运筹学习题库2

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1、运筹学习题库数学建模题（ 5）1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A、B、C三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：ABC甲9437 0乙4610120360200300试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。解：设甲、乙产品的生产数量应为x l、x 2,则x l、x 2 2 0 ,设z是产品售后的总利润，贝Im a x z =70XI+120X2s . t .2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下:甲乙可用量223000 吨原 材 料 （ 吨/ 件）工 时 （ 工时/ 件）52

2、. 54000工时零 件 （ 套/ 件）1500套产 品 利 润 （ 元/ 件）43建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。解：设甲、乙两种产品的生产数量为x r x2，设z为产品售后总利润，则max z = 4XJ+3X2s. t.3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源一一技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：技术服务劳动力行政管理 单位利润甲110210乙1426丙1564资源储备量100600300建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。解：建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种

3、产品的生产数量应为整、X 2、X 3,则X|、X2、X 3 2 0 ,设z是产品售后的总利润，则max z =10XI+6XZ+4X3s. t.4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备重量/ K g55261224重要性系数201518148410试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不 求 解 。解 ：引 入01变 量Xi, X i = l表 示 应 携 带 物 品j , , x

4、 = 0表 示 不 应 携 带 物 品 /5、工 厂 每 月 生 产A、B、C三 种 产 品 ，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量 、资源限量及单件产品利润如下图所示：资 、品源ABC资源限量材 料（ kg ）1 . 51 . 242500设 备 （ 台时）31 . 61. 21400利 润 （ 元 /件 ）101412根据市场需求，预 测 三 种 产 品 最 低 月 需 求 量 分 别 是150、260、120,最高需求量是250、310, 130,试建立该问题数学模型，使每 月利润最大，为 求 解 。解 ：设 每 月 生 产A、B、C数量为再, 9 ,当。6、A、B两种产品，都需要经

5、过前后两道工序，每 一 个 单 位 产 品A需 要 前 道 工 序1小 时 和 后 道 工 序2小 时 ，每 单 位 产 品B需 要 前 道 工 序2小 时 和 后 道 工 序3小 时 。可 供 利 用 的 前 道 工 序 有11小时，后 道 工 序 有17小 时 。 每 加 工 一 个 单 位 产 品B的同时， 会产生 两 个 单 位 的 副 产 品C ,且不需要任何费用， 产 品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出 售A、B、C的 利 润 分 别 为3、7、2元 ，每 单 位 产 品C的销毁 费 用 为1元 。预测表明，产 品C最 多 只 能 售 出13个 单 位 。试建立总利润最

6、大的生产计划数学模型，不求解。解 ：设 每 月 生 产A、B数量为七, 乙, 销毁的产品C为 七 。7、靠近某河流有两个化工厂（ 参见附图） ，流经第一化工厂的河流流量为每天500m 3在两个工厂之间有一条流量为200万加的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万加3 ,第二化工厂每天排放该污水1. 4万/。从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求,河流中的污水含量不应大于0. 2%0这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元 / 万 第 二 化 工 厂 的 为800元 / 万 现 在 要问满足环保的条件下，

7、每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？列出数学模型，不求解。和X2万 / ,8、消费者购买某一时期需要的营养物（ 如大米、猪肉、牛奶等） ，希望获得其中的营养成分（ 如：蛋白质、脂肪、维生素等） 。设市面上现有这3种营养物，其分别含有各种营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量（ 单位都略去）见下表。营养物营养成术 甲乙丙至少需要的营养成分数量A462080B1126 5C1037 0D2 173 54 5 0价格2 52 04 5问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，不用计算。解：设

8、购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为西 、马 和 龙3 ，则根据题意可得如下线性规划模型：9、某公司生产的产品A, B , C和D都要经过下列工序：包k立铳、钻孔和装配。已知每单位产品所需工时及本月四道工序可用生产时间如下表所示：又知四种产品对利润贡献及本月最少销售需要单位如下:刨立铳钻孔装配A0 . 52 . 00 . 53 . 0B1 . 01 . 0 .0 . 51 . 0 .C1 . 01 . 01 . 02 . 0D0 . 51 . 01 . 03 . 0可用生产时间 （ 小时）1 8 0 02 8 0 03 0 0 06 0 0 0产品最少销售需要单位元/ 单位A1 0 02B6

9、0 03C5 0 01D4 0 04问该公司该如何安排生产使利润收入为最大？ （ 只需建立模型）解：设生产四种产品分别X 1 , X 2 , X 3 , X 4 单位则应满足的目标函数为：m a x z = 2 X i + 3 x2+ x3+ x4满足的约束条件为：1 0 、某航空公司拥有1 0 架大型客机、1 5 架中型客机和2 架小型客机，现要安排从一机场到4 城市的航行计划， 有关数据如表1 - 5 , 要求每天到D 城有2 个航次（ 往返） ， 到A, B , C 城市各4 个航次（ 往返） ， 每架飞机每天只能完成一个航次，且飞行时间最多为1 8 小时，求利润最大的航班计戈上客机类型

10、到达城市飞行费用（ 元/ 次）飞行收入（ 元/ 次）飞行时间（ h / d ）大型A6 0 0 05 0 0 01B7 0 0 07 0 0 02C8 0 0 01 0 0 0 05D1 0 0 0 01 8 0 0 01 0中型A1 0 0 03 0 0 02B2 0 0 04 0 0 04C4 0 0 06 0 0 08D2 0小型A2 0 0 04 0 0 01B3 5 0 05 5 0 02C6 0 0 08 0 0 06D1 9解：设大型客机飞往A 城的架次为xz中型客机飞往A 城的架次为X 2 A, 小型客机飞往A 城的架次为X 3 A，其余依此类推。资源限制派出的大型客机架次不能

11、超过1 0 架，表示为工 2A + 工 28 + 无 2c 0且为整数；（ i=l , 2, 3;j=A , B , C , D ）目标函数为m a x z = -1 0 0 0 %IA + 0 x1 B + 20 0 0A-1 C + 8 0 0 0X + 20 0 0 +20 0 0 % + 20 0 0X2C + 20 0 0 x5A + 20 0 0 % + 20 0 0 x ,c1 1、AR1AR2AR4AR6联邦航空局的最大产量（ 每月生产的飞机数目）8171115建造飞机所需要的时间（ 天）47911每架飞机所需要的生产经理数目1122每架飞机的盈利贡献（ 千美元）6284103

12、125C R IS P公司下个月可以得到的生产经理的总数是6 0人。该公司的飞机制造设施可以同时在任何给定的时间生产多达9架飞机。因此，下一个月可以得到的制造天数是27 0天（ 9 * 30 ,每月按30天计算） 。Jo n a t ha n Kur in g是该公司飞机制造管理的主任，他想要确定下个月的生产计划安排，以便使盈利贡献最大化。解： 设/ 表示下个月生产A R 1型飞机的数目， 表示A R 2型， 七表示A R 4型， / 表示A R 6型目标函数：m a x z = 6 2x , + 8 4x2 + 1 0 3x3 + 1 25 x44西 + 1x2 + 9X3 + 1 l x4

13、 27 0X + / + 2毛 + 2% 4 6 0% ） 8约束条件：X21 7七41 1X40X i， %,0%为整数1 2、永辉食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B ,产品A可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产费用要增加4元，加工后单位售价可增加6元。原料N的单位购入价为2元， 上述生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有2 0万工时，每工时工资0 .5元，每加工1单位N需要1 .5工时，若A继续加工,每单位需3工时，如B继续加工，每单

14、位需2工时。原料N每月最多能得到1 0万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大?解：设芭为产品A的售出量；马为A在第二车间加工后的售出量；七表示产品B的售出量；.表 示B在第三车间加工后的售出量；毛为第一车间所用原材料的数量,则目标函数为：max z = 8芯 + 9.5x2 + 7x3 + 8x4 - 2.75x5约束条件：尤5 1OOOOO3x,+2x4+1.5x5 0 化标准形式（ 5）k将下列线性规划模型化为标准形式7min z =- 2X2 + 3X3 X +x2 +x -x2 +X3N3X +x2 +2X3 =*0x2 0当无约束2-5max z= -x + 2X2 - 3(x4 -

15、 x5) + 0- x6 + 0- x7X +彳2 + &一 /+%6 =7x x2 + x4 - x5 - x7 =2x2 - 2X3 =532 0解：2、将下列线性规划模型化为标准形式解：3、将下列线性规划变为最大值标准形。解:图解法( 5)1、用图解法求解下面线性规划min z = 3XI+2X2解：可行解域为a b c d a ,最优解为b点。2丐 + 4X2 = 22由方程组1 n 解出xi=ll, X2=0I * 2=0( 西、，X * = = ( 1 1 , 0 ) TJAmin z = -3 X ll+ 2X 0=-332、用图解法求解下面线性规划min z =2XI+X2解：

16、从上图分析，可行解域为a b c d e ,最优解为e点。由方程组X + =8“ 再=5 解出 Xi=5, X2=3(xA，X * = = ( 5 , 3) TX2j/.min z =Z*= 2X5+3=133、已知线性规划问题如下：Max Z= X 1 + 3X2用图解法求解，并写出解的情况解:0 2 4 6 8 105XI+10X2=50Xi+x2=l由图可知：5x, + 10x2 = 50 解彳 得：% , = 2则 max Z=2+3*4=14 4、用图解法求解下面线性规划问题解:5、用图解法求解下面线性规划问题图解如下：可知，目标函数在B(4, 2)处取得最大值，故原问题的最优解为X

17、 * = (4 ,2 )目标函数最大值为z* =2*4 + 3*2 = 14 o二、单纯型法(15)1、用单纯型法求解下面线性规划问题的解max z= 3X1+3X2+4X33否 + 4X2 + 5X3 0解：加入松弛变量X 4, X5,得到等效的标准模型：max z= 3XJ_+3X2+4X3+0 xt+0 x53% + 4X2 + 5X3 + x4 = 40s. t , 6玉 + 4X2 + 3X3 + x5 = 66x. 0,j = 1,2,.,5列表计算如下：33400CBX Bbxlx2x3x4x5OL0x44034(5)1080x566643012200000334 t004x38

18、3/54/511/5040/30x 542(21/5)8 / 503 / 511 01 2 / 51 6/ 544 / 503 / 5 t1 / 504 / 504x 3204 / 712 / 7- 1 / 73x l1 018 / 2 10- 1 / 75/2138302 4 / 7- 3 / 7405 / 7 5 / 71 / 7- 1 / 7，X* = ( 1 0 , 0 , 2 , 0 , 0 ) T / . max z = 3 X 1 0 + 4 X 2 = 3 82、用单纯型法求解下面线性规划问题的解max z =70XI+120X2s . t .9xj +4X2 3604% i

19、+ 6X2 0解：加入松弛变量X3 , x . ” x5,得到等效的标准模型:max z =70XI+120X2+0 x3+ 0 Xi+ 0 x5s . t .列表计算如下:7 01 2 0000C BXBbx lx 2x 3x 4x 50 L0x 33 60941009 00x 42 0 0460101 0 0 / 30x 53 0 03( 10)0013 011 11 11000007 01 2 0 t0004 0 0 / 10x 32 4 03 9 / 5010- 2 / 531 0 0 / 10x 42 0( 1 1 / 5 )001- 3 / 511 2 0x 23 03 / 1 0

20、1001 / 1 01 0 03 61 2 0001 23 4 t000- 1 20x 31 8 60 / 1 1001- 3 9 / 1 11 9 / 1 17 0x l1 0 0 / 1 11005 / 1 1-3 / 1 11 2 0x 23 0 0 / 1 1010- 3 / 2 22 / 1 17 01 2 001 7 0 / 1 13 0 / 1 1000- 1 7 0 / 1 1 - 3 0 / 1 1. . . X* = (1 0 0?3 0 0 , 1 8 60 ,U, U1T，max z =70X 1 .120X 2=1111 113、用单纯型法求解下面线性规划问题的解ma

21、x z = 4XJ3X2S. t. ”2$ + 2X2 30005% 1 + 2.5X2 4000用 0解：加入松弛变量X3, X ” x5,得到等效的标准形式:max z= 4X1+3X2+0 X3+0 X4+0 X5S. t.,2xl + 2X2 + /=30005% i + 2.5X2 + % = 4000xx + 匕=500Xj 0, J = 1,2,5用表解形式的单纯形法求解，列表计算如下：CBX Bb4 3 0 0 0X X2 X3 X4 X5（ ）L0X330002 2 10 03000/2 =15000X440005 2.5 01 04000/5 =8000X5500(1) 0

22、 00 1500/1 =5000 0 00 04 f 3 00 00X320000 2 10 -22000/2 =10000X415000 (2.5) 01 -51500/2. 5 =6004X】5001 0 00 14 0 00 40 3 t 00 -40X38000 0 1-0.8 (2)800/2 =4003X26000 1 00.4 -24X15001 0 00 1500/1 =5004 3 01.2 -20 0 0-1. 2 2 t0x54000 0 0.5 -0.4 134X2X】14001000 1 1 -0 .4 01 0 -0.5 0.4 0据上表，X *二4600二(100

23、, 14 3 1 0.4 00 0 -1 -0.4 0400, 0, 0, 400) 1 max z =4X100+3C1400=4604、用单纯型法求解下面线性规划问题的解max z =10x1+6x2+4x3s. t.解：加入松弛变量X4, X5, X 6 ,得到等效的标准模型:max z =10x1+6x2+4x3+0 X4+O X5+O X6$ + %2 + %3 + X4= 1001 Ox1+ 4X2 + x5 = 600s. t.2% 1 + 2X2 + 6七+ x6 = 300X, 双= 1,2, .6列表计算如下10 6 4 0 0 0C BX Bbe Lxl x2 x3 x4

24、 x5 x60x410011110 01000x5600(10) 45010600x63002 2 6 0 0 11500 0 0 0 0 010 f 6 4 0 0 00x4400 (3/5) 1/2 1 -1/10 0200/310x l601 2 / 5 1 / 2 0 1 / 1 0 01 5 00x 61 8 00 6/ 5 5 0 - 1 / 5 11 5 01 0 4 5 0 1 00 2 f - 1 0 - 1 06x 22 0 0 / 30 1 5 / 6 5 / 3 - 1 / 6 010x l1 0 0 / 31 0 1 / 6 - 2 / 3 1 / 6 00x 61

25、0 00 04-20 11 0 6 2 0 / 3 1 0 / 3 2 / 3 00 0 - 8 / 3 1 0 / 3 02 / 31 0 0200； . X* = ( Tf3 ，0 ,0 , 0 , 1 0 0 ) 1100200 2200二 . max z= 1 0 X 一 + 6X33 35、用单纯型法求解下面线性规划问题的解用单纯形法求解，并指出问题的解属于哪一类。解：（ 1 ）、将原问题划为标准形得：3%j + + %3 + 工4 - 6 04- 22000b06031110001 0 1 - 1201004 02- 220014-220004-22000b03004-51-304

26、101-1201002004-60-2102-60-404-22000b0100011-1-1415101/201/21/4-2501-3/20-1/21/400-30-3-1/2所以X= (15, 5, 0, 10, 0, 0) T 为唯一最优解Max 2=4*15-2*5=506、用单纯形法求解下述LP问题。解：引入松弛变量匕、/，化为标准形式：构造单纯形表，计算如下：2. 510001535105010520122. 510009019/51 3/545/192. 5212/501/55000-1 /2145/19015/19-3/192. 520/1910-2/195/19000-1

27、/2由单纯形表，可得两个最优解X=(2,0,9,0尸、X=(20/19,45得9,0,0)7,所以两点之间的所有解都是最优解， 即最优解集合为： aX +(1-a)X ， 其中OWcWl。max z = 2玉 + % ,5X2 15V6XI + 2X2 24% + x2 0 超2 07、用单纯形法解线性规划问题解：化为标准型max z = 2X + x, + 0x3 + ( 乜 + Ox55%2+ %3 =156Xj +2%,+ %4 = 24X1 +无2+ %5 =5Xl-5 - 列出单纯形表21000CBXBbX】x2羽上5Z* = 1 7 / 2 , X* = ( 7 / 2 , 3 /

28、 2 , 1 5 / 2 , 0 , 0 )0用1 50510040苞2 46201050在511001-z0210000吊1 50510032X i411 / 301 / 601 20不102 / 3 0- 1 / 613 / 2-z- 801 / 30- 1 / 300吊1 5 / 20015 / 4- 1 5 / 22X7 / 21001 / 4- 1 / 21也3 / 2010- 1 / 43 / 2-z- 2 0000- 1 / 4- 1 / 28、用单纯型法求解下面线性规划问题的解max z = X j + x2x - 2X2 2*一 2内 + x2 2解:- 玉 + x2 0 x

29、20C j11000CBXBbXiX2Xz羽在00吊羽221 - 21 211001002把 表 格 还 原 为 线 性 方 程04-11001-Z0110001小21-2100060-32100吊60-1101-Z-203-100令 * 3 = 0此时，若让X2进基，则会和基变量XI同时增加，使目标函数值无限增长，所以本题无界9、用单纯型法求解下面线性规划问题的解Cj24000CBXBbX照国X iA 50百8121004041001030不301001-z0240000*321010-22041001044X?301001-z-122000-4221010-20羽200-1124X?301

30、001Z*=20, X*= (2, 3, 0, 2, 0) Z*=20, X*= (4, 2, 0, 0,1)-Z-2000-20024100100天100-1/21/2142011/2-1/20-2000-200max z = 3$ + 5x2玉42X2123 % 1 + 2X20x2 010、用单纯型法求解下面线性规划问题的解解：列表如下Cj35000CBXBbX i也冬X i及0吊41010060X i120201090照1832001-z0350000X41010045x?60101/2030在6300-11-z-30300-5/20X* = ( 2 , 6, 6, 0 , 0 ) Z

31、* = 3 61 1 、用单纯型法求解下面线性规划问题的解0X360011 / 3- 1 / 35X220101 / 203Xi2100- 1 / 31 / 3- z- 2 0000- 3 / 2- 1解：化为标准型单纯型表如下：C j21000CBXBbXiX,留羽*50X31 505100-0x42 46201040x55110015z0210000x31 50510032X1411 / 301 / 601 20x5102 / 3 0- 1 / 613 / 2z001 / 30- 1 / 300x31 5 / 20015 / 4- 1 5 / 22Xi7 / 21001 / 4- 1 /

32、21X23 / 2010- 1 / 43 / 2z1 7 / 2000- 1 / 4- 1 / 2由些可得，问题的最优解为Xi= 7 / 2 , X2 = 3 / 2 , 最优值max z = 1 7 / 21 2 、用大M法求解如下线性规划模型:min z =5XI + 2X2+ 4X3解：用大M法，先化为等效的标准模型：max z = - 5X L2x24x3s. t.增加人工变量X6、X 7,得到：max z = _ 5xi 2x2-4x3M x6M x?s. t大M法单纯形表求解过程如下：5 2 4 0 0 M -MC BXBb0 Lx l x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x

33、7-Mx 64( 3 ) 1 2-101 04 / 3-Mx 71 06 3 5 0 - 1 0 15 / 39 M 4 M 7 M M M M M9 M- 5 t 4 M- 2 7 M- 4 - M - M 0 05xl4 / 31 1 / 3 2 / 3 - 1 / 3 0 1 / 3 0Mx720 1 1 ( 2 ) - 1 - 2 11-M- 5 - M- 5 / 3 - 2 M+ 5 / 3 M 2 M- 5 / 3 - M1 0 / 32 M- 5 / 30 M- l / 3 M- 2 / 3 - M - 3 M+ 5 / 3 0t5xl5 / 31 1 / 2 5 / 6 0 -

34、 1 / 6 0 1 / 61 0 / 30x 410( 1 / 2 )1 / 21- 1 / 211 / 225 5 / 2- 2 5 / 605 / 60- 5/601 / 2 f1 / 60 5 / 6M- M+ 5/6-5x l2 / 3101 / 311 / 31- 1 / 3- 2x 2201121- 215- 2- 1 1 / 311/31- 1 / 32 2T00- 1 / 31- 1 / 3M+ l M+ l / 32，x * = ( , 2 , 0 , 0 , 0 ) ,最优目标函数值min z = max z = （ 一 ）=一3 31 3、用大M 法求解如下线性规划模型

35、：min z = 5 4 0 x i+ 4 5 0 x2+7 2 0X3解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z = - 5 4 0XI4 5 0X2 7 2 0X3s . t .增加人工变量X 6、X7 ,得到：max z = _5 4 0 X1 4 5 0X27 2 0X3 MX6MX7s . t大M法单纯形表求解过程如下：C BXBb- 5 4 0 - 4 5 0 - 7 2 0 0 0 - M - Mx l x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 70 L-Mx 67 03 5 9 - 1 0 1 07 0 / 3Mx 73 0( 9)5301013 0 / 9 = 10

36、/ 3- 1 2 M- 1 0 M- 1 2 MMMMM1 2 M- 5 4 0t1 0 M- 4 5 01 2 M-7 2 0MM00Mx 66001 0 / 3( 8 )11 / 31- 1 / 360 / 8 = 2. 51 0 / 3 / 15 4 0x l 1 0 / 315 / 91 / 301 / 901 / 9/ 3= 1 0- 3 0 0 + 1 0 / 3M- 8 M1 8 0M- M/ 3 + 60MM/ 3 - 600- 1 5 0 + 1 0 / 3M8 M- 5 4 0tMM/ 3 - 600- M/ 3 + 601 5 / 2 / 57 2 0x 315/205

37、/ 1 21- 1 / 81 / 2 41 / 8- 1 / 2 4/ 1 2= 1 85 / 6/ 5 /5 4 0x l5 / 61( 5 / 1 2 )01 / 2 4- 1 / 8- 1 / 2 41 / 81 2-2- 5 4 0- 5 7 2- 7 2 01 3 5 / 24 7 5 / 1 2 - 1 3 5 / 2-75/201 2 5 t01 3 5 / 2 - 4 7 5 / 1 2 1 3 5 / 2 - M75/2-M-720x 3 2 0 / 31011 / 61 / 61 / 6 1 / 6-450x 221 2 / 5101 / 1 0- 3 / 1 0- 1 /

38、 1 03 / 1 0- 3 60- 4 5 0- 7 2 07 5157 51 55700- 1 8 0007 51 57 5 - M1 5 M20. 该对偶问题的最优解是x * = ( 0 , 2 , , 0 , 0 )最优目标函数值min z = ( 5700) =570014、用单纯形法求解线性规划问题化成标准形式有加入人工变量则为列出单纯形表Cj- 30100-M- MCBXBbXX2典吊升XR0XI41111000- M选1- 2- 10- 110- MX790310001-z1 0 M- 2 M- 34 M10- M000羽330211- 100X21- 21- 10- 110-

39、 MX160403- 31-z6M6M- 304 M+ 103 M- 4 M00羽00001- 1 / 2- 1 / 21 / 20- 3X23101101 / 32 / 3 0001 / 20- 1 / 21 / 31 / 6- Z300303 / 2 - M- 3 / 2 - M+ 1 / 20为00001- 1 / 21 / 2- 1 / 20X25 / 2- 1 / 2100- 1 / 41 / 41 / 41石3 / 23 / 20103 / 4- 3 / 41 / 4- Z- 3 / 2 - 9 / 2000- 3 / 4 - M+ 3 / 4 - M- 1 / 4人工变量已不在基

40、变量中，X* = ( 0 , 5 / 2 , 3 / 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ) Z* = 3 / 215、用单纯形法求解线性规划问题解化为标准形式有列表计算C - 3- 200MCBXBbXiX?照%吊0吊221 1002MXB1 2340- 113-z- 1 2 M3 M+ 34 M+ 200- 2X2221100M4- 50- 4- 11-z4 - 4 M- 5 M- 10- 4 M- 2- M0X* = ( 0 , 2 , 0 , 0 , 4 ) Z* = 4 M- 4 说明原问题无解 写对偶问题( 1 0 )1 、写出下列线性绘画问题的对偶问题解:2、写出下述线性规划的对

41、偶问题解3、写出下列线性规划的对偶问题max z = X + 4X2 + 3x322x +3 x 一5 % 3 1x1 十x2 +X3 =4x/0x2 0当无约束min z = 2 5 % + 2x2 + 3x3% + x2 - x3 1 0 X2 1 +% +2 % 42 5M +2 % -2% +% 二3% N0为无约束max z = 2 % + + 4 x32 % + 3X2 + xy 13工 - x2 + x3 0 x2 对偶性质1、已知线性规划问题如下：Max Z =尤i + 3X2已知该问题的解为( 2 , 4)利用对偶性质写出对偶问题的最优解。解：该问题的对偶问题为：将乂= (

42、2 , 4), 代入原问题可知：x , + x2) 1为严格不等式，所以为=0由对偶问题性质可知：5 0 y , + 4 y3 = 1 4 解之但： = 1 / 5所以 Y= ( 1 / 5 , 0 , 1 ) T 0元IS，2 s，3S - 0j/ 0* 0M s，2S - 0对偶问题的最优解为忤=(4/7, 5/7, 0)第二步，将LP , D P都化为标准型第三步：将最优解代入标准型中，第四步：利用互补松弛定理Z . K * = 0，% = 0 % = 0第五步：将K * = 0 K s = 0则有的J 弘+2 %=2 V1 7确定松弛变量取值% = 0 代入约束条件57max z =

43、xl +x25、已知线性规划问题： - 七 + / + /2 ,试用对偶理论证明v 2%| + Xr x-y K 1x2, x3 0上述线性规划问题无最优解。证明：首先看到该问题存在可行解， 例如x = (o 0 0) ,而上述问题的对偶问min w= 2yt + y2一 M 一 2y2 之 1题为：% + 为 21%一力 2 0、 %， 当 2 由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。由此，原问题也无最优解。5、已知线性规划问题( 1)写出其对偶问题；( 2 )用图解法求对偶问题的解；( 3 )利 用( 2 )的结果及对偶性质求原问题解。解：( 1 )原线性规划问题可化为：其对偶问

44、题为：( 2 )用图解法解得/ = ( % % ) = ( 1 ) ( 3 )由互补松弛性定理知道，.乂 -3%=1 对偶单纯形法(15)1、用对偶单纯形法解下列线性规划问题解：先化为标准型min w = 15苞 + 24x2 + 5x3- 6x2一 + 元4 = - 2 0 可 见最优性准则已不满足，继续迭代Cj42100CBXBbXx2在羽在2X?61111060吊1 0： 3 01111 0 /3-z-1 220-1-202X28 /3012 /32 /3-1 /34X1 0 /3101 /31 /31 /3-z-5 6 /300-5 /3-8 /3-2 /3( 2 )要使原最优解仍为最

45、优解，只要在新的条件下满足。W 0成立，因为应是基变量，所以所有的。 值都将发生变化o =C-CBB A-l -c2 0即 l -c2 0-c2 0则 c2,三1 C2+AC21 C22T所以当x 2的系数 c 2 2 -l时 : 原最优解仍能保持为最优解。2 . 已知线性规划问题及其最优单纯形表C j114000CBXBb用X?为舄1X11 /31-1 /301 /30-2 /30舄60200114X31 3 /302 /311 /301 /3-Z-1 70-40-10-2一9 -一3一若右端列向量b = 2 -2 ,求新问题的最优解。4_ 3 _1 0 2 T F 3 -1 /3 0 -

46、2 /3 -3一r解：XB =B- (b + Ab) =1 1 - 1 2 =0 112 = 50 0 31 /3 01 /3 _3 2因为一I小于0,因此继续迭代C j114000CBXBbXx2吊羽XsA 61X11-1 /301 /30-2 /3 0*550200114上3202 /311 /301 /3-z-90-40-10-2。j /a】 j1 2303 /2-3 /21 /20-1 /2010X57 /23 /23 /201 /2104上33 /21 /21 /211 /200-Z-6-3-30-200. . . 新问题的最优解为 X *=( 0 , 0 , 3 /2 , 0 ,

47、7 /2 , 3 /2 ) Z *=63、已知线性规划问题及其最优单纯形表最优单纯形表如下：若P3由 原 来 的 以 卜 最 优 解 将 如 何 改 变 ?Cj23100CBXBbX ix2否X52X 】110141 63X22012111 0 /3-z-800-3-51解：计算元=斤九， =( ：-l Y l /l O p /1 5 1 X 1 /3 厂1 7 /3 0 )1 /6 0继续迭代Cj23100CBXBbXX2典羽升2X1101 /1 5411 53为2017 /3 0 116 0 /7-z-8001 /6-512不3 /71-2 /703 0 /7 -9 /7 1 51吊6 0

48、 /70-3 0 /71-3 0 /7 -3 0 /7 6 0 /7-Z-6 6 /70-5 /70-3 0 /71 2 /7X *= ( 3 /7 , 0 , 6 0 /7 , 0 , 0 ) Z *=6 6 /7例4 ( 仍以例2为例) 已知线性规划问题及其最优单纯形表114000CBXBbX iX?吊羽天天1X1 /31-1 /301 /30-2 /30吊602001141 3 /302 /311 /301 /3-z-1 70-40-10-2现增加一个新变量x7 , 且 c 7 =3 , p 7 =( 3 , ,求新问题的最优解。p /3 0一2 解：由表知：B =0 111 1 /3

49、01 /3 )( 1 /3 0 - -2 /3 Y 3f3 1 Pi= B P=0 11 1= - 21 1 /3 01 /3 1 -3)1 0 ).继续迭代114 0 0 0 3CB XB bx2升 义5 旋 X11 X 1 /31-1 /30 1 /3 0 -2 /3 3 0 A h 6020 0 1 1 -24 吊 1 3 /302 /31 1 /3 0 1 /3 0-Z -1 70-40 -1 0 -2 6X *= ( 0 , 0 , 1 3 /3 , 0 , 5 6 /9 , 0 , 1 /9 ) Z *=5 3 /33X11 /91 /3-1 /901 /90-2 /910在5 6

50、 /92 /31 6 /902 /915 /904在1 3 /302 /311 /301 /30-Z-5 3 /3-2-1 0 /30-5 /30-2 /305 . 已知线性规划问题及其最优单纯形表114000CBXBbXiX?吊X i天1XI1 /31-1 /301 /30-2 /30舄60200114不1 3 /302 /311 /301 /3-Z-1 70-40-10-2现增加新约束-3七+ / +6当 17 ,求新问题的最优解。解：将原问题的最优解代入新增约束-3X、O + 6XU = 25A173 3不满足新增加的约束条件，因此引入松弛变量X,后，新增约束变为-3X( +x2+ 6X

51、3 +X-J 0,其 余 %WOXX218A39010119130X2010Xd j82212186060. .选X 34作为入基变量迭代调整。用表上闭回路法进行迭代调整:费 销产47BlB2B3B4S iA112314- 31082XXA28- 3716520XX128A39010111930X20X10d j82212186060调 整 后 ，从 上表可看出，所 有 检 验 数 %W O,已得最优解。. 最优方案为:最小运费 Z=1 X8+2X2+6X 12+5X 8+10X20+9X 10=4143、下列是将产品从三个产地运往四个销地的运输费用表。运肖价地产 地A i42A 3产量191

52、29650273776036591150需求量40406020要求：用最小费用法建立运输计划的初始方案;用位势法做最优解检验；求最优解和最优方案的运费。解：先用最小费用法（ 最小元素法）求此问题的初始基本可行解:费 销也A 1A 2A 3A 4Si19129650XX30202737760X4020X36591150AsA240Ai木1 运费 Z=9X30+6) 27X40+7X20+6X40+9X 10;3A3A3按题I 27书6 A4 作最优解720110,费 销也产 4AA iA 2A 3A 4ui190120960XX3020277377- 29X4020X36509110- 740X

53、10XVj9121618所有检验数如下:0 ,1 1 - Cj 1 _ % _ V j= 9 0 9 0 , er 1 2 C j2 _ / _ 吟= =2 0 12 0 ,% = C21 _ “ 2 4 = 7 ( 一9) 一9 = 7 , 0 2 4 =24 - 2 = 7 一 ( 一9 ) 一18 = - 2 ，(T32 C32 “ 3 “ 2 5 ( 7 ) 12 0 , % 4 Q 4 U y V W ( 7 )18 = 0o再用闭回路法求最优解和最优方案的运费，先检验:费 销也产地、 AA 1A 2A 3A 4S i19- 312- 79650XX302027- 3377- 360

54、X4020X3650911-55040X10XDj40406020 1 6 016g . 所有检验数5 W0, . .该方案已是最优方案，不需要再调整。121）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（ 4分 ）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。（ 10分 ）解 ：用 “ 表 上 作 业 法 ”求 解 。1）先 用 最 小 费 用 法 （ 最小 元 素 法 ）求此问题的初始基本可行解:费 销BlB2B3B4S iAl201186532XXA25910210XXX10A31874115X1122Dj3312123030初始方案:V CT2 I= 1 2 0 ,其余%

55、W 032XXA25129110- 5210XXX10A318- 274115X1122Dj3312123030，选1作为入基变量迭代调整。用表上闭回路法进行迭代调整:费 销BlB2B3B4S iA12011812611523XXA259-1310152101XX9A318147-124115XX123Dj3312123030再选$ 3作为入基变量迭代调整。调整后，从上表可看出，所有检验数% W 0 , 已得最优解。费 销产士厂7BlB2B3B4S iA120-12118615X32XA259110-52103XX7A31814704115XX105Dj3312123030. . . 最优方案

56、为： 3 B, 10 B3/ /最小运？ 3 X 3 B2 + 5X ：卜 2 + 4户 0+ 1义5=123 t5、A 访Z外地采购A、B、7/ 四 1 B 的服装，数意5/ 4 # B 500套，B 2 / ） 套 B3 3000套，D3500套，有三个城市可供应上述规格服装，供应数量为I 2500套，I I 2500套，I I I 5000套。由于这些城市的请帮助该公司确定一个成本最小的采购方案。（ 用伏格尔法）（ 12分）解：用伏格尔法确定初始调运方案为:ABCI )供I25002500II20005002500III150030005005000销1500200030003500（

57、7 1 1 - 2 ； 7 1 2 = - 2 ； a 1 3 - 3 ； 7 2 1 - 1 ； y 2 3 = 5 ； 7 32-1 （5 分）有加江0,所以需要调整为：ABCD供I25002500II150010002500III150050030005000销1500200030003500a u = l ; b i 2=2 ； J 13=2； a 2i=O； c r 2 3=4； J 34= 1 （ ; ） 分）因为C Ti/ O, 所以为最优方案。Mi n Z =2500* 7+ 1500* 2+ 1000* 6+ 1500* 9+ 500* 3+ 3000* 4=53500（ 2

58、 分）由于。2尸 0 所以在此闭回路上有无穷多最优解。6 已知某运输问题如下（ 单位：百元/吨） ：（ 12分）里底肖地产地B.B2B3供应量（ 吨）A x37218A?581012A394515需求量（ 吨）161217求：（ 1） 、使总运费最小的调运方案和最小运费。（ 用伏格尔法）（ 10分）（ 2） 、该问题是否有多个最优调运方案？若没有，说明为什么；若有,请再求出一个最优调运方案来。（ 2 分）解：1）用伏格尔法确定初始调运方案为：B.B2B3供Ai 11718卜21212As 31215需1612177 1 2 = 9； 7 2 2 = 0； 7 2 3 = 6； （7 3 3 =

59、 13 （ 4 分）有。“ wo ,所以需要调整为：B.B2B3供A,41418A21212A312315需161217CT 1 2 = 6； (T 2 2 = 5； (T 2 3 = 6； 8 2 0 317 21 25 1%V、 0 4 8 2(01 0 0、77il UK至此已得最优解：op 1 0、 0 0 0 1, 最小费用 W=8+17+16+19=602、有甲、乙、丙、丁四个人，要分别指派他们完成A、B、C、D四项不同的工作,每人做各项工作所消耗的时间如下表所示：ABCD甲21097乙154148丙13141611T415139问：应该如何指派，才能使总的消耗时间为最少？解：用“

60、 匈牙利法”求解。效率矩阵表示为:21097、154148行初简_ _ _ _ _ _ K131411f (415139 ,( 001 0 、0 8 7 5 、至此已得最优解:1 0 0 0 ；，使总消耗时间为最少的分配任务方案为：用一C,乙-B,丙- D , T- * A0此时总消耗时间W =9 + 4 + 1 1 + 4 =2 83、一个公司经理要分派4个推销员去4个地区推销某种商品。4个推销员各有不同的经验和能力， 因而他们在每一地区能获得的利润不同， 其估计值如下表所示：D .D2D：!D .甲3 52 72 83 7乙283 42 94 0丙3 52 43 23 3丁2 43 22

61、52 8问：公司经理应怎样分派4个推销员才使总利润最大？解：用求极大值的“ 匈牙利法”求解。效率矩阵表示为： 3 52 72 83 7 、( 51 31 23 、2 83 42 94 0u 一r1 261 10衿站简3 52 43 23 31)51 687_V11- 8 5, x,_4 =0或1解：由于本题过滤条件不好选，所以开始不设过滤条件八占、 、过滤条件约束Z值(x2, X), X.|, x3)( 4 )( 1 )( 2 )( 3 )( 0 , 0 , 0 , 0 )X( 0 , 0 , 0 , 1 )VX( 0 , 0 , 1 , 0 )X( 0 , 0 , 1 , 1 )X( 0 ,

62、 1 , 0 , 0 )VX( 0 , 1 , 0 , 1 )VX( 0 , 1 , 1 , 0 )VX( 0 , 1 , 1 , 1 )VVV3( 1 , 0 , 0 , 0 )X( 1 , 0 , 0 , 1 )X( 1 , 0 , 1 , 0 )X( 1 , 0 , 1 , 1 )X( 1 , 1 , 0 , 0 )X(1, l,o, 1)X(1, 1, 1,0)X(1,1,1,1)X此例的最优解 X*=(0, 1, 1, 1) minz=3割平面法1、 用割平面 法 解 整 数 规 划 问 题max z = x1+x2一 % +x2 1, 3玉 +x2 图和网络分析1 、求下图中从vl

63、 到 v3 短路。解：令 P ( vl ) = O , k = vl ； T ( vj ) = + o当k = vl 时，T ( v2 ) = P ( vl ) + l = l , X ( v2 ) = vl ;T ( v4 = P ( vl ) + 2 = 2 , X ( v4 = vl ;所有 T 标号中 T ( v2 ) 最小, 故 P ( v2 ) = T ( v2 ) = l , k = v2o当k = v2 时，T ( v3 ) = P ( v2 ) + 7 = 8, X ( v3 ) = v2 ;T ( v6) = P ( v2 ) + 3 = 4 , X ( v6) = v2

64、;T ( v4 ) P ( v2 ) + 3 , 故 v4 的T 标号不变；所有 T 标号中 T ( v4 ) 最小，故 P ( v4 ) = T ( v4 ) = 2 , k = v4o当k = v4 时，T ( v6) = = P ( v3 ) + 2 , 可不变；T ( v5 ) = P ( v3 ) +2=4, X ( v5 ) = v4 ;所有 T 标号中 T ( v6) 最小，故 P ( v6) = T ( v6) = 4 , k = v6。当k = v6时，T ( v3 ) = P ( v6) + 3 = 7 , X ( v3 ) = v6所有 T 标号中 T ( v5 ) 最小

65、，故 P ( v5 ) = T ( v5 ) = 4 , k = v5 。当k = v5 时，T ( v3 ) v2 - v6- v3 o2 、电信公司要在1 5 个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。试求出一个连接在1 5 个城市的铺设方案，使得总费用最小。解：费用最小的铺设方案对应于光缆图的最小支撑树。求得最小支撑树为：最小费用为2 8o3 、求出从V s到 vt的最大流，弧旁的数字是弧的容量。解：以零流作为初始流，计算增广链并调整流量，过程如下：可知， 最大流量为5 , 最小截集为( * ) = ， 匕 ) ， ( 吃, 匕) ， 其中 = 匕 , 匕

66、/ ， 耳= 匕 , 匕 。 决策分析1 、设三个备选投资方案的决策益损如下表:销收益值( 万元)可行方案销路好销路一般销路差销路极差A5 02 5- 2 5- 4 5B7 03 0- 4 0- 8 0C3 01 5- 5- 1 0问题：( 1 ) 试用最大最大决策标准选择方案；( 2 ) 当a取何值时，用现实主义决策标准和用最大最大决策标准选择的方案相同？解：2 、已知某企业有下表所示的情况，请选择所用策略。表中效益值的单位为万元。效益 自然状态 S 及值 a ” 概率 P( Sj )策略&S , ( 产品销路好)P( S, ) = 0 . 3S2 ( 产品销路一般)P( S2) = 0 .

67、 5& ( 产品销路差)P( S3) = 0 . 2& ( 按甲方案生产)4 02 61 5d2 ( 按乙方案生3 53 02 0产)d3 ( 按丙方案生产)3 02 42 0请用决策树来进行决策。解：来说明单级决策树的画法和最优期望益损值准则的决策方法。步骤如下：销路好 P( S, ) = 0 .3 A 4 0d , = 2 8 销路一般 P ) = 0 . 5 A 2 6销路差 P( S3) = 0 .2 A 1 52 9 .5 c h = 2 9 .5 销路好 P( S, ) = 0 .3 A 3 5决 选乙方案 销路一般P S ) = 0 . 5 A 3 0策 销 路 差 P( S3)

68、 = 0 .2 A 2 0 d 3 = 2 5 销路好 P( S, ) = 0 .3 A 3 0销路一般 P( Sz ) = 0 .5 A 2 4销路差 P( S3) = 0 .2 A 2 03、公司有5 0 0 0 0 元多余资金，如用于某项投资，估计成功率为9 6 % , 成功时可获利 1 2 % , 若失败，将丧失全部资金。如果把资金存入银行，则可稳得利息6 %0为获取更多情报，该公司可求助于咨询服务，咨询费用为5 0 0 元，但咨询意见只能提供参考。该咨询公司过去类似的2 0 0 例咨询意见实施结果如下表所示。实 施结果咨询意见投资成功投资失败合计可以投资1 5 4 次2 次1 5 6

69、 次不宜投资2 次6 次4 4 次合计1 9 2 次8 次2 0 0 次问：该公司是否值得求助于咨询服务？应如何安排多余资金?解：根据以上分析，可以完成决策树的全部内容。见下图：P ( E , ) = 0 . 9 6 A 6 0 0 0F ( E2) = 0 . 0 4一 - 5 0 0 0 0 .3 0 0 0 A2 _4 星 | )= 0 . 9 8 7 P ( E2 I T。 = 0 .0 1 3 6 0 0 0 A -一 - 5 0 0 0 04 7 7 2 T, 存银行 3 0 0 0- 1 6 1 6 P ( E , I T2) = 0 .8 6 4 6 0 0 03 0 0 0

70、投资 P ( E 2 1 T2 ) = 0 . 1 3 6 - 5 0 0 0 0- 5 0 0 T2 存银行 3 0 0 0图9 - 3本题的结论是，该公司应求助于咨询服务。如果咨询意见是可以投资，则将资金用于投资；如果咨询意见是不宜投资，则将资金存入银行。4 、某化工厂原料车间，欲对旧工艺进行革新，采用新工艺。取得新工艺有两种策略：一是自行研究，成功的可能性为0. 6 ；二是买专利， 估计谈判成功的可能性为0. 8 o 无论研究成功或谈判成功，生产规模都考虑两种方案：一是产量不变；二是增加产量。如果研究或谈判都失败，则仍采用旧工艺进行生产，并保持原产品产量不变。根据市场预测，估计今后几年内

71、这种产品价格下跌的概率是0 .1 ,价格中等的概率是0 .5 ,价格上升的概率0.4。经过分析计算，得到各个策略在不同价格的情况下的收益值，收益情况如下表：（ 单位: 百万元）收益旧工艺买专利成功自行研究成功产量不变增加产量产量不变增加产量价 格 下-100-200-300-200-300跌 价 格050500-150中等100150250200600价 格 上升试用决策树方法寻找最优策略。解：（ 1）绘制决策树 如图所示。价格下跌0.1CC（ 2）计算各结点的收益期望成功P=0. 6价格中等0.5价格上升0.4价格下跌0.1135-20004200300结点?金 筋 量 瞿 渝、 螂 酸 国

72、4 =150E io-（ 一200月价格上升0.49己 帆 戳 嫡0 .俾 下 （叫50） X终林00 X 0. 4 = 135；价 格 中 等0.5 A不衽象）圣 6 5依0X0） . 4=65；成功P=0. 8EH=3购买专不(-300) X0.1 + 50吸比H6产量不变9510价格上升0.4价格下跌0 1价格中等0.5II价格上升0 4价格下跌0. 1价格中等0.5ooooO05505213结点：E5= E7= （ - 1 00） X 0. 1 + 0X 0. 5 + 1 00X 0. 4 = 3 0o因为结点是决策点, 通过以上计算可知，结点的收益期望值大于结点的收益期望值，所以决策

73、点的收益期望值取1 3 5 , 即采用增加产量的方案。同样，对决策点，由于结点。收益期望值大于结点的收益期望值，所以决策点的收益期望值取9 5 , 即采用增加产量的方案。继续计算结点的收益期望值：结点：E2= 1 3 5 X 0. 6 + 3 0X 0. 4 = 9 3 , 结点：E3= 9 5 X 0. 8 + 3 0X 0. 2 = 8 2（ 3 ）选择策略 通过比较后进行“ 剪枝” ，结点的收益期望值大，所以应选取自行研究的方案。5 、某企业要投产一件新产品，投资方案有甲、乙两种。同时, 市场预测发现，产品甲销路好的可能性为0. 6 , 净收益总值为1 00万； 销路差的可能性为0. 4

74、 , 净收益总值为- 6 0万。产品乙销路好的可能性为0. 4 , 净收益总值为2 00万；销路差的可能性为0. 6 , 净收益总值为- 8 0万。要求：用决策树法进行决策。解：1 、绘制决策树2 、计算各节点的期望值节点 2 ： 1 00X 0. 6 + - 6 0义0. 4 = 3 6 （ 万元）节点 3 2 00X 0. 4 - 8 0X 0. 6 = 3 2 （ 万元）决策点1 的麻望损益/ 为：m a x （ 3 6 , 3 2 ） = 3 6 （ 万元）3 、剪枝。可以判断，选择产品甲。2 、某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。若引进

75、新产品，又面临其它企业的竞争。估计有其他企业参与竞 争 的 概 率 为0. 8 ,没 有 企 业 参 与 竞 争 的 概 率 为0 . 2。在无竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三种方案，其 相 应 的 收 益 分 别 为5 0 0、3 0 0和1 0 0万元 。在有竞 争 情 况 下 ，企业也有给产品确定高价、 中价和低价三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的产品定价的影响，有 关 数 据 如 表 。试用决策树法进行决策。解 ：首 先 画 出 决 策 树 如 图2竞争企业定价方案高价中价低价本企业定价方案高价概率收 益 （ 万 元 ）0 . 31 5 00 . 500

76、. 2-2 0 0中价概率收 益 （ 万 元 ）0 . 12 5 00 . 61 0 00 . 3-5 0低价概率收 益 （ 万 元 ）0 . 11 0 00 . 25 00 . 7-1 0 0决策计算从右向左进行，具体如 下 ：节点 5 ： 0 . 3 X 1 5 0 +0 . 5 X 0 +0 . 2 X （ -2 0 0 ） = 5 （ 万 元 ）节点 6 ： 0 . 1 X 2 5 0 +0 . 6 X 1 0 0 +0 . 3 X （ -5 0 ） = 7 0 （ 万 元 ）节点 7 ： 0 . 1 X 1 0 0 +0 . 2 X 5 0 +0 . 7 X ( -1 0 0 ) =

77、 一5 0 ( 万元)不引进产品引进产品( 0 . 2 )对手高价（ 0 . D A- 2 5 0对手中价（ 0 . 6 ） A- 1 0 0对手 低 价 （ 0 . 3 次_5 0对手高价( 0 . 1 ) A- 1 0 0对手中价( 0 . 2 ) A “对手低价( 0 . 7 ) TOO本企业高价本企业中价本企业低价对手高价（ 0 . 3 ） A对手中价（ 0 . 5 ） A时 手低价（ 0 . 2 ） _20 05 0 03 0 01 0 0节 点3（ 二级决 策点 ）：m ax 5 ,7 0 , -5 0 = 7 0（万元 ） 。 即在有竞争的情况 下 ，本企业给产品制定中价为最优方案，期 望 收 益 为7 0万 元 。节 点4 （ 二 级 决 策 点 ） ：m ax 5 0 0 , 3 0 0 , 1 0 0 ） = 5 0 0 （ 万 元 ） 。即在无竞争的情况下 ，本企业给产品制定高价为最优方案，收 益 为5 0 0万 元 。节点 2 ： 0 . 8 X 7 0 +0 . 2 X 5 0 0 = 1 5 6 （ 万 元 ）节 点1 （ 一级 决 策 点 ） ：m ax 1 5 6 , 0 = 1 5 6 （ 万 元 ） ， 即企业应采取引进新产品的方案，该 方 案 相 应 的 期 望 收 益 为1 5 6万 元 。