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1、8/21/2024三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式第二节第二节洛必达法则洛必达法则 18/21/2024微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化( 或或 型型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则28/21/2024一、一、存在存在 (或为或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则洛必达法则) 【定义定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
2、方法称为洛必达法则. .38/21/2024推论推论1.定理定理 1 中中换为下列过程之一换为下列过程之一:推论推论 2. 若若理理1条件条件, 则则条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.洛必达法则洛必达法则58/21/2024例例1. 求求解解:原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !洛洛洛洛68/21/2024例例2. 求求解解: 原式原式 思考思考: 如何求如何求 ( n 为正整数为正整数) ?洛洛78/21/2024二、二、型未定式型未定式存在存在 (或为或为)定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)88/21/
3、2024说明说明: 定理中定理中换为换为之一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立.118/21/2024例例3. 求求解解:原式原式例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式洛洛洛洛洛洛128/21/2024例例4. 求求(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.从而从而由由(1)用夹逼准则用夹逼准则存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,138/21/2024例例4.例例3. 说明说明:1) 例例3 , 例例4 表明表明时时,后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .例如例如,事实上事实上用洛必达法则用洛必
4、达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 148/21/20243) 若若例如例如,极限不存在极限不存在不能用洛必达法则不能用洛必达法则 ! 即即 158/21/2024三、其他未定式三、其他未定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例5. 求求解解: 原式原式洛洛168/21/2024解解: 原式原式例例6. 求求通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化洛洛178/21/2024例例7. 求求解解: 利用利用 例例5通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取
5、对数取对数转化转化188/21/2024例例8. 求求解解: 注意到注意到原式原式洛洛198/21/2024例例3例例9. 求求法法1. 直接用洛必达法则直接用洛必达法则.下一步计算很繁下一步计算很繁 ! 法法2. 利用例利用例3结果结果.原式原式例例3208/21/2024内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则218/21/2024思考与练习思考与练习1. 设设是未定式极限是未定式极限 , 如果如果是否是否的极限也不存在的极限也不存在 ? 举例说明举例说明 .极限不存在极限不存在 , 说明说明3) 3) 原式原式分析分析:说明说明3)228/21/2024分析分析:3.原式原式洛洛238/21
6、/2024则则4. 求求解解: 令令原式原式洛洛洛洛248/21/2024作业作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三节 258/21/2024洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家法国数学家,他著有他著有无穷小分析无穷小分析(1696),并在该书中提出了求未定式极并在该书中提出了求未定式极限的方法限的方法, 后人将其命名为后人将其命名为“ 洛必达法洛必达法的摆线难题的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出的“ 最速降最速降 线线 ” 问题问题 ,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的关于圆年出版了他的关于圆锥曲线的书锥曲线的书 .则则 ”.他在他在15岁时就解决了帕斯卡提出岁时就解决了帕斯卡提出268/21/2024求下列极限求下列极限 :解解:备用题备用题洛洛278/21/2024则则原式原式 =解解: 令令(用洛必达法则用洛必达法则)(继续用洛必达法则继续用洛必达法则)288/21/2024解解:原式原式 =第三节第三节 洛洛29
