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1、中值定理与导数的应用习题课中值定理与导数的应用习题课一、微分中值定理一、微分中值定理 1罗尔定理罗尔定理2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3柯西中值定理柯西中值定理在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 且且在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 则至少存在一则至少存在一 使使在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 则至少存在一则至少存在一 使使则至少存在一则至少存在一 使使5. 三个定理之间的内在联系三个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理罗尔定理 柯西中值定理柯西中值定理 4. 判别判别 的方法的方法 若若，则则 6. 6. 微分中值定理的主要应用微分中
2、值定理的主要应用(1) (1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2) (2) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3) (3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论7. 7. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维利用逆向思维, ,设辅助函数设辅助函数. .8. 典型例题典型例题 定理的三个条件。定理的三个条件。【例例1】若方程若方程 有一个正根有一个正根 证明方程证明方程分析分析 如果令如果令 ，无法判定，无法判定, 所以不能利用零点定理所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。考虑利用罗尔定理证明。的左端函数的左端函数, 其次其次 在题设的相应区间
3、上满足罗尔在题设的相应区间上满足罗尔首先构造一个函数首先构造一个函数 使使 ，其中，其中 是欲证方程是欲证方程 必有一个小于必有一个小于 的正根的正根. 证明证明: 设设由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 使使即即这说明这说明 就是方程就是方程的一个小于的一个小于 的正根的正根.由题设由题设 易知多项式函数易知多项式函数 在在上连续且可导上连续且可导,练习练习 1. 设实数设实数满足下述等式满足下述等式证明方程证明方程在在 ( 0 , 1) 内至少有内至少有一一个实根个实根 .证证: 令令则可设则可设且且由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点使使即即 证明证明:在在 上应用拉格朗日中值定理上应
4、用拉格朗日中值定理, 对函数对函数 即即故故或或得得显然有显然有【例例2】 设设证明：证明： 例例3. 设设在在内可导内可导, 且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续, 在在证证: 问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数显然显然在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件, 故至故至使使即有即有少存在一点少存在一点【练习练习】 设设 在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 且且证明存在一点证明存在一点 使使证明证明: 令令且且 即即由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续, 在在 内可导，内可导，故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使【例例4】 设设 在在 上
5、连续上连续, 在在 内可导内可导, 且且证明存在一点证明存在一点 使使证明证明: 令令且且 即即由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续, 在在 内可导，内可导，故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使【例例5】 设设 在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 且且证明存在一点证明存在一点 使使证明证明: 令令且且 即即由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续, 在在 内可导，内可导，故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使构造辅助函数构造辅助函数构造辅助函数总结：总结：通过恒等变形通过恒等变形二、洛必达二、洛必达(L Hospital)法则法则 lim f (x) = lim g(x) = 0
6、(或或 ), 存在或为存在或为 , 则则其他未定式其他未定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化例例1.1. 求极限求极限解解 原式原式例例2.2.解解则则原式原式 =解解: 令令(继续用继续用 )法则法则法则法则例例4.4. 求极限求极限解解所以洛洛三、函数的极值与单调性三、函数的极值与单调性 1函数极值的定义函数极值的定义2函数的驻点函数的驻点3函数的单调区间的判别函数的单调区间的判别 则则 为为 的驻点的驻点. 在在 上，若上，若 ，则单调增加；，则单调增加； 若若 ，则单调减少；，则单调减少； 为极大值为极大值. .)(),()(),(000。x
7、fxfxfxUx d d1函数凹凸性定义函数凹凸性定义2函数的拐点函数的拐点称曲线为凹的；称曲线为凹的； 称曲线为凸的。称曲线为凸的。 3函数凹凸性的判别函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点凹弧与凸弧的分界点 。 凹凹 ； 凸。凸。 1第一充分条件第一充分条件三、函数极值的充分条件三、函数极值的充分条件 (极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” , 如果如果 在在 x0的两侧保持相同符号，则的两侧保持相同符号，则x0不是不是f (x)的极值点的极值点.2第二充
8、分条件第二充分条件（2）当）当 时，函数时，函数 在在 处取得极小值；处取得极小值；（1）当）当 时，函数时，函数 在在 处取得极大值；处取得极大值；设函数设函数 在在 处具有二阶导数且处具有二阶导数且 ，那么，那么 四四、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 . .(极值第二判别法极值第二判别法)求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点(2) 最大值最大值最小值最小值（驻点或导数不存在的点）（驻点或导数不存在的点） 当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时, 当当
9、在在 上上单调单调时时, 最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小)(小小)特别：特别：解解定义域为定义域为单调减少区间为：单调减少区间为：单调增加区间为：单调增加区间为：列表讨论列表讨论例例1.可知可知x=0为为y的极小值点，极小值为的极小值点，极小值为0.所给的函数定义域为所给的函数定义域为 .解解:非极值非极值极小极小0y+0+01(0,1)0x例例2.解：解：例例4. 证明当证明当 x0 时，时，证明：证明：x0(0,1)1yy+_+001(拐点)0(拐点)例例6. 试确定函数试确定函数 中的中的 ,使得使得 为函数的驻点为函数的驻点,点点 为函数的拐点为函数的拐点,并求出拐点并求出拐点.解：解：为拐点，必有为拐点，必有 ,即即 ， .又点又点 为驻点，必有为驻点，必有 ,即即 ， 从而函数为从而函数为 ，注意到，注意到 当当 时，时， ，图形是凸的；，图形是凸的； ，图形是凹的；，图形是凹的； 当当 时，时，而而 .故曲线故曲线 的拐点为的拐点为 .由于点由于点
