极限运算的基本法则

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1、2.4 极限运算的基本法则极限运算的基本法则 一一. 极限四则运算法则极限四则运算法则二二. 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 根据极限的定义根据极限的定义, 只能验证某个常数只能验证某个常数 A 是否为是否为(x)的极限的极限, 而不能求出函数而不能求出函数(x)的极限的极限. 为了解决极限的计算问题为了解决极限的计算问题, 我们我们首先建立极限运算的基本法则首先建立极限运算的基本法则, 再利用这些法则和前面已经给再利用这些法则和前面已经给出的一些相关结论出的一些相关结论, 来解决极限的计算问题来解决极限的计算问题.一一. .极限四则运算法则极限四则运算法则 定理定理2.4.1

2、在自变量在自变量x 的同一变化过程中的同一变化过程中, 如果如果 下面仅以极限过程为下面仅以极限过程为 xx0 的的(1)的证明为例的证明为例, 其他类似证明其他类似证明.证明证明 因为因为即即 可以表示为常数与无穷小之和可以表示为常数与无穷小之和, 即得证即得证.定理定理2.4.1的结论的结论(1)和和(2)可以推广到有限个函数的代数和及可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况乘积的极限情况.都存在，则有：都存在，则有：例如，如果在自变量例如，如果在自变量 x的同一变化过程中，的同一变化过程中， 推论推论2 如果如果存在，且存在，且n是正整数，则是正整数，则存在，而存在，而C为常数，则为

3、常数，则推论推论1 如果如果 例例1 求求解解解解由例由例1、例、例2可知：可知：解解因为因为则极限则极限 不能直接应用商的极限运算性质不能直接应用商的极限运算性质, 分子和分母都含有因式分子和分母都含有因式 x -3, 约去这个因式得约去这个因式得解解将分子有理化将分子有理化, 得得例例4解解 因为因为极限极限 不能直接使用商的极限运算法则不能直接使用商的极限运算法则, 从从分子和分母约去分子和分母约去 x的最高次幂的最高次幂 有有一般地，当一般地，当x 时，有理函数的极限有如下结论时，有理函数的极限有如下结论: 解解 分子和分母约去分子和分母约去n4，有有 解解 因为因为极限和的运算法则不

4、能直接应用极限和的运算法则不能直接应用, 将将通分得通分得解解 解解例例10 解解 因为因为 所以所以 是无穷小，则是无穷小，则是无穷大，即是无穷大，即二二. .复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理2.4.2 设设函数函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成. 若若在在x0的某个去心领的某个去心领域内有定义域内有定义, 且且如果存在如果存在00,当当时，时，有有那么那么 其理论证明其理论证明(略略). 但须指出以下两点：但须指出以下两点：注注：(1)若将定理若将定理2.4.2中的极限过程改为中的极限过程改为 x,或者将或者将的极限的极限 u0改为改为 , 则定理的结论仍然成立则定理的结论仍然成立.(2) 定理定理2.4.2表明：若函数表明：若函数f(u)和和g(u)满足该定理的条满足该定理的条件，则用件，则用可以把求可以把求化求化求其中其中，且，且u0若不为常数就为若不为常数就为.例例11 求极限求极限解解