测量平差基础(修改)-课件PPT

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1、第一章 绪论第一节测量平差的重要性第三节补充知识第二节平差问题产生的原因2021/8/261第一节 测量平差的重要性一、测量平差的定义与任务一、测量平差的定义与任务定义定义1 1、测量数据的处理的理论与方法。、测量数据的处理的理论与方法。定义定义2 2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。、按数理统计的理论与方法处理测量数据。理论基础：数理统计理论基础：数理统计 线性代数线性代数 高等数学高等数学 微分微分泰勒级数泰勒级数专业基础：普通测量学（数字测图）专业基础：普通测量学（数字测图）处理工具：计算机编程处理工具：计算机编程二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其二、测量平差的任务：确定未

2、知量的估值并评定其精度。精度。2021/8/262线性代数微分级数普通测量摄影测量工程测量变形观测地理信息系统测量平差大地控制测量工程控制测量GPS测量计算机编程数理统计三、测量平差的重要性三、测量平差的重要性理论基础数学工具计算工具数据处理理论方法直接处理数据控制测量数据处理2021/8/263第二节 平差问题产生的原因一、实例说明一、实例说明 1 1、边长（距离）测量、边长（距离）测量第一种情况：欲知直线度第一种情况：欲知直线度L L（1 1）进行一次观测便可知）进行一次观测便可知（2 2）进行）进行n n次观测，得次观测，得 L1 L1、L2L2、LnLn理论上应：理论上应： L1=L2

3、=Ln L1=L2=Ln 但由于有误差，实际上各自并不一定但由于有误差，实际上各自并不一定相等，出现了同一量的不同观测值不相相等，出现了同一量的不同观测值不相等的矛盾。等的矛盾。L1L2Ln 2021/8/264n n第二种情况：欲得第二种情况：欲得L1L1、L2L2、L3L3的长的长度度n n（1 1）观测了）观测了L1L1、L2L2，则，则n n L3=L1-L2 L3=L1-L2n n（2 2）也可直接观测）也可直接观测L1L1、L2L2、L3L3n n理论上应：理论上应：n n L1=L2+L3 L1=L2+L3n n实际上，由于观测值有误差，上式实际上，由于观测值有误差，上式n n不

4、一定成立，而是：不一定成立，而是：n n L1L2+L3 L1L2+L3n n于是产生了矛盾。于是产生了矛盾。L1L2L32021/8/265n n 2 2、三角测量、三角测量: :欲知三角形三内角欲知三角形三内角L1L1、n n L2 L2、L3L3的大小的大小n n（1 1）观测了三角形三内角）观测了三角形三内角L1L1、L2L2，则，则n n L3=180 L3=180L1L1L2L2n n（2 2）观测了三角形三内角）观测了三角形三内角L1L1、L2L2、L3L3，由于有误差，一般情况下：由于有误差，一般情况下：n n L1+L2+L3180 L1+L2+L3180n n 存在闭合差（

5、观测值与理论值之差）存在闭合差（观测值与理论值之差） n n w=L1+L2+L3 w=L1+L2+L3180180n n出现了三角形三内角观测值之和不等于出现了三角形三内角观测值之和不等于n n180180 的矛盾。的矛盾。L1L2L3那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何来解决这些矛盾呢？来解决这些矛盾呢？2021/8/266二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因1 1、观测值之间的矛盾产生原因、观测值之间的矛盾产生原因（1 1）、观测值存在误差）、观测值存在误差（2 2）、

6、有多余观测）、有多余观测由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理测量平差测量平差。注：注：总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n n表示。表示。必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t t表示。表示。多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其个数用个数用r r表示，表示，r=n-tr=n-t。几何模型：各种控制网的统称。几何模型：各种控制网的统称。2021/8/

7、2671 1、示例、示例 设对某三角形三内角进行观测，得观测值：设对某三角形三内角进行观测，得观测值： L L1 1=583040=583040， L L2 2=612010=612010， L L3 3=600858=600858 = =（L L1 1+L+L2 2+L+L3 3）-180-1800 0=-12=-12 若将若将L L1 1，L L2 2，L L3 3分别加上一个改正数分别加上一个改正数v v1 1,v ,v2 2,v ,v3 3，使得：，使得：(L(L1 1+v+v1 1)+(L)+(L2 2 +v+v2 2)+(L)+(L3 3+v+v3 3）=180=1800 0即：即

8、：(v(v1 1 +v+v2 2+v+v3 3)+(L)+(L1 1+L+L2 2+L+L3 3-180-1800 0)=0)=0亦即：亦即： v v1 1 +v+v2 2+v+v3 3- 12- 12 =0=0三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理 从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决

9、的问题。L1L2L32021/8/268n n满足方程的满足方程的v1,v2,v3v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准有无限多组，那么，按什么准n n则从无限多解当中选取合理的解呢？则从无限多解当中选取合理的解呢？n n根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最n n小二乘准则来解决该问题。小二乘准则来解决该问题。由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=42021/8/2692、平差原则最小二乘原理（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：2021/8/2610n n测量平差数学模型包括函数模型和随机模型

10、，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有以下四种：以下四种：以下四种：以下四种：3、测量平差数学模型、测量平差数学模型1）、条件平差条件平差数学模型2）、附有参数的条件平差附有参数的条件平差2021/8/26113）间接平差模型（高斯马尔柯夫模型）最基本模型最基本模型1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：2021/8/26124）、）、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法2021/8/2613

11、4 4、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果 由观测值L、观测值的权阵P、起始数据推求观测值的平差值、参数的平差值、观测值的平差值方差、参数的平差值方差。注：函数模型：描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型。2021/8/2614停止返回5、测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量由此可见，测量平差即数据

12、调整，也就是依据某种最优准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。2021/8/26156 6、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题 n n1 1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数数n, n, 必要观测数必要观测数t , t , 多余观测数多余观测数r r，这是进行测量平，这是进行测量平差首先要解决的问题。差首先要解决的问题。n n2 2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式

13、怎样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型于条件平差模型, ,怎样列出各种条件方程，对于间怎样列出各种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。接平差模型，怎样列出误差方程。n n 3 3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系，权与协因数有什么关系。有什么关系，权与协因数有什么关系。2021/8/2616n n4 4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F F，WW分别是随机向量分别是随机向量X X，Y Y的以下线性函数的以下线

14、性函数: :n n F FAX+BYAX+BYn n W WCX+DYCX+DYn n 试求试求F F和和W W 的协方差阵的协方差阵D(XY)D(XY)，并由此导出各种特殊情况，并由此导出各种特殊情况下求方差和协方差的公式。下求方差和协方差的公式。n n5 5）、）、VTPV=min VTPV=min 平差原则是怎样导出来的？按此原则求平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值出的估值L L，X X有什么优越性？或为什么称有什么优越性？或为什么称 L L，X X为最佳估为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模

15、型进行证明）。各种不同的平差模型进行证明）。n n6 6）、以下单位权方差估值公式：）、以下单位权方差估值公式：n n是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位权方差。公因子都是单位权方差。2021/8/2617n n 7 7）、如何证明以下分布：）、如何证明以下分布：n n n n n n n n n n怎么由它构造怎么由它构造t, Ft, F统计量，它们有什么作用。统计量，它们有什么作用。n n 8 8）、一个点的误差椭圆说明什么，怎么计）、一个点的误差椭圆说明什么，怎么计算误差椭圆的有关参数。算误差椭圆的有关参数。2

16、021/8/2618四、测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘，并利用其解决了上述问题。1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年，C.F.GUASS，天体运动的理论2021/8/2619 五、五、 测量平差的发展测量平差的发展1 1从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展

17、到包含系统误差和粗差的理论与方法。方法。方法。方法。2 2提出了相关平差提出了相关平差提出了相关平差提出了相关平差3 3产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，波，波，波， 推估和配置。推估和配置。推估和配置。推估和配置。4 4形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论5 5出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理

18、论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。6 6展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。7 7展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计方法。方法。方法。方法。2021/8/2620六、本课程应掌握的主要内容六、本课程应掌握的主要内容1 1、偶然误差理论：偶然误差的性质、精度

19、指标及其、偶然误差理论：偶然误差的性质、精度指标及其估值、中误差及其估值、误差传播定律、权与定估值、中误差及其估值、误差传播定律、权与定权的方法；权的方法；2 2、测量平差的函数模型和随机模型、最小二乘原理、测量平差的函数模型和随机模型、最小二乘原理及方法；及方法；3 3、测量平差的基本方法：条件平差、间接平差、附、测量平差的基本方法：条件平差、间接平差、附有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平差；差；4 4、误差椭圆。、误差椭圆。2021/8/2621七、学习方法七、学习方法n n 1 1 、端正学习态度，充分认识学好测量平差对于学好、端正学习态

20、度，充分认识学好测量平差对于学好测绘工程专业的重要性。测绘工程专业的重要性。n n2 2、学习测量平差教材时，要多设疑，自己多动手去、学习测量平差教材时，要多设疑，自己多动手去推算和证明，不要轻易相信书上的结论推算和证明，不要轻易相信书上的结论, ,并不断根据已并不断根据已经学得的知识，预测后面的内容和可能的结论。经学得的知识，预测后面的内容和可能的结论。n n 3 3、学好所编矩阵基础知识，还要复习、掌握数理统、学好所编矩阵基础知识，还要复习、掌握数理统计的有关知识。计的有关知识。n n 4 4 、学习时，视野关注主干、核心内容，实用时注重、学习时，视野关注主干、核心内容，实用时注重细节。细

21、节。n n 5 5、对一个平差模型证明推导的某些公式，对另一个、对一个平差模型证明推导的某些公式，对另一个平差模型自己进行证明、推导。平差模型自己进行证明、推导。n n6 6、弄清前述、弄清前述8 8个问题。个问题。n n7 7、适当记笔记。、适当记笔记。2021/8/2622第三节、补充知识第三节、补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：2021/8/2623(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素

22、外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。2021/8/2624矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）2021/8/2625二、矩阵的转置二、矩阵的转置n n对于

23、任意矩阵对于任意矩阵C Cmnmn: :将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：2021/8/2626矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。2021/8/2627三、矩阵的逆三、矩阵的逆n n给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：lA矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵2021/8/2628矩阵的逆的性质矩阵的逆的性质2021/8/2629矩阵求逆方法：矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法： 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵

24、为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。2021/8/2630矩阵求逆方法矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：2021/8/2631四、矩阵的秩四、矩阵的秩四、矩阵的秩四、矩阵的秩定义定义定义定义：矩阵：矩阵A A的最大线性无关的行的最大线性无关的行( (列列) )向量的个数向量的个数r r，称为矩，称为矩阵阵A A的行的行( (列列) )秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为的秩，记为R(A)R(A)。 对于矩阵的秩有性质：对于矩阵的秩有性质： 五、矩阵的迹五、矩阵的迹五、矩阵的迹五、矩阵的迹定义定义定义定义：方阵：方阵A

25、A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为对于矩阵的迹有下面的性质：对于矩阵的迹有下面的性质：tr (AT)=tr (A)tr (AT)=tr (A)tr (A+B)=tr (A)+tr (B)tr (A+B)=tr (A)+tr (B)tr (kA)=k tr (A)tr (kA)=k tr (A)tr (AB)=tr (BA)tr (AB)=tr (BA)2021/8/2632六、满秩矩阵六、满秩矩阵 定义定义：若n阶方阵A的秩R(A)=n，则称A为满秩方阵。若mn阶矩阵A的秩R(A)=m，称A为行满秩阵；若R(A)=n，则称A为列满秩阵。 对于任意一mn阶

26、矩阵A，若R(A)=r，则A可分解为其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。 七、幂等矩阵七、幂等矩阵定义定义：称满足条件 A2=AA=A 的方阵A为幂等矩阵。幂等矩阵有下述重要性质：(1)幂等矩阵A的特征值为0或1。(2) 幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即R(A)=tr(A) (3) 若方阵A为R(A)=r的幂等矩阵,则E- A也为幂等矩阵，且R(E-A)=n-r2021/8/2633八、二次型和正定八、二次型和正定阵阵(1)xTAx0 ,称二次型是正定的，A为正定矩阵，记为A0(2)xTAx0, 称二次型是半正定的，A为半正定矩阵，记为A0(3) xTAx0, 称二次型是负定的

27、， A称为负定矩阵，记为A0(4) xTAx0,称二次型是半负定的，A称为半负定矩阵，记为A0在测量平差中VTPV就是一个二次型。二次型及其有关定理，对于参数估计和假设检验是重要的。它为许多理论证明提供了基本工具。，式中A=AT，上式称为二次型，定义：设A称为二次型矩阵。若对于任意x02021/8/2634的函数，记为九、函数九、函数对对向量的微分向量的微分且函数对所有自变量可微，则对向量的偏导数定义为的n个元素若函数f是以n维向量为自变量2021/8/2635构成函数向量时，则F对的微分为一阶矩阵： 利用这一定义，函数的泰勒级数展开式（取至二次项）可写为矩阵形式2021/8/2636其中m元

28、函数向量对于n维向量的微分有如下性质：(以下C为常数向量,F,G为函数向量) (1) (3)(2)(4)当A为常数矩阵时=(5)当A=AT时，2021/8/2637概率与数理统计内容概率与数理统计内容n n随机变量n n误差分布曲线n n概率密度曲线n n数学期望n n方差2021/8/2638第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标2021/8/2639第一节 概述一、专业符号介绍一、专业符号介绍观测真值向量观测真值向量观测向量观测向量误差向量误差向量L1 L2L3s1s2s3ADCBh1h6h5h2h4h3观测值平差值向量观测值平差值向量观测值改正数向量观测值改正数向量2021

29、/8/2640未知参数真值向量未知参数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数近似值向量未知参数近似值向量未知参数平差值向量未知参数平差值向量未知参数改正数平差值向量未知参数改正数平差值向量L1 L2L3s1s2s3A(x1,y1)B(x2,y2)2021/8/26411 1、测量平差的研究对象、测量平差的研究对象观测误差观测误差 观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取 的反映地球及其它实体的空间分布的反映地球及其它实体的空间分布 有关信息的数据。有关信息的数据。 任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差任何量测数据不可避免地含

30、有误差，如何处理含有误差的测量数据便成了一门研究课题。的测量数据便成了一门研究课题。v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.二、二、观测误差观测误差观测误差观测误差2021/8/26422 2、产生误差的原因、产生误差的原因、产生误差的原因、产生误差的原因n n测量仪器：i角误差、2c误差n n观测者：人的分辨力限制n n外界条件：温度、气压、大气折光等观测条件：观测条件：测量仪器、观测者、外测量仪器、观测者、外 界条件界条件三者综合起来为观测条件三者综合起来为观测条件2021/8/26433、误差的分类、误差的分类n n系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误

31、差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，有规律的外界影响等。有规律的外界影响等。有规律的外界影响等。有规律的外界影响等

32、。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数2021/8/2644误差的分类误差的分类n n偶然误差偶然误差/ /随机误差：在相同的观测条件下进随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。差称为偶然误差。n n如照准

33、误差、读数误差、毫无规律的外界影响如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。等。n n不可避免，经典测量平差研究的内容不可避免，经典测量平差研究的内容n n粗差：错误，大误差粗差：错误，大误差2021/8/2645三、误差构成的四种情况三、误差构成的四种情况2021/8/2646一、正态分布一）、一维正态分布一）、一维正态分布正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正

34、态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。其中其中,u,u为随机变量为随机变量x x的数学期望，的数学期望，为其标准方差。称随机向为其标准方差。称随机向量量x x服从参数为服从参数为u u、 的正态分布，记为的正态分布，记为x xN N（ u u、 ）。1 1、设一维随机向量、设一维随机向量X X服从正态分布，则其分布密度函数为：服从正态分布，则其分布密度函数为：第二节 偶然误差的规律性2021/8/26

35、472 2、标准正态分布、标准正态分布 若随机变量若随机变量X X的数学期望的数学期望u=0u=0，标准差，标准差 =1=1，则称，则称X X服从标服从标准正态分布，记为准正态分布，记为X X（0 0，1 1）。）。3 3、正态随机变量、正态随机变量X X出现在区间（出现在区间（u-k u-k ,u+k ）内的概率）内的概率由此可得由此可得2021/8/2648二）、二）、n n维正态分布维正态分布 设设n n维随机向量维随机向量X= X= （x x1 1，x x2 2，x xn n）T T 服从正态分服从正态分布，其联合分布密度函数为：布，其联合分布密度函数为：其中其中2021/8/2649

36、观测值：对某量观测所得的值，一般用观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示表示。1、几个概念、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li表表示。示。二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用表示。表示。2021/8/2650观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：2021/8/2651 2 2、偶然误差的特性、偶然误差的特性、偶然误差的特性、偶然误差的特性n n例例1 1：在相同的

37、条件下独立观测了：在相同的条件下独立观测了358358个三角形的全部内角，每个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于个三角形内角之和应等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.20.2秒进行秒进行统计。统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.09

38、20.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.4952021/8/2652l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数

39、K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.5012021/8/2653(K/n)/d00.

40、40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积=(K/n)/d* d= K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=12021/8/2654频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6 -0.4闭合差0.630频数/d0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475对照前面两个表中的数据可知对照前面两个表中的数据可知:当误差小时当误差小时,误差分布曲误差分布曲线较高线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高当误差大时当误差大时,误差分布曲线较低且平缓，精度低误差分布曲线较低且平缓，精度低2021/8/26551）、有界性：在一定条件下的有限观测值中，

41、其误差的绝对值不会超过一定的界限；2）、单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3）、对称性：绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4）、抵偿性：当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：即 E()=02021/8/26563、偶然误差的分布密度函数设偶然误差设偶然误差的分布密度函数为的分布密度函数为f f( (), ),由性质由性质3 3可知可知f( f() )是是的的偶函数，由性质偶函数，由性质2 2可知，在可知，在-0 0区间区间f( f() )是增函数，在是增函数，在0 0 区间是减函数区间是减函数, ,则可构造函

42、数则可构造函数: :其中其中A A，k k为常数。为常数。因为因为2021/8/2657设偶然误差的方差设偶然误差的方差D(D()=)= 2 2: :所以，偶然误差的分布密度函数为：所以，偶然误差的分布密度函数为：2021/8/2658提示：观测值定了，其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差偶然误差的分布密度函数2021/8/2659第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指精度：所谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度

43、。分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。误差各不相同。2021/8/2660频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差

44、分布曲线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低且平缓，精度低且平缓，精度低2021/8/2661一、方差一、方差/中误差中误差f()00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差面积为1方差：方差：中误差：提示：提示：越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。常用的精度指标有如下几种常用的精度指标有如下几种2021/8/2662方差的估值：2021/8/2663二、平

45、均误差二、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。2021/8/2664则得平均误差与中误差的关系：则得平均误差与中误差的关系：平均误差的估值：平均误差的估值：2021/8/2665三、或然误差三、或然误差误差出现在（误差出现在（-， ）之间的概率等于）之间的概率等于1/2，即，即f()0闭合差50%2021/8/2666四、极限误差四、极限误差五、相对误差五、相对误差误差与观测值之比，一般用误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。与长度（大小）有关的误差，有相对误差的指标与长度（大小）有关的误差，有相对误差的指

46、标相对中误差：相对中误差：/S=1/M/S=1/M相对真误差：相对真误差：/S=1/M绝对误差：真误差、中误差、极限误差绝对误差：真误差、中误差、极限误差2021/8/2667第五节第五节 精度、准确度与精确度精度、准确度与精确度一、精度一、精度一、精度一、精度衡量偶然误差衡量偶然误差衡量偶然误差衡量偶然误差 的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差 。 当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差 时：时：时：时：1 1、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指

47、标：方差、一维随机向量的精度指标：方差 2 2或中误差或中误差或中误差或中误差 2 2、多维随机向量、多维随机向量、多维随机向量、多维随机向量X=xX=x1 1,x,x2 2, , ,x,xn n T T的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵D DXXXX2021/8/26681）、协方差对于变量对于变量X，Y，其协方差为：，其协方差为：2021/8/2669当当X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时当当X、Y间相关时间相关时用真误差用真误差 计算：计算：2021/8/2670对于向量对于向量X=X1，X

48、2，XnT，将其元素间的方差、协，将其元素间的方差、协方差阵表示为：方差阵表示为：矩阵表示为：矩阵表示为：2）、方差协方差阵）、方差协方差阵2021/8/2671向量方差协方差阵定义向量方差协方差阵定义2021/8/2672特点特点：I对称对称II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元对角元相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。2021/8/2673若：若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。3）、互协方差阵）、互协方差阵2021/8/2674二、准确度二、准确度观测值的数学期望观测值的数学期望(X)(

49、X)与其真值与其真值接近接近的程度。衡量系统误差大小的程度，指标偏差的程度。衡量系统误差大小的程度，指标偏差。当观测值误差当观测值误差含有系统误差时：含有系统误差时：三、精确度三、精确度观测值观测值X X与其真值与其真值接近的程度，指标均方误差接近的程度，指标均方误差MSE(X)MSE(X)。2021/8/2675随机向量随机向量X=XX=X1 1，X X2 2，X Xn n 的均方误差的定义：的均方误差的定义：2021/8/2676四、精度、准确度与精确度的关系四、精度、准确度与精确度的关系XE（X）2021/8/2677第三章协方差传播与权第三章协方差传播与权第二节协方差传播律第三节协方差

50、传播律在测量上的应用第六节由真误差计算中误差及实际应用第四节权与定权的常用方法第五节协因数与协因数传播律第一节数学期望传播律第七节系统误差的传播2021/8/2678本章在全书中有重要地位：本章在全书中有重要地位：起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果测量平差的任务之一就是精度评定，也就是求平差值的协方差阵。测量平差的任务之一就是精度评定，也就是求平差值的协方差阵。观测值方差DLL=D或权阵或协因数阵协方差传播律协因数传播律2021/8/2679ABCL1L2S00实例

51、：已知实例：已知实例：已知实例：已知L L1 1，L L2 2的中误差，求的中误差，求的中误差，求的中误差，求C C点坐标值的中误差点坐标值的中误差点坐标值的中误差点坐标值的中误差协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。2021/8/2680第一节第一节 数学期望的传播数学期望的传播一、数学期望及其性质一、数学期望及其性质1 1、C C为常数

52、，为常数，E(C)=CE(C)=C2 2、E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)3 3、E(KE(K1 1 X X1 1 +K +K 2 2X X 2 2+K +K n nX Xn n)= K)= K1 1E( XE( X1 1) +K ) +K 2 2E(X E(X 2 2)+K nE(Xn)+K nE(Xn)4 4、若、若x,yx,y独立，则独立，则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)已知随机变量的数学期望求其函数数学期望已知随机变量的数学期望求其函数数学期望2021/8/2681二、随机矩阵的数学期望及其性质二、随机矩阵的数学期望及其性质其性质与前相同。其性质与

53、前相同。2021/8/2682第二节第二节协方差传播律协方差传播律2021/8/2683一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差那么：2021/8/2684证明：证明：设：设：那么那么,根据方差的定义有：根据方差的定义有：2021/8/2685纯量形式纯量形式2021/8/2686例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。例2:若要在两已知点间布设一条附合水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里? 2021/8/2687二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：2021/8/268820

54、21/8/2689则则则则2021/8/2690那么那么,根据协方差的定义有：根据协方差的定义有：2021/8/2691几种特殊情况:2021/8/26922021/8/26932021/8/26942021/8/26952021/8/26962021/8/2697例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求:2021/8/2698三、非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非线性函数：的非线性函数：已知：2021/8/2699将Z按台劳级数在X0处展开：2021/8/261002021/8/26101也

55、可写为微分的形式也可写为微分的形式:也可得也可得2021/8/26102四、多个非线性函数的情况线性化2021/8/261032021/8/26104例例5、根据极坐标法测设、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为测角中误差为m ，边长中误差，边长中误差ms，试推导，试推导P点的点位点的点位中误差。中误差。ABPmssmump2021/8/26105协方差传播应用步骤协方差传播应用步骤:n n根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式n n写出观测量的协方差阵n n对函数进行线性化n n协方差传播2021/8/26106a1b1a2b2abaNbN

56、1(s)h12(s)h2N(s)hNABTP1TP2TPN-1第三节协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度经经N个测站测定个测站测定A、B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i站的观站的观测高差为测高差为hi，则，则A、B两水准点间的总高差两水准点间的总高差hAB为为2021/8/26107设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为则则hAB的方差为：的方差为：若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离s大致相等，大致相等，设设A、B间的距离为间的距离为S，则测站数，则测

57、站数N=S/s，代入，代入 上式得：上式得：2021/8/26108如果如果S=1km，s以以km为单位，则一公里的测站数为：为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为所以，距离为S公里的公里的A、B两点的观测高差的中误差为两点的观测高差的中误差为2021/8/26109二、同精度观测值的算术平均值的精度二、同精度观测值的算术平均值的精度二、同精度观测值的算术平均值的精度二、同精度观测值的算术平均值的精度设对某量以同精度独立观测了设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值次，得观测值 L1，L2，LN，它们的中误差均等于它们的中误差均等于

58、，N次观测值的算术平均值次观测值的算术平均值x的中误差为：的中误差为：由协方差传播律知，平均值由协方差传播律知，平均值x的方差的方差中误差为中误差为2021/8/26110例1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路线，如下图，路线长分别为，设每公里观测高差的中误差为，试求：（1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；（2）分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B例2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？2021/8/26111三、若干独立误差的联合影响2021/8/2611

59、2四、交会定点的精度四、交会定点的精度ABPL1L2S00oyxSPusp已知已知已知已知L L1 1，L L2 2的中误差，求的中误差，求的中误差，求的中误差，求p p点坐点坐点坐点坐标值的中误差及点位中误差。标值的中误差及点位中误差。标值的中误差及点位中误差。标值的中误差及点位中误差。2021/8/26113五、五、GISGIS线元要素的方差线元要素的方差A（X1，Y1）P（XP，YP）B（X2，Y2）SS1XY已知直线两端点数字化坐标已知直线两端点数字化坐标A A（X XA A，Y YA A），），B B（X XB B，Y YB B），），其协方差阵为：其协方差阵为：求求P P点坐标及其

60、协方差。点坐标及其协方差。2021/8/26114第四节权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。2021/8/26115实例：实例：在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各条路线的距离为：条路线的距离为：条路线的距离为：条路线的距离为：S S S S1=1.5km1=1.5km1=1.5km1=1.5km S S S S2=2.5km2=2.5km2=2.5km2=2.5km S S S S3=2.0km3=2.0km3=2.0km3=2.0km S S S S4=4.0km 4=4.0km 4=4.0km 4=

61、4.0km S S S S5=3.0km5=3.0km5=3.0km5=3.0kmAP1P2P312345设每公里观测高差中误差为设每公里观测高差中误差为 kmkm， 0 0是可任选取的常数。根据协方差传播律可得：是可任选取的常数。根据协方差传播律可得：取取取取取取取取2021/8/26116（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。权的特性：权的特性：权的特性：权的特性：（五）同类观测值定权时，由于单位权中误差与观测值中误差单位相同，权是无量纲的数值；不同类观测值定权时，某些类观测值的权是有量纲的数值。2021/8

62、/26117二、单位权中误差三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权:要求每站或每要求每站或每km高差精度相同。高差精度相同。或2021/8/261182 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权 设有设有n个人对某量以同精度独立观测了个人对某量以同精度独立观测了N1，N2，Nn 次，次，得得n个平均值个平均值 L1，L2，Ln，若每次观测的中误差均为，若每次观测的中误差均为。以角度测量为例以角度测量为例2021/8/261193、边角定权、边角定权ABC23S001S1S2注意权的单位

63、注意权的单位2021/8/26120第五节第五节协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵2021/8/26121不难得出：2021/8/26122特点特点：I对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数II正定正定III各观测量互不相关时，各观测量互不相关时，Qij=0（ij），为为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。称QXX为协因数阵。2021/8/261232021/8/26124二、权阵二、权阵1、权阵的定义、权阵的定义设观测值向量设观测值向量L=L1，L2，LnT，其协因数阵为，其协因数阵为QLL，那么其权阵为：那么其权阵为：2021

64、/8/26125 由于由于DLL是对称矩阵，因此，是对称矩阵，因此，PLL也是对称矩阵。也是对称矩阵。若记权阵为：若记权阵为：2021/8/26126 1） 设独立观测值向量设独立观测值向量L=L1，L2，LnT，单位权中误，单位权中误差为差为0 0，组成向量和矩阵：，组成向量和矩阵：2、权与协因数的关系、权与协因数的关系2021/8/26127 2） 当观测值向量当观测值向量L=L1，L2，LnT的元素相关时，的元素相关时，ijij0，Qij0, Pij0。2021/8/26128权阵的特点权阵的特点：I对称，对角元素不一定就是相应观测值对称，对角元素不一定就是相应观测值的权的权II正定正定

65、III各观测量互不相关时，各观测量互不相关时，Pij=0（ij），为为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。2021/8/26129三、协因数传播律三、协因数传播律1、协因数传播律协因数传播律设有观测值设有观测值X，其协因数阵为，其协因数阵为QXX，方差阵为，方差阵为DXX，由协因数与协因数阵定义可知：由协因数与协因数阵定义可知：Y和和Z是是X的线性函数：的线性函数：2021/8/261302021/8/26131如果函数是非线性函数，则先线性化再用协因数传如果函数是非线性函数，则先线性化再用协因数传播律求函数的协因数。播律求函数的协因数。2021/8/26132

66、2、权倒数传播律、权倒数传播律设独立观测值向量设独立观测值向量L=L1，L2，LnT，其权分别为，其权分别为P1,p2, ,pn,如果有函数：如果有函数： Z=f(L1,L2, ,Ln) 线性化线性化由于观测值独立，则：由于观测值独立，则：2021/8/26133例题：例题：P48P512021/8/26134例例例例1 1、同精度观测了、同精度观测了、同精度观测了、同精度观测了L L1 1 ， L L2 2 ，令令令令P1=P2=1P1=P2=1，求，求，求，求 L3 L3的权。的权。的权。的权。L1L3L2l1l3l2L2L12021/8/26135四、控制网权阵四、控制网权阵（协因数阵）

67、（协因数阵）（协因数阵）（协因数阵）的确定的确定 在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各在如图的水准网中，已知各条路线的距离为：条路线的距离为：条路线的距离为：条路线的距离为：S S1=1.5km1=1.5km S S2=2.5km2=2.5km S S3=2.0km3=2.0km S S4=4.0km 4=4.0km S S5=3.0km5=3.0km 又各高差观测值独立，又各高差观测值独立，又各高差观测值独立，又各高差观测值独立，P Pi i=C/S=C/Si i, ,取取取取C=3.0km,C=3.0km,则：则：则：则：AP1P2P3123451 1、

68、水准网、水准网、水准网、水准网取取取取C=1.5kmC=1.5km2021/8/261362 2、测角网、测角网、测角网、测角网1 1）、角度为独立观测值）、角度为独立观测值）、角度为独立观测值）、角度为独立观测值( (测回法）测回法）测回法）测回法）观测值：观测值：观测值：观测值：L L1 1 ， L L2 2 ，L L3 3测回数：测回数：测回数：测回数：NN1 1 , N , N2 2 , N , N3 3L1L3L2各测回为等精度独立观测，一测回中误差为各测回为等精度独立观测，一测回中误差为各测回为等精度独立观测，一测回中误差为各测回为等精度独立观测，一测回中误差为，根据，根据，根据，

69、根据同精度观测值算术平均值定权方法有：同精度观测值算术平均值定权方法有：同精度观测值算术平均值定权方法有：同精度观测值算术平均值定权方法有：P P P Pi i i i=N=N=N=Ni i i i/C,/C,/C,/C,取取取取C=1C=1C=1C=1，则：则：则：则： 2021/8/261372 2）、相关观测值的情况）、相关观测值的情况）、相关观测值的情况）、相关观测值的情况用全圆测回观测用全圆测回观测用全圆测回观测用全圆测回观测L1L1，L2L2，L3L3l1l3l2L3L2L12021/8/261382021/8/26139l1l3l2L2L12021/8/261403 3、测边网、

70、测边网、测边网、测边网独立观测了六条边独立观测了六条边独立观测了六条边独立观测了六条边S1S1S6S6S1S4S3S6S5S2则权阵为则权阵为则权阵为则权阵为2021/8/261413、边角网、边角网ABC23S001S1S2则权阵为则权阵为则权阵为则权阵为2021/8/26142第六节第六节由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算一、用不同精度的真误差计算一、用不同精度的真误差计算一、用不同精度的真误差计算单位权中误差单位权中误差单位权中误差单位权中误差的基本公式的基本公式的基本公式的基本公式 设有一组同精度独立观测值设有一组同精度独立观测值设有

71、一组同精度独立观测值设有一组同精度独立观测值 L L1 1，L L2 2，L Ln n ，它们的，它们的，它们的，它们的数学期望为数学期望为数学期望为数学期望为 1 1， 2 2, , , , n n, , 真误差为真误差为真误差为真误差为 1 1, , 2 2, , , n n, ,有有有有 i i的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为E(E( i i)=0)=0，它们的中误差也等于，它们的中误差也等于，它们的中误差也等于，它们的中误差也等于。由于。由于。由于。由于L Li i和和和和 i i都都都都服从正态分布，所以可以将它们写为服从正态分布，所以可以将它们写为服从正态分布，所以

72、可以将它们写为服从正态分布，所以可以将它们写为 ： 由中误差的定义，观测值由中误差的定义，观测值由中误差的定义，观测值由中误差的定义，观测值L Li i的中误差为的中误差为的中误差为的中误差为2021/8/26143当当n为有限值时为有限值时 由于由于由于由于L1L1，L2L2，LnLn是同精度独立观测值，可设是同精度独立观测值，可设是同精度独立观测值，可设是同精度独立观测值，可设它们的权它们的权它们的权它们的权P P1 1=P=P2 2=P=Pn n=1,=1,可见可见可见可见为单位权中误差为单位权中误差为单位权中误差为单位权中误差。 现在设现在设L L1 1，L L2 2，L Ln n 是

73、一组不同精度的独立观测是一组不同精度的独立观测值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为：值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为：2021/8/26144L Li i和和和和 i i都服从下列正态分布都服从下列正态分布都服从下列正态分布都服从下列正态分布由权的定义可得：由权的定义可得：由权的定义可得：由权的定义可得： 可见，若知道单位权中误差可见，若知道单位权中误差可见，若知道单位权中误差可见，若知道单位权中误差0 0 0 0与观测值与观测值与观测值与观测值L L L Li i i i的权的权的权的权P P P Pi i i i, , , ,则可计算其中误差则可计算其中误差则可计算其中误差

74、则可计算其中误差i i i i。 2021/8/26145 从前面可以看到，为了求得单位权中误差从前面可以看到，为了求得单位权中误差 0 0 ，应需要得到，应需要得到一组精度相同且其权为一组精度相同且其权为1的独立的数学期望为的独立的数学期望为0的真误差，为此，的真误差，为此，令：令：利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差 0 0：根据权倒数传播律知根据权倒数传播律知可得：可得：2021/8/26146可见，可见， 是一组同精度且权为是一组同精度且权为1，数学期望，数学期望

75、E( )=0的误差，的误差，由于由于 是独立的真误差，所以，是独立的真误差，所以， 也是一组独立的真误差，也是一组独立的真误差，根据前面的知识就可得到根据前面的知识就可得到当当n为有限值时为有限值时即有即有观测值观测值Li的方差（中误差）为：的方差（中误差）为：2021/8/26147二、由真误差计算中误差的实际应用二、由真误差计算中误差的实际应用二、由真误差计算中误差的实际应用二、由真误差计算中误差的实际应用1由三角形闭合差求测角中误差由三角形闭合差求测角中误差1 12 23 3n n2021/8/261482021/8/261492、由双观测（成对观测）值之差求中误差、由双观测（成对观测）

76、值之差求中误差h1h1h2h2h4h3BM1h3h4BM2123水准测量水准测量L1L1L1L1L1L3L2L4距离测量距离测量2021/8/26150设对量设对量X1，X2，Xn 各测两次，得独立观测值为各测两次，得独立观测值为设已知各观测对设已知各观测对(Li与与Li相同相同)的权分别为的权分别为2021/8/261512021/8/261522021/8/26153例题见例题见例题见例题见P54P542021/8/26154第七节第七节 系统误差的传播系统误差的传播 前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误前

77、几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化。

78、值和符号随着观测条件的变化而变化。值和符号随着观测条件的变化而变化。值和符号随着观测条件的变化而变化。 由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可以得到些通用的处理方法。所以，的处理方法，不可以得到些通用的处理方法。所以，的处理方法，不可以得到些通用的处理方法。所以，的处理方法，不可以得到

79、些通用的处理方法。所以，对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一种在某些情况下可以应用的近似估算方法。种在某些情况下可以应用的近似估算方法。种在某些情况下可以应用的近似估算方法。种在某些情况下可以应用的近似估算方法。2021/8/261552021/8/261562021/8/26157

80、2021/8/261582021/8/261592021/8/261602021/8/261612021/8/26162第一节测量平差概述第二节测量平差的数学模型第三节参数估计与最小二乘原理2021/8/26163一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可观测三个内角的任意两个即可,称其必要称其必要元素个数为元素个数为2，必要元素有，必要元素有种选择种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。2021/8/26164必须有选择地观测6个高差中

81、的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用一般用t表示。表示。特点特点:1、给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。、给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。2、必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。、必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。3、确定几何模型最大独立观测个数、确定几何模型最大独立观测个数2021/8/26165多余观测多余观测:观测值的个数观测值的个数n与必要观测个数与

82、必要观测个数t之差之差一般用一般用r表示，表示，r=n-t。4、确定几何模型最大独立观测个数为、确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差，可以确定模型，还可以发现粗差。2021/8/26166二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余必要观测

83、可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测观测，每个，每个多余观测多余观测必然可用这必然可用这t个元素表示，个元素表示，r个个多余观测多余观测即形成即形成r个条件。个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3实际上：实际上：2021/8/26167ABCL2L3S00L1S1S2可见，有多余观测就存在观可见，有多余观测就存在观测元素之间的函数关系，就测元素之间的函数关系，就可以建立函数模型，而误差可以建立函数模型，而误差的存在又导致了观测值之间的存在又导致了观测值之间的矛盾，使得的矛盾，使得观测值之间不观测值之间不能满足应有的函数关系。能满足应有的函数关系。2021/8/26168 可将上式左

84、端在（可将上式左端在（L1，L2，L3，S1，S2）处用泰勒级数展）处用泰勒级数展开，进行线性化。开，进行线性化。 设观测值向量为设观测值向量为L=L1，L2，LnT，以上各方程均可表示，以上各方程均可表示为：为：F（ L1，L2，Ln）=F（L）=0，这种形式的方程称为条，这种形式的方程称为条件方程。件方程。 测量平差就是根据观测值和未知量的关系组成方程（函数模测量平差就是根据观测值和未知量的关系组成方程（函数模型），在一定的平差准则下求未知量的估值，并评定成果精度。型），在一定的平差准则下求未知量的估值，并评定成果精度。2021/8/26169第二节测量平差的函数模型一、条件平差法条件平差

85、法ABCL2L3S00L1S以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。2021/8/261702021/8/261712021/8/261722、条件平差的未知量（待求量）为观测值的真值、条件平差的未知量（待求量）为观测值的真值或观测值的真误差或观测值的真误差 。 3、在条件平差中，总观测数为、在条件平差中，总观测数为n,必要观测数为必要观测数为t,多余观测数为多余观测数为r,方程个数为方程个数为c=r。3、条件平差的自由度即为多余观测数条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件，即条件方程个数。方程个数。1、条件平差的函数模型为：、条件平差

86、的函数模型为：2021/8/26173二、间接平差法间接平差法选择几何模型中选择几何模型中t个独立变量为平差参数个独立变量为平差参数，每一个观测量表，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，称为个这种函数关系式，称为观观测方程测方程。以此为平差的函数模型，成为间接平差法。以此为平差的函数模型，成为间接平差法。ABCL2L3S0L1S2021/8/261742021/8/261752021/8/261762021/8/26177在间接平差中在间接平差中,总观测数为总观测数为n,必要观测数为必要观测数为t,参数参数个数为个数为u,多余观测数为多余观测数

87、为r,方程个数为方程个数为c=r+u=n.尽管间接平差法是选了尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。可见可见,间接平差的函数模型为间接平差的函数模型为:2021/8/26178三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了个条件方程，现有增设了u个独立个独立量作为参数，而量作为参数，而0ut个参数，个参数，其中包含其中包含t个独立参数个独立参数，则多选的

88、，则多选的s=u-t个参数必是个参数必是t个独立参数的函数，亦即在个独立参数的函数，亦即在u个参数之间个参数之间存在着存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。平差方法为附有限制件的间接平差法。2021/8/26182ABCL2L3S0L1S2021/8/261832021/8/261842、在、在附有限制条件的间接平差中，附有限制条件的间接

89、平差中，n 个总观测值，个总观测值，t个必要观测，个必要观测，r个多余观测，个多余观测，选择了选择了ut个参数，个参数，方程总数由方程总数由r个增加到个增加到c=r+u个，其中有个，其中有s=u-t个限制个限制条件方程。条件方程。3、附有参数的条件平差附有参数的条件平差的自由度为的自由度为r=c-u。可见可见1、附有限制条件的间接平差的函数模型为、附有限制条件的间接平差的函数模型为2021/8/26185n n注意：注意： 1、各种平差模型所列方程组中，方程之间、各种平差模型所列方程组中，方程之间必须独立。必须独立。 2、选取参数的目的：、选取参数的目的： （1）、直接求出某些未知量的估值）、

90、直接求出某些未知量的估值 （2）、便于列立方程）、便于列立方程2021/8/26186第三节函数模型的线性化一、函数的泰勒级数展开：一、函数的泰勒级数展开：为了线性化，取为了线性化，取X的近似值为的近似值为取取的近似值为的近似值为L将F按泰勒级数在（X0，L）处展开，并略去二次以及以上项：设函数设函数2021/8/261872021/8/26188二、平差函数模型的线性化二、平差函数模型的线性化1、条件平差法：、条件平差法：2021/8/261892、间接平差法间接平差法2021/8/261903、 附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法2021/8/261914、附有限制条件的间接平差法、

91、附有限制条件的间接平差法2021/8/26192第四节第四节测量平差的数学模型测量平差的数学模型数学模型数学模型函数模型函数模型随机模型：随机模型：条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差2021/8/26193数学模型数学模型函数模型函数模型随机模型：随机模型：条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差2021/8/26194第五节参数估计与最小二乘原理一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平

92、差为例：条件的个数r=n-tn，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。1、测量平差中的估计量、测量平差中的估计量1）、参数）、参数 的平差值的平差值 2）、观测值）、观测值 的平差值的平差值 3）、未知量的方差与协方差（协因数与单位权方差）、未知量的方差与协方差（协因数与单位权方差）2、参数的最优性质、参数的最优性质2021/8/26195唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量

93、应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。1）、无偏性：）、无偏性：2021/8/261961、最小二乘法实例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：二、二、 最小二乘原理最小二乘原理2021/8/26197写成矩阵：写成矩阵：间接平差函数模型间接平差函数模型2021/8/26198y2021/8/261992、最小二乘原理与极大似然估计最小二乘原理与极大似然估计按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n

94、维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：2021/8/26200其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量。2021/8/26201由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。2021/8/26202最小二乘原理中的最小二乘原理中的P阵为观测值权阵，阵为观测值权阵，P=Q-11 1、当观测值、当观测值、当观测值、当观测值L1L1，L2L2，LnLn独立时独立时独立时独立时2 2、当观测值、当观测值、当观测值、当观测值L1L

95、1，L2L2，LnLn相关时相关时相关时相关时此时，权阵不具有权的意义，只在运算时起着权的作用此时，权阵不具有权的意义，只在运算时起着权的作用此时，权阵不具有权的意义，只在运算时起着权的作用此时，权阵不具有权的意义，只在运算时起着权的作用2021/8/26203例、设对某物理量例、设对某物理量 进行了进行了n n次同精度观测得次同精度观测得 试用最小二乘原理求该量的估值。试用最小二乘原理求该量的估值。2021/8/26204第 五 章 条件平差第一节条件平差原理第二节条件方程第三节精度评定第四节水准网平差示例2021/8/26205第一节条件平差原理一、线性条件方程的矩阵形式一、线性条件方程的

96、矩阵形式1、平差值线性条件方程、平差值线性条件方程 设有设有r个平差值线性条件方程个平差值线性条件方程2021/8/262062、改正数线性条件方程、改正数线性条件方程2021/8/26207式中式中Wi=(i=1,2,r)称为条件方程的闭分差，或称不符值称为条件方程的闭分差，或称不符值2021/8/26208令令则有则有:2021/8/26209二、条件平差的基础方程及其解二、条件平差的基础方程及其解1、数学模型及平差准则2021/8/262102、基础方程及其解、基础方程及其解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：求其一阶偏导数，并令其为0：2021/8/262112021/8/26

97、212二、条件平差的计算步骤1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。3.解算法方程，求出联系数K值。4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。2021/8/26213BADh1h4h2h3C2021/8/26214BADh1h4h2h3C2021/8/26215例例例例3 3、A A、B B、C C三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上

98、，测出了ABAB、BCBC、ACAC的长的长的长的长分别为分别为分别为分别为l l1 1=200.010m,l=200.010m,l2 2=300.010m,l=300.010m,l3 3=300.070m,l=300.070m,l4 4=500.090m=500.090m。令。令。令。令100m100m量距权为单位权，试按条件平差法求各段的平差值量距权为单位权，试按条件平差法求各段的平差值量距权为单位权，试按条件平差法求各段的平差值量距权为单位权，试按条件平差法求各段的平差值。l1l3l2l4解：解：解：解：1 1、列条件方程、列条件方程、列条件方程、列条件方程 n=4,t=2, n=4,t

99、=2,故故故故r=2r=2，c=2c=2，可列两个条件方程，可列两个条件方程，可列两个条件方程，可列两个条件方程2 2、定权，、定权，、定权，、定权，p pi i=100/S=100/Si i3 3、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算4 4、代入原方程检查。、代入原方程检查。、代入原方程检查。、代入原方程检查。2021/8/26216h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=61232021/8/26217第二节条件方程一、水准网列条件的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的

100、线路数最少为原则2021/8/26218h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h32021/8/26219二、测角网4个必要的起算数据为：一个已知点（2个坐标）一个方位（1个）一个尺度（1个两已知点（4个坐标）2021/8/26220列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角锁b1c1a1a4b2c4b4a2c2c3b3a32021/8/26221大地四边形大地四边形a1a2b1b2a3BDb4a4Ob3CA2021/8/26222中心多边形中心多边形ABCDa1b3b1c

101、1a2a3b2c3c22021/8/262232021/8/26224AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T条件方程个数条件方程个数条件方程个数条件方程个数: :p=7, q=2,p=7, q=2,n=22,n=22,t=2p-4-q=8t=2p-4-q=8c=r=n-t=14c=r=n-t=148 8个图形条件个图形条件个图形条件个图形条件3 3个极条件个极条件个极条件个极条件1 1个圆周条件个圆周条件个圆周条件个圆周条件1 1个边长条件个边长条件个边长条件个边长条件1 1个方位条件个方位条件个方位条件个方位条件2021/8/26225三、

102、测边网三、测边网 边角网边角网ADCBh1h3h2S1S2S3S4S6S51231) 1)、以角度改正数表示的条件方程、以角度改正数表示的条件方程2021/8/262262 2）、角度改正数与边长改正数的关系式）、角度改正数与边长改正数的关系式ACBhbhchaScSaSb2021/8/26227n n角度改正数方程式的规律：任意角的改正数等于其对边改角度改正数方程式的规律：任意角的改正数等于其对边改正数与其两夹边的改正数与相应邻角余弦乘积的负值之和，正数与其两夹边的改正数与相应邻角余弦乘积的负值之和，再乘以再乘以 除以该角对边的高。除以该角对边的高。n n角值用余弦定理计算。角值用余弦定理计

103、算。2021/8/262282021/8/26229那么，由那么，由V1+V2+V3+V1+V2+V3+ =0=0得：得：在具体计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数在具体计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为的单位为cm，高，高h的单位为的单位为km，取，取2.062，而闭合差的单位，而闭合差的单位为（为（）。由观测边长计算系数中的角值（图）。由观测边长计算系数中的角值（图3-10），可按），可按余弦定理或下式计算：余弦定理或下式计算：2021/8/26230n n四、以坐标为观测值的条件方程四、以坐标为观测值的条件方程n n1 1、直角与直线型的条件方程，、直角与直

104、线型的条件方程， 0 0为为9090 、270270 或或0 0 、180180 。j(Xj ,Yj)h(Xh ,Yh)k(Xk ,Yk)2021/8/262312021/8/262322021/8/262332021/8/26234n n五、距离型的条件方程五、距离型的条件方程j(Xj ,Yj)k(Xk ,Yk)S02021/8/26235第三节精度评定一、计算单位权中误差（该公式证明在后面）该公式证明在后面）2021/8/26236二、协因数阵2021/8/262372021/8/26238 因为因为因为因为 所以所以所以所以 将以上结果列于下表，以便查用。将以上结果列于下表，以便查用。将

105、以上结果列于下表，以便查用。将以上结果列于下表，以便查用。2021/8/26239条件平差各量的协因数由表可知：由表可知： 与与V V、WW、K K是不相关的统计量，即相互独立。是不相关的统计量，即相互独立。2021/8/26240三、观测值真误差（粗差）对平差值的影响2021/8/26241四、平差值函数的中误差四、平差值函数的中误差ABCDa1b3b1c1a2a3b2c3c22021/8/26242设平差值函数为：2021/8/262432021/8/26244条件平差公式汇编条件平差公式汇编 条件平差的函数模型和随机模型是条件平差的函数模型和随机模型是 条件方程条件方程 AV+W=0 法

106、方程：法方程： 改正数方程：改正数方程：观测量平差值：观测量平差值：2021/8/26245平差值函数：平差值函数：平差值函数：平差值函数： 其权函数式为其权函数式为其权函数式为其权函数式为 单位权方差的估值：单位权方差的估值：单位权方差的估值：单位权方差的估值： 平差值函数的方差：平差值函数的方差：平差值函数的方差：平差值函数的方差： 2021/8/26246例例例例1 1、如图同精度观测了、如图同精度观测了、如图同精度观测了、如图同精度观测了6 6个角得个角得个角得个角得L1=453046, L1=453046, L2=672210, L3=670714, L4=690314, L2=67

107、2210, L3=670714, L4=690314, L6=523222, L6=582418, L6=523222, L6=582418,求各观测值的平差值求各观测值的平差值求各观测值的平差值求各观测值的平差值 及平差后及平差后及平差后及平差后CDCD边长的相对中误差。边长的相对中误差。边长的相对中误差。边长的相对中误差。第四节平差示例A132BDC4562021/8/26247例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B2021/8/26248解：1、列条件方程2021/8

108、/262492、定权取C=1，则：3、形成法方程2021/8/262504、解算法方程5、计算改正数6、计算平差值7、计算高程平差值2021/8/26251作业1：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.000253.404263.4524AoooBC123456P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。2021/8/26252第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定

109、第四节平差示例第 六 章 间 接 平 差2021/8/262531、数学模型及平差准则第一节间接平差原理2021/8/26254二、基础方程和它的解按函数极值的求法，极值函数：求其一阶偏导数，并令其为0：2021/8/26255代入误差方程：即为法方程式2021/8/26256三、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定2021/8/262571、2、3、4、5、2021/8/26258例题7-1如图所示的水准网中，已知水准点A的高程是HA=237.483m，为求B、C、D三点高程，进

110、行了水准测量，测得高差 和水准路线长度si, 见表7-1。试按照间接平差方法求B、C和D的高程平差值 。ADCB123542021/8/262592021/8/26260解：n=-5,t=3,r=2,选取B、C、D三点的高程为参，u=3，c=r+u=5、1、根据所示水准路线列出误差方程，即 2021/8/26261参数的近似值选为未知参数近似值的改正数为：将上式代入到误差方程有 2021/8/26262取10km观测高差为单位权观测，则：2、组成法方程：2021/8/262633、解法方程：4、计算改正数：2021/8/262645 5、计算平差值：计算平差值：2021/8/26265例例例例

111、7-2 A7-2 A、B B、C C三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上，测出了三点在同一直线上，测出了ABAB、BCBC、ACAC的的的的长分别为长分别为长分别为长分别为l l1 1=200.010m,l=200.010m,l2 2=300.010m,l=300.010m,l3 3=300.070m,l=300.070m,l4 4=500.090m=500.090m。令。令。令。令100m100m量距权为单位权，试按间接平差法求各段的平差值。量距权为单位权，试按间接平差法求各段的平差值。量距权为单位权，试按间接平差法求各段的平差值。量距权为单位权，试按间接平差法求

112、各段的平差值。l1l3l2l4解：解：解：解：1 1、列误差方程、列误差方程、列误差方程、列误差方程 n=4,t=2, n=4,t=2,故故故故r=2r=2，选取，选取，选取，选取l l1 1、l l2 2的平差值的平差值的平差值的平差值为未知参数，为未知参数，为未知参数，为未知参数，u=2u=2，可列，可列，可列，可列4 4个误差方程个误差方程个误差方程个误差方程2 2、定权，、定权，、定权，、定权，p pi i=100/S=100/Si i3 3、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算、组成法方程，并解算2021/8/26266一个平差问题，无论采用条件平差还是间接平一

113、个平差问题，无论采用条件平差还是间接平差，其最小二乘解是唯一和一致的。即与具体差，其最小二乘解是唯一和一致的。即与具体的平差方法无关！的平差方法无关！与条件平差的结果比较，结果完全一致。可见：与条件平差的结果比较，结果完全一致。可见：与条件平差的结果比较，结果完全一致。可见：与条件平差的结果比较，结果完全一致。可见：2021/8/26267一、确定待定参数的个数一、确定待定参数的个数第二节误差方程在间接平差中，待定参数的个数必须等于必等于必在间接平差中，待定参数的个数必须等于必等于必要观测的个数要观测的个数t，而且要求这，而且要求这t个参数必须是独立的。个参数必须是独立的。这样才有可能将每个观

114、测量表达成这个这样才有可能将每个观测量表达成这个t个参数的个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。的基本形式。2021/8/26268水准网测角网测边网边角网GPS网采用GPS尺度与方位不采用GPS尺度与方位2021/8/26269二、参数的选取二、参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标2021/8/26270三、误差方程的组成三、误差方程的组成1、水准路线的误差方程、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：2021/8/262712、方向的误差方程（

115、测方向三角网）定向角未知数设j、k的坐标为未知参数：即：零方向的方位角jk的方位角为：Ljk、Ljl为观测值N零方向jkljk2021/8/26272为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：2021/8/262732021/8/262742021/8/262752021/8/262761)、当j点已知时：2）、当k点已知时：2021/8/262773）、当j、k点已知时：4）、同一边的正反坐标方位角的改正数相等，与坐标改正数的关系也相同。2021/8/26278例7-3、如图，A、B、C为已知点，D为待求坐标点，在四个测站上共观测了10

116、个方向，以D点坐标为平差参数，列出误差方程。A1DCB5691087432解、解、1、列误差方程：、列误差方程：n=10,待求量为待求量为D点坐标，点坐标，4个测站定向角，个测站定向角，故必要观测数为故必要观测数为t=2+4=6, r=4,将将D点坐标和点坐标和4个测站定向角设为个测站定向角设为未知参数，未知参数，u=6,c=r+u=10。根据前面的内容有误差方程：。根据前面的内容有误差方程：1）、计算）、计算D点的近似坐标（可用前方交会余切公点的近似坐标（可用前方交会余切公式或支导线）、待定边的近似坐标方位角与近似式或支导线）、待定边的近似坐标方位角与近似边长、各定向角近似值。边长、各定向角

117、近似值。定向角近似值计算：定向角近似值计算：2021/8/262792 2）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长S S，坐标增量，坐标增量，坐标增量，坐标增量X X X X，Y Y Y Y以以以以m m m m为单位，坐标改正数以为单位，坐标改正数以为单位，坐标改正数以为单位，坐标改正数以dmdmdmdm或或或或cmcmcmcm为单位。为单位。为单位。为单位。3 3 3 3）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项l l l ljkjk

118、jkjk. . . .4 4 4 4）、将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程。2、组成法方程，并解算法方程。、组成法方程，并解算法方程。3、求出各平差值、求出各平差值。2021/8/262803、测角网函数模型Li为观测角值，设待定点j,h,k坐标为参数：Li的观测方程为：误差方程为：jkhLI2021/8/262812021/8/26282例7-3、如图，A、B、C为已知点，D为待求坐标点，同精度观测了6个角，以D点坐标为平差参数，列出误差方程。A1D

119、CB564321）、计算）、计算D点的近似坐标（可用前方交会余切公式或支导线）、点的近似坐标（可用前方交会余切公式或支导线）、待定边的近似坐标方位角与近似边长。待定边的近似坐标方位角与近似边长。解、1、列误差方程：、列误差方程：n=6,待求量为待求量为D点坐标故必要观测数为点坐标故必要观测数为t=2, r=4,将将D点坐标设为未知参数，点坐标设为未知参数，u=2,c=r+u=6。根据前。根据前面的内容有误差方程：面的内容有误差方程：2 2）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长）、计算坐标方位角改正数的系数。边长S S，坐标增

120、量，坐标增量，坐标增量，坐标增量 X X， Y Y以以以以mm为为为为单位，坐标改正数以单位，坐标改正数以单位，坐标改正数以单位，坐标改正数以dmdm或或或或cmcm为单位。为单位。为单位。为单位。3 3）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项l ljkjk. .4 4）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。2021/8/262834、距离的误差方程（测边网）、距离的误差方程（测边网）jk设j、k

121、的坐标为未知参数：jk的距离为：2021/8/26284为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：2021/8/262852021/8/262862021/8/262872021/8/26288当j点已知时：当k点已知时：2021/8/26289例7-5：如图，A、B、C为已知点，D为待定点，同精度观测了三个边长，列出误差方程并求平差值。CAL3L1DBL2解解、1、列误差方程：、列误差方程：n=3,待求量为待求量为D点坐标，故必要点坐标，故必要观测数为观测数为t=2, r=1,将将D点坐标设为未知参数，点坐标设为未知参数，u=2,c=3

122、。根据前面的内容有误差方程：根据前面的内容有误差方程：1）、计算）、计算D点的近似坐标点的近似坐标2 2）、计算坐标方位角改正数的系数。）、计算坐标方位角改正数的系数。）、计算坐标方位角改正数的系数。）、计算坐标方位角改正数的系数。3 3）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项）、计算误差方程的常数项l ljkjk. .4 4）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。）、将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程。ABDhL1L2l2021/8/262905、坐标转换模

123、型 设某点在新坐标系的坐标为（设某点在新坐标系的坐标为（x xi i，y yi i) )，在旧坐标系，在旧坐标系的坐标为（的坐标为（xxi i，y yi i) )，旧坐标系原点在新坐标系的，旧坐标系原点在新坐标系的坐标为（坐标为（x x0 0，y y0 0) )，将旧坐标系加以平移、旋转和尺，将旧坐标系加以平移、旋转和尺度因子改正，使点的坐标转换为新坐标。度因子改正，使点的坐标转换为新坐标。xyX y oo(x0,y0)ixixiyiyi2021/8/26291a,b,c,da,b,c,d为所求的未知量，若两坐标系有为所求的未知量，若两坐标系有n n个公共点，个公共点，令新坐标系坐标为观测值，

124、旧坐标无误差，则可列令新坐标系坐标为观测值，旧坐标无误差，则可列出误差方程：出误差方程：2021/8/262926 6、拟合模型、拟合模型1 1）、高程拟合）、高程拟合: : 数字高程模型、数字高程模型、GPSGPS水准的高程异常水准的高程异常拟合模型等。拟合模型等。已知已知n n个点的数据为（个点的数据为（x xi i，y yi i，Z Zi i），其中），其中Z Zi i是高程或是高程或向程异常，为观测值，向程异常，为观测值， （x xi i，y yi i）为坐标，）为坐标，Z Zi i是是x xi i，y yi i的函数，即的函数，即 Z=(x,y) Z=(x,y)。取拟合函数为：。取拟

125、合函数为：2021/8/262932 2）、已知圆上）、已知圆上）、已知圆上）、已知圆上mm个独立数字化观测个独立数字化观测个独立数字化观测个独立数字化观测坐标值（坐标值（坐标值（坐标值（X Xi i,Y,Yi i），求圆的方程。），求圆的方程。），求圆的方程。），求圆的方程。1 (x1,y1)2 (x2,y2)i (xi,yi)oi2021/8/26294第三节精度评定一、计算单位权中误差BTPV=02021/8/26295二、协因数阵二、协因数阵二、协因数阵二、协因数阵 设设设设 ，则，则，则，则Z Z的协因数阵为：的协因数阵为：的协因数阵为：的协因数阵为： 2021/8/26296202

126、1/8/262972021/8/26298间接平差的协因数公式2021/8/26299三、参数函数的中误差三、参数函数的中误差三、参数函数的中误差三、参数函数的中误差 假定间接平差问题中有假定间接平差问题中有t个参数，设参数的函数为个参数，设参数的函数为2021/8/263002021/8/26301一般，设有函数向量一般，设有函数向量2021/8/26302四、条件平差模型与间接平差模型的关系四、条件平差模型与间接平差模型的关系四、条件平差模型与间接平差模型的关系四、条件平差模型与间接平差模型的关系2021/8/263032021/8/26304第四节第四节第四节第四节 间接平差公式汇编与水

127、准网平差示例间接平差公式汇编与水准网平差示例间接平差公式汇编与水准网平差示例间接平差公式汇编与水准网平差示例2021/8/26305例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B2021/8/26306解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设P1、P2、P3点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B2021/8/26307写成矩阵的形式：定权，取C=1，Pi=1/Si2021/8/263082021/8/26309

128、例：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.85-0.5774.26-0.7862.5BoooAC165423P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度。2021/8/26310解：1、列误差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：BoooAC165423P1P2P320

129、21/8/26311定权，取C=1，Pi=1/Si2021/8/263122021/8/263132021/8/26314第五节第五节第五节第五节 直接平差直接平差直接平差直接平差直接平差：对同一未知量直接平差：对同一未知量X进行多次观测进行多次观测L1、L2、Ln，求，求该量的平差值并评定精度。此时，该量的平差值并评定精度。此时，t=1,r=n-1。2021/8/26315显然，上式为加权平均值，当同精度时即为算术平均值。显然，上式为加权平均值，当同精度时即为算术平均值。2021/8/26316第六节三角网坐标平差三角网坐标平差：以角度（或方向）为观测值，以待定点的坐标为未知参数的间接平差。

130、平差基准：通网平差求解未知点坐标（或高程）时所给出的已知数据。必要起算数据：通网平差求解未知点坐标（或高程）时所需要的最少的已知数据。约束平差（附合网平差）：有多余的起算数据最小约束平差（经典自由网）：只有必要起算数据自由网平差：无必要的起算数据2021/8/26317测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。已知数据见下表。2021/8/263182021/8/263192021/8/26320解：n=18,t=2*

131、6-4-4=4,r=18-4=14设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：根据角度的误差方程：2021/8/26321VBxl2021/8/26322定权，P为单位阵，形成法方程为：2021/8/26323精度评定：2021/8/26324第七节第七节 测边网坐标平差测边网坐标平差测边网坐标平差：以边长为观测值，以待定点的坐标为未知测边网坐标平差：以边长为观测值，以待定点的坐标为未知参数的间接平差。参数的间接平差。边长观测值的精度一般与其长度有关，边长观测值验前中误差边长观测值的精度一般与其长度有关，边长观测值验前中误差一般按下式计算：

132、一般按下式计算：边长观测值定权公式为：边长观测值定权公式为：2021/8/26325CP1P3BADP2P432411213568911107例例7-10：有测边网如图所示：有测边网如图所示A、B、C、D为已知点，为已知点，P1、P2P3、P4为待定点，用测距仪观测为待定点，用测距仪观测了了13条边长，试按间接平差求待定条边长，试按间接平差求待定点的坐标值及中误差。点的坐标值及中误差。解：解：1、求待定点的近似坐标、求待定点的近似坐标 2、计算误差方程的系数与常、计算误差方程的系数与常 数项数项 3、计算观测值的权、计算观测值的权 4、组成法方程并解算、组成法方程并解算 5、平差值计算、平差值

133、计算 7、精度计算、精度计算2021/8/26326第八节第八节导线网间接平差导线网间接平差一、一、 函数模型函数模型 导线网中既有角度观测值又有边长观测值，误差方程导线网中既有角度观测值又有边长观测值，误差方程由角度误差方程和边长误差方程组成。由角度误差方程和边长误差方程组成。2021/8/26327二、二、 椭机模型椭机模型 导线网中既有角度观测值又有边长观测值，设有导线网中既有角度观测值又有边长观测值，设有n1个角个角度观测值度观测值1、 2 n1,有有n2个个边长观测值边长观测值S1、S2、Sn2,权阵权阵为：为：2021/8/26328令角度观测值的中误差为：令角度观测值的中误差为：

134、令边长观测值的中误差为：令边长观测值的中误差为：一般情况下，角度观测值为同精度观测，令其为单位权中误差：一般情况下，角度观测值为同精度观测，令其为单位权中误差：则权为：则权为：则权为：则权为：2021/8/26329 此时，角度观测值的权是无量纲的，而边长观测值的权是此时，角度观测值的权是无量纲的，而边长观测值的权是有单位的，为秒有单位的，为秒2/m2或秒或秒2/dm2或秒或秒2/cm2或秒或秒2/mm2。2021/8/26330三、平差步骤：三、平差步骤： 1、求待定点的近似坐标、求待定点的近似坐标 2、计算误差方程的系数与常、计算误差方程的系数与常 数项数项 3、计算边与角观测值的权、计算

135、边与角观测值的权 4、组成法方程并解算、组成法方程并解算 5、平差值计算、平差值计算 7、精度计算、精度计算2021/8/26331第九节第九节GPS网平差网平差GPS数据处理先是利用测码伪距或测相伪距进行基线解算，得数据处理先是利用测码伪距或测相伪距进行基线解算，得到基线向量，然后再利用基线向量进行网平差，得到到基线向量，然后再利用基线向量进行网平差，得到WGS-84坐标。坐标。jiKihkj两台两台GPS接收机接收机同时作业同时作业三台三台GPS接收机接收机同时作业同时作业四台四台GPS接收机接收机同时作业同时作业ijXijYijZij2021/8/26332ijXijYijZij(Xi,

136、Yi,Zi)(Xj,Yj,Zj)一、函数模型一、函数模型将基线向量（将基线向量（ Xij, Yij, Zij)看为观测值，将基线两端的待定看为观测值，将基线两端的待定点坐标点坐标(Xi,Yi,Zi) 、(Xj,Yj,Zj)设为未知参数，则有：为未知参数，则有：2021/8/263332021/8/26334二、随机模型二、随机模型 GPS网平差的随机模型一般形式仍为：网平差的随机模型一般形式仍为： GPS数据处理一般由数据处理一般由GPS后处理软件进行。通过基线解算后，后处理软件进行。通过基线解算后，软件会给出基线向量（软件会给出基线向量（ Xij, Yij, Zij)的协方差阵：的协方差阵：

137、2021/8/26335若整个若整个GPS网有网有n基线，不同的观测基线向量是相互独立的，则基线，不同的观测基线向量是相互独立的，则整个整个GPS网的方差阵为：网的方差阵为：权阵为：权阵为：GPS数据处理一般由数据处理一般由GPS后处理软件完成。后处理软件完成。2021/8/26336第一节基础方程和它的解第二节精度评定第 七 章 附有参数的条件平差2021/8/26337一、测量平差方法回顾（1）条件平差法条件平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，条件方程个数条件方程个数c。在最小二乘原则下有：在最小二乘原则下有：2021/8/26338（

138、2）间接平差法间接平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设设t个相互独立的未知参数，则条件个数个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即即n个误差方程：个误差方程：在最小二乘原则下有：在最小二乘原则下有：2021/8/26339（3）附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut，则，则u个未知参数间肯定存在个未知参数间肯定存在u-t个个函数关系，称为约束条件。函数关系，称为约束条件。2021/8/26364联合基础方程基

139、础方程2021/8/26365基础方程线性化形式：基础方程线性化形式：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：2021/8/26366求其一阶偏导数，并令其为求其一阶偏导数，并令其为0：法方程式法方程式2021/8/26367写成矩阵形式：写成矩阵形式：2021/8/26368显式表示：显式表示：2021/8/26369例例8-18-1：为了确定过已知点（：为了确定过已知点（x x0 0=0.4,y=0.4,y0 0=1.2)=1.2)的直线：的直线：y=ax+b,y=ax+b,等精度观测了等精度观测了x=1,2,3x=1,2,3处的处的函数值函

140、数值y yi i(i=1,2,3)(i=1,2,3)，以直线方程的，以直线方程的a,ba,b为参数为参数试列出误差方程和限制条件方程，并求出试列出误差方程和限制条件方程，并求出a a、b b的估值及协因数阵。的估值及协因数阵。x0.4y21231y11.2y3y20观测值观测值观测值观测值解：解：n=3,t=1,r=2,u=2,c=r+u=4,s=u-t=1n=3,t=1,r=2,u=2,c=r+u=4,s=u-t=12021/8/263702021/8/26371h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=61232021/

141、8/26372第二节精度评定一、计算单位权中误差一、计算单位权中误差2021/8/263732021/8/26374二、协因数阵二、协因数阵由于由于，则则有有:，2021/8/26375由于由于则则有有:2021/8/26376 由于由于则有则有: 2021/8/26377 由于由于 则有则有:2021/8/26378由于由于则有则有: 2021/8/26379三、平差值函数的协因数三、平差值函数的协因数2021/8/26380四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤1.根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。2.根据观测值的权组成法方程式。3.解算法方程，求出联系数X与K值

142、。4.将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。5.5、精度评定。2021/8/26381例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按附有限制条件的间接平差求各点的高程平差值。h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B2021/8/26382解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数相应的近似值列误差方程：列误差方程：u=4，s=1h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B2021/8/26383定权，取C=1限制条件：限制条件：2021/8/263842021/8/

143、26385第三节公式汇编与示例第三节公式汇编与示例2021/8/26386第 九 章 概括平差函数模型第二节基础方程和它的解第三节精度评定第一节概述2021/8/26387一、平差模型的回顾（1）条件平差法）条件平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，条件方程个数条件方程个数c。（2）间接平差法间接平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设设t个相互独立的未知参数，则条件个数个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即即n个误差方程：个误差方程：2021/8/26388（3）附有参数的

144、条件平差法附有参数的条件平差法观测值个数为观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出为必要观测数，则可列出r=n-t个个条件方程，现有条件方程，现有u个独立量作为参数，而个独立量作为参数，而0ut，包含，包含t个独立参数，则条件个数个独立参数，则条件个数r+u,其中，有其中，有s个限制条件：个限制条件：2021/8/26389二、条件方程式形式二、条件方程式形式一般条件方程式一般条件方程式,用用C表表示个数示个数限制条件式限制条件式2021/8/26390（1）条件平差法）条件平差法:（2）间接平差法间接平差法:（3）附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法（4）附有限制条件的间接平差法）附有限

145、制条件的间接平差法2021/8/26391三、概括平差模型的引入三、概括平差模型的引入对于一个几何模型，独立参数的个数对于一个几何模型，独立参数的个数u满足满足：条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的条件附有参数的条件平差平差2021/8/26392对于一个几何模型，可选参数的个数对于一个几何模型，可选参数的个数u：相关相关包含独立参包含独立参数数数数t包含独立参包含独立参数数数数=t附有限制条件附有限制条件的间接平差的间接平差概括平差概括平差2021/8/26393观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测，多余观测数数r=n-t，现有，现有u个参数，则条件个数个参数，则

146、条件个数r+u,其中，设其中，设u个参数中其中可以形成个参数中其中可以形成s个限个限制条件，一般条件个数为：制条件，一般条件个数为：c=r+u-s:四、概括平差模型四、概括平差模型线性化线性化c+s=r+u2021/8/26394n n如图,分不同情形选取参数,可形成不同的平差函数,但所有的函数可以概括成一种模型.1 (x1)3(x3)4(X4)(X2) 271096(X6)52021/8/26395一、基础方程一、基础方程：第二节第二节基础方程和它的解基础方程和它的解条件平差条件平差2021/8/26396间接平差间接平差独立独立2021/8/26397附有参数的附有参数的条件平差条件平差独

147、立独立2021/8/26398包含包含t个个独立独立附有限制附有限制条件的间条件的间接平差接平差2021/8/26399二、基础方程的解二、基础方程的解：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：2021/8/26400代入第二式得：代入第二式得：2021/8/264012021/8/264022021/8/26403条件平差条件平差2021/8/26404独立独立间接平差间接平差2021/8/26405附有参数的条件平差附有参数的条件平差独立独立2021/8/26406包含包含t个独个独立立附有限制条件的附有限制条件的间接平差间接平差2021/8

148、/26407第三节精度评定一、计算单位权中误差一、计算单位权中误差二、协因数阵二、协因数阵2021/8/26408由于由于则则有有2021/8/26409由于则有 2021/8/26410 由于则有 2021/8/264112021/8/26412由于 则有 2021/8/26413四、平差值函数的协因素四、平差值函数的协因素，2021/8/26414第三节第三节 平差结果的统计性平差结果的统计性概括平差的函数模型是：概括平差的函数模型是：，2021/8/26415n n这样可得这样可得2021/8/26416则有则有 2021/8/26417即要即要证证明：明：设有另一个参数估值向量，其表达

149、式是其表达式是设有另一个参数估值向量设有另一个参数估值向量 令它满足无偏性令它满足无偏性2021/8/26418则有则有参数估参数估值值向量向量的方差的方差阵阵是是令令具有最小方差性，即要求下式成立具有最小方差性，即要求下式成立则有则有2021/8/26419代入无偏性条件：代入无偏性条件： 则有则有代入最小方差性的第二个条件：代入最小方差性的第二个条件： 得出得出 2021/8/26420那么有那么有这这就就说说明估明估计计量量具有最小方差无偏性。2021/8/26421设设有另一个参数估有另一个参数估值值向量向量是的无偏和最小方差估的无偏和最小方差估计计量，令其表达式是量，令其表达式是20

150、21/8/26422因为因为它满足无偏性，即要求它满足无偏性，即要求另外另外2021/8/26423它满足最小方差性，即要求它满足最小方差性，即要求2021/8/26424把最小方差性的第一个条件代入到无偏性条件把最小方差性的第一个条件代入到无偏性条件 则有则有再代入的最小方差性的第二个条件 2021/8/26425那么那么则有则有2021/8/264262021/8/26427定理：若有服从任意分布的定理：若有服从任意分布的n维维随机向量随机向量Y，其数学，其数学则则n维维随机向量随机向量Y，方差方差阵阵是是的任一二次型的数学期望是的任一二次型的数学期望是期望是期望是其中其中是任一是任一 n

151、维对维对称可逆方称可逆方阵阵。2021/8/264282021/8/264292021/8/264302021/8/264312021/8/26432第十章 误差椭圆第一节概述第二节点位误差第三节误差曲线2021/8/264332021/8/26434yox第一节：概述第一节：概述真位置真位置平差后位平差后位置置位差的概念位差的概念:平面控制网平差时平面控制网平差时,我们我们可以将控制点坐标设为参可以将控制点坐标设为参数数,通过平差直接得到坐通过平差直接得到坐标平差值标平差值,也可通过也可通过观测观测值的平差值计算得到坐标值的平差值计算得到坐标平差值平差值(x,y):平差后的位置与其真位存平差

152、后的位置与其真位存在着差值在着差值.2021/8/26435对对两边取数学期望：两边取数学期望：则得点位方差则得点位方差:yox点位真位差点位真位差:注意注意:点真位差与点中误差的区别点真位差与点中误差的区别2021/8/26436yoxX/y/同理：同理： 点位中误差与坐标系的选择无关。点位中误差与坐标系的选择无关。2021/8/26437可见可见可见可见: :1 1、点位误差可以通过、点位误差可以通过、点位误差可以通过、点位误差可以通过x,yx,y的中误差求得，也可通过横向的中误差求得，也可通过横向的中误差求得，也可通过横向的中误差求得，也可通过横向 误差和纵向误差求得。误差和纵向误差求得

153、。误差和纵向误差求得。误差和纵向误差求得。2 2、点位误差与坐标系的选择无关。、点位误差与坐标系的选择无关。、点位误差与坐标系的选择无关。、点位误差与坐标系的选择无关。3 3、通过点位误差可以求得任意两个相互垂、通过点位误差可以求得任意两个相互垂、通过点位误差可以求得任意两个相互垂、通过点位误差可以求得任意两个相互垂 直方向上的直方向上的直方向上的直方向上的 中误差中误差中误差中误差 。4 4、点位误差在不同方向上的投影大小是不相同的，、点位误差在不同方向上的投影大小是不相同的，、点位误差在不同方向上的投影大小是不相同的，、点位误差在不同方向上的投影大小是不相同的， 但总存在一个最大投影方向。

154、但总存在一个最大投影方向。但总存在一个最大投影方向。但总存在一个最大投影方向。5 5、在工程中，常需了解不同方向上的位差的大小，、在工程中，常需了解不同方向上的位差的大小，、在工程中，常需了解不同方向上的位差的大小，、在工程中，常需了解不同方向上的位差的大小， 不同方向盘上位差的大小可通过误差椭圆来求得。不同方向盘上位差的大小可通过误差椭圆来求得。不同方向盘上位差的大小可通过误差椭圆来求得。不同方向盘上位差的大小可通过误差椭圆来求得。2021/8/26438第二节第二节点位误差点位误差一、一、点位误差的计算点位误差的计算1、间接平差、间接平差在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：在平面网

155、的间接平差中，设点的坐标为未知参数：2021/8/264392021/8/26440测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的点位精度。2021/8/26441平差得：2021/8/264422021/8/264432、当按照条件平差法进行平差时、当按照条件平差法进行平差时 2021/8/26444二、任意方向的位差二、任意方向的位差点位误差在任意方向点位误差在任意方向PP的投影的投影yxp2021/8/26445三、位差的极大值

156、三、位差的极大值E和极小值和极小值F：设设为位差的极值方向为位差的极值方向:2021/8/26446可以求得两个解可以求得两个解可以求得两个解可以求得两个解两个极值方向为两个极值方向为一个为最大方向一个为最大方向,一个为最小方向，代入：一个为最小方向，代入：2021/8/264472021/8/264482021/8/26449若记若记若记若记E E2 2和和和和F F2 2分别为位差最大值和最小值：分别为位差最大值和最小值：分别为位差最大值和最小值：分别为位差最大值和最小值：2021/8/26450证明：点位坐标平差值方差阵证明：点位坐标平差值方差阵证明：点位坐标平差值方差阵证明：点位坐标平

157、差值方差阵QQXXXX的特征值的特征值的特征值的特征值为为为为Q Q 的极大值与极小值。的极大值与极小值。的极大值与极小值。的极大值与极小值。2021/8/26451极值方向的判定：极值方向的判定：极值方向的判定：极值方向的判定：2021/8/264522021/8/264532021/8/26454四、以极值四、以极值四、以极值四、以极值E E和和和和F F表示的任意方向上的位差表示的任意方向上的位差表示的任意方向上的位差表示的任意方向上的位差 是任意方向与极值是任意方向与极值是任意方向与极值是任意方向与极值E E方向的夹角方向的夹角方向的夹角方向的夹角xyEFPP任意方向2021/8/26

158、455因为因为 所以所以2021/8/264562021/8/26457xEyFOP第三节第三节误差曲线误差曲线1、误差曲线、误差曲线2021/8/264583 3、与某已知点平差后方位角中误差，、与某已知点平差后方位角中误差，、与某已知点平差后方位角中误差，、与某已知点平差后方位角中误差，如如如如PAPA方位角中误差，方位角中误差，方位角中误差，方位角中误差，2 2、误差曲线的应用、误差曲线的应用、误差曲线的应用、误差曲线的应用1 1、计算平差后某方向的位差。、计算平差后某方向的位差。、计算平差后某方向的位差。、计算平差后某方向的位差。如如如如x,yx,y轴方向，轴方向，轴方向，轴方向，E,

159、FE,F方向的位差方向的位差方向的位差方向的位差2 2、与、与、与、与某已知点某已知点某已知点某已知点之间的平差后边长之间的平差后边长之间的平差后边长之间的平差后边长的中误差如：的中误差如：的中误差如：的中误差如：PAPA，PBPBxEyFPABCacbdefg2021/8/26459第四节第四节 误差椭圆误差椭圆XYX(E)Y(F)PDEF一、误差椭圆一、误差椭圆 由于误差曲线不是典型的由于误差曲线不是典型的曲线，实用中不方便。曲线，实用中不方便。 以以E，F为长短半轴的椭为长短半轴的椭圆称为点位误差椭圆圆称为点位误差椭圆。2021/8/26460n n二、误差椭圆的应用二、误差椭圆的应用X

160、YX(E)Y(F)PDEFn n1、可在误差椭圆上图、可在误差椭圆上图解出任意方向的位差。解出任意方向的位差。n n如如PD。2021/8/26461n n2 2、证明、证明、证明、证明XYP0（X0，Y0）PDY0X0EF+9002021/8/264622021/8/26463n n1、确定某方向的位差、确定某方向的位差n n2、确定待定点的误差椭圆或误差曲线、确定待定点的误差椭圆或误差曲线n n3、间接平差与条件平差如何计算误差椭圆、间接平差与条件平差如何计算误差椭圆元素。元素。n n4、待定点与待定点之间的方位角中误差与、待定点与待定点之间的方位角中误差与边长中误差不能用点位误差椭圆得到

161、，因边长中误差不能用点位误差椭圆得到，因为待定点的坐标是相关的。这些问题要用为待定点的坐标是相关的。这些问题要用到相对误差椭圆。到相对误差椭圆。2021/8/26464第五节第五节 相对误差椭圆相对误差椭圆n n反映两个待定点之间相对位置精度情况。反映两个待定点之间相对位置精度情况。反映两个待定点之间相对位置精度情况。反映两个待定点之间相对位置精度情况。Pi（xi,yi)Pk（xk,yk)2021/8/26465例例例例10-310-3见书上见书上见书上见书上2021/8/26466P1P2OegT2 2、根据横向误差还可求得、根据横向误差还可求得P1P2P1P2方位误差。方位误差。1 1、可根据相对误差椭圆，求得侍定点、可根据相对误差椭圆，求得侍定点P1P1，P2P2方向纵向误差如图oe和垂直方向的横向误差如图og。2021/8/26467 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！2021/8/26468部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！