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1、2010届高考数学复习强化双基系列课件 60对称问题一、基础知识一、基础知识1、点关于点的对称点关于点的对称点点(x,y)关关于于点点(a,b)的的对对称称点点的的坐坐标标为为(2a-x,2b-y).点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题坐标公式的应用问题。 2、点关于直线的对称点、点关于直线的对称点由由轴轴对对称称定定义义知知，对对称称轴轴即即为为两两对对称称点点连连线线的的“垂垂直直平平分分线线“，利利用用”垂垂直直“和和”平平分分“这这两两个
2、个条条件件建建立立方方程程组组，就就可可求求出出对对称称点点的的坐坐标标，一一般般地地：设设点点(x0,y0)关关于于直直线线Ax+By+c=0的的对对称点称点(x,y)，则则 3、曲曲线线关关于于点点（中中心心），直直线线（轴轴）的的对对称称问问题的一般思想是用代入转移法。题的一般思想是用代入转移法。（1）曲曲线线f(x,y)=0关关于于点点A(a,b)的的对对称称曲曲线线的的方方程是程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲曲线线f(x,y)=0关关于于直直线线Ax+By+c=0的的对对称称曲曲线的求法：线的求法：设设所所求求曲曲线线上上任任一一点点P(x,y)关关于于直直线线Ax+By+c
3、=0对对称称点点P0(x0,y0)，在在已已知知曲曲线线f(x,y)=0上上，满满足足f(x0,y0)=0，利用方程组：利用方程组： 解解得得x0,y0，代代入入f(x0,y0)=0，从从而而得得对对称称曲曲线线方方程。程。4、常用的对称关系、常用的对称关系点点(a,b)关关于于x轴轴的的对对称称点点(a,-b)，关关于于y轴轴的的对对称称点点为为(-a,b)，关关于于原原点点的的对对称称点点(-a,-b),关关于于直直线线y=x的的对对称称点点为为(b,a)，关关于于直直线线y=-x的的对对称称点点(-b,-a),，关关于于直直线线y=x+m的的对对称称点点为为(b-m,a+m),关关于直线
4、于直线y=-x+m的对称点的对称点(m-b,m-a).二、题型剖析二、题型剖析。 。 。A、B、C、D、B B【思维点拨思维点拨】掌握点关于点对称的求法。掌握点关于点对称的求法。 例例1 1（1 1）直直线线 关关于于定定点点 对对称的直线方程是（称的直线方程是（ ）（2 2）(优化设计优化设计P107例例1)若以直线若以直线 为为对对称称轴轴，求求直直线线 的的轴轴对对称图形称图形 的方程。的方程。【思思维维点点拨拨】由由平平面面几几何何知知识识可可知知，若若直直线线a a、b b关关于于直直线线l l对对称称, ,则则应应有有下下列列几几何何性性质质：（1 1）若若a a与与b b相相交交
5、，则则l l是是a a、b b交交角角的的平平分分线线；若若a a与与l l平平行行，则则blbl，且且a a、b b与与l l距距离离相相等等。（2 2）点点A A在在直直线线a a上上，则则A A点点关关于于l l的的对对称称点点B B一一定定在在直直线线b b上上，并并且且 ABAB的的中中点点在在l l上上。（3 3） 是是所求直线上一点，则所求直线上一点，则P P为关于为关于l l的对称的对称点点 的坐标适合的坐标适合a a的方程。的方程。练习：变式练习：变式1：直线：直线l:ax+by+c=0关于原点对称关于原点对称的直线方程为的直线方程为_ax+by-c=0C变变式式2、已已知知
6、直直线线l1: x+my+5=0和和直直线线l2:x+ny+P=0，则则l1、l2关关于于y轴轴对对称称的的充充要要条条件件是是()A、B、p=-5C、m=-n且且p=-5D、-且且p=-5例例2：(优优化化设设计计P107例例2)光光线线从从点点A（-3，4）发发出出，经经过过x轴轴反反射射，再再经经过过y轴轴反反射射，光光线线经经过过点点B（-2，6），求求射射入入y轴轴后后的的反反射射线线的方程。的方程。练练习习：变变式式3：一一条条光光线线经经过过P(2,3)点点，射射在在直直线线：x+y+1=0上，反射后穿过点上，反射后穿过点Q(1,1)（1）求入射光线所在的直线方程求入射光线所在的
7、直线方程（2 2）求这条光线从）求这条光线从P到到Q的长度。的长度。【思维点拨思维点拨】：由物理中光学知识，入射光线：由物理中光学知识，入射光线和反射光线关于法线对称转化为对称问题。和反射光线关于法线对称转化为对称问题。例例3(优化设计优化设计P108例例3)已知点已知点M（3，5），），在直线：在直线：和和y y轴上各找一点轴上各找一点P P和和Q Q，使使 的周长最小。的周长最小。【评评述述】：注注意意平平面面几几何何的的知知识识在在解解析析几几何何中中的灵活运用。的灵活运用。M1QOMM2XyP练练习习(变变式式4)：直直线线交交x、y轴轴于于A、B两两点点，试试在在直直线线上上求求一一
8、点点P1，使使最小，在最小，在y=x上求一点上求一点P2，使使最最大大，求求出出两两最最值值及及的的值。值。【思思维维点点拨拨】：利利用用三三角角形形两两边边之之和和大大于于第第三三边边或或两两边边之之差差小小于于第第三三边边，解解决决在在直直线线上上求求一一点点到到两两定定点点距距离离之之和和最最小小或或到到两两定定点点距距离离之之差差为最大的问题。为最大的问题。备用题：备用题：例例4 4已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ，试确定实，试确定实 数数 的的取取值值范范围围，使使得得椭椭圆圆上上有有不不同同的的两两点点关关于直线于直线 对称。对称。三、小结三、小结1.1.对对称称问问题题分分为为点点对对称称及及轴轴对对称称，点点对对称称仅仅用用中中点点坐坐标标公公式式即即可可，轴轴对对称称因因对对称称点点连连线线的的中中垂垂线线就就是是对对称称轴轴，根根据据中中点点坐坐标标公公式式及及斜斜率率的的关关系系即即可可解解决决。特别是关于原点对称、坐标轴对称，特别是关于原点对称、坐标轴对称， 直直线线对对称称都都要要熟熟练练掌掌握握。2.2.解解决决最最值值问问题题最最常常用用的的方方法法是是目目标标函函数数法法和和几几何何法法。3.求求对对称曲线的常用思想方法：代入转移法称曲线的常用思想方法：代入转移法【布置作业布置作业】优化设计优化设计P108
