2424第四节第四节 割线法割线法 数学学院 信息与计算科学系用常数用常数 M 来代替来代替 f ( xk )虽然简单，但没充分虽然简单，但没充分利用利用 f (x)本身的特性本身的特性，，因此收敛较慢因此收敛较慢若在牛顿迭代公式中改用差商若在牛顿迭代公式中改用差商代替导数代替导数 f (xk) ，，得迭代公式得迭代公式2、、割线（弦截）法割线（弦截）法 数学学院 信息与计算科学系每步用两个点，此格式为每步用两个点，此格式为双点割线法或记忆割线法双点割线法或记忆割线法可以证明它的收敛阶为可以证明它的收敛阶为确实比式确实比式收敛快 数学学院 信息与计算科学系将式将式每步只用一新点，此格式为每步只用一新点，此格式为单点割线法单点割线法两种方法都需要两个初始值才能启动两种方法都需要两个初始值才能启动中的中的 xk-1 改为改为 x0，，即即 数学学院 信息与计算科学系3、割线法的几何意义、割线法的几何意义双点割线法是用过点双点割线法是用过点 和和 两点的割线与两点的割线与 x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标 作为作为 的新的新近似值。
重复此过程，用过点近似值重复此过程，用过点 和和 的两点的割线与的两点的割线与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标 来作为来作为 的下一新的近似值的下一新的近似值如图表如图表2-5 数学学院 信息与计算科学系图图2-5图图2-6单点迭代法则是用过点单点迭代法则是用过点 和和 的两点的割线与的两点的割线与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标 来作为来作为的近似值，如图的近似值，如图2-6 数学学院 信息与计算科学系4、割线法收敛的速度、割线法收敛的速度定理定理这说明它是超线性收敛的这说明它是超线性收敛的( p =1.618>1 ) 而单点割线法在单根附近是线性收敛的单点割线法在单根附近是线性收敛的设设 的根为的根为 若 在在 附近附近有连续的二阶导数，有连续的二阶导数， ，而初值，而初值 充分接近充分接近 ，则双点割线法的迭代，则双点割线法的迭代过程收敛，收敛速度为过程收敛，收敛速度为 数学学院 信息与计算科学系 用牛顿迭代法和割线法求方程用牛顿迭代法和割线法求方程 f (x) = x4 + 2x2 – x – 3 = 0 在区间在区间（（1 , 1.5））内之根（误差为内之根（误差为 10-9）。
取取x0 =1.5, , 用牛顿法用牛顿法, , 可得可得 x6=1.12412303030；；而采用单点割线法，则迭代而采用单点割线法，则迭代18 次得次得x18=1.124123029.例例 3解解取取 x0 =1.5, x1=1, 用双点割线法用双点割线法, ,迭代迭代6 次得到同样次得到同样的结果，的结果， 。