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1、学习必备欢迎下载不等式恒成立问题中的参数求解策略摘要：不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问
2、题得到顺利解决。常常有以下两类情况：可化为二次函数在R上恒成立问题设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）（ 2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。例 1 对于 xR，不等式0m3x2x2恒成立，求实数m 的取值范围。解 ： 不 妨 设m3x2x)x(f2， 其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 ， 为 了 使)Rx(0)x(f，只需0，即0)m3(4)2(2，解得2(m2m，。变形：若对于xR，不等式03mx2mx2恒成立，求实数m 的取值范围。此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx2mx)x(f2。当 m=0 时， 30，显然成立。当
3、m0 时，则 03m0。当m0 时，显然不等式不恒成立。由知)30m，。关 键 点 拨 ： 对 于 有 关 二 次 不 等 式0cbxax2（ 或 0） 的 问 题 ， 可 设 函 数cbxax)x(f2，由 a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。可化为二次函数在闭区间上恒成立问题设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
4、 - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或例 2 已知函数2kx2x)x(f2，在1x时恒有k)x(f，求实数k 的取值范围。解：令k2kx2xk)x(f)x(F2，则0)x(F对一切1x恒成立， 而)x(F是开口向上的抛物线。当图象与x 轴无交点满足0，即0)k2(4k42，解得 2k1。当图象与x 轴有交点，且在)1x，时0)x(F，只需1k2k30k2k211k2k12k20)1(F0，
5、或由知1k3关键点拨：为了使k)x(f在)1x，恒成立，构造一个新函数k)x(f)x(F是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。二、利用函数最值法（分离参数法）如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系， 则可以利用函数的单调性求解。)x(fa恒成立max)x(fa，即大于时大于函数)x(f值域的上界。)x(fa恒成立min)x(fa，即小于时小于函数)x(f值域的下界。例 3 （1）求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。解析：由于函43,4)4(),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。已知二次函数xa
6、x)x(f2，如果 x 0， 1时1|)x(f |，求实数a 的取值范围。解： x 0，1时，1)x(f11|)x(f|，即1xax12当 x=0 时， a R 当 x 10( ，时， 问题转化为1xax1xax22恒成，由x1x1a2恒成立，即求x1x12名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的最大值。设4121x1x1x1)x(u22。因)x(u)1 x110(x，为减函数，所以当
7、 x=1 时，2)x(umax，可得2a。由x1x1a2恒成立，即求x1x12的最小值。设4121x1x1x1)x(v22。因)x(v)1x110(x，为增函数，所以当x=1 时，0)x(vmin，可得 a0。由知0a2。关键点拨：在闭区间 0， 1 上使1|)x(f|分离出 a， 然后讨论关于x1的二次函数在)1 ，上的单调性。三、变换主元法，适用于一次函数型在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例 6 若不等式)1x(m1x22，对满足2m2所有的 x 都成立，求x 的取值范围。解：原不等式可化为0) 1x2()1x(m2令)
8、2m2)(1x2(m)1x()m(f2是关于 m 的一次函数。由题意知0) 1x2()1x(2)2(f0)1x2()1x(2)2(f22解得231x271x 的取值范围是231271，关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。四、数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 7、当 x(1,2) 时，不等式 (x-1)2logax 恒成立，求a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。解：设T1:( )f x=2(1)x,T2:( )logag xx
9、, 则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), ( )f x1, 并且必须也只需(2)(2)gf故 loga21,a1,1a2. x y o 1 2 y1=(x-1)2y2=logax 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载对应练习：1、设124( )lg,3xxaf x其中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围。分析：如果(.1)x时，( )f
10、x恒有意义，则可转化为1240xxa恒成立，即参数分离后212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义1240xxa，对(,1)x恒成立 . 212(22)4xxxxa(.1)x恒成立。令2xt，2( )()g ttt又(.1)x则1(,)2t( )ag t对1(,)2t恒成立，又( )g t在1,)2t上为减函数，max13( )( )24tgg，34a。2、设函数是定义在(,)上的增函数， 如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转
11、化为212axxa对于任意0,1x恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：( )f x是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立212axxa对于任意0,1x恒成立210xaxa对于任意0,1x恒成立，令2( )1g xxaxa，0,1x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以原问题min()0g x，又min(0),0()(),2022,2gaag xgaa即2
12、min1,0( )1, 2042,2aaag xaaa易求得1a。3、已知当 xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及 x，本题必须由x 的范围（ xR）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5当 xR时，不等式a+cos2x(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2x则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3-a+53a2方法二）题目中出现了si
13、nx及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x, 故若采用换元法把sinx换元成 t, 则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t-1,1, 不等式 a+cos2x0,t-1,1恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在-1，1内单调递减，min)(tf=f(1)=2-a,2-a0a2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
14、- - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4、设 f(x)=x2-2ax+2, 当 x-1,+) 时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：在 f(x)a 不等式中， 若把 a 移到等号的左边， 则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. )当= （-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0 时， 即-2a0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x 与一次函数y=8x-6a-3 ，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y
15、1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示， T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和 l2之间。 （包括 l1但不包括l2) 当直线为l1时，直线过点（-20 ，0）此时纵截距为-1 o x y x y l1 l2 l-20 o 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -
16、学习必备欢迎下载-6a-3=160,a=6163; 当直线为l2时， 直线过点（0， 0） ， 纵截距为 -6a-3=0 ， a=21a 的范围为 6163，21） 。6、对于满足 |p|2 的所有实数 p, 求使不等式 x2+px+12p+x恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量， x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于 p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10, 令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, 则原问题等价于 f(p)0在 p-2,2上恒成立，故有：方法一：10(2)0xf或10( 2)0xfx3. 方法二：( 2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. o y 2 -2 x y -2 2 x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
