《材料科学研究中的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料科学研究中的数学模型（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常用的数学建模方法有哪些？（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法（4）数据分析法答题重点：各种方法的定义，条件有限差分法解题示例 例：利用差分法解Laplace方程第一边值问题 (要求画出差分网格及写出差分方程组)。 数值微分：用差商作为导数近似值数值微分：用差商作为导数近似值第二章材料科学研究中常用的数值分析方法第二章材料科学研究中常用的数值分析方法解 采用正方形网格剖分，内结点按如图2-3所示编号。设内结点总数为N，对于每一个 (xi，yj)D0，利用数值微分公式 第二章材料科学研究中常用的数值分析方法第二章材料科学研究中常用的数值分析方法本题采用正方形网格，因此h1=h2 ,可推
2、出差分方程为4uij-u(i+1)j+u(i-1)j+ui(j+1)+ui(j-1)=-h2fij (xi, yj)D0本例中取本例中取h1=h2=0.125，采用正方形网格剖分，内结点按图采用正方形网格剖分，内结点按图2-3所示编号，按所示编号，按上式得上式得 其中，其中，u11对应对应u1，u21对应对应u2，u01为为0，u12对应对应u4，u10为为0，于是得，于是得4u1-u2-u4=0。其他，其他，u31对应对应u3，u22对应对应u5，u32对应对应u6，u13对应对应u7，u23对应对应u8，u33对应对应u9。其余类推得差分方程：其余类推得差分方程： 第二章材料科学研究中常用
3、的数值分析方法第二章材料科学研究中常用的数值分析方法u1=6.25u=12.5u3=18.75u4=12.50u5=25.00u6=37.50u7=18.75u8=37.50u9=56.25第二章材料科学研究中常用的数值分析方法第二章材料科学研究中常用的数值分析方法（2-54）（2-53）用Seidel迭代法求得n有限元法与有限差分法的比较有限元法与有限差分法的比较n1. 1. 有限元法处理物理问题，不需要建立微分方程这一步骤，并有限元法处理物理问题，不需要建立微分方程这一步骤，并且其物理问题在离散化的整个过程中就始终具有明确的物理意且其物理问题在离散化的整个过程中就始终具有明确的物理意义。而
4、有限差分法则不然。两种方法处理问题的数学方法有较义。而有限差分法则不然。两种方法处理问题的数学方法有较大差别。大差别。n2. 2. 有限差分法和有限元法在对区域的离散化方法上也有明显的有限差分法和有限元法在对区域的离散化方法上也有明显的差别。有限元法的三角形划分区域配置比较任意，其对边界和差别。有限元法的三角形划分区域配置比较任意，其对边界和界面的逼近良好，有较好的计算精度。计算格式复杂，但其可界面的逼近良好，有较好的计算精度。计算格式复杂，但其可以计算机化，程序也易标准化，故不影响其实际应用。以计算机化，程序也易标准化，故不影响其实际应用。n3. 3. 有限元法用统一的观点对区域内的节点和边
5、界节点列出计算有限元法用统一的观点对区域内的节点和边界节点列出计算格式。这样各节点的计算精度总体比较协调。而有限差分法各格式。这样各节点的计算精度总体比较协调。而有限差分法各节点精度总体上不够一致。节点精度总体上不够一致。n4. 4. 有限元法要求计算机内存量较大，需要准备输入的数据量也有限元法要求计算机内存量较大，需要准备输入的数据量也比较大，这是它的缺点之一。比较大，这是它的缺点之一。事实上，有限差分法比有限元法事实上，有限差分法比有限元法使用的更广法，有很多物理问题目前不能用有限元法处理，但使用的更广法，有很多物理问题目前不能用有限元法处理，但总能可以用有限差分法处理。总能可以用有限差分
6、法处理。特别是在边界形状比较规则时，特别是在边界形状比较规则时，采用有限差分法是最合适的。采用有限差分法是最合适的。写出导热微分方程的一般形式及其三类边界条件（A）第一类边界条件第一类边界条件 指指物体边界上的物体边界上的温度分布函数已知温度分布函数已知 ，用公式表示为，用公式表示为 或或(3-8)（B）第二类边界条件第二类边界条件 指指物体边界上的物体边界上的热流密度已知热流密度已知 ，用公式表示为，用公式表示为 或或(3-9)（C）第三类边界条件第三类边界条件 又称为又称为对流边界条件对流边界条件，是指物体与其周围环境介质间的对，是指物体与其周围环境介质间的对流传热系数流传热系数 k 和介
7、质的温度和介质的温度Tf 已知，用公式表示为已知，用公式表示为(3-10)19例题：例题： 如下图所示，有一个长宽比为如下图所示，有一个长宽比为2:1的矩形区域，已经划分为矩形的矩形区域，已经划分为矩形网格，且其长度方向和宽度方向的步长相等。其中内部网格，且其长度方向和宽度方向的步长相等。其中内部3个节点记为个节点记为1、2、3，这些节点的温度未知。假设所有边界点的温度已知，而且区域，这些节点的温度未知。假设所有边界点的温度已知，而且区域内无内热源。请利用有限差分法来计算节点内无内热源。请利用有限差分法来计算节点1、2、3的温度。的温度。 4. 平面温度场的有限差分求解平面温度场的有限差分求解
8、 20解：解： 由于矩形区域内无内热源，因此可以利用二维稳态导热方程的有由于矩形区域内无内热源，因此可以利用二维稳态导热方程的有限差分方程求解，即利用方程限差分方程求解，即利用方程 (3-18) ：4. 平面温度场的有限差分求解平面温度场的有限差分求解 实际上每个未知温度的节点的温度是实际上每个未知温度的节点的温度是其周围四个节点温度的平均其周围四个节点温度的平均值值。对每个未知温度的节点有：。对每个未知温度的节点有：节点节点1：节点节点2：节点节点3：21将边界条件带入上式，可以得出以下方程组将边界条件带入上式，可以得出以下方程组 ：4. 平面温度场的有限差分求解平面温度场的有限差分求解 求
9、解上述方程组，可得到结果为：求解上述方程组，可得到结果为： T1 = 160，T2 = 240，T3 = 400在固体中，扩散是物质传输的唯一方式。扩散与材料在生产和使用过程中的许多重要的物理化学过程密切相关，因此对扩散的浓度场的计算具有重要的意义。试简单表述Fick第一定律和Fick 第二定律。1. 扩散控制方程扩散控制方程 在固体中的扩散主要用Fick扩散定律来描述。Fick在1855年提出内容：在稳态扩散 (dC/dt=0)的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质的通量 J (单位是gcm-2s-1)与浓度梯度成正比。其数学表达式如下：（1）Fick第一定律 式中的负
10、号表示式中的负号表示扩散方向扩散方向与与 x 方向方向相反；相反；C是是溶质原子溶质原子的浓度，的浓度，单位为单位为gcm-3或原子数或原子数cm-3， D是是扩散系数扩散系数，单位为，单位为cm-2s-1。 1. 扩散控制方程扩散控制方程 （2）Fick第二定律nFick第一定律规定dC/dt=0，即在扩散过程中扩散物质的浓度不随时间变化。实际上，在多数情况下，扩散物质的浓度是与时间相关的，即dC/dt0。因此就必须采用Fick第二定律来描述非稳态扩散现象，即n 如如在在三三维维空空间间中中扩扩散散，且且在在x，y，z，三三个个方方向向上上的的扩扩散散系系数数分分别别为为Dx，Dy，Dz，则有则有n 若若Dx=Dy=Dz=D，即在三维空间中的扩散具有各向同性，则有即在三维空间中的扩散具有各向同性，则有 何为专家系统？组成它的有哪些部分？各实现哪些功能？人工神经网络技术在材料科学中的应用？计算机在材料加工中的应用有哪些？微型计算机控制系统的输入与输出部分包括哪些内容？日常学习过程中，经常需要从数据库中检索科技论文，目前可以通过教育网利用的全文数据库有哪些？（包括中文和英文两种）掌握正交实验方法谢谢，结束！
