算计算出出U U1010中的中的3 3列列形成拟水平均匀设计形成拟水平均匀设计表表U U1010(105(1052 2) ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 91010101011111111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5
32、 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 5 10 4 9 3 8 2
33、7 1 6 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
34、8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 9 7 5 3 1 10 8 6 4 210 9 8 7 6 5 4 3 2 110 9 8 7 6 5 4 3 2 110 9 8 7 6 5 4 3 2 110 9 8 7 6 5 4 3 2 111 11 11 11 11 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 11 11 11
35、 3 5 9 3 5 9 3 5 9 3 5 9 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 910101010 3 5 9 3 5 9 3 5 9 3 5 9 6 10 7 6 10 7 6 10 7 6 10 7 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 1 9 3 1 9 3 1 9 3 1 9 3 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 7 8 10 7 8 10 7 8 10 7 8 1010 2 810 2 810 2 810 2 8 2 7 6 2 7 6 2 7 6 2
36、 7 6 5 1 4 5 1 4 5 1 4 5 1 4 8 6 2 8 6 2 8 6 2 8 6 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 910101010 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 9 2 3 9 2 3 9 2 3 9 2 3 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 7 4 5 7 4 5 7 4 5 7 4 5
37、10 1 410 1 410 1 410 1 4 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 8 3 1 8 3 1 8 3 1 8 3 13 均匀设计的应用方法n n试验设计的共性问题n n均匀设计的应用方法n n具体问题的解决方法3.1 试验设计的共性问题试验设计（如正交试验设计、回归正交试验试验设计（如正交试验设计、回归正交试验设计、旋转设计设计、旋转设计、D-D-最优设计等）过程必然离不最优设计等）过程必然离不开试验基础内容的构思（试验的评价指标；试验开试验基础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、水平的选择和试验次数的拟定）、试验
38、的因素、水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键，和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也下列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也包括均匀设计）的人员应该是有益的：包括均匀设计）的人员应该是有益的：3.1 试验设计的共性问题（续1）（1 1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指标的因素通常是很多的，通常固定的试验因验指标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验方案中并不称为因素，只有变化
39、的因素素在试验方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素；才称为因素；（2 2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得太多选得太多( (如超过如超过1010个个) )，那样可能会造成主次不，那样可能会造成主次不分；相反地，因素也不宜选得太少（如只选定一、分；相反地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素），这样可能会遗漏重要的因素，或遗二个因素），这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作用，使试验的结果达不到预期漏因素间的交互作用，使试验的结果达不到预期的目的；的目的；3.1 试验设计的共性问题（续2）（3 3） 关于各因素的水平范围：试验水平
40、范围应关于各因素的水平范围：试验水平范围应当尽可能大一点。如果试验在实验室进行，试验当尽可能大一点。如果试验在实验室进行，试验范围大比较容易实现；如果试验直接在生产中进范围大比较容易实现；如果试验直接在生产中进行，则试验范围不宜太大，以防产生过多次品，行，则试验范围不宜太大，以防产生过多次品，或产生危险。试验范围太小的缺点是不易获得比或产生危险。试验范围太小的缺点是不易获得比已有条件有显著改善的结果；已有条件有显著改善的结果；（4 4） 关于因素的水平数：若试验水平范围允许关于因素的水平数：若试验水平范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些；大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些
41、；3.1 试验设计的共性问题（续3）（5 5） 关于因素的水平间隔：水平间隔的大小和关于因素的水平间隔：水平间隔的大小和生产控制精度是密切相关的。如不切实际地降低生产控制精度是密切相关的。如不切实际地降低试验的水平间隔，在试验范围确定了的情况下必试验的水平间隔，在试验范围确定了的情况下必然会引起试验次数的增加；而因素水平间隔太大，然会引起试验次数的增加；而因素水平间隔太大，其试验结果的中不确定性成分也必然增加；其试验结果的中不确定性成分也必然增加；（6 6） 因素和水平的含意可以是广义的：例如五因素和水平的含意可以是广义的：例如五种棉花用于织同一种布，要比较不同棉花影响布种棉花用于织同一种布，
42、要比较不同棉花影响布的质量的效应，这时的质量的效应，这时“棉花品种棉花品种”可设定为一个可设定为一个因素，五种棉花就是该因素下的五个水平。因素，五种棉花就是该因素下的五个水平。3.2 均匀设计的应用方法 均匀设计的具体应用过程一般分以下六个步骤：(1) 确定试验指标、因素、因素水平范围和因素水平数（这是关系到试验成功与否的关键）；(2) 选择合适的均匀设计表建立分次试验的具体因素水平组合；(3) 执行分次试验并取得每次试验的指标值；3.2 均匀设计的应用方法（续1）(4) (4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因用分次试验的指标值和取得该指标值的各因素水平值建立试验指标素水平值建立试验指
43、标各因素水平关系的回归各因素水平关系的回归模型（模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一这也是均匀设计中的最重要的环节之一) )；(5) (5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试成功地建立了回归模型后在各试验因素的试验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组合的验证试验（也可和步骤一起进行合的验证试验（也可和步骤一起进行) )；(6) (6) 验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范围，重新选择均匀设计表（即从步骤开始）进围，重新选择均匀设计表（即从步骤开始）进行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一行各因素
44、范围缩小和水平划分更为细致的新的一轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件，情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件，试验结束。试验结束。3.3 具体问题的解决方法n n试验次数问题试验次数问题n n设计表的选择设计表的选择n n回归模型建立回归模型建立n n回归模型优化回归模型优化n n试验参数优化试验参数优化n n使用均匀设计时需要注意的其它问题使用均匀设计时需要注意的其它问题3.3.1 试验次数问题均匀设计的最大特点是试验次数等于因素的均匀设计的最大特点是试验次数等于因素的最大水平数，而不是平方的关系
45、，试验次数与被最大水平数，而不是平方的关系，试验次数与被考察的因素的个数有关，建议试验次数选为因素考察的因素的个数有关，建议试验次数选为因素数的倍左右为宜，这样选择的均匀设计表的均数的倍左右为宜，这样选择的均匀设计表的均匀性好，也有利于以后的建模和优化。匀性好，也有利于以后的建模和优化。3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点：选择均匀设计表需要注意以下几点：(1) (1) 要满足试验次数的要求：即确定要满足试验次数的要求：即确定U Un n表表n n的问题，的问题，关于这一点，见前面的建议；关于这一点，见前面的建议；(2) (2) 表的列数要满足试验因素数的要求：表的列数要满
46、足试验因素数的要求：如如U U6 6(6(62 2) )表和表和U U6 6* *(6(66 6) )表，虽然表，虽然 n n值相同，可前者有值相同，可前者有列，只能安排因素试验，而后者最多却可以列，只能安排因素试验，而后者最多却可以安排因素试验。安排因素试验。(3) U(3) Un n* *表比表比U Un n表有更好的均匀性，在确定了试验表有更好的均匀性，在确定了试验次数次数n n的情况下的情况下, ,若若U Un n* *表也能满足因素数的要求，表也能满足因素数的要求，应优先采用应优先采用U Un n* *表：表：U Un n* *表是由表是由U Un+1n+1表划去最后一行表划去最后一
47、行3.3.2 设计表的选择（续）得到的，得到的，若若n n为偶数为偶数，U Un n* *表比表比U Un n表有更多的表有更多的列，列，若若 n n为奇数为奇数, ,则则U Un n* *表的列通常少于表的列通常少于U Un n表。表。(4) U(4) Un n* *表比表比U Un n表更表更容易安排试验：容易安排试验： U Un n表的最后一表的最后一行全部由组成行全部由组成，而，而U Un n* *表则不然。例如在化工反表则不然。例如在化工反应中，若所有因素的水平都按一个方向排列，则应中，若所有因素的水平都按一个方向排列，则在表的最后一行的所有因素的水平值不是最高就在表的最后一行的所有
48、因素的水平值不是最高就是最低，所有高水平组合很容易出现反应过分剧是最低，所有高水平组合很容易出现反应过分剧烈甚至爆炸，所有低水平组合则可能出现反应异烈甚至爆炸，所有低水平组合则可能出现反应异常甚至不能进行的现象。常甚至不能进行的现象。3.3.3 回归模型建立 回归模型可分为线性回归模型和非线性模型回归模型可分为线性回归模型和非线性模型等。等。3.3.3.1 3.3.3.1 线性回归模型线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。(1) (1) 一元线性回归模型一元线性回归模型 模型模型为为 y=y=a+bxa+bx, ,线性相关的程度常用相关系
49、线性相关的程度常用相关系数来衡量，在某一显著性水平数来衡量，在某一显著性水平下，当相关系数下，当相关系数的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x x和和y y有线性相关关系。有线性相关关系。注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分回归方程，还有因素回归方程，还有因素的组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本文论述中为了直观的原的组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本
50、文论述中为了直观的原因，可能将因，可能将“回归方程回归方程”表述为表述为“回归模型回归模型”。3.3.3.1 线性回归模型（续）(2) (2) 多元线性回归模型多元线性回归模型 当影响因变量的自变量不止一个时，比如当影响因变量的自变量不止一个时，比如有个有个x x1 1,x xm m 这时和之间的线性回归方程这时和之间的线性回归方程为：为：y=a+by=a+b1 1x x1 1+b+b2 2x x2 2+,+,+b bm mx xm m, ,其其回归显著性检验回归显著性检验一般用检验一般用检验，方程中各项在回归中的重要性用方程中各项在回归中的重要性用该项的偏回归平方和进行判定。由于其回归系数该
51、项的偏回归平方和进行判定。由于其回归系数的求解需要解用来确定回归系数的的方程组的求解需要解用来确定回归系数的的方程组-正正规方程，通常情况下仅此一项工作就导致分析过规方程，通常情况下仅此一项工作就导致分析过程中需要进行大量的计算，在方程项数很少的情程中需要进行大量的计算，在方程项数很少的情况下还可以通过人工方式在可接受的时间内完成，况下还可以通过人工方式在可接受的时间内完成，否则一般都要借助计算机才能完成。否则一般都要借助计算机才能完成。3.3.3.2 非线性回归模型 一般分为二次型回归模型、多项式回归模型一般分为二次型回归模型、多项式回归模型等。等。(1) (1) 二次型回归模型二次型回归模
52、型 由于因素间常有交互作用，那么前面的回归由于因素间常有交互作用，那么前面的回归模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常常为人们所采用常为人们所采用。若有。若有 m m个因素则二次型回归模个因素则二次型回归模型为：型为：回归方程中的回归方程中的项数为项数为m(m+3)/2m(m+3)/2，若使回归系数的若使回归系数的估计成为可能，则需要试验次数估计成为可能，则需要试验次数n1+m(m+3)/2n1+m(m+3)/2，因此进入方程的变量必须经过筛选，如采用前进因此进入方程的变量必须经过筛选，如采用前进3.3.3.2 非线性回归模型（续1）法、后退法、逐
53、步回归法或最优子集法等进行变法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换量的筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线性回归的方法完成。按多元线性回归的方法完成。 (2) (2) 多项式回归模型多项式回归模型 一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：可通过类似可通过类似x x1 1=Z=Z1 1,x,x2 2=Z=Z2 2,x,x3 3=Z=Z1 12 2,x,x4 4=Z=Z1 1Z Z2 2,x,x5 5=z=z2 22 2 的的变换，将其按多元线性回归分析。多项式回归在变换，将其按多元线性回归分析。多项式
54、回归在回归分析中占特殊地位回归分析中占特殊地位，因为任何函数至少因为任何函数至少在一在一3.3.3.2 非线性回归模型（续2）个比较小的邻域内可用多项式任意逼近，因此在个比较小的邻域内可用多项式任意逼近，因此在比较复杂的的实际问题中，可以不问与各因素比较复杂的的实际问题中，可以不问与各因素的确切关系如何，而采用多项式进行分析（一次的确切关系如何，而采用多项式进行分析（一次多项式是多项式的特例）。在多项式回归模型中，多项式是多项式的特例）。在多项式回归模型中，常用的子模型结构如下：常用的子模型结构如下：3.3.3.2 非线性回归模型（续3）（1 1）对数）对数(Logarithm)(Logari
55、thm)：包括自然对数、常用对数包括自然对数、常用对数和以和以n n为底对数，为底对数，数学表达式分别数学表达式分别为为Ln(xLn(x) )、Lg(xLg(x) )、LogLogn n(x(x)以下将以下将“数学表达式数学表达式”和和“函数函数”类的语句省略类的语句省略 （2 2）幂）幂(Power)(Power)：整数次幂、非整数整数次幂、非整数次幂，次幂，x xn n（3 3）倒数倒数(Reciprocal)(Reciprocal)：1/x1/x（4 4）三角函数三角函数(Trigonometric function)(Trigonometric function)、反三角函数反三角函数
56、(Inverse (Inverse trigonometric function)(trigonometric function)(涉及力学领域等常用，比如工件的切割、涉及力学领域等常用，比如工件的切割、弹道轨迹等弹道轨迹等),),包括有：正弦包括有：正弦 Sin(X)Sin(X)、余弦余弦 Cos(XCos(X) )、正切正切 Tan(X)Tan(X)、余切余切 Cotan(XCotan(X) )、正割正割 Sec(X)Sec(X)、余割余割 Cosec(X)Cosec(X)、双曲正弦双曲正弦 HSin(XHSin(X) )、双曲余弦双曲余弦 HCos(XHCos(X) )、双曲正切双曲正切
57、 HTan(XHTan(X) )、双曲余切双曲余切 HCotan(XHCotan(X) )、双双曲正割曲正割 HSec(XHSec(X) )、双曲余割双曲余割 HCosec(XHCosec(X) )、反正弦反正弦 Arcsin(XArcsin(X) )、反余反余弦弦 Arccos(XArccos(X) )、反正切反正切 Atn(XAtn(X) )、反余切反余切 Arccotan(XArccotan(X) )、正割正割：Arcsec(XArcsec(X) )、反余割反余割：Arccosec(XArccosec(X) )、反双曲正弦反双曲正弦：HArcsin(XHArcsin(X) )、反反双曲余
58、弦双曲余弦：HArccos(XHArccos(X) )、反双曲正切反双曲正切：HArctan(XHArctan(X) )、反双曲余切反双曲余切：HArccotan(XHArccotan(X) )、反双曲正割反双曲正割：HArcsec(XHArcsec(X) )、反双曲余割反双曲余割：HArccosec(XHArccosec(X) )。（5 5）幂指数幂指数：a anxnx3.3.3.3 回归模型建立 回归模型的建立过程在很大程度上需要结合回归模型的建立过程在很大程度上需要结合专业知识和经验。虽然试验者正在用均匀设计研专业知识和经验。虽然试验者正在用均匀设计研究的某个问题的未知因素很多，也可能有
59、些问题究的某个问题的未知因素很多，也可能有些问题是试验者全然不知道的（就象试验者在未建立回是试验者全然不知道的（就象试验者在未建立回归模型前肯定不知道模型的具体形式一样归模型前肯定不知道模型的具体形式一样),),但试但试验者在试验中所采用具体试验实施操作肯定是和验者在试验中所采用具体试验实施操作肯定是和各种专业紧密相关的，只要试验者思考一下，哪各种专业紧密相关的，只要试验者思考一下，哪个因素在什么时间、什么过程参加了什么反应，个因素在什么时间、什么过程参加了什么反应，以及对试验的指标有何影响（有些时候可以比较以及对试验的指标有何影响（有些时候可以比较明确地指出这个因素对试验指标的影响，而有些明
60、确地指出这个因素对试验指标的影响，而有些时候就不能断言时候就不能断言),),那么试验者只要寻着这样一个那么试验者只要寻着这样一个3.3.3.3 回归模型建立（续1）思路考虑，肯定可以找出在模型中应该添加或不思路考虑，肯定可以找出在模型中应该添加或不添加某个模型组成项的依据。添加某个模型组成项的依据。 下面用一个例子来说明建模的思路和过程：下面用一个例子来说明建模的思路和过程：例子：为研究石墨炉原子吸收分光光度计法测定例子：为研究石墨炉原子吸收分光光度计法测定微量元素钯的工作条件，确定了灰化温度微量元素钯的工作条件，确定了灰化温度x x1 1、灰灰化时间化时间x x2 2、原子化温度原子化温度x
61、 x3 3 和原子化时间和原子化时间x x4 4四个因四个因素，其试验评价指标为吸光度。由原子化机理可素，其试验评价指标为吸光度。由原子化机理可知，灰化温度和原子化温度对吸光度的的影响可知，灰化温度和原子化温度对吸光度的的影响可拟合为二次函数，即在模型中应该拟合为二次函数，即在模型中应该有有x x1 12 2和和 x x3 32 2项项, ,这两个因素发生在不同时间，因而不存在交互作这两个因素发生在不同时间，因而不存在交互作3.3.3.3 回归模型建立（续2）用用,x,x1 1x x3 3项可不列为考察目标。灰化时间和原子化项可不列为考察目标。灰化时间和原子化时间对试验指标的影响比较复杂，也可
62、用二次项时间对试验指标的影响比较复杂，也可用二次项逼近，忽略它们的交互作用，方程中应该逼近，忽略它们的交互作用，方程中应该有有x x2 22 2、x x4 42 2项。因为还只是根据专业知识和经验进行推断，项。因为还只是根据专业知识和经验进行推断，具体每个因素对结果的影响到底如何还属未知，具体每个因素对结果的影响到底如何还属未知，那么，各因素的一次项理所当然也参加进方程中，那么，各因素的一次项理所当然也参加进方程中，这样就可以拟定出一个这样就可以拟定出一个y=by=b0 0+b+b1 1x x1 1+b+b2 2x x2 2+b+b3 3x x3 3+b+b4 4x x4 4+b+b5 5x
63、x1 12 2+b+b6 6x x2 22 2+b+b7 7x x3 32 2+b+b8 8x x4 42 2的原始的多项式回归模型。至于这个模型的表达的原始的多项式回归模型。至于这个模型的表达效果到底如何，暂时可以不用理会，只是试验者效果到底如何，暂时可以不用理会，只是试验者3.3.3.3 回归模型建立（续3）已经按照专业知识和经验拟定出一个有明确意义已经按照专业知识和经验拟定出一个有明确意义的回归模型了！接下来就是用多元回归分析的方的回归模型了！接下来就是用多元回归分析的方法，进行模型的计算和按照一定的显著性水平对法，进行模型的计算和按照一定的显著性水平对模型有效性及模型中各组成项的显著性
64、进行检验模型有效性及模型中各组成项的显著性进行检验的过程了，可以计算出原始模型的各回归系数分的过程了，可以计算出原始模型的各回归系数分别别为为：b b0 0= 3.83610= 3.83610-1-1；b b1 1= 1.00110= 1.00110-5-5；b b2 2=-3.32410=-3.32410-3-3；b b3 3=-3.52910=-3.52910-4-4；b b4 4= 1.42110= 1.42110-2-2；b b5 5=-3.58410=-3.58410-8-8；b b6 6= 4.03410= 4.03410-5-5；b b7 7= 9.85210= 9.85210-
65、8-8；b b8 8=-1.07610=-1.07610-3-3。对模型进行回归显著性检验，其检验对模型进行回归显著性检验，其检验值为值为66.620,66.620,临界值临界值0.050.05(8,3)=8.8452(8,3)=8.8452，高度显著性，高度显著性，复相关系数达到复相关系数达到0.99720.9972。3.3.4 回归模型优化 若对上面例子中列入回归方程中的项按某一若对上面例子中列入回归方程中的项按某一显著性水平（本显著性水平（本例中取例中取=0.05)=0.05)逐个进行显著性逐个进行显著性检验，就可以发现检验，就可以发现，x x1 1、x x2 22 2、x x3 3、x
66、 x4 4及及x x4 42 2对回归对回归无显著作用，将它们从模型中剔除，则可以确立无显著作用，将它们从模型中剔除，则可以确立如下的回归模型：如下的回归模型：y=by=b0 0+b+b1 1x x2 2+b+b2 2x x1 12 2+b+b3 3x x2 22 2+ b+ b4 4x x3 32 2回归系数分别回归系数分别为：为：b b0 0=-5.3510=-5.3510-2-2；b b1 1=-3.0510=-3.0510-3-3；b b2 2=-3.1410=-3.1410-8-8；b b3 3= 3.5310= 3.5310-5-5；b b4 4= 3.4210= 3.4210-8
67、-8。对模型进行回归显著性检验，其检验值为对模型进行回归显著性检验，其检验值为184.38184.38，临界值，临界值0.050.05(4,7)=4.1203,(4,7)=4.1203,同样高度著，同样高度著，3.3.4 回归模型优化（续1）复相关系数为复相关系数为0.99720.9972。这样就成功地建立了一个。这样就成功地建立了一个去伪存真的精简的更能真实地表达因素和指标间去伪存真的精简的更能真实地表达因素和指标间关系的回归模型。关系的回归模型。 观察上面的回归模型，我们还可以发现，原观察上面的回归模型，我们还可以发现，原子化时间子化时间 x x4 4这个试验因素在回归模型中没有出现，这个
68、试验因素在回归模型中没有出现，证明它是一个对试验指标影响不显著的因素，在证明它是一个对试验指标影响不显著的因素，在后续的进一步的试验条件优化过程中，我们完全后续的进一步的试验条件优化过程中，我们完全可以放弃对这个因素的观察，只将它保持在普通可以放弃对这个因素的观察，只将它保持在普通状态，使之成为一个静态的状态，使之成为一个静态的“因素因素”而将它从真而将它从真正对试验起显著作用的行列中剔除，这样就减轻正对试验起显著作用的行列中剔除，这样就减轻了了3.3.4 回归模型优化（续2）试验的负担，也进一步降低了试验的误差。若在试验的负担，也进一步降低了试验的误差。若在其它试验中通过回归模型优化后同样发
69、现了不显其它试验中通过回归模型优化后同样发现了不显著因素，而它又是个实际消耗资源的因素，那么著因素，而它又是个实际消耗资源的因素，那么模型优化的意义则更加显著了。模型优化的意义则更加显著了。3.3.5 试验参数优化建立了回归模型后，如何在试验范围内找到建立了回归模型后，如何在试验范围内找到最好的试验因素组合？这就是所谓的参数优化最好的试验因素组合？这就是所谓的参数优化( (或称为试验优化或称为试验优化) )需要解决的问题了。需要补充需要解决的问题了。需要补充说明的是，之所以是在试验范围内，是因为回归说明的是，之所以是在试验范围内，是因为回归分析方法所建立的模型在试验范围内有效，不能分析方法所建
70、立的模型在试验范围内有效，不能说在扩大了范围的情况下它还是有效的（有时，说在扩大了范围的情况下它还是有效的（有时，根据具体情况做适当的外推是可以的，但也仅仅根据具体情况做适当的外推是可以的，但也仅仅是限定在根据每个试验的具体情况，这是个经验，是限定在根据每个试验的具体情况，这是个经验，一般正式的学术方面的书籍或文献在论述这个问一般正式的学术方面的书籍或文献在论述这个问题时或不提倡外推或允许适度外推题时或不提倡外推或允许适度外推),),否则外推则否则外推则是在冒险。是在冒险。3.3.5 试验参数优化（续1） 多元函数多元函数 f(xf(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,xn n) )描述
71、的是在多维描述的是在多维空间中的一个响应面，求响应面极值的方法有很空间中的一个响应面，求响应面极值的方法有很多，如间接的微分法、几何规划法、直接消去法、多，如间接的微分法、几何规划法、直接消去法、直接爬山法以及因素轮换法等，限于时间和篇幅，直接爬山法以及因素轮换法等，限于时间和篇幅，这里仅对微分法求函数极值进行简单的介绍，更这里仅对微分法求函数极值进行简单的介绍，更详细的内容和其它方法见参考文献详细的内容和其它方法见参考文献55或自行参考或自行参考任何微积分或相关方面的书籍。若求得了函数的任何微积分或相关方面的书籍。若求得了函数的多个极值多个极值( (极小值或极大值极小值或极大值) )，那么将
72、这些极值在，那么将这些极值在函数的全域范围内进行比较，则可以得到我们想函数的全域范围内进行比较，则可以得到我们想要的最大值或最小值，该极值点处各变量的值则要的最大值或最小值，该极值点处各变量的值则是我们寻找的试验条件的最优值。是我们寻找的试验条件的最优值。3.3.5 试验参数优化（续2）n n 间接的微分法 将寻求目标函数最优值的问题间接地归结为解它的一阶导数为零的方程组，即将函数按各自变量求一阶偏导数并使其等于零，解由此组成的方程组即可找到函数的极值点，将极值点的各变量值代入函数中即可求得函数极值（极值分极大值和极小值，但不对等于最大值或最小值),下面给出一个此方法的例子：3.3.5 试验参
73、数优化（续）函数函数 y=110y=1103 3x x1 1+410+4109 9x x1 1-1-1x x2 2-1-1+2.510+2.5105 5x x2 2, ,其中其中0x0x1 122002200，0x0x2 288。令函数关于令函数关于x x1 1和和x x2 2的两个一阶偏导数都为零的两个一阶偏导数都为零, ,这样这样得到两个联立方程：得到两个联立方程：解此联立方程，求得唯一的极解此联立方程，求得唯一的极值点，即得值点，即得x x1 1=1000=1000，x x2 2=4=4， 函数函数极值为极值为 y=310y=3106 6, , 是极大值还是极是极大值还是极小小值值呢？函
74、数的限定条件呢？函数的限定条件是是0x0x1 122002200，0x0x2 288，3.3.5 试验参数优化（续）很明显，这几个系数都是正数，变量取值范围也很明显，这几个系数都是正数，变量取值范围也都非负，而极值点的变量的值不是取各自的最大都非负，而极值点的变量的值不是取各自的最大值，因此这个极值是极小值，因为函数在此区间值，因此这个极值是极小值，因为函数在此区间上仅有一个极值点，所以这个极值点的值也是此上仅有一个极值点，所以这个极值点的值也是此函数区间上的最小值。函数区间上的最小值。 这是最简单且快速的适合用手工方法求解函这是最简单且快速的适合用手工方法求解函数极值的方法。关于求函数极值和
75、试验最优条件数极值的方法。关于求函数极值和试验最优条件的求解，许多已知的软件也可以做这方面的工作，的求解，许多已知的软件也可以做这方面的工作，比如比如MatLab(MatrixMatLab(Matrix Laboratory) Laboratory)等等。等等。 上面介绍的是求函数极值的一种方法，当然，上面介绍的是求函数极值的一种方法，当然，在实际中，任何均匀设计专门软件都可以将这个在实际中，任何均匀设计专门软件都可以将这个过程自动完成而不需要使用者自行通过类似的手过程自动完成而不需要使用者自行通过类似的手工计算的方式求解试验最优条件。工计算的方式求解试验最优条件。3.3.6 使用均匀中需要注
76、意的问题3.3.6.1 3.3.6.1 最优条件在试验范围边界上的问题最优条件在试验范围边界上的问题 若试验优化后发现个别因素的最优条件在其若试验优化后发现个别因素的最优条件在其试验范围的边界上，那么一般说来这是一个试验试验范围的边界上，那么一般说来这是一个试验范围不足的信号，这一点，在初次大范围的试验范围不足的信号，这一点，在初次大范围的试验结束并进行了首次试验优化后就应该发现，无论结束并进行了首次试验优化后就应该发现，无论如何也不应该在全部试验都结束了才察觉到它，如何也不应该在全部试验都结束了才察觉到它，否则您找的最优试验条件则是真真正正的否则您找的最优试验条件则是真真正正的 “ “局局部
77、最优部最优” ” 条件了。条件了。 出现了这种现象，解决的办法一般是在进一出现了这种现象，解决的办法一般是在进一步的试验中大力缩小该因素另外一端的范围而适步的试验中大力缩小该因素另外一端的范围而适3.3.6.1 3.3.6.1 最优条件在试验范围边界上的问题最优条件在试验范围边界上的问题( (续续) )当加宽不足一边的试验范围。之所以是适当加宽，当加宽不足一边的试验范围。之所以是适当加宽，还是前面提到的模型适用范围的问题，因为进一还是前面提到的模型适用范围的问题，因为进一步优化的基础是试验者承认了先前的那个试验范步优化的基础是试验者承认了先前的那个试验范围条件下建立的模型，而偏偏个别因素最优值
78、在围条件下建立的模型，而偏偏个别因素最优值在边界上，实在是有进一步探询的必要。否定先前边界上，实在是有进一步探询的必要。否定先前的模型是没有根据的，放弃模型不用更是不应该的模型是没有根据的，放弃模型不用更是不应该的，欲发现真正的最优试验条件，调整试验范围的，欲发现真正的最优试验条件，调整试验范围是必须的。是必须的。 检验给出的显著性与否是判断回归模型是检验给出的显著性与否是判断回归模型是否有效的当然依据，一般情况下，回归平方和与否有效的当然依据，一般情况下，回归平方和与剩余平方和的比值越大，则模型的可信度愈高，剩余平方和的比值越大，则模型的可信度愈高，表现在复相关系数或相关系数表现在复相关系数
79、或相关系数上，上，R R2 2 数值就越大数值就越大（一元线性回归分析常用相关系数表述相关关系（一元线性回归分析常用相关系数表述相关关系的大小的大小，且，且R R值可正可负）值可正可负）, ,但是建模的过程中，但是建模的过程中，我们不能简单地追求高的回归平方和与剩余平方我们不能简单地追求高的回归平方和与剩余平方和的比值和的比值（或大的（或大的R R2 2 值值),),模型的建立一定要根据模型的建立一定要根据专业的知识进行，数理统计中一个重要的概念是专业的知识进行，数理统计中一个重要的概念是自由度自由度，若选进，若选进方程中的项过多，使误差自由度方程中的项过多，使误差自由度为甚至为，虽然为甚至为
80、，虽然R R2 2 更加接近于更加接近于1,1,模型看上去模型看上去3.3.6.2 模型好坏的判断标准的问题3.3.6.2 模型好坏的判断标准的问题（续）很完美，但这时有关的结论的可靠性是很差的。很完美，但这时有关的结论的可靠性是很差的。一般应保持误差自由度（即剩余平方和自由度一般应保持误差自由度（即剩余平方和自由度)5)5，这也就是为什么主张选用值大一些的设，这也就是为什么主张选用值大一些的设计表进行设计或有前面的计表进行设计或有前面的 “ “试验次数选为因素试验次数选为因素数的倍左右为宜数的倍左右为宜” ” 观点的原因了。观点的原因了。 以上是对均匀设计原理和应用方法等的简单介绍，大家只要
81、按着这样的一条线索记忆就可以了：表的含义安排试验回归建模参数寻优继续试验最优条件。 因为均匀设计方法需要专门的计算机软件的支持，下面简要介绍一下均匀设计软件方面的内容。4 均匀设计软件n n对均匀设计软件基本功能的要求n n均匀设计方面软件的介绍n n均匀设计软件功能的介绍4.1 对均匀设计软件基本功能的要求1 1、遵循均匀设计基本原理，必须产生可见的能、遵循均匀设计基本原理，必须产生可见的能够用于指导试验者进行试验安排的均匀设计表；够用于指导试验者进行试验安排的均匀设计表；2 2、必须能对试验者的原始设计数据根据均匀设、必须能对试验者的原始设计数据根据均匀设计表进行排列并产生供试验者进行试验
82、的试验方计表进行排列并产生供试验者进行试验的试验方案；案；3 3、程序必须具备回归模型建立和模型优化功能、程序必须具备回归模型建立和模型优化功能的模块；的模块；4 4、必须具备试验最优条件判定功能的模块。、必须具备试验最优条件判定功能的模块。下面简单阐述一下这几个下面简单阐述一下这几个“必须必须”的理由：的理由：4.1 对均匀设计软件功能的基本要求(续1)(1) (1) 之所以要求产生可见的均匀设计表，是便于之所以要求产生可见的均匀设计表，是便于用户对试验设计进行综合的考虑，对用户更加深用户对试验设计进行综合的考虑，对用户更加深入地理解均匀设计亦有好处；入地理解均匀设计亦有好处；(2) (2)
83、 作为均匀设计的软件，试验方案的建立必须作为均匀设计的软件，试验方案的建立必须在用户输入了原始设计数据后由系统自动生成，在用户输入了原始设计数据后由系统自动生成，试验方案的输出可以是多样的，但在当前阶段，试验方案的输出可以是多样的，但在当前阶段，必须包括可以由打印机打印的输出方式；必须包括可以由打印机打印的输出方式；(3) (3) 均匀设计对试验数据的分析采用回归分析方均匀设计对试验数据的分析采用回归分析方法进行，而且用均匀设计方法设计的多是多因素、法进行，而且用均匀设计方法设计的多是多因素、多水平的试验，其数据计算量非常巨大，这个工多水平的试验，其数据计算量非常巨大，这个工4.1 对均匀设计
84、软件功能的基本要求(续2)作必须由计算机完成。再者，均匀设计是一种通作必须由计算机完成。再者，均匀设计是一种通用的试验法，它的建模功能必须强劲，为适应多用的试验法，它的建模功能必须强劲，为适应多项式回归分析，其函数功能必须丰富，保证满足项式回归分析，其函数功能必须丰富，保证满足建立复杂和特殊模型的需求，这样才能满足各门建立复杂和特殊模型的需求，这样才能满足各门类科学研究的需要；模型优化功能也是必需的，类科学研究的需要；模型优化功能也是必需的，没有模型优化功能，用户所建模型的可信度就不没有模型优化功能，用户所建模型的可信度就不好评价好评价( (主要是列入模型中的项和因为方程项的主要是列入模型中的
85、项和因为方程项的过多引入而导致误差自由度降低进而导致检验过多引入而导致误差自由度降低进而导致检验结论的可靠性下降的问题结论的可靠性下降的问题) )。4.1 对均匀设计软件功能的基本要求(续)(4) (4) 试验条件优化是给出最优试验条件的过程，试验条件优化是给出最优试验条件的过程，在均匀设计专门软件中应该是必不可少的，软件在均匀设计专门软件中应该是必不可少的，软件应该具备根据回归模型自动给出试验范围内各因应该具备根据回归模型自动给出试验范围内各因素的最优条件组合以获取最优试验指标的功能，素的最优条件组合以获取最优试验指标的功能，不应该要求用户通过第三方软件或手工计算的方不应该要求用户通过第三方
86、软件或手工计算的方式来实现。式来实现。4.2 均匀设计方面软件的介绍 根据几年来我对与均匀设计方面的有关软件的跟踪根据几年来我对与均匀设计方面的有关软件的跟踪和调查，到目前为止，已知的这方面的专业软件有和调查，到目前为止，已知的这方面的专业软件有 “ “均均匀设计软件包匀设计软件包(UST40)”(UST40)”，对于这个软件的前身，方开泰对于这个软件的前身，方开泰教授在其专著教授在其专著11中也曾经提过，该软件于中也曾经提过，该软件于19901990年开始研年开始研制，制，19941994年正式推出，作为均匀设计创始人之一的方开年正式推出，作为均匀设计创始人之一的方开泰教授给这个软件以很高的
87、评价，泰教授给这个软件以很高的评价，19941994年月日的题年月日的题词称其为词称其为 “ “构思精巧，面向实际，菜单管理，方便使用。构思精巧，面向实际，菜单管理，方便使用。分析细腻，国内屈指，包装考究，水平国际分析细腻，国内屈指，包装考究，水平国际”;1998;1998年年推推出出的的UST4.0UST4.0版本的均匀设计软件包是一个版本的均匀设计软件包是一个可在可在Windows Windows 95/9895/98的的MS-DOSMS-DOS环境下运行的中文软件，需要汉字辅助系环境下运行的中文软件，需要汉字辅助系统统( (如如“成然成然CCDOS97”)CCDOS97”)的支持的支持,
88、“,“软件的主要功能有：软件的主要功能有：均匀设计、数据输入、建立模型和参数优化四部分均匀设计、数据输入、建立模型和参数优化四部分”。新增加功能有新增加功能有“在数据处理中增加了取对数和指数的变在数据处理中增加了取对数和指数的变换换”。4.2 均匀设计方面软件的介绍（续1） 这是我所知道的在均匀设计方面最具权威性的一个这是我所知道的在均匀设计方面最具权威性的一个专业软件，它首次将均匀设计的原理和方法通过计算机专业软件，它首次将均匀设计的原理和方法通过计算机软件的形式表达了出来，使均匀设计这个国产技术的优软件的形式表达了出来，使均匀设计这个国产技术的优秀试验法的实施变得容易和方便起来，开创了均匀
89、设计秀试验法的实施变得容易和方便起来，开创了均匀设计专业软件的先河！专业软件的先河！ 这个软件采用了硬件自我保护方式，因此也就严重这个软件采用了硬件自我保护方式，因此也就严重地限制了它的传播。我认为，软件保护的应该是软件的地限制了它的传播。我认为，软件保护的应该是软件的合适的生命周期，只要在合理的时间段内不被非法使用，合适的生命周期，只要在合理的时间段内不被非法使用，就是成功的保护；对软件进行保护的同时，不应该把软就是成功的保护；对软件进行保护的同时，不应该把软件自身囚禁起来。件自身囚禁起来。 均匀设计自均匀设计自19801980年正式公诸于世，年正式公诸于世，19941994年成立了中年成立
90、了中国数学会均匀设计分会，在一些省市也有机构，同年有国数学会均匀设计分会，在一些省市也有机构，同年有4.2 均匀设计方面软件的介绍（续2）了专业的软件包，可均匀设计被推广了这么多年，时至了专业的软件包，可均匀设计被推广了这么多年，时至今日，全国合计起来用户也就几十家，我想和这些类似今日，全国合计起来用户也就几十家，我想和这些类似的专门软件的不流通有很大的关系，因为没有专门的软的专门软件的不流通有很大的关系，因为没有专门的软件的支持，均匀设计的具体应用是很困难的，因此，我件的支持，均匀设计的具体应用是很困难的，因此，我认为均匀设计还远远没有发挥出它的使用价值，在均匀认为均匀设计还远远没有发挥出它
91、的使用价值，在均匀设计和均匀设计软件的推广、应用等诸多方面，还有很设计和均匀设计软件的推广、应用等诸多方面，还有很多实际工作要做以及进行推广方式的改进和完善。多实际工作要做以及进行推广方式的改进和完善。4.3 均匀设计软件功能的介绍 自自20002000年，我利用业余时间，按照均匀设计的原理，年，我利用业余时间，按照均匀设计的原理，通过查阅各种相关资料，编译了运行于微软通过查阅各种相关资料，编译了运行于微软 WindowsWindows操操作平台上的一个叫做作平台上的一个叫做“均匀设计均匀设计”的共享软件，它可以的共享软件，它可以运行于微软自运行于微软自19951995年以来发布的任何主流个人
92、计算机中年以来发布的任何主流个人计算机中文操作平台上（不是文操作平台上（不是WindowsWindows下的下的MS-DOSMS-DOS环境），自今年环境），自今年6 6月起月起在在 http:/http:/wangyufang_wangyufang_ /这个网址发这个网址发布。该软件具备上述我认为均匀设计软件应该具备的基布。该软件具备上述我认为均匀设计软件应该具备的基本功能，此外还有按回归模型进行结果预报的模块；内本功能，此外还有按回归模型进行结果预报的模块；内核集成了可以分别在不同显著性水平下进行检验运算核集成了可以分别在不同显著性水平下进行检验运算的模块（著性水平可为的模块（著性水平可为
93、0.010.01、0.050.05、0.100.10、0.150.15、0.200.20、0.250.25），可以查询上述显著性水平下的第一、第二自由），可以查询上述显著性水平下的第一、第二自由度均可高达度均可高达6060的检验临界值表以及自由度同样可达到的检验临界值表以及自由度同样可达到4.2 均匀设计方面软件的介绍（续3）6060的相关系数临界值表；试验设计输出有多种形的相关系数临界值表；试验设计输出有多种形式，既可内存传送、磁盘保存，也可直接打印；式，既可内存传送、磁盘保存，也可直接打印；程序运行过程中的任何数据都可以明文或密码的程序运行过程中的任何数据都可以明文或密码的方式进行保存或读
94、取；分析结果除以文本方式显方式进行保存或读取；分析结果除以文本方式显示外，还有图形可供观察，非常直观；在回归模示外，还有图形可供观察，非常直观；在回归模型设置方面，通过鼠标点击操作就可完成，为适型设置方面，通过鼠标点击操作就可完成，为适应涉及力学等方面建模的需要，内置了全部三角应涉及力学等方面建模的需要，内置了全部三角函数，可拟定非常复杂的模型以满足各种用户的函数，可拟定非常复杂的模型以满足各种用户的需要。需要。 这是我发布的第一个均匀设计方面的程序，这是我发布的第一个均匀设计方面的程序，限于个人水平，缺点、不足在所难免，欢迎大家限于个人水平，缺点、不足在所难免，欢迎大家给予批评指正，使我能把
95、它做得更好。给予批评指正，使我能把它做得更好。结束语 希望大家通过我的报告能对均匀设计有个了解，希望均匀设计这个先进的试验设计方法能在中国的大地上乃至全世界广泛应用起来，服务于科研，造福于人类。 让我们共同努力，把均匀设计做得更好！谢谢大家！参考文献1 1 1 1 方开泰著方开泰著方开泰著方开泰著,1994,1994,1994,1994,均匀设计与均匀设计表均匀设计与均匀设计表均匀设计与均匀设计表均匀设计与均匀设计表, , , ,科学出版社科学出版社科学出版社科学出版社. . . .2 2 2 2 方开泰方开泰方开泰方开泰,1980,1980,1980,1980,均匀设计均匀设计均匀设计均匀设
96、计数论方法在试验设计的应用数论方法在试验设计的应用数论方法在试验设计的应用数论方法在试验设计的应用, , , ,应用数学学报应用数学学报应用数学学报应用数学学报, , , , Vol.3,No.4.Vol.3,No.4.Vol.3,No.4.Vol.3,No.4.3 3 3 3 中国科学院数学研究所数理统计组编中国科学院数学研究所数理统计组编中国科学院数学研究所数理统计组编中国科学院数学研究所数理统计组编,1974,1974,1974,1974,归分析方法归分析方法归分析方法归分析方法, , , ,科学出版社科学出版社科学出版社科学出版社. . . .4 4 4 4 秦建侯秦建侯秦建侯秦建侯,
97、 , , ,邓勃邓勃邓勃邓勃, , , ,王小芹编著王小芹编著王小芹编著王小芹编著,1989,1989,1989,1989,分析测试数据统计处理中计算机的应用，分析测试数据统计处理中计算机的应用，分析测试数据统计处理中计算机的应用，分析测试数据统计处理中计算机的应用，化学工业出版社化学工业出版社化学工业出版社化学工业出版社. . . .5 D.J.5 D.J.5 D.J.5 D.J.华尔德华尔德华尔德华尔德,C.S.,C.S.,C.S.,C.S.皮特勒著皮特勒著皮特勒著皮特勒著, , , ,尤云程译尤云程译尤云程译尤云程译,1978,1978,1978,1978,优选法基础优选法基础优选法基础
98、优选法基础, , , ,科学出版社科学出版社科学出版社科学出版社. . . .6 6 6 6 冯康等编冯康等编冯康等编冯康等编,1978,1978,1978,1978,数值计算方法数值计算方法数值计算方法数值计算方法, , , ,国防工业出版社国防工业出版社国防工业出版社国防工业出版社. . . .7 7 7 7 裴鑫德编著裴鑫德编著裴鑫德编著裴鑫德编著,1991,1991,1991,1991,多元统计分析及应用多元统计分析及应用多元统计分析及应用多元统计分析及应用, , , ,北京农业大学出版社北京农业大学出版社北京农业大学出版社北京农业大学出版社. . . .8 A.8 A.8 A.8 A
99、.拉尔斯登拉尔斯登拉尔斯登拉尔斯登,H.S.,H.S.,H.S.,H.S.维尔夫著维尔夫著维尔夫著维尔夫著, , , ,该书翻译组译该书翻译组译该书翻译组译该书翻译组译,1976,1976,1976,1976,数字计算机上用的数学数字计算机上用的数学数字计算机上用的数学数字计算机上用的数学方法方法方法方法 第二卷第二卷第二卷第二卷, , , ,上海人民出版社上海人民出版社上海人民出版社上海人民出版社. . . .9 R.9 R.9 R.9 R.考尔卡考尔卡考尔卡考尔卡特特特特,R.,R.,R.,R.鲍迪著鲍迪著鲍迪著鲍迪著, , , ,王克谦王克谦王克谦王克谦, , , ,张华山译张华山译张华山译张华山译,1989,1989,1989,1989,分析化学工作者用统计分析化学工作者用统计分析化学工作者用统计分析化学工作者用统计学学学学, , , ,科学出版社科学出版社科学出版社科学出版社. . . .
