课标版课标版 理数理数§ 10.1 计数原理、排列与组合 计数原理、排列与组合 1.分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事有几类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各类不同方法种数的和,这就是知识梳理知识梳理① 分类加法计数原理 .(2)完成一件事,需要分成几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各步不同的方法种数的乘积,这就是② 分步乘法计数原理 . 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.3.排列(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 表示.(3)排列数公式: =n(n-1)…(n-m+1).(4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排列, =n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为 = ,规定0!=1.4.组合(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 表示.(3)计算公式: = = = .由于0!=1,所以 =1.5.组合数的性质(1) = ;(2) = + . 1.高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 ( )A.1 800 B.3 600 C.4 320 D.5 040 答案 B 两个舞蹈节目不连排,可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目,有 种排法;再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去,有 种排法,故由分步计数原理,有 · =3 600种.故选B. 2.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能值周一或周二,那么5名同学值日顺序的编排方案共有 ( )A.24种 B.48种 C.96种 D.120种 答案 B 先给甲同学安排值日,共有 =2种方法,再把其他四名同学安排到其余四天,共有 =24种方法,所以共有2×24=48种方法. 3.将三个分别标有A,B,C的小球随机地放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,则1号盒子内有球的不同放法的种数为 ( )A.27 B.37 C.64 D.81 答案 B 1号盒子内有1个球,共有 ×3×3=27种不同放法;1号盒子内有2个球,共有 ×3=3×3=9种不同放法;1号盒子内有3个球,共有1种放法.由分类加法计数原理知不同放法共有27+9+1=37种,故选B. 4.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有 种(用数字作答). 答案 840 解析 由题意知,从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表,共有 =840种. 5.从6名男生和4名女生中选出3人参加某个竞赛,若这3人中必须既有男生又有女生,则不同的选择方法共有 种. 答案 96 解析 ∵这3人中必须既有男生又有女生的选法有两类:2男1女、1男2女,∴不同的选法共有 + =15×4+6×6=96种. 典例1 (2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( )A.144 B.120C.72 D.24 答案 D 解析 先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有 =24种放法,故选D.典例题组典例题组排列问题 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素(位置)优先原则,即先安排有限制条件的元素(位置),对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题,不相邻问题分别采用捆绑法,插空法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 1-1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间. 解析 (1)解法一:元素分析法.先排甲有6种,再排其余人有 种,故共有6· =241 920(种)排法. 解法二:位置分析法.中间和两端有 种排法,包括甲在内的其余6人有 种排法,故共有 · =336×720=241 920(种)排法.解法三:等机会法.9个人全排列有 种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意得,甲不在中间及两端的排法总数是 × =241 920(种).解法四:间接法. -3· =6 =241 920(种).(2)先排甲、乙,再排其余7人.共有 · =10 080(种)排法.(3)插空法.先排4名男生有 种方法,再将5名女生插空,有 种方法,故共有 · =2 880(种)排法. 1-2 用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数? 解析 本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6(种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · · =54.由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个). 典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( )A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 答案 C 解析 从6名男医生中选出2名有 种选法,从5名女医生中选出1名有 种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有 · =75种.故选C.组合问题 组合问题的常见类型及处理方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 2-1 某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生当选;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选;(5)既要有队长,又要有女生当选. 解析 (1)只有一名女生当选等价于有一名女生,四名男生当选.故共有 · =350(种). (2)两队长当选,共有 · =165(种).(3)至少有一名队长当选含有两类:只有一名队长当选,有两名队长当选.故共有: · + · =825(种).(或采用排除法: - =825(种)).(4)至多有两名女生当选含有三类:有两名女生当选,只有一名女生当选,没有女生当选.故选法共有 · + · + =966(种).(5)分两类:第一类女队长当选: ;第二类女队长不当选: · + · + · + .故选法共有 + · + · + · + =790(种). 2-2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有 ( ) A.11种 B.20种 C.21种 D.12种 答案 C 解析 当第一组开关有一个接通时,电路接通有 ( + + )=14种方式;当第一组开关有两个接通时,电路接通有 ( + + )=7种方式.所以共有14+7=21种方式,故选C. 典例3 (1)(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.(2)(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答). 答案 (1)36 (2)60 解析 (1)记其余两件产品为D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有 种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,共有 =2×6×3=36种不同的摆法.(2)不同的获奖情况可分为以下两类:排列与组合的综合应用问题 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 =36种获奖情况.②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况.故不同的获奖情况有36+24=60种. (1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组数的阶乘数,有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数. 3-1 有4个不同的球与4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法? 解析 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”,即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球分别放 在另外2个盒子内,由分步计数原理知,共有 =144(种).(2)恰有1个盒内有2个球,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有 种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 种方法;第二类有序均匀分组有 · 种方法.故共有 =84(种). 3-2 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析 (1)无序不均匀分组问题.先选1本,有 种选法;再从余下的5本中选2本,有 种选法;最后余下3本全 选,有 种选法.故共有 =60(种). (1分)(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 =360(种). (2分)(3)无序均匀分组问题.分三组,则应有 种分法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 种情况,而这 种情况仅是AB,CD,EF的顺序不 同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 =15(种). (4分)(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式 · = =90(种). (6分)(5)无序部分均匀分组问题.共有 =15(种). (8分)(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式 · =90(种). (10分)(7)直接分配问题.甲选1本,有 种方法;乙从余下的5本中选1本,有 种方法;余下4本留给丙,有 种方法.共有分配方式 =30(种). (12分) 。