《挑战2023年中考数学压轴题08二次函数与矩形存在性问题（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《挑战2023年中考数学压轴题08二次函数与矩形存在性问题（含答案解析）（113页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题7 二次函数与菱形存在性问题考法综述“我们已经知道菱形是特殊的平行四边形， 它的判定方法一共有五种， 分别是四边都相等的四边形是菱形；两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目， 结合了 “ 分类讨论思想”， “ 方程思想”“ 菱形的判定方法”， 势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多， 纵观历年中考真题， 菱形存在性问题主要是以“ 两定两动”为设问方式, 其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标
2、是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上， 另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.典例剖析.I1 例1 ( 2 0 2 0雁塔区校级模拟) 在平面直角坐标系x O y中, 抛物线y = / + 6 x + c ( a # 0 )的对称轴为直线x = 4 ,抛物线与x轴相交于A ( 2 , 0 ) , 8两点， 与) ， 轴交于点C ( 0 , 6 ), 点E为抛物线的顶点.( 1 )求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；( 2 )若将该抛物线的图象绕x轴上一点“ 旋 转1 8 0 , 点C、E的对应点分别是点C、E ,当 以C、E、。、E为顶
3、点的四边形是菱形时， 求 点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【 例2】( 2 0 2 1齐齐哈尔三模) 如图， 在平面直角坐标系中, 抛物线丫= - - + 。( “ W 0 )与x轴交于点A、B 2x+43 x52x两 点 ( 点A在 点3左 侧 ) ， 与) ， 轴交于点C .。4、0 8的长是不等式组I 2 的整数解( O A V O 8 ) ,点O (2 ,m )在抛物线上.( 1 )求抛物线的解析式及， ”的值；( 2 ) y轴上的点E使A E和DE的值最小， 则OE=；( 3 )将抛物线向上平移， 使 点C落在点F处 . 当A O 网 时 ， 抛物线向上平移了 个单位；( 4 )
4、点M在 在y轴上， 平面直角坐标系内存在点N使以点4、B 、M、N为顶点的四边形为菱形， 请直接写出点N的坐标.【 例3】 (2022烟台) 如图， 已知直线 = 3 x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= a + bx+ c经过A,C两点， 且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x= - 1.( 1 )求抛物线的表达式；( 2 ) 3是第二象限内抛物线上的动点， 设点D的横坐标为凡求四边形A8CD面积S的最大值及此时。点的坐标；(3 )若点P在抛物线对称轴上， 是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以A C为对角线的菱形？若存在， 请 求 出 两 点 的 坐 标 ；
5、若不存在, 请说明理由. 例4 (2022武昌区模拟) 如图， 直线y= - 2x+8分别交x轴,y轴于点B,C,抛物线y=-x1 + bx+ c 过 两点， 其顶点为M对称轴M N与直线B C交于点N .( 1 )直接写出抛物线的解析式；( 2 )如 图1,点P是线段BC上一动点， 过点P作 尸 。，x轴于点/ ) , 交抛物线于点。 ， 问： 是否存在点P,使四边形M N P。为菱形？并说明理由；( 3 )如图2 ,点G为y轴负半轴上的一动点， 过点G作E / B C,直线E F与抛物线交于点E , F ,与直线y =-J _1_1 _4x交于点” , 若 而 F G不正, 求点G的坐标.
6、图 图满分训练X _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /v =_ 3 x+91 . (2 02 2蒲城县一模)如图， 已知直线 2 2与x轴、y轴分别交于8、C两点, 抛物线丫= - +3 %+。 经过8、C两点， 与x轴的另一个交点为A ,点E的坐标为(，如 ).(1 )求抛物线的函数表达式；(2 )点E , F关于抛物线的对称轴直线/ 对称, 0点是对称轴上一动点， 在抛物线上是否存在点P ,使得以E 、F、P 、。为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在, 请说明理由.2 . (2 02 2抚顺县二模)如图, 抛物线y= o ? + f e r + 6
7、 (a #0)与x轴交于A ( - 1 , 0) ,B (3 , 0)两点， 与y轴交于点 C, 顶点为D.（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2 ）若在线段B C上存在一点M 使得N B M O = 4 5 , 过 点 0 作 OHLOM交B C的延长线于点H , 求点M的坐标；（ 3 ） 点 P是 ） ， 轴上一动点， 点Q是在对称轴上一动点， 是否存在点P , Q , 使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由.备用图3 . （ 2 02 2 历下区三模）如图, 在平面直角坐标系中， 二次函数y = - 7 + 6 x + c 的图象交x 轴
8、于A 、B两点， 与 y轴交于点C, 08 = 3 04 = 3 , 点P是抛物线上一动点.（ 1 ）求抛物线的解析式及点C 坐标；（ 2 ）如 图 1 , 若点尸在第一象限内， 过点P作 x 轴的平行线, 交直线BC 于点E , 求线段PE的最大值及此时点 P的坐标；（ 3 ） 如图2 , 过点P作 x 轴的垂线交x 轴于点0, 交直线B C 于 一 点 、仞 , 在 ） ， 轴上是否存在点G , 使得以M,P,C,G为顶点的四边形为菱形？若存在， 请直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 点 G 坐 标 ；若不存在， 请说明理4 . （ 2 02 2 碑林区校级三模）如图, 在平面直角
9、坐标系中， 已知抛物线L i： y =- / + 版+ c 经过点A （ 2 , 2 ）, 抛物线的对称轴是直线x= l, 顶点为点B.( 1 ) 求这条抛物线的解析式；( 2 ) 将抛物线L平移到抛物线上, 抛物线Li的顶点记为。 ， 它的对称轴与x 轴的交点记为E.已知点C(2 , - 1 ), 若以A、C 、。、E为顶点的四边形为菱形， 则请求出抛物线上的顶点坐标.5 . (2 02 2 佛山校级三 模 )如图, 抛物线y= / + x+ c 与 x 轴交于( - 1 , 0)两点， 与 y 轴交于点C, 直线A C2的解析式为y 3x - 2 .( 1 ) 求抛物线的解析式：( 2 )
10、 已知人为正数， 当0 x l + k时j 的最大值和最小值分别为机, ， 且机+ = T， 求k的值；(3 )点P是平面内任意一点， 在抛物线对称轴上是否存在点Q , 使得以点A , C, P , Q 为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由.备用图6 . (2 02 2 邵阳模拟)如图， 在平面直角坐标系中, 抛物线y = - 7 + b x + c 与 x 轴分别交于点A ( - 1 , 0)和点8 ,与 y 轴交于点C (0, 3 ).( 1 ) 求抛物线的解析式及对称轴；( 2 ) 如图， 点D与点C关于对称轴对称， 点P在对称轴上， 若N B P O
11、= 90 , 求点P的坐标；( 3 ) 点 M 是抛物线上一动点， 点 N在抛物线的对称轴上， 是否存在以A 、B 、M、N为顶点的四边形为菱形， 若存在, 求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由.7 . （ 2 02 2九龙坡区模拟）如 图1 ,抛物线y =/+ 法+ c与x轴相交于点8、C （ 点B在 点C左侧）， 与y轴相交于点A.已知点8坐标为B （ 1 , 0） , B C= 3 , A 4 B C面积为6 .（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2 ）如 图1 ,点P为直线A C下方抛物线上一动点， 过点P作P O 4 B ,交线段A C于点D .求P。长度的最大值及此时P点的坐标；7
12、_（ 3 ）如图2 ,将抛物线向左平移引个单位长度得到新的抛物线,M为新抛物线对称轴I上一点,N为平面内一点， 使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形, 请直接写出点N的坐标， 并写出求解其中一个N点坐标的过程.图1图28 . （ 2 02 2恩施市模拟）如图， 已知直线y =-?1-3与x轴,y轴分别交于点A , B ,抛物线的顶点 是（ 2月1 - 1）， 且与x轴交于C Q两点， 与y轴交于点E,P是抛物线上一个动点， 过点P作PGVA.B于点 G .(1 )求 氏 c 的值；( 2 ) 若点M是抛物线对称轴上任意点， 点N是抛物线上一动点， 是否存在点N , 使得以点C,D,M,N
13、为顶点的四边形是菱形？若存在， 请你求出点N的坐标；若不存在， 请你说明理由.( 3 ) 当点尸运动到何处时， 线段PG的长最小？最小值为多少？9. (2 02 0秋沙坪坝区校级期末)如图, 在平面直角坐标系中， 抛 物 线 尸 -%2- U v + 2 交 x 轴于点A、B,交y 轴于点C.(1 )求 A B C的面积；(2 )如图， 过 点 C 作射线C M交 x 轴的负半轴于点M且 / O C M = / O A C , 点 P为线段AC 上方抛物线上的一点， 过 点P作A C的垂线交C M于点G , 求线段P G的最大值及点P的坐标；(3 )将该抛物线沿射线AC 方向平移/ 百个单位后
14、得到的新抛物线为 ,与直线BC相交于点瓦当D E ： A E = 4 ： 5时， 求ta n ZD AB的值；( 3 )点尸是直线B C上一点， 在平面内是否存在点。 ， 使以点P,Q,CA为顶点的四边形是菱形？若存在， 直14. (2020师宗县一模) 如图, 直线产-x+ 3与x轴、y轴分别交于点反点C,经过反C两点的抛物线y =+6x+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P点M为抛物线的对称轴上的一个动点.( 1 )求该抛物线的解析式；( 2 )当点M在x轴的上方时， 求四边形CQ4M周长的最小值；( 3 )在平面直角坐标系内是否存在点N,使 以C,P,何 ,N为顶点的四边形为菱形？若存在，
15、 请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在, 请说明理由.15. (2021 两江新区模拟) 如图, 抛物线yno?+fct+cCa#。 ) 交x轴于A,B两点， 交y轴于点C .其中点4 ( -1,0) ,B (3,0) ,C ( 0 , - 3 )， 连接 AC、BC.( 1 )求抛物线的解析式；( 2 )如 图1,在抛物线上B,C两点间有一动点P ( 点P不与B、C两点重合) ， 过 点P作A C的平行线， 交B C于点G,求P G的最大值及此时点P的坐标；( 3 )如 图2,将抛物线y=ax1+bx+c (aW O )沿射线C B方向平移个单位长度得到新抛物线y , 点M为新抛物线对称
16、轴上的一动点， 点N为平面内的任意一点， 是否存在点N使得以A,C,M,N为顶点的四边形是以A C为边的菱形, 若存在， 请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在, 请说明理由.16. (2021 淮安区一模) 如图1,在平面直角坐标系中， 已知矩形ABC。的三个顶点A ( -3 ,4)、B ( - 3,0)、C ( - 1 ,0 ).以D为顶点的抛物线y=ax1+bx+c过点B .动点P以每秒1个单位的速度从点D出发， 沿D C边向点C运动, 运动的时间为f秒. 过点P作P E 1 C D交B D于点E,过点E作EF AD于点F,交抛物线于点G.( 1 )求该抛物线的解析式；( 2 )连
17、接8G,求 B GD的面积最大值；( 3 )如图2 ,在点尸运动的同时， 点Q从点8出发， 沿3 4边以每秒1个单位的速度向点A运 动 . 动 点P、Q运动的过程中， 在矩形A B C。内( 包括其边界) 是否存在点使以用Q , E, H为顶点的四边形是菱形？若不存在， 请说明理由；若存在， 请直接写出， 的值：t=.J -1 7. ( 2 0 2 1渝中区校级一模) 如图, 在平面直角坐标系中， 已 知 抛 物 线 产 -51一+4什2与x轴相交于4, 8两点， 与y轴交于点C.( 1 )求8、C两点的坐标；( 2 )点P为直线B C上方抛物线上的任意一点， 过P作PF/x轴交直线B C于点
18、F ,过P作PE/y轴交直线8 c于点求线段E F的最大值及此时P点坐标；V5( 3 )将该抛物线沿着射线A C方向平移可个单位得到新抛物线y , N是新抛物线对称轴上一点, 在平面直角坐标系中是否存在点。 ， 使以点8、C、Q、N为顶点的四边形为菱形， 若存在, 请直接写出点Q点的坐标；若不存在, 请说明理由.1 8. ( 2 0 2 2岳池县模拟) 如图1 ,一 次 函 数 丫 = -4百的图象分别与犬轴) 轴交于8,。两点, 二次函数g=% - J 3 1 + c 的图象过B,C两点， 且与x轴交于另一点4.( 1 ) 求二次函数的表达式；( 2 ) 点尸是二次函数图象的一个动点, 设点
19、尸的横坐标为相， 若N A 8 C = 2 N A 8 P . 求相的值；( 3 ) 如 图 2 , 过 点C作CD/X轴交抛物线于点D 点M是直线B C上一动点， 在坐标平面内是否存在点1 9. ( 2 0 2 1 罗湖区校级模拟) 如图， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 与 x轴相交于A 、3两点， 与 y轴相交于点C ( 0 , 3 ) . 且点A的坐标为( - 1 , 0 ) , 点 3的坐标为( 3 , 0 ) ， 点 P是抛物线上第一象限内的一个点.( 1 ) 求抛物线的函数表达式；( 2 ) 连 P O 、P 8, 如果把 P 0 8沿 翻 转 ， 所得四边形
20、P OP 8 恰为菱形， 那么在抛物线的对称轴上是否存在点。 ， 使 Q A B 与 P OB 相似？若存在求出点。的坐标；若不存在， 说明理由；( 3 ) 若 ( 2 ) 中点。存在， 指出 Q A B 与 P OB 是否位似？若位似， 请直接写出其位似中心的坐标.2 0 . ( 2 0 2 1 秋九龙坡区校级月考) 如图, 抛物线y = / + x + 3 交 x轴于点A ( - 1 , 0 ) 和点8 ( 3 , 0 ) ， 与 y轴交于点C ,连接B C ,交对称轴于点D.( 1 )求抛物线的解析式；( 2 )点P是直线B C上方的抛物线上一点， 连接PC,PD.求A P C D的面积
21、的最大值以及此时点P的坐标：( 3 )将抛物线) ， = / + 公 +3向右平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线与原抛物线交于点瓦点尸是新抛物线的对称轴上的一点， 点G是坐标平面内一点. 当以 。、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时， 直接写出点尸的坐标， 并写出求解其中一个点F的坐标的过程.备用图2 1 . ( 2 0 2 1 诸城市三模) 如图， 抛物线 = / + 法 +4经过点A ( - 2,0 )， 点B ( 4 ,0 )， 与y轴交于点C ,过 点C( 1)求抛物线的函数表达式,并用配方法求抛物线的顶点坐标；( 2) E是抛物线上的点,求满足/E C ) = /AC。的点E的坐
22、标；( 3 )点M在y轴上， 且位于点C的上方， 点N在直线B C上， 点P为直线B C上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形， 求菱形的边长.422. ( 20 21 鞍山一模) 如图， 在平面直角坐标系x O y中， 直线y=-同 +4与x轴、) ， 轴分别交于A、C两点,1抛物线y=- 可，+ f c v+ c经过A、C两点.( 1)求抛物线的解析式；( 2)点B为y轴上一点， 点P为直线A B上一点， 过P作PQ/BC交x轴于点。 ， 当四边形B C P Q为菱形时,请直接写出8点坐标；1( 3 )在( 2)的条件下， 且点B在线段0 C上时， 将抛物线y = -5
23、 l /+ f c r + c向上平移1个单位， 平移后的抛物线与直线A B交于点。 ( 点 在第二象限) ， 点N为x轴上一点， 若NQ NB = 9 0 , 且符合条件的点N恰23 . ( 20 22巨野县一模) 如图， 抛物线与x轴交于A ( - 1,0 )、B ( 3 ,0 )， 交y轴于C ( 0 ,3 ) .( 1)求抛物线的解析式；( 2) P是直线B C上方的抛物线上的一个动点， 设P的横坐标为t,P到B C的距离为， 求 力与f的函数关系式,并求出的最大值；( 3 )设点M是x轴上的动点， 在平面直角坐标系中,存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形,直接写出所有
24、符合条件的点N坐标.24 . ( 20 21 洛阳一模) 如图， 直线y = x - 3与x轴、y轴分别交于8、C两点,抛物线y = 9 7 + 6 x+ c,经过8、C ,且与x轴另一交点为4 ,连接AC.( 1)求抛物线的解析式；( 2 ) 点 E 在抛物线上， 连接EC,当NEC8+NACO=45时， 求点E 的横坐标；(3 ) 点 M 从点A 出发,沿线段A B由A 向 B 运动,同时点N从点C出发沿线段C 4由 C 向A运动,M , N的运动速度都是每秒1 个单位长度， 当N 点到达A 点时,M,N同时停止运动， 问在坐标平面内是否存在点。 ， 使M,N运动过程中的某些时刻f,以A,
25、。 ,为顶点的四边形为菱形？若存在， 直接写出f 的值；若不存在， 说如图,抛物线产- a 2 + a + 引 与 X轴交于A,B两 点 ( 点 A 在点B的左侧) ， 顶点为。. 点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点， 其横坐标为九直线A D交 y 轴于点C,过点P作 P尸AD,交 x 轴于点F,PE/x轴,交直线A D于点E,交直线D F于点M.( 1 ) 求 直 线 的 表 达 式 及 点 C 的坐标；( 2 ) 当四边形A F P E的面积与40户的面积相等时， 求m的值；(3 )试探究点P在运动过程中， 是否存在肛使四边形A F P E是菱形， 若存在,请直接写出点P的坐标； 若不存在
26、,请说明理由.如 图 1,已知抛物线经过原点。和 x 轴上一点4 (4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x 轴交于点 ,直线y= -2 x - 1经过抛物线上一点B ( - 2,机 ) 且与) ，轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F .(1)求机的值及该抛物线的解析式；(2) P (x ,y )是抛物线上的一点， 若4。 尸与AZ)C的面积相等,求出所有符合条件的点尸的坐标.( 3 ) 点 Q 是平面内任意一点， 点 M 从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 设点M 的运动时间为， 秒， 是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能,请直接写出点M 的运动时
27、间f 的值；若不能， 请说明理由.图1备用图典例剖析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Z【 例1】( 20 20雁塔区校级模拟) 在平面直角坐标系xO y中,抛物线y = a x2+ /；x+ c SW0)的对称轴为直线x= 4 ,抛物线与x轴相交于A ( 2,0 ) ,8两点， 与y轴交于点C ( 0 ,6 ), 点E为抛物线的顶点.( 1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；( 2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋 转18 0 ,点C、E的对应点分别是点C、E ,当以C、E、C、E为顶点的四边形是菱形时， 求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【 分析】( 1)山抛物线的
28、对称性可求点B坐标， 设抛物线的解析式为：= ( x-2) ( x-6 )， 将点C坐标代入， 可求解；( 2)设点M ( ; n ,0 )， 由中心对称的性质可求点心( 2m , - 6 )， 点E ( 2/n - 4 ,2)， 由菱形的性质和两点距离公式可求m的值， 即可求解.【 解答】 解 : ：抛物线y =/+ f e r + c ( a W O )的对称轴为直线x= 4 ,抛物线与x轴相交于A ( 2,0 ) ,B两点，； .点 B ( 6 ,0 ) ,设抛物线的解析式为：y = a ( x-2) ( x-6 ) , . 抛物线图象过点C ( 0 ,6 ) ,： .6= a ( 0
29、-2) ( 0 - 6 ) ,J ,.a = 2 ,抛物线的解析式为：y= 2 ( x - 2) ( x- 6 ) = 2p -4 x+ 6 ,y= 21/ - 4 x+ 6 = 2 ( x - 4 ) 2 - 2,二顶点E坐 标 为( 4 , - 2) ；( 2) 将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋 转18 0 ,点C、E的对应点分别是点C、E ；： .CM= CM,E M= E ： M, 四边形C E C E是平行四边形，设点用( 见0 ) , . 点 C ( 0 ,6 )， 点 E ( 4 , - 2) ,CM= CM,E M= E M,点 C (2 m , - 6 )， 点 E (2 m
30、 - 4 ,2) , . 以C、E、。、E为顶点的四边形是菱形，向： .CE=CE,/. Q (4-0) 2 + (-2-6) 2 = Q (2m-4) 2+ (-6+2),- - 2J2=6,. .点 M ( - 2,0 ) 或 ( 6 ,0 ) ,当 M (- 2,0)时， 点 E ( - 8 ,2) ,旋转后的抛物线解析式为：尸 - 切 ( x+ 8 ) 2+ 2；当 M ( 6 ,0 ) 时， 点 E ( 8 ,2) ,1二旋转后的抛物线解析式为：y = - 5 l ( x-8 ) 2+ 2；j ,1综上所述：点 M ( - 2,0 ) 或 ( 6 ,0 ) 旋转后的抛物线解析式为：
31、尸-2 G + 8 ) 2+ 2或 y=- 切 ( x- 8 ) 2+ 2.【 例 2】( 20 21齐齐哈尔三模) 如图, 在平面直角坐标系中， 抛物线y =o ? - x +c ( # 0) 与 x轴交于2x+43x5 2x点 4、B两 点 (点 A 在点8 左 侧 ) ， 与y轴交于点C . O A 、O B的长是不等式组I 2 的 整数 解 (。4轴上的点E使A E和D E的值最小， 则 O E = 2 ；(3 ) 将抛物线向上平移， 使点C落在点F处 .当 AZ ) F B 时， 抛物线向上平移了 个单位；(4 ) 点例在在y轴上， 平面直角坐标系内存在点N 使以点A 、B 、M 、
32、N 为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N 的坐标.【 分析】(1 ) 求出不等式组的解集， 确定A 、B两点的坐标， 用待定系数法即可求二次函数的解析式；将点。的横、纵坐标代入解析式， 可求， 的值；向( 2 ) 连 接 交 y 轴于点E,求出直线A D 的解析式就可以求点E 的坐标， 进而求出0E；(3 ) 因为AOF8,可用相似三角形的性质求出OF的长度， 进而求出点C 移动的单位长度;(4 ) 利用菱形的性质， 分类讨论， 针对不同的情况， 分别求出点N 的坐标.【 解答】解：(1)所给不等式组的解集为2Wx4,其整数解为2,3,04、0 8 的长是所给不等式组的整数解， 且 。 4Q=
33、 4 - 8 = 8 ,： .Q ( - 2 , V ) . 例 4 (2 02 2 武昌区模拟) 如图， 直 线 y = - 2 x +8分别交x轴, y轴于点B , C , 抛物线y = - x+hx+c过 8, C两点， 其顶点为M对称轴M N与直线B C交于点N.( 1 ) 直接写出抛物线的解析式；(2 ) 如 图 1 , 点尸是线段BC上一动点， 过点P作尸轴于点。 ， 交抛物线于点。 , 问：是否存在点 P , 使四边形M N P Q为菱形？并说明理由；(3 ) 如图2 , 点 G 为 y轴负半轴上的一动点， 过点G 作 EFBC,直线E F 与抛物线交于点E,F,与直_1_ _
34、1 二 1线 y = - 4x 交于点， ， 若 EG FG H G,求点G 的坐标.图(1)图(2)【 分析】( 1 ) 根据直线B C 的解析式可求得8 ( 4. 0 ) ,C ( 0 ,8) ， 代入抛物线y = -J? + +C即可求得答案；( 2 ) 设 P ( r , - 2 f +8) ,则 Q ( r , - P+2 f +8) , 根据 PQ MN、 P Q = M N M 得 f = 3 ,即 P ( 3 ,2 ) ,Q ( 3 ,5) ,由两点间距离公式可得尸N=2 L由于P N K M N , 故四边形M N P Q不能为菱形.( 3 ) 连接M G,过 点 ”、E 、
35、b分别作) ， 轴的垂线， 垂足依次为K、L 、7 ,设 G ( 0 即 ) ， 由 E尸BC,宜线B C ： y = - 2 r +8,可得直线E F的解析式为)=- Z r +也通过联立方程组可得H ( - ,V5|进而求得H G = - 2 I风根据直线EF： y = - 2x+m与抛物线交于点瓦F,可得7 - 4x +m - 8= 0 ,运向EL用根与系数关系可得：XE+XF=4KQF=L 8,利用三角函数定义可得：EG=sinNEGL = 5XFFT 返 J j J j J j- 网E,FG=sin/FGT|= 5 再由而I -而I=前 ， 建立方程求解即可得出答案.【 解答】解：(
36、 1 ) . 直线y = - 2 x +8分别交x轴,y轴于点8,C,： .B ( 4,0 ) ,C ( 0 ,8) ,抛物线y - - j + bx+ c过B,C两点，f-16+4b+c=0： . c=8 ,f b = 2解得：l c = 8,抛物线的解析式为y = -/ +2 x +8；( 2 )不存在点P,使四边形M N P。为菱形. 理由如下:设 P (t, - 2 r +8) ,*Hx 轴，二尸加y轴， 即PQ/y f t,则 Q (t, - ? +2 r +8) ,； .PQ= - ? +2 r +8 - ( - 2 r + 8 ) = - ? +4f ,； y = - / +2
37、x +8= - ( x - 1 ) 2 +9,抛物线的顶点为M ( 1 ,9), 对称轴为直线x = l ,： .N ( 1 ,6 ) ,； . M N = 9 -6 = 3 ,M N y 轴，/. PQ/MN ,要使四边形M NP Q为菱形， 必须P Q = M N = P N ,由-? +4r = 3 ,解得：r = l或r = 3 ,当r = l时， 点户与点N重合， 点Q与点M重合,舍去；当 f = 3 时， 尸( 3 ,2 ) ,Q ( 3 ,5) ,. 。=5 - 2 = 3 ,向PQ=MN,PQ/MN,J四边形MNPQ是平行四边形， /wA ( 3 -1 ) 2 + ( 2 -6
38、 ) 2 = 2西 ,:.PNWMN,故四边形MNPQ不能为菱形.( 3 ) 如图( 2 ) ， 连接M G,过点H、E、F 分别作y 轴的垂线， 垂足依次为K 、L、设 G (0,m ),/ BC,直线 BC- y = - 2 x +8,二直线EF的解析式为y = - 2x+m,直线E尸与直线y = - 4x交于点H.y = -4x(l y = -2 x +m ,f 1XR解得：| y = 2 m ,_ 1:.HK= 2m,GK= - m,在Rt/GHK中,即亚/用 排 /多 产 + 口= . 当 见直线EF与抛物线交于点E,F,-/ +2 r +8 = - 2x+m,整理得：x2 - Ax
39、+m - 8= 0 ,XE+XF-4 CEXFm - 8,在 RtA BOC 中,OB= 4,OC= 8,BC=V 0 B2+0 C2| = V 42 + 82= 4V 5l ,OB I 4 V s：.sinZBCO=C= 45 = 5 | ,: EFBC、IBZ FGT= Z EGL = Z BCO,V5.,.sinZFGT=sinZEGL=sinZBCO= 5|,ELEG=sin/EGL =- XE逅5 =FT尸 G=sin/FGT =XF至5 = &1.EGFG-EGl、GF+ XE)- 5XEXF= -5 (m-8),4炳1VEG=1二2 m解得：m= - 8,IBC/点G的坐标为(0
40、,-8).图(2)图满分训练._ 3 9V = Y +1.（ 20 22蒲城县一模） 如图， 已 知 直 线 , 2 2 与x 轴、 y 轴分别交于8 、 C 两点,抛物线y = / + 3 x + c经过8 、C 两点， 与 x 轴的另一个交点为A,点 E的坐标为（ ，V 3） .（ 1）求抛物线的函数表达式;（ 2 ）点E ,F关于抛物线的对称轴直线/ 对称点是对称轴上一动点， 在抛物线上是否存在点P,使得以E 、F 、P 、。为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由.v= Y4* 一【 分析】（ 1）由y2 X 2,可 得B （ 3 ,0 ） c （ 0 ,0
41、 ）， 用待定系数法得抛物线的函数表达式是y3 9= - 2 /+3 x+ 2(2) y=111- 2 f+3 1+ 2 = - 2（ X - 1） 2+6,得抛物线的对称轴是直线x=l,关键E （ 0 ,丁目）尸关向3 9于抛物线的对称轴直线x = l 对称， 得F (2,向 1),设 。( I J) ,P (W, - 可 / + 3卅 +可 ) ， 分 3 种情况：0+2=1+m-V3 /s = t 当EF,PQ是对角线时， 所的中点即是P Q的中点,1 3 2 , 得7=1,又EQ0+ l=2+m=FQ ,故P (1,6 )； 当E Q 、 F P为对角线时,EQ,”的中点重合，的十得p
42、( - 1,0),Q (1 ,0 )， 又尸Q = 2= P 。 ， 故P ( - 1,0)； 当E P , F Q为对角线,E P ,F 0 的中点重合,0+m= 1+2V 3 -012+3111+-=1-32 2 ， 可得 p (3,0).=_3_ +9 9【 解答】解： 在了一工中， 令 x = 0 得 尸 也 令 y = 0 得 x=3,9： .B (3,0) ,C (0,可 ) ，9把 8 (3,0) ,C (0现 代入 y=o?+3x+c 得：9a+9+c=0|解得l 2 I,3l 9. . . 抛物线的函数表达式是y= -E /+ 3 x + 5 l；( 2 ) 在抛物线上存在点
43、P,使得以E、F 、P、。为顶点的四边形是菱形， 理由如下:3 9 3_Vy= - 2 x+3x+ 2 = - 2(x - I) 2+6 ,. . . 抛物线的对称轴是直线x = l, ： E ( 0 .J H ) 厂关于抛物线的对称轴直线x = l 对称,： .F (2 ,V 3 |),3| 9设 Q ( l,r) ,P ( 皿 - 2 ?+36 +2 ) , 当EF,PQ是对角线时， 所的中点即是P Q的中点， 如图:向解得， =1 ,V ( O. J Eb ,F关于抛物线的对称轴直线x = l对称,： .EQ=FQ,. . . 以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，： .P ( 1 ,6
44、 ) ； 当EQ,FP为对角线时,E。 , 尸P的中点重合,如图：| m二-l解得t= o ,： .P C - 1 ,0 ) ,Q ( 1 ,0 ) ,而 F ( 2 ,V 3 l ) ,IB； F Q= 2 = PQ, 以E、F 、P 、。为顶点的四边形是菱形，： .P ( - 1 ,0 ) ； 当E P,F Q为对角线,E R b Q的中点重合,如图:： .P ( 3 ,0 ) ,2 ( 1 ,0 ) ,而 尸( 2 ,V s l ) ,: F P= QP= 2 , 以E、F 、P 、。为顶点的四边形是菱形，： .P ( 3 ,0 ) ,综上所述， 尸的坐标是( 1 . 6 )或 ( -1
45、 ,0 )或( 3 ,0 ) .2 . ( 2 0 2 2抚顺县二模) 如图抛物线y = o ? +b x +6 ( a r 0 )与x轴交于4 ( - 1 ,0 ) ,8 ( 3 ,0 )两点， 与y轴交于点C,顶点为 。.( 1 )求抛物线的解析式；( 2 )若在线段B C上 存 在 一 点 使 得/ 8M O= 45， 过 点O作交B C的延长线于点H ,求点M的坐标；( 3 )点P是y轴上一动点， 点Q是在对称轴上一动点， 是否存在点尸 ,。 , 使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点。的坐标；若不存在,请说明理由.向备用图f a_b+6=0 f a= _2【 分
46、析】( 1 )把 点A ( - 1 ,0 ) . 8 ( 3 ,0 )代入抛物线解析式得l9a+3b+6 =0,解得i b = 4， 即可得出结论；( 2)由待定系数法得直线B C的解析式为y = - 2r + 6 ,设点M的坐标为( 皿-2w + 6 ) ( 0 / 3 ),过点M作M N L y轴于点N ,过点H作H K L y轴于点K ,证 O M N四H O K ( A A S ),得M N = O K , O N= H K .贝IH ( - 2 ? + 6 , -加， 再由点 H ( - 2加+ 6 , - m )在直线 y = - 2A+6 上， 得-2( - 2w + 6 )反=
47、 - ? , 解得， =5， 即可解决问题：( 3 )分两种情况讨论， 当C D为菱形的边时， 当C D为菱形的对角线时， 分别求出点。的坐标即可.【 解答】解：( 1) . . 抛物线旷= 小+ 公区经过点A ( - 1, 0) ,B ( 3 , 0)两点，f a-b+6=0.19a+3b+6 =0,fa=-2解得：I b=4 ,抛物线的解析式为y = - 2? + 4x + 6 ；( 2)由( 1)得， 点 C ( 0, 6 ),设直线B C的解析式为y=kx+c,；直线 经过点 B ( 3 , 0) , C ( 0, 6 ),f3k+c=0.,.I C=6 ,(k= -2解得：I c=6
48、直线B C的解析式为y = - 2r + 6 ,IB设点M的坐标为(w, - 2/n+6 ) (0加 3 ) ,如图1,过点M 作MNy轴于点N,过点” 作HKVy轴于点K,则 NMNO=NOKH=90。，OHLOM.： .ZMOH=90 ,VZOMB=45 , 丛MOH是等腰直角三角形， OM=OH.；NMON+NKOH=90 ,NOHK+NKOH=90 ,：.ZMON=ZOHK,:OMN/ /HOK (4A S ),1MN=OK,ON=HK.:H ( - 2m+6 ,团) , :点 、H (- 2加+6 , -加 在直线y= - 2x+6上，. , . - 2 ( - 2/?+6 ) =
49、- m,6解得：?= 5 ,6 1 %把 m= 5 代入 y= - 2x+6 得：y= 5 I,6 .殁.当NOWB=45。时， 点M的坐标为( 5 5 )；( 3 )存在， 理由如下：.抛物线的解析式为y= - 2X2+4X+6= - 2 (x - 1) ?+8,顶点为D.点。的坐标为(1 ,8 ),分两种情况讨论： 当CD为菱形的边时，如图2,过C 作CELDQ于EVC (0,6 ) ,D (1 ,8 ),CD=V(1-0)2 + (8-6 )2=V5,/. DC=CD=V5|,Q点的坐标为(1 ,8 -V 5 |)或( 1,8+愿1)；IB 当CD为菱形的对角线时，如图 3,设点 Q (
50、1,/n) ,P (0 ,n ),VC (0,6) ,D (1 ,8 ),.?+=6+8 = 14, n= 14 - m,：.P (0 ,14 -W , PC=14-加-6 = 8 -m ,二 C Q = d ( 1-0) ： + ( m -6 ) 2=1+ ( m -6 ) 21LPC=CQ98 - / n = V 1+ ( m -6 ) 2 | ,27|解得：271，点 。的坐标为(1,丁);图21 ,8 -V 5 l)或(1,8+代1 )或(1 ,V).3 . ( 2022历下区三模)如图, 在平面直角坐标系中， 二次函数y = -7+ b x + c, 的图象交x轴于A、B两点， 与y
51、轴交于点C , O 8 = 3 O A = 3 ,点P是抛物线上一动点.( 1)求抛物线的解析式及点C坐标；( 2)如 图1,若点P在第一象限内， 过点P作x轴的平行线, 交直线B C于点E ,求线段P E的最大值及此时点P的坐标；( 3 )如图2,过点P作x轴的垂线交x轴于点。 ， 交直线B C于点M在y轴上是否存在点G ,使得以M,P,C,G为顶点的四边形为菱形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在,请 说 明 理由 , 图1 图2 备用图【 分析】(1)山0 8 = 3 0 4 = 3可得点B.A坐标， 再通过待定系数法求解.( 2)由点B,C坐标求出直线B C解析式，
52、作轴交B C于点F ,设点P坐 标 为 - 序+2 ? + 3 ),由P尸与P E的关系求解.( 3 )分类讨论点P在不同位置， 结合图象， 根据菱形的性质求解.【 解答】解：( 1): 08 = 3 04= 3 ,： .B ( 3 , 0) , A ( -1, 0), 0=-9 + 3 b + c将( 3 , 0) , ( - 1, 0)代入)= -x+bx+c 0= -l -b + c ,IBfb=2解得i c=3,.y= - 7+2x+3,将 x=0 代入 y= - X2+2X+3 得 y=3,工点C坐 标 为(0,3).( 2 )设直线8C解析式为丁= 依+4将( 3,0) , (0,
53、3)代入得0=3k+bb=3fk=-l解得i b=3 ,: OB=OC,/.ZCBO=45 ,PE五轴，： /PEF=NOBC=45；:,PF=PE,设点P坐 标 为(m, - m2+2m+3)， 则点尸坐 标 为 ( 九 -m+3).3：.PF=PE=- m2+2+3 - ( - /n+3) = - m2+3m= - Cm - 2 )3 9加 = /1时,PE的 最 大 值 为 此 时 点P坐标为( O ) ,( 3 )如图,PM=CM，IB设点 P 坐 标 为(/n, - n r + 2 n i + 3 ) ， 则 M (m , - m + 3 )， 由( 2 )得 P M - - m2+
54、 3m , . 点C坐 标 为(0,3),CA/= v m2 + (-m +3-3) 2 = 五 儿- m2+ 3m = i n ,解得m=0 （ 舍）或/ = 3 - &G C=CM =3 V2| - 2,： . O G = O C + C G = 3 + 3 - 2=3721+1,. .点G坐 标 为（0,3血 也1） .如图,PM =CG时四边形P C G M为平行四边形,PG_LCM时四边形P C G M为菱形,-4 + 3 /n,点 C 坐 标 为(0,3),. .点 G 坐 标 为(0,m2 - 3m+3 ) ,作 GN LPM,IB/ .ZG P N = ZP M C = ZB
55、N Q= 45 ,，G N = / W , 即 m= - m2+ 2 m + 3 - (m2 - 3 m + 3 ),解得/ = 0 ( 舍)或加= 2,. .点G坐 标 为 ( 0, 1).如图, R W = C M ,由可得m2 -解得， = 3 + 料 P M = C G =C M =3 21+ 2,. .点 G 坐 标 为 ( 0, 1 - 3 21).IB综上所述， 点 G坐 标 为 ( 0, 3 & 1+ 1)或 ( 0, 1)或 ( 0, 1 - 3 21).4.( 2022 碑林区校级三模)如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线L i： y = - +bx+c经过点A ( 2
56、, 2),抛物线的对称轴是直线x = 1, 顶点为点艮( 1 ) 求这条抛物线的解析式；( 2)将抛物线L i平移到抛物线上, 抛物线L2的顶点记为。 ， 它的对称轴与x轴的交点记为E .已知点C ( 2, -1)， 若以A、C 、D 、E为顶点的四边形为菱形， 则请求出抛物线乙2的顶点坐标.【 分析】( 1)运用待定系数法即可求得答案；( 2 ) 设抛物线上的顶点记为D ( ? , )， 则E ( ? , 0)， 如图， 根据菱形性质和O E A C , 可得出D E= A C = 3 , 再分两种情况: 当 = 3 时, 。( w , 3 ) ,E ( 团 , 0 ) , 当 n = -
57、3 时, 。( w , - 3 ) ,E ( / n , 0),分别建立方程求解即可.【 解答】解：( D ；抛物线L：y = - / + b x + c 经过点A ( 2, 2)， 抛物线的对称轴是直线x = l ,-4+2b+c=2.I 2 X (-1 ) b=2解得：I c=2,/ .该抛物线的解析式为y = - 7 +2 r+ 2；( 2 ) 设抛物线上的顶点记为O ( / , )， 则 E ( m , 0)， 如图,，O = |, O E y 轴，V A ( 2, 2) , C ( 2, - 1 ) ,： .AC=2- ( - 1) = 3 4C y 轴，： .AC/DE,又 A D
58、 = Y (m-2) 2 + (n-2) 2(ni-2)2+n2, . 以A、C 、D 、E为顶点的四边形为菱形，.3 = A C , 即 |川 = 3 ,IBH= 3 ,当= 3 时Q ( w , 3 ) ,E ( w , 0),； A O = A C = 3 ,.A j u g ,即( w - 2 ) 2+ ( 3 - 2 ) 2 = 9,解得：阳 =2 +2的 或2 - 2例 ,： .D ( 2 +2 7 2 1 , 3 )或( 2 - 2 &3 )；当 = -3 时, 。( / n , - 3 ) ,E ( m , 0 ),AE = AC= 3,； . A E2 = 9,即( m -
59、2 ) 2+ ( 0 - 2 ) 2 = 9,解得：? = 2 +旧1或2 -旧 ： .D ( 2 +V 5 | , - 3 )或( 2 - V 5 | , - 3 )；综上所述， 点 。的坐标为( 2 +2加1 , 3 )或( 2 - 2 7 2 1 , 3 )或( 2 +泥 -3 )或( 2-遥 ,- 3 ).5 . ( 2 0 2 2佛山校级三模)如图， 抛物线y = a +f e v +c与x轴交于( - 1 , 0 )两点， 与y轴交于点C ,2直线A C的解析式为y 3x - 2 .( 1 )求抛物线的解析式；( 2 )已知上为正数， 当0 0,：.k+i,. . 当 O V x
60、V l +Z 时 ,当 x = l 时 ,IB2n= 3 ( 1 +1 ) X ( 1 - 3 )=- 3 ,. ? + = 3 I ,* , * 2 = 8 ,2 2 4x -当 m = 8 时,3 - 3 x - 2 = 8 ,A x i = 5 2 = - 3 （ 舍去）,A 1 +/ ： = 5 , =4；（ 3 ）设点。（ 1 , ），V A （ 3 , 0 ） ,C （ 0 , - 2 ）,/ . / 4 （22= （ 3 - 1 ） 2+a2= 2+4 ,AC2= 32+ 22= 1 3,CQ2= + （ q +2 ） 2 = / +4 5 , 当A Q = A C时，2 +4
61、= 3 ,； . a = 3 ,： .Qi（ 1 , 3 ）, 0 2 （ 1 , - 3 ）,当A Q = C Q时，2 . _ 2 4a +4 a +5 = a +4 ,_ 1.a = - 4 ,_ 1. . &（ 1 , - 4 l ）,当A C = C。时，a2+4 a +5 = 1 3 ,： .a = -2 2 7 3 ,： .Q4 （ 1 , - 2 +2百1 ） , 0 5 （ 1 , - 2 - 2百1 ）,j j综上所述：Q （ 1 , 3 ）或（ 1 . - 3 ）或（ 1 . - W l ）或（ 1 , - 2 +2月I ）或（ 1 , - 2 - 2 4 b .6 .
62、（ 2 0 2 2邵阳模拟） 如图, 在平面直角坐标系中， 抛物线了= - 7 +f e x +c与x轴分别交于点A （ 7 , 0 ）和点民与y轴交于点C （ 0 , 3 ） .（ 1 ）求抛物线的解析式及对称轴；（ 2 ）如图， 点 。与点C关于对称轴对称， 点P在对称轴上， 若/ B P O = 90 , 求点尸的坐标；向( 3 )点例是抛物线上一动点， 点 N在抛物线的对称轴上， 是否存在以A 、B 、例、N为顶点的四边形为菱形， 若存在, 求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由.【 分析】( 1 )将点4 ( - 1 , 0 )、点 C ( 0 , 3 )代入y=- f +Z z r
63、+c , 即可求解；5| 3| 设 P ( 1 J), 求 出B点 和D点坐标， 再 求B D的中点H为 ( 牙 引 )， 8 。=技,由题意可得1求出t的值即可求解；( 3 ) 设M (m , - /W2+2I+3) ,N ( l , n )， 分三种情况讨论： 当A B为菱形的对角线时, AM =AM解得N ( 1 , - 4 )； 当 AM 为 菱 形 对 角 线 时 不 存 在 菱 形 ； 当 AN为菱形对角线时, A 8=AM 不存在菱形.【 解答】解：(D将点A ( - 1 , 0 )、点 C ( 0 , 3 )代入y = - f +f e x +c ,f_l_b+c=01 c=3
64、b=2解得f c=3,y= -，+2 x +3 ,.y= - / +2 r+3 = - ( x - 1 ) 2+4 ,/ . 抛物线的对称轴为直线x = 1 ；( 2 ) 令 - 7 +2 x +3 = 0 ,解得x = - 1 ( 舍 去 )或 x = 3 ,： .B ( 3 , 0 ), / 点 。与点C关于对称轴对称，： .D ( 2 , 3 ),5| 3|8D的中点为( 区5 ) ,80=4诬,V Z B P D = 90 ,向1： .PH= 2 BD ,设 尸 ( l , r),3 | 3 | J,/ . ( 加 2 + ( 2 - f)2= 4 | x i 0 ,解得r = l 或
65、t= 2 ,： .P ( 1 , 1 )或 ( 1 , 2 )：( 3 ) 存在以4 、B 、M 、N为顶点的四边形为菱形， 理由如下：设 M Cm , - m2+ 2 m + 3) ,N ( l , n ), 当 A8为菱形的对角线时力M = A N ,3-l=m +l9 0 = n - m +2 m +3:.( m +1 ) 2 + ( - m +2 m +3 )2= 4 +n2,( m = l解得i n = - 4 ,： .N ( 1 , - 4 )； 当 A 例为菱形对角线时4 B = 4 V ,- l - h n = 3 +n - m2+2 m +3 = n. - . 1 1 6 =
66、 4 +n2 ,此时无解： 当 AN为菱形对角线时4 8 = A M ,-l +l = m +39 n = - m +2 m +3. 1 6 = ( m +1 ) 2 + ( - m2+2 m +3 ) 2,此时无解；综上所述：N点坐标为( 1 , - 4 ).7 . ( 2 0 2 2 九龙坡区模拟)如图1 , 抛物线y a + bx+ c与 x轴相交于点B 、C ( 点 8在 点C左 侧 )，与 y轴相交于点人 已知点8坐标为B ( 1 , 0 ) , 8 C = 3 , Z V 1 B C 面积为6 .( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 如 图 1 , 点 P为直线AC下方抛物线上
67、一动点， 过点P作 即 A 8 , 交线段AC于点D 求 PD长度的最大值及此时P点的坐标；向7 _( 3 )如图2 ,将抛物线向左平移同个单位长度得到新的抛物线,M为新抛物线对称轴/ 上一点,N为平面内一点， 使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形, 请直接写出点N的坐标， 并写出求解其中一个N点坐标的过程.【 分析】 (1 )由4 8 C面积为6可得0 A = 4厕A ( 0 , 4 )， 由2 c = 3 ( 点2在点C左 侧 ) 得C ( 4 , 0 ) ,利用待定系数法即可求解；( 2 )过点P作PE/y轴交A C 丁点E ,作D F L P E T尸 ， 将P E表示P D的长
68、， 进而用点P坐标表示成函数， 借助二次函数求最值的方法求解P D的最大值；( 3 )先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式， 然后设出点M ( - l, r)， 分两种情况：线段A B为菱形的对角线时；线段A 8为菱形的边时， 利用菱形的性质求解即可.1【 解答】解： .SABC=2BC*OA=6,BC=3,B ( 1 , 0 ) ,： .OA=4,C ( 4 , 0 ) ,( 0 , 4 ) ,a=l b=-5， 解得lc=4 ,a+b+c=016 a+4b+c=0c=4二抛物线的解析式为y = / - 5 x+ 4 ；( 2 )如图， 过点P作PE y轴交A C于点E ,作D F
69、L P E于F,IB：.DF=EF,JPD/AB,：. ZA B O NDGB= NHGP.V ZABO+ZOAB=90 ,NHGP+NDPE=90 ,：.ZO AB=ZD PE.1：.tanZDPE=tanZOAB=,D F J.*.PF =I,：.PF=4DF.：EF=DF.：.PE=PF- EF=3DF.1：.DF=3PE,又在RtZPO尸中， 由勾股定理得：PD=V D F2+ PF2|=3HPE.设点尸 G , /2 - 5 f + 4 ) ,V C ( 4 , 0 ) , A ( 0 , 4 ) ,. . . 直线A C解析式为：y= - x+ 4 ,. . 点E坐 标 为( r,
70、 - r+ 4 )PE=yE - y p - - t+4 - ( f2 - 5 r+ 4 ) = - P+ 4 r,V17 717| V17| W77:.PD= 3 PE= 3 |( - P+今 ) = -3 |(r- 2 ) 2+ 3IB7 1 7 13 lo,3V3 15|. . 当2时,PH有最小值， 最小值为N l,15遍此时P G有最小值 8 ,3V3 _1当加=2时,34 3-m2 - 3 m + 3 = - 4 ,3V3 3此时点P的坐标为（2 4 ）,373 31573当点P运 动 到 （2 4 ）时， 线段PG的长的最小值为 8 .3,9 . （ 2 0 2 0秋沙坪坝区校级
71、期末）如图， 在平面直角坐标系中, 抛物线y = - 2 A2- 2X+2交x轴于点A、氏交y轴于点C .（ 1 ）求AB C的面积;（ 2 ）如图， 过点C作射线CM交x轴的负半轴于点M且 /OC M =NOAC ,点P为线段A C上方抛向物线上的一点， 过点P作A C的垂线交C M于点G ,求线段P G的最大值及点P的坐标；( 3 )将该抛物线沿射线A C方向平移遥个单位后得到的新抛物线为y =axz+hx+c ( W 0 ) ,新抛物线 与原抛物线的交点为E ,点F为新抛物线y 对称轴上的一点， 在平面直角坐标系中是否存在点。 ， 使以点A、E 、F 、。为顶点的四边形为菱形？若存在，
72、请直接写出点。的坐标；若不存在, 请说明理由.【 分析】( 1 )令 x =O,则 y =2 ,令 y =O,则 -2 x2 - 2 x + 2 =O,可得 A ( - 4 , 0 ) ,B ( 1 , 0 ) ,C ( 0 , 2 ) ,再运用三角形面积公式即可求得答案；( 2 )解法一： 如 图1 ,过点P作PN/y轴， 交A C于点T,交CM于点N,交 x轴于点K,过点G作G HPC OM lL P N于点” ， 山t a n N0 4 C =t a n N0 C W ,可得0 A = 可 ， 即可得出M ( - 1 , 0 ), 再利用待定系数法求得直线 O M 二 1 JL的解析式，
73、 设 P ( / , - 2 l m2T / n + 2 )厕 N (m,2m+2)， 可得出 P H = 2 P N =7_ PH l OA 2 j 匹| 冏 逃.-4肛 再 由 的=c os / T PE =c os / OAC = =击I， 可得 P G = P H = - -m2 - 8 m=恒- 81 _(2 )4-2+ 32， 运用二次函数性质求最值即可；解法二：如 图 ， 过点作p“x轴交CM于点儿过点G作G D 上P H 于点、。 ， 设P G与AC、x轴交点分别为M F,设尸( ? ,_1- 2 n?232 m+2),J. 1 1 J. J, 3 J. 2 1则 H ( 4
74、/ n2 - 4 / , - 2 m2 2 , + 2 ) ,可得 D P = 2 ( 4 / 2 - 4 = 87 n 2 - 8 m = - 8 ( , w +7 4 95 l ) 2 + ) ,运用二次函数性质求最值即可；1( 3 )运用平移变换的性质求出E ( - 1 , 3 )， 设F ( 2 | , n )， 表示出AE. AF. E F的平分， 再分类讨论， 根据菱形性质得出AE F是等腰三角形， 分别建立方程求解即可.向1 3【 解答】解:( 1 )在 尸 - 可，- 可 工+2中， 令 尸0,则y=2,：.C (0 ,2 ), OC=2,1 3令 y=0,则-2 / - 2
75、A+2=0,解得：% 1 = 1幽=- 4,( -4,0) ,8 (1 ,0 ),- ( - 4) =5,1 1，S BC=引4 3 0。 = . X 5 X 2 = 5；(2 )解法一： 如图1,过点P 作PN/y轴， 交AC于点T,交CM于点N,交x 轴于点K,过点G作 GHLPN于点H,则 NPNG= NOCM,NPHG= NAKT=90 ,%： PG LAC.：. ZPET=90 = /AKT,：.ZPTE+ZTPE=90Q ,ZOAC+ZATK=90Q ,NPTE= /ATK,：.ZTPE=ZOAC,：/OCM=/OAC,：. ZPNG=ZTPE= AO AC,:PG=NG,：G H
76、 SN,1：.PH= 2 PN,tan Z OAC= tan Z OCM,pc 0 M 2 M0A = 0C ,即 4 = 2 , OM=1,：.M ( - 1,0),设直线O M的解析式为y=kx+b,:M ( - 1,0) ,C (0 ,2 ),1-k+b=O1b=2IBk=2解得：l b =2/.直线C M的解析式为y =2 x + 2 ,32 , + 2 ),则 N ( m , 2 m + 2 ) ,1设 P (m, - 2 nr：AC=VOA2OC2|=V42+22=2V5|,PHIO A同=c os / T PE =c os / OAC = AC7 7 5 返8 m= - 87 .
77、(m+ 2 )4 / 52 + 3 2 ,7.当m= 1,PG最大， 最大值为3 2 ,_ 2 9 | 4故当点P坐标为（ ， 引）时,PG最大， 最大值为3 2解法二：如图1过点作尸x轴交C M于点， 过点G 作GDLPH于点D,设P G与AC、x轴交点分别为M F,pci OBI j.由( 1 )得,OA = 0 C = 2 ,：ZAOC=ZCOB=90 ,二 XAOCs COB、：./ OAC = NBCO= ZOCM,在C OB和 C OM中，fZB C 0 =ZM C 0 oc=oc1ZC 0 B =ZC 0 M. . C OB四C OM ( AS A) ,：.OM=OB=,：.M
78、( - 1 , 0 ) ,设直线CM的解析式为y=kx+b,IB.M ( - 1,0) ,C (0 ,2 ),Pk+b=0lb=2fk=2解得：ib=2,直线CM的解析式为y=2x+2,VDG/7OC,，NDGH=NOCM,V ZAN F=ZFEG =90，/ NFA=NEFG,：.ZNAF=ZFGE,ZOCM=ZOACy: . ZDGH= /FGE,: /G D P =/G D H =90 ,GD=GD,:/GDP乌/GDH (ASA),:PD=DH,设 尸 ( 吗 - 2嫉2 2?+2), 则 ( 4/n2 - 4lzn, - 2m 2m +2),1 J , 3| 二 1 1 Z| 49D
79、P= 2 ( 4/M2 - 4 m - m) = 3nr - 8 m= - 8 (?+2 ) 2+ 32 ,tan/OCB=tan/PGO=.， 可得：P G = k)P,当 DP最大时， 尸 G 就最大，J - 望|. , . 当 加 =2 q p 最大， 最大值为32l,_J_9l 49A/故当点P 坐 标 为 ( 巧 , 引 ) 时, PG最大， 最 大 值 为 32 ；J, 3| J j 31 25|( 3 ) 抛物线产 -5/ - 兀 + 2=(x+2l) 2+可 ， 该抛物线沿射线4 c 方 向 平 移 个 单 位 ,实际上就是向右平移2 个单位， 向上平移1个单位，j j j j
80、 33| 1平移后的解析式为：尸 -可(X -习 )2+1对称轴为直线尸 吼j j 3| 25l J j J j 33两个抛物线交于点， 所以- 句 (x+21) 2+ T l= - 21 ( x - 2l) 2+,解得：x = - l, 代入得y=3,：.E ( - 1,3),IBJ .设 尸 (2 ,)，则 4炉 = ( -1 + 4 ) 2+ 32=1 8,AF2 ( 3 + 4 ) 2+ ? ?2,4E F2= ( 2 + 1 ) 2+ ( - 3 ) 2,回当A E = A F时, 1 8= 4 I + R此方程无实数根;45当 AE = E/ 时, 1 8 = 2 - 6 + 4
81、,砺 厮解得：“ 1 = 3 - 2 ,” 2 = 3 + 2 ,3 7 _ 5, 砺则 F (21,3 - 2 )， 对应的 0( - 2 , - 2 ) .jj 5| 3 /7尸2 (2 1 , 3 + 2 )， 对应的。2( - 可 ，2 ) ；当A F = E F时9向1 0 . (2 0 2 0秋射阳县期末) 已知， 如图， 抛物线 = / + 云+ c (“ H 0 ), 经过抛物线上的两点A ( - 4 , 0 )和B (2 , 0 ) ,C (0 , 8 ), 点M是该抛物线顶点.(1 )求抛物线所对应的函数表达式和顶点M坐标；j,(2 )在抛物线上4、C两点之间的部分(不包含
82、A、C两 点 ) ， 是否存在点。 ， 使的M 4 C ?若存在， 求出点。的横坐标；若不存在, 请说明理由；(3 )若点E是x轴上一个动点， 点F为平面直角坐标系内一点, 当以点A,C,E ,F为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出满足条件的点E的坐标.向【 分析】(1 )利用待定系数法， 根据题意设y = (x + 4 ) (x - 2 ), 将C (0 , 8 )代入, 解方程即可求得答案；(2 )直线A C的解析式为y = 2 r + 8 ,设D (r , - r - 2 r + 8 )， 过点D作D G/y轴交直线A C于点G ,1过点M作用”丫轴交直线A C于点儿则G (f , 2
83、r + 8 ) ,H ( - 1 , 6 )， 根据D AC = 5 l 5 f 4 C ,建立方程求解即可；(3 )根据以点4C , E 1为顶点的四边形是菱形, 分情况讨论： 当C E为对角线时， 则AE = AC , 当A C为对角线时， 则AE = CE ,当A E为对角线时， 则C E = AC ,分别建立方程求解即可.【 解答】解：(D . 抛物线旷=0 ? +云+ 。 , 经过A ( - 4 , 0 )和8 (2 , 0 ) ,. . . 设y = ” (x + 4 ) (x - 2 )， 将 C (0 , 8 )代入，得：8 = a (0 + 4 ) (0 - 2 ) ,解得：
84、 = -1 ,； . y = - (x + 4 ) (x - 2 ) = -/- 2 x + 8 = - (x + 1 ) 2+ 9,： .M ( - 1 , 9) ；故抛物线的函数表达式为y = - x2 - 2 r + 8 ,顶点M坐 标 为 ( -1 , 9) ；(2 )存在.设直线A C的解析式为y= k x+ d ,V A ( - 4 , 0 ) , C (0 , 8 ) ,(-4k+d=0：. d=8 ,k=2解得：I d=8,直线A C的解析式为y = 2 x + 8 ,IB设 。 - 尸- 2 / + 8 ), 过点。作 6丫轴交直线A C于点G ,过点M作用”丫轴交直线A C
85、于点H,则 G (r , 2 r + 8 ) ,H ( - 1 , 6 ) ,： .D G= - t2 - 2 / + 8 - (2 r + 8 ) = - r - 4t,MH= 9 - 6 = 3 ,J . J ,.SADAC=SAADG+5ACDG= 2 DG(/+4) +IDG(O- /) = 2 D G,Jl 1SAMAC=SMMW+SACA= 21A7WX 1 = 2 MH= 6,J .: S,DAC= 2 S M A C ,j.，2 O G = . X 6 ,即 2 (- 尸- 4 / ) = 3 ,Vio| Viol解 得 :4= 2 - -2 I j 2 = - 2 + - 2
86、 I ,Tiol Tiol. . . 点D的横坐标为-2 - -刃 或 -2 +一 刃 ；(3 )如图 2 ,设 E (m ,0 ) ,则 AE 2 = (m + 4) 2,CE2m2+ 82.AC282+ ( - 4 ) 2 = 8 0 , 当C E为对角线时， 则AE = AC,： .(w + 4 ) 2= 8 0 ,解得：z = - 4 + W I或 -4 - 4代 . 点E的坐标为( -4 + 4通1 0 )或 ( -4 - 4愿1 , 0 ) ； 当A C为对角线时， 则AE = CE ,(m + 4) 2m2+ ? ,2,解得：，” = 6 . . 点E的坐标为(6 , 0 ) ；
87、 当A E为对角线时， 则CE = AC,/ . / n2+ 82= 8 0 ,解得：? = - 4 (舍 去 ) 或4 ,. . 点的坐标为(4 , 0 ) ；综上所述， 点E的坐标为(- 4 + 4代 0 )或( - 4 - 4 1 0 )或(6 , 0 )或(4 . 0 ) .向1 1 . (2 0 2 0 碑林区校级三 模 ) 在平面直角坐标系中， 抛物线C i ： y=-7-4x-2的顶点为A, 与 y轴交于点8 , 将抛物线C i 绕着平面内的某一点旋转1 8 0 得到抛物线C 2 , 抛物线C 2 与 y轴正半轴相交于点C.( 1 ) 求 A 、B 两点的坐标；(2 ) 若抛物线
88、C 2 上存在点。 ， 使得以4、B 、C 、。四点为顶点的四边形为菱形， 请求出此时抛物线 C 2 的表达式.【 分析】(1 ) 利用配方法求出顶点坐标， 令 x = 0 , 可得y = - 2 , 推出3 (0 , - 2 ) .( 2 ) 分两种情形：A 3为菱形的边力B 为菱形的对角线分别求解即可.向【 解答】解：(1 ) . 抛物线 C i ： y = - x2 - 4 . r - 2 = - (x + 2 ) 2+ 2 ,顶点 A ( - 2 , 2 ) ,令 x = 0 , 可得y = - 2 ,： .B (0 , - 2 ) .( 2 ) 如 图 1 中， 当A B 为菱形的边
89、时， 四边形A8 C 是菱形，由题意A ( - 2 , 2 ) , 8 (0 , - 2 ) ,C (0 , 6 ) ,D (2 , 2 ) ， 此时抛物线C与 C 2 关于T (0 , 2 ) 成中心对称,： .D (2 , 2 ) 是抛物线C 2 的顶点，二抛物线C2的解析式为y = (x - 2 ) 2 + 2 , 即y=f - 4A+6 .此时 C A= BC , 设 C (0 , / n )则有, 2 ? + (2 - m ) 2 = (m + 2 ) 2,工,.m = 2 ,1： .C (0 , 加,IB5 ： A D = B C = 21： .D ( -2, - 2 1 ),J.
90、设抛物线C2的解析式为y=x2+2,j j $把 Z) ( - 2, - 2 ) 代入 yx1+ bx+ 2 ,可 得 - 2 4 - 2 b+ 2， 解得 b 25 1抛物线C2的解析式为y = /+ 2 x+ 2如图3 中， 当A 8是菱形的边时， 点 C 是抛物线的顶点(0 ,2 L 2),可得抛物线的解析式为y=7+2综上所述， 满足条件的抛物线的解析式为y = 7 -4x+6 或或产 ) + 2代 1- 2.12. (2022春兴宁区校级期末) 如图, 抛物线y= /+ 6 x+ c与 x 轴交于A ( - 3,0) ,B (1 ,0 )两点， 与 y轴交于点C,连接AC,8C,点P
91、是直线AC下方抛物线上的一个动点.( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 连接AP,CP,设P点的横坐标为m ,/ACP的面积为S,求 S 与, ”的函数关系式；(3)试探究:过点P 作8 c 的平行线1,交线段AC于点。， 在直线/ 上是否存在点E,使得以点R C A E为顶点的四边形为菱形， 若存在, 请直接写出点E 的坐标， 若不存在, 请说明理由.向【 分析】(1 )将A ( - 3,0) ,B (1 ,0 )代入y = /+ + c即可得到答案;(2 )过 点P作PM/y轴交直线A C于 点M,则P的 坐 标 是 (孙+2, - 3 ), 利用待定系数法求A C的解析式， 表示M的
92、坐标， 用m的代数式表示P M的长度， 根据三角形面积公式即可得到答案；(3)分两种情况： 如 图2,四边形C D E B是菱形， 如 图3,四边形C8DE是菱形， 根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答.(9-3b+c=0【 解答】解：(1)将4 (-3 ,0 ) ,8 (1 ,0 )代入y= /+ b x+ c得：I l+b+c=0 ,(b=2解得：lc=-3,.yj r + 2 x - 3：( 2 )如 图1,过点尸作 用丫轴交直线AC于点M,VA ( - 3,0) ,C (0, - 3 ),设直线A C的解析式为：y k x+ n ,f-3k+n=0： . n=-3 ,fk=-
93、lA ln=-3,.4C的解析式为：y= -x -3 ,IB点的横坐标为巴二尸的坐标是( m ,/n2+2w - 3 )， 则M的坐标是( 肛- m - 3 ) ,P M = - i n - 3 - (m2+ 2 m -3) - - m1 - 3m , 点尸是直线AC卜方抛物线上的一个动点，:.-3 m 0,Jj 3| 2.S 2 , PM* OA 2 ( - z n2 - 3m ) - - 2 m2- 2 m ( - 3 w 0) ；( 3)分两种情况: 如 图2,四边形CD E B是菱形,设 。3 )， 则 E ( /+1, - /) , . 四边形8殖是菱形，： .CD = BC,.(
94、/- 0) 2+ ( - L 3+3) 2= 12+32,：t0,： .E ( - V5 l +i ,V5 l ) ； 如 图3,四边形CBD E是菱形,向设 。 ( r - 3 ) ,则 E ( r - , . 四边形C 8 O E 是菱形，： .CE = BC,： .( Z - 1 - 0) 2+ ( 7 -6+3) 2= 12+32,tO ( 舍 ) 或 - 2,： .E ( -3,-4 ) ；综上所述， 点 E 的坐标为(- y1+1,遥)或 (-3,-4 ) .13. ( 2020葫芦岛三模) 如图， 在平面直角坐标系中,抛物线y= a + bx+ 3与 x轴交于A,B两点， 与 y
95、轴交于点C,其中A ( - 1,0) ,B ( 4 ,0) .( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2) 连接BC,在直线B C 上方的抛物线上有一动点O ,连接4 。 , 与直线8 C 相交于点E,当 O E ： AE= 4 ： 5 时， 求 t an /D4 8 的值；( 3) 点P是直线8 C 上一点， 在平面内是否存在点0,使以点P,Q,CA为顶点的四边形是菱形？若存在， 直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.【 分析】( 1 ) 由点AB 的坐标， 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;向( 2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标， 由点B,C的坐标， 利用待定系数法可求
96、出直线B C的解析式， 证明列比例式可得D F的长， 设0 ( 33F ( t ，工t +3) ,表示。 尸的长， 并列方程可得结论：t +3)( 3)分三种情况：以AC为边和对角线进行讨论， 正确画图， 先确定点P的坐标， 根据平移的原则可得点Q的坐标.【 解答】解：将 A ( - 1,0) ,8 ( 4 ,0)代入y = o ? +6x +3,. , ， 解析式为y J a-b +3=0得 116a+4 b +3= 0,解得_ 3 2 9 0当x =。时,y = r x q x + 3： .C ( 0,3) ,设直线B C的解析式为4 k +b = 0将8 ( 4 ,0) ,C ( 0,3
97、)分别代入得i c = 3 ， 解得:3v= -.直线B c的解析式为：y 4 n ,过点/) 作y轴的平行线,交直线B C 与点、 F,交 x轴于点H,过点A作) ， 轴的平行线， 交直线B C与点G ,图1( - 1,0) ,. .当 L 1 时产一/ (-1) +3=制 ,.G ( T，普 ) A G邛，向轴。 尸 ，:.X D E F s XAEG ,DE _ DFA E = A G ,DFI T 4=后，:.D F = 3,D( t , -4 t2-4 t +3) F ( t , -1t +3)设 4 4 4. DF = ( -t2+-t +3) - ( -t +3) = -t2+3
98、t = 3解得：n = t2 = 2 ,D( 2, f ) ,D H=12,A ” = 1+2= 3,9.,DH 7 3在 Ri Zs A O H 中， A H 3 2；( 3 ) 存在,分三种情况： 如 图 2,四边形A C P Q是菱形， 则PC= AC,图23设 尸 ( x , - 4X+3),( - 1,0) ,C ( 0,3) ,.X2 + (-X+3-3)2=12+32-解得：X = 5 ,向4 7 10 4 7 10 37 10 c ? - r 当 X= - 5 时， ( -5 , 5 1 ) ,4而 37 15.Q( - 5 - 1 , 5 ) ,4用 3V10 | 3当x =
99、 5 时,P( 5 ,- 5 1 ) ,4疝 3 V m Q ( 5 - 1 , - 5 ) ；8C= A B= 5 ,二8在4 c的垂直平分线匕.P与8重合，： .Q ( - 5 ,3) ；羽 如 图4 ,四边形A C Q P是菱形， 同理得P ( 5 | ,5 | ) ,向4行 3 4713综上， 点 。的 坐 标 为 ( -5 - 1 , 5 )或(53疝5 ) 或 (-5 ,3)或 (制 图) .14 . ( 2020师宗县一 模 ) 如图， 直线y = -x +3与x轴、y轴分别交于点8,点C,经过a C两点的抛物线y= r + bx+ c与x轴的另一个交点为A ,顶点为P ,点M为
100、抛物线的对称轴上的一个动点.( 1)求该抛物线的解析式；( 2)当点 在x轴的上方时， 求四边形C O A M周长的最小值；( 3)在平面直角坐标系内是否存在点N ,使 以C,P,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在， 请写出【 分析】( 1)先求出点反点C坐标,代入解析式可求解；( 2)由 抛 物 线 的 对 称 性 可 得 点A ( 1,0),由四边形C。4M周长= O C+O A +A M +CM =4 +8M +CM ,则点B点M点C三点共线时,8M +CM有最小值为8 c的长， 即四边形C O 4 W周长的最小值= 4 +8C,由勾股定理可求解；( 3)由菱形的性质可得 CP M是等腰
101、三角形， 分三种情况讨论， 由两点距离公式可求解.【 解答】ft ? ： (1 ) 直线y = -x + 3与x轴、y轴分别交于点仇点C ,:.点 B (3 , 0 ), 点 C (0 , 3 ),抛物线y = / + fe v + c经过8 , C两点，9+3b+c=0I c=3j b=4解得f c=3 ,抛物线的解析式为：y = / -4x + 3 ；(2 )如图， 连接A M ,IBVJ=A2 - 4x+3= (x - 2) 2 - 1,二抛物线的对称轴为直线x=2, , 点A与点B关于对称轴对称，： . A M = B M , A (1 ,0 ), . 点 C (0 ,3 ), 点 A
102、 (1 ,0 ), 点 8 (3 ,0 ),；.OA=1,OC=3,OB=3,四边形 CO4M 周长=OC+OA+AM+CM,Z.四边形CO4M周长=4+8M+CM 当点B,点M点C三点共线时,8M+CM有最小值为B C的长,/ . 四边形COAM周长的最小值=4+BC,BC=VOC24O B2I=V9T9= 3V2I,. . . 四边形CO4M周长的最小值=4+3& I：(3) ：y = /-4 x + 3 = G -2 )2 -1 ,顶点 P (2, - 1 ) ,又 . 点 C (0 ,3 ),pc=V22+ (-l-3 )2=2V5l,设点M (2J),MC=V(2-0)2 + (t-
103、3) 2 = V t2-6t+lsl,MP=t+,；以C,P,MN为顶点的四边形为菱形，.CPM是等腰三角形，若 MC=MP,则 J/-6t+13 = |什1|,IB3t= 2 ,3. . 点 A / (2 . 2 1 )；若 M P = P C , 则 2 “ 1 = |/ + 1 |,. 1 i = - 1 + 2 日 &= - 1 - 2 7 5 1 ,. . . 点 M (2 , - I + 2 V 5 I )或 (2 , - 1 - 2 5 1 )；若 M C =P C ,Vt2-6 t+131=2751,解得：t3= - 1 (不合题意舍去) J 4= 7 ,. , . 点 M (
104、2 , 7 )；3|综上所述：点 M 的坐标为(2 , 身 ) 或 (2 , 7 )或 (2 , - 1 + 2 内 1 )或 (2 , - I - 2 西 I ) .1 5 . (2 0 2 1 两江新区模拟)如图, 抛物线y u o A b x + c ( a # 0 ) 交 x轴于两点， 交 y轴于点C.其中点 A ( - 1 , 0 ) ,B (3 , 0 ) ,C (0 , -3 )， 连接 A C 、BC.(1 )求抛物线的解析式；( 2 ) 如 图 1 , 在抛物线上民C两点间有一动点P (点尸不与8 、C两点重合)， 过点P作 AC的平行线， 交B C 于点、G , 求P G的
105、最大值及此时点P的坐标；(3 )如图2 , 将抛物线、 = / + 云 + , ( 0 *()沿射线C B 方向平移& 个 单 位长度得到新抛物线y ,点M为新抛物线对称轴上的一动点， 点N为平面内的任意一点， 是否存在点N使得以A,C,M,N为顶点的四边形是以AC为边的菱形, 若存在， 请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在,【 分析】( 1 ) 已知三点坐标求函数解析式， 代入坐标解方程组即可. 本题也可以根据A , B 坐标特征设交点式求解.(2 )如图， 过点尸作P E y 轴交8c 于点E , 用斜化直的策略将P F 表示P G的长， 进而用点。坐标向表示成函数， 借助二次函
106、数求最值的方法求解P G的最大值.(3 )菱形的存在性问题先转化为求以A C为边的等腰三角形的存在性问题, 然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可.【 解答】解：( D设抛物线为y = a (x + 1 ) (x -3 ),代入点C (0 , -3 )得 -3 a= - 3 ,解得a 1 .(x + 1 ) (x - 3 ) = A T - 2 , r - 3 .(2 )如 图1 ,过点尸作P E)， 轴交8 C于点瓦作G b L P E于点E又 O C = O 8 = 3 ,则N O C 8 = N G E P = 45 .U： AC/PG： .ZACB= ZCGP.E|J/
107、ACO+ N OCB= ZGE P+ ZGPE ,： .ZACO= ZGPE .1/ . t an ZG P = t an Z A C O = 3 ,GFA PF 3,: PF = 3GF .又 N GE F = 45；： .E F = GF .:.PE = PF + E F = 4GF .又在R t G F P中， 由勾股定理得：PG=VGF2+PF2 =V TO G F| .设点 P (r 7 -2 r -3 ) ： B (3 , 0 ) ,C (0 , - 3 )IB，直线8 c 解析式为：y = x-3 ,. , . 点E 坐 标 为 G j-3 ).PEyE - ypt - 3 -
108、(z2 - 2f - 3) = - +3f,: .PG= 4 ( - A 3 D = 4 - 2, F Viol；- 4 | o,/ . 当 t = 2 时,PG有最大 值 方 宣 ,此时点P (2 i) .( 3 ) 依题意， 抛物线沿射线BC平移/ 百个单位即抛物线向右平移1个单位， 向上平移1个单位.平移后抛物线解析式为：y= (x -2 ) 2-3,对称轴为直线 =2.故设点 M (2 ,/)， 又 A ( - 1,0) ,C (0,-3).AC=V12+32=VIO,AM =V (-1-2 )2 + (0 -m) 2 = V 9 + m2,C M = V 22 + (m+ 3 )2
109、= 44+ (m+ 3 )2 .由题意知， 以AC为腰的等腰三角形aACM 有两种情况: 如 图 2,当AC=AW时折= V 9 + m2| ,加 =1, 22= 1.向M (2 , 1 ) M l(2 , - 1 ).由平行四边形对角线互相平分可知:xA+xN=xC+xMjA+yf yc +yM： .N (3 , - 2 ) ,N 2 (3 , -4)“ ? 3 = -3 + V 6,W4= - 3 - V s l .Mi (2 , - 3 + V & I ) M (2 , -3 - V 6|).:N (l , V bl ) (1 , - V 6|),综上：使以 A C 为边的菱形的 N 点
110、有：N (3 , -2 ) , M (3 , -4) (1 , 1 ) ,N4 (1 , -V s l ).1 6. (2 0 2 1 淮安区一模)如 图 1 , 在平面直角坐标系中， 已知矩形A BC 。的三个顶点4 ( - 3 , 4) 、B (-3 , 0 ) 、C ( - 1, 0 ) . 以D为顶点的抛物线y= a x1+ bx+ c过点B .动 点P以每秒1 个单位的速度从点D出发， 沿 0c边向点C运动, 运动的时间为f 秒 . 过 点P作P EVC D交B D于点E , 过 点E作E F AD于点F , 交抛物线于点G.向( 1)求该抛物线的解析式；( 2 )连接BG ,求 B
111、G O的面积最大值；( 3 )如图2 ,在点P运动的同时， 点Q从点B出发， 沿B A边以每秒1个单位的速度向点A运动. 动点尸、。运动的过程中, 在矩形48。内( 包括其边界) 是否存在点H ,使 以 为 顶 点 的 四边形是菱形？若不存在, 请说明理由；若存在， 请直接写出f的值：t= 20-N5或 诃 .【 分析】( 1)由矩形A 8 C。的三个顶点的坐标分别为A ( - 3 , 4)、B ( - 3 , 0 )、C ( - 1, 0 )， 可得顶点。的坐标， 点D又是抛物线的顶点, 设抛物线的解析式为顶点式， 将点B的坐标代入该解析式,即可求出系数 的值, 从而求得抛物线的解析式；(
112、2 )设点G的横坐标为X,用含x的代数式表示点G、点E的纵坐标及线段E G的长， 由 SM G D=J .司得出关于x的二次函数解析式, 再利用二次函数的性质求出面积的最大值；( 3 )存在符合条件的菱形， 分两种情况， 一是 以B E为一边， 则点，在A O边上， 由相似三角形的性质及B Q = F Q = t列方程求出t的值；一是以B E为对角线， 仍可由相似三角形的性质列方程求出f的值.【 解答】解：( D : 矩 形4 8 c o的三个顶点的坐标分别为A ( - 3 , 4)、8 ( - 3 , 0 )、C ( - 1, 0 ) ,： .D ( - 1, 4) ,由抛物线的顶点为。 (
113、-1, 4), 设抛物线的解析式为y = ( x +1) 2 +4, . 抛物线经过点8( - 3 , 0 ) ,. . 4。 +4=0 ,解得a = - I ,该抛物线的解析式为y = - ( x +1) 2 +4,即) ， = - 7 - 2 x +3 ；f-3k+d=0 ( k=2( 2 )如 图1,设直线8。的解析式为y = + ,则1- k +d =4， 解得1 d =6,. . y =2 x +6,IB设 G ( x , - / - 2 x +3 ) ( - 3 x = -4月 1的图象分别与x 轴, y轴交于8, C两点， 二次函数y n o x2 - V 3 1 t + c 的
114、图象过B, C两点， 且与X轴交于另一点A.( 1 ) 求二次函数的表达式；( 2 ) 点尸是二次函数图象的一个动点， 设点尸的横坐标为m , 若N A B C = 2 N A 8 P . 求 i 的值；( 3 ) 如图2 , 过点C 作 CO x 轴交抛物线于点。. 点 M 是直线B C 上一动点， 在坐标平面内是否存在点N, 使得以点CQ, M, N为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点N 的坐标; 若不存在,【 分析】( 1 ) 令 x = 0 、y =0 , 求出点8 和点C 的坐标， 把 8 、C 坐标代入抛物线求a , c , 得到抛物线的解析式；( 2 ) 由点B 和 点
115、C 的坐标求出08 和 O C 长度， 得到NCBO=6 0 ， 从而可知NA8P=3 0 , 然后向设点P的坐标， 结合3 0 角的正切值列出方程， 求m的值；( 3 )由C。平行x轴求点 ) , 设点M的坐标， 利用菱形的性质“ 邻边相等”列出方程求点M然后再进一步确定点N .【 解答】解：( 1 )对直线丫 =百1 - 4 A， 当x = 0时,y = - 4百I ；当y = 0时/ =4 ,： .C ( 0 , - 4 V 3 l) ,B ( 4 , 0 ) ,c =- 4 / 3将点 8、C 代 入 产 病 - 愿h + c得：ll6 a - 4 V + c =0 ,HI c =-
116、4遮I ,V3| 抛物线的解析式为y= 2 x2 - V 3 k - 4 7 3 1 ；( 2 ) V C ( 0 , - 4 V 3 | ) ,B ( 4 , 0 ) ,O C = 4 , O B = 4 ,叟 上 /. . t a n NA8C=0 B 4 ,.,.ZABC=60 ,/ Z A BC 2 ZABP,. . NA8P=3 0 ,如 图1 ,过点P作轴于点H,V , 点尸的横坐标为或的值为- 图或m = - 3 由 、 = 可？ - A/SL - 4百 I可知对称轴为直线x=l,V C (0 , -4V3 I ),： .D (2,-4V3 |),；以点C、D,M,N为顶点的四边
117、形是菱形， 设M (x,遥 x -43 1), 如 图 2,以 C D 为对角线时, M N垂直平分CD,. . 点M 的横坐标为1 ,当 x = 1 时,- 3 V3 I ,： .M (1,-3 百 卜 ，IB： .N ( I, - 5 3 1 ) , 以C M为对角线时,C D = M D, ： C ( 0 , - 4 V 3 | ) ,D ( 2 , - 4 V 3 | ) ,： .22= ( x - 2 ) 2+ ( V s L) 2,解得：x =0 ( 舍 ) 或x =l,： .M2 ( 1 , - 3 3 1 ) ,： .N2 ( - 1 , - 3 3 1 ) ,如备用图， 以C
118、 N为对角线时,CM=CZ ) =2 ,. .2 2 = /+ ( 网 )2,解得：x = l或x = - 1 ,： .My ( 1 , - 3 V 3 I)或 M4 ( - 1 , - 5 3 | ) ,： .N 3 ( 3 , - 3 V 3 I) ,N 4 ( 1 , - 5V 3 I) ,综上所述, 存在,M ( I , - 5 卜佗(-1 , - 3日1 ) , M ( 3 , - 3 3 1 ) .1 9 . ( 2 0 2 1 罗湖区校级模拟) 如图， 在平面直角坐标系中, 抛物线y =x 2 + / x + c与x轴相交于A、B两点， 与y轴相交于点C ( 0 , 3 ) .且
119、点A的坐标为(-1 , 0 ), 点B的坐标为( 3 , 0 )， 点P是抛物线上第一象限内的一个点.( 1 )求抛物线的函数表达式；( 2 )连PO、P8,如果把 P0 8沿 。8翻转， 所得四边形POP B恰为菱形, 那么在抛物线的对称轴上是否存在点。 ， 使 QAB与 P0 8相似？若存在求出点。的坐标；若不存在， 说明理由；( 3 )若( 2 )中点Q存在， 指出 QAB与 POB是否位似？若位似， 请直接写出其位似中心的坐标.向【 分析】( 1 )点A、8、C的坐标已知, 只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；(2 )由四边形P O P B为菱形可得PO=PB,从而有N P O
120、B = / P B O .由点。在抛物线的对称轴上可得04 =。8,从而有由 Q A 3与 P O 8相似可得N P 8 0 = N。84,从而可得3点Q、P、B共 线 .由2。= 尸8可得点P在 。8的垂直平分线上， 从而可得门= 杯, 代入抛物线即可求出点P的坐标， 设 直 线P B的解析式为y = , /u+ ， 运用待定系数法就可求出直线P B的解析式.由抛物线的对称轴方程可得到点。的横坐标， 代入直线P B的解析式， 即可得到点。的坐标；(3 )观察图象， 易知 Q A B与F O B位似， 位似中心即为点民由此可得到位似中心的坐标.【 解答】解：(1 ) ( - 1 , 0)、B
121、(3 , 0)、C (0, 3 )在 抛 物 线 : 加 + 底 “ , 上，a-b+c=0, 9a+3b+c=0c=3 ,a=-l- b=2解得lc=3 . 抛物线的解析式为y = - /+ 2 x + 3 ；(2 )在抛物线的对称轴上存在点。 ， 使 Q A B与 P O B相似， 如图所示. . 四边形P O P 8为菱形，PO=PB,:. N P O B = N P B O . 点。在抛物线的对称轴上，： .QA=QB,.ZQABZQBA.由 04B与 P 08相似可得N P 8O = /Q 84,. .点Q、P、B共线. ： PO=PB.二点尸在0 8的垂直平分线上，3 xp= 2
122、,3| 3| J5此时 yp= - ( 2 ) 2+2X 2 +3= 4 ,向点P的坐标为(相设直线P B的解析式为y=m.x+n,，宜线尸8的解析式为y =- 冢+ 3 .2 抛物线的对称轴为X= - 2X (-1) =1,5| 15， X Q = 1 JQ = - . X 1 +可= 5 ,. .点。的坐标为(1 , 5 )根据对称性点。坐标还可以为(1 . - 5 ).(3 ) Q A 8与 P 02位似, 位似中心为点B ,点B的坐标为(3 , 0).当 。点 坐 标(1 , - 5 )时， 位似中心坐标为(9 /7 , 0)；2 0. (2 02 1秋九龙坡区校级月考)如图, 抛物线
123、旷= 以2 +版+3交x轴于点4 ( - 1 , 0)和点8 (3 , 0),与y轴交于点C ,连接B C ,交对称轴于点D.(1 )求抛物线的解析式；(2 )点P是直线B C上方的抛物线上一点， 连接PC,PD.求P C。的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3 )将抛物线)= + 公+3向右平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线与原抛物线交于点E点F是新抛物线的对称轴上的一点， 点G是坐标平面内一点.当以。、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时， 直接写出点F的坐标， 并写出求解其中一个点F的坐标的过程.向【 分析】(1 )将点A ( - 1 , 0)和点8 (3 , 0)代入y = o ?
124、+ f e x + 3 , 即可求解;(2 )先求直线B C的解析式为y = - x + 3 , 则可求Q (1 , 2 ), 过点尸作x轴的垂线， 交B C于点。 ， 设42P (r , - a+ 2 f + 3 ), 则 Q ( 什3 ) ， 则 S , C D = - 2 1 (L 2 1 ) 2 + 8 , 即可求解；3 | j 5 l 1 49 |(3 )先求新抛物线为尸- (为- 2 )2 + 4, 则可求后(句1 1 ), 设尸(2 内 )， 分别求出 E 2 = %| + 而5 3 IJJ 1 5 |= 1 6| , D F2= l + (MJ - 2 ) 2, E F2= 4
125、| + (/ - N l ) 2 , 分三种情况讨论： 当EF、尸 为邻边， 此时1 49EF=FD, F (2 , 5 6 )；当 E D 、E F 为邻边， 此时 ED=EF,F (2 , 2 )；当 D E 、。 厂为邻边,此时 = 则 F (2 , 2 + 4 | )或 尸 (2 , 2 - 4 1 ).【 解答】解：( 1 )将点A ( - 1 , 0)和点8 (3 , 0)代入y = a + 队+ 3 ,Ca_b+ 3=0得 1 9 a+ 3 b+ 3 = 0,(a=-l解得ib= 2 ,.,.y- - x2+ Z r + 3 ：( 2 ) 令 x = 0, 则 y = 3 ,：
126、.C (0, 3 ),设直线B C的解析式为y=kx+b,f b= 3.l 3 k + b= 0.f k = - ll b= 3 ,IB.* .y = - x+ 3, . 函数的对称轴为直线x = l ,： .D (1 , 2 ),过点P作 x轴的垂线， 交B C于点Q,设 P (/, - 尸 + 2 什3 ) , 则 Q (/, - f + 3 ),:.PQ= - P + 3 f ,1 1 3，SCD=5xi x ( - ? + 3 r ) =-5 (r - 23 . 9当时底P C D 的最大值为以此时尸(受 制 )；92+后(3 ) y = - /+ 2 x + 3 = - (x - 1
127、 ) 2+ 4 向右平移1 个单位得到新抛物线为丫=( 0y = - x + 2 x + 32联立 l y = - x + 4x ,4解得x = 2 1 ,3 J5 I： .E (2 , 4 I),(x - 2 ) 2 + 4,：新抛物线的对称轴为直线x = 2 ,设 F (2 , /n ),j . 49 5 3.D E1= 4 + 1 6 = 1 6 ,D F2= 1 + (/n - 2 ) 2, E F2= 4 + (/ - 4 ) 2,11 5 以Z X E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时, 有三种情况: 当E F、FD为邻边， 此时E F = F D ,1.* .1 + (7 7 7
128、 - 2 ) 2 = 1 | + (1 49 |解得 ? = 引 ，1 49 1:.F (2 , - 5 61 )； 当E D、 1 为邻边， 此时E D = E F ,53.1.16d+ 一 制 一解得m= 2 I 或 m = 2 ,马： .F (2 , 2 )或 F (2 , 2 I),IB设直线ED的解析式为y= k x+ b,当 x = 2 时 ,： .F (2 , 2 )； 当 。 氏 。 尸为邻边， 此时531., .1 1 = 1 + (w - 2 ) 2,V37| V37I解得 2 = 2 + -F | 或 7 7 7 = 2 - -F | ,V37 V37AF (2 , 2
129、+ 4 ) 或 尸 (2 , 2 - 4 ).过 点 C作直线CD I I x轴， 与抛物线交于 点 作 直 线 B C , 连接AC.IB(1 )求抛物线的函数表达式, 并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2 ) E是抛物线上的点, 求满足/E C = / A C O的点E的坐标；(3 )点 例 在y轴上， 且位于点C的上方， 点N在直线B C上， 点P为直线B C上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形， 求菱形的边长.【 分析】(1 )用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2 )分 点E在直线C O上方的抛物线上和点E在直线CO卜方的抛物线上两种情况， 用三角函数求解即可；(
130、3 )分C M为菱形的边和CM为菱形的对角线， 用菱形的性质进行计算.【 解答】解：(1 ) : 抛物线y = o ? + 6x + c的图象经过点A ( - 2 , 0), 点8 (4, 0),4a-2 b+ 4=0. .得 1 1 6a+ 4b+ 4= 0,1. .抛物线解析式为尸- 句/+ x + 4,.y= - x2+ x + 4= - y (x2- 2 x )+ 4= - (x - 1 ) 2(i . 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 2 ,OA _ E F即 至 F ,1 2t - t2 二24 - t解得=0 （ 舍去）J 2=3,J（ 3, f）; 当 点 位 于 直 线C
131、D上方时， 过点E作E尸，直线CQ,垂足为F .J -则 F（ 5,4 ） ,CF = s,E F = -吼2+ s + 4 - 4 = - 2 s2+ s,根据题意， 当 NE C= ZACO Hf ,t a nZACO= ta n ZE CD ,O A _ E F即 记 :CF， ,4 s ,解得s i =0 （ 舍去）,S2=L所以， 点E的坐标为 2或 2 （ 3） C M为菱形的边， 如图2,向在第一象限内取点P ,过点P 作P N1 旷 轴 ， 交8 c于M ,过点P 作 M /?C,交y轴于“，四边形CM P N1是平行四边形，1四边形CM P N1是菱形，：.P M = P N
132、 ,过点P作pQ _Ly轴，垂足为。，：OC=OB.ZBOC90 ,AZOCB=45 ,: .N P M C=45 ,J.设点 P (m, - 2 w2+m+4) ,在 RtZkP M Q 中，尸 Q =m,P M；B (4,0) ,C (0 ,4 ),直线BC的解析式为y= - x+4,: P N y 轴，:(m, - m +4),j j 1.P N = - 2 A H24-/Z Z+4 - ( - m+4) = - 2 /7i2+2w,1tn=O (舍)或 m=4 - 221,菱形 CM P N 的边长为 (4 - 221) =4721 - 4.CM为菱形的对角线， 如图3,向在第一象限内
133、抛物线上取点P,过点尸作PM/BC,交 y 轴于点M 连接CP,过点M作MN CP,交 B C于N,四边形C P M N是平行四边形， 连接P N交C M于点Q, 四边形CPMN是菱形，： .PQ CM, Z P CQ = Z NCQ,VZOCB=45 ,NNCQ=45 ,： .ZPCQ=45 ,： .ZCPQ=ZPCQ=45 , PQ=CQ,设点尸(n, - 2 n2+n+4),； CQ=n,OQ=n+4,n+4 = - 2 ,/+ +4,A71=0 ( 舍 )，此种情况不存在.综上,菱形的边长为4 & L 4.422. (2021 鞍山一 模 )如图， 在平面直角坐标系xOy中 ,直 线
134、产 - 目x+4与 x 轴、y 轴分别交于A、1C两点,抛物线y = - 可 / +6 x+c经过A、C两点.( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 点 8 为 y 轴上一点， 点P为直线A B上一点， 过P作PQ/BC交 x 轴于点Q,当四边形BCPQ为菱形时， 请直接写出8 点坐标；向( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下， 且点8 在线段0C 上时， 将抛物线y= - 可f + f c v + c 向上平移山个单位， 平移后的抛物线与直线AB 交于点。( 点 。在第二象限)， 点 N 为 x 轴上一点， 若/ W B=90 ， 且符合条件的点N 恰好有2 个， 求m的取值范围.【 分析】
135、( 1 ) 先求出4 、C 两点坐标， 然后代入抛物线的解析式求；( 2 ) 设 8 ( 0 ,a ), 求得AB 的函数关系式， 然后求出。点的坐标， 从而确定0 。的长， 利用A A O B s C O Q 求得；( 3 ) 从/ W B=90 , 且符合条件的点N 恰好有2 个条件转化为以B D为直径的圆与x 轴相交,设圆心为/ ,根据直线和圆相交的条件：圆心到直线的距离小于半径， 从而求得。点特殊位置， 进而可求得， 的范围.【 解答】解：( 1 ) 由题意得，A ( 3,0 ) ,C ( 0 ,4 ),v= Y v + 4. . . 抛物线解析式为y 3x 3 4；( 2 ) 如 图
136、 1,向设3 （ 0同），: .PQ=BC=BQ=4- ayU：A (3,0),a直线A8的解析式是：y= - 5awx+a ,口由 -3 =4 - a 得， 四边形3CPQ是菱形,:.PB1CQ,: NABO=/PBC,：.ZOCQ=ZBAO,J X A O B s XCOQ、OB I 0 Q.-.O A1=O CI,a 12- 6a3 = 4 a ,2 tZ|= 2 M 2 = - 6 ,Bi ( 0 , 名) . 1 2 (0 ,-6 )；( 3 )如图2,IB3B ( 0 , 1),. . . 直线A B的解析式是:尸 - 万 苓 ,1 _总二设。( a , - 2 2 % ) ,1
137、2 5_ 2BD2= (a2+ 4 a ) = 4 & ,；/ W B=90 , 且符合条件的点N恰好有2个 ,以8。为直径的圆与x轴相交， 设圆心为/ ,则 / ( 司,-4 a - k2 ),作 J _ OA 于 J ,1:.IJ2BD,1 3 1乂5 2(-7a 47 ) 4x7a- 3- 3 遥 - 3+ 3 遥- 67| 2 ( 舍 去 )，- 3- 3粕 T - 3代 3 9+ 3粕当 a 2 时,y = - 2 X 2 2 = 4.1 2 1 ,设平移后的抛物线为：3 3*将D点坐标代入平移后解析式得，1-3l x- 3 - 3 9 + 3 2 ) 2+ 4 + ? = 4向11
138、+975解得：m = 41 1 + 9 .,.m 4 .23. ( 20 22巨野县一模)如图， 抛物线与无轴交于A ( - 1,0 )、B ( 3,0 )， 交 y轴于C ( 0 ,3).( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2) P是直线B C上方的抛物线上的一个动点， 设P的横坐标为t,P到B C的距离为/ ? , 求h与t的函数关系式， 并求出h的最大值；( 3)设点M 是 x 轴上的动点， 在平面直角坐标系中,存在点N,使得以点A、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形,直接写出所有符合条件的点N 坐标.【 分析】( 1 ) 由A 、B 、C 三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式
139、；( 2)过点P作 P O L x 轴于点D交于点8 c于点， ， 连接P B 、 P C,可先求得直线8 c的解析式， 则可用,分别表示出E的坐标， 从而可表示出P E的长,再可用,表示出 P 8C的面积， 再利用等积法可用/ 表示出瓦利用二次函数的性质可求得h的最大值；( 3) 分 AM 、CM 和 AC为对角线三种情况, 分别根据菱形的性质可求得N点的坐标.【 解答】解：( 1 ) . 抛物线 y =o r 2+ b x+ c 过 A ( - 1 , 0 ) 、B ( 3, 0 ) 、C ( 0 , 3) 三点，a-b+c=0 a=_ 9a+3b+c=0 b=2.c=3 ， 解得 I c
140、=3,. .抛物线的解析式为） ， = -，+ 2r + 3；( 2 ) 如 图 1 , 过点P作PD x轴于点D,交 B C于点E , P H V B C于点儿连接P B 、PC,IB,:B ( 3, 0 )、C ( 0 , 3) ,/. O B =O C =3, B C =VOB2OC2 =3a I,f3k+n=0设直线BC解析式为y=fcr+ ， 则I n = 3， 解得fk=lI n=3,.直线B C解析式为y = - x+ 3, . 点P的横坐标为f ,且在抛物线y = - /+ 2x+ 3上 ,： .P ( f , - P + 2/+ 3) ,又轴于点。 ， 交8 c于点E ,：
141、.D ( r , 0 ) ,E ( r , - r + 3) ,:.PE = ( - P + 2f + 3) - ( - r + 3) = - P + 3f ,Jl1 3l 1SPBC 2 PE K XB - xc ) = 2 ( - P + 3f ) X 3 = - 2 ? + 2 t ,jj jj 3V2.又；SA P B C= 5 BCPH=2X3 2 h .3加 3| a: . 2 h- - 2 P+21 ,J23V2./? 与r的函数关系式为： = - 2尸+ 2 , ( o r 39 _ 7 5_： .E 2 ( l 6l , 64)1 5 39综上， 点E的横坐标为H 或 正 ；
142、9( 3)在口口4。0中,0 4 =可 ( =3 ,/ 4% =9 0 ,. C =号 ,3OC l V 4l 3 3设N C A O = 3则 ta n 0 = 0A|= 4 = 3 ,s i n 0 = 5 ,c o s 0 = 5 ,假设存在满足条件的点D设菱形的对角线交于点E,设运动时间为r ,且0 r 过点 A ( - 2 ,0 ) ,D ( 1 ,4)厕 1k+b=4当 x =0 时,y = 3， 故 C ( 0 ,3 ) ；( 2 )如图， 分别过点D、P作 。GJ_ x轴于点G ,PHLx轴于点H,四边形A F P E是平行四边形，_1：.S mitiAiPE-AFPH,SAD
143、F 2 AF*DG.1当四边形AFPE的面积与4”的面积相等时工广。 ，= 列4尸。G.向3 7 63 V22 / 6综上所述， 当四边形A F P E 的面积与4 尸的面积相等时,1 的值为1 + 2 或 1 + 2 ；（ 3 ）存在,理由:当点P在x轴上方时,443 3 2设点P （ m, - 9 w2+ 9 m+ 9 ）， 则点E的坐标为（ x,- 9目 3 2lm2+-9lw+ 9 ) ,把点4 的坐标代入A D的表达式得：3国 3 2|9 同 + 引9 I84122解得 x= - 3 m2+ 3 %+ 3 ,故点E 的坐标为（ -12222483 23W + 3m+ 3 ， - 9/
144、n2+ 9m+ 92贝 U EP=m - ( - 3 ， + 3 m+ 3 ),43由直线A D的表达式知,ta n N 4O=& l ,则 c o s Z A O= 5 = M55122则 AE= 3 (XE - XA) = 3 ( - 3 m2+ 3 m+ 3 ) ,四边形AFPE是菱形， 则AE=EP,1即 L ( - 52 .nr+ 3 m+122(- 3 nr+ 3 m+ 3 ) ,23 1解得见= -2 （ 舍去） 2= 刀 ,23 3 9|故点P的坐标为（ - 1 ,行） ：当点P在 x轴下方时，17同理可得,点尸的坐标为（2 ,- 2 1 ） .23 3 91 口综上所述， 点
145、 P的坐标为（ 丁 , 而 ）或 （ 刀 ,2 6 . （ 2 0 2 1 交城县二模）实践与探究- 2 1 ) .向如 图1 ,已知抛物线经过原点。和x轴上一点A ( 4,0 )， 抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点。 ， 直线丫= - 2 x - 1经过抛物线上一点B(- 2附) 且与y轴交于点C ,与抛物线的对称轴交于点F .( 1 )求? 的值及该抛物线的解析式；(2 ) P (x , y )是抛物线上的一点， 若 A O P与 A O C的面积相等， 求出所有符合条件的点P的坐标.(3 )点 。是平面内任意一点， 点M从点F出发, 沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
146、设点M的运动时间为f秒， 是否能使以Q、A、E 、四点为顶点的四边形是菱形？若能， 请直【 分析】(1 )首先求出点8的坐标和, ”的值， 然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2 ) / X A D P与 A C C有共同的底边A Z ) ,因为面积相等， 所 以 边 上 的 高 相 等 ， 即 为1 ：从而得到点P的纵坐标为1 ,再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；(3 )如图2 ,在点M的运动过程中， 依次出现四个菱形， 注意不要漏解.针对每一个菱形， 分别进行计算， 求出线段M F的长度， 从而得到运动时间t的值.【 解答】解：(D 点B ( - 2 , ? )在直线y = - 2
147、 x - 1 ,- 2 X ( - 2 ) - 1 = 4 - 1 = 3 ,:.点、 B ( - 2 , 3 ) ,又 . 抛物线经过原点O ,设抛物线的解析式为y= a x2+ h x,；点 B ( - 2 , 3 ) . (4 , 0)在抛物线上，4a-2b=3116 a+4b=0IB解得b=- l .v= x - x，抛物线的解析式为 4X x ；( 2 ) 如 图,： P (x , y ) 是抛物线上的一点，. P (x, -x2-x)若 SADP=SADC, -SAADC= 2AD 0C,SAADP=2AD-y,又 . 点C是直线y = - 2 x - 1 与) ， 轴交点，： .
148、C (0, - 1 ) ,O C = 1 ,/ . 1 4 x2 - x | = 1 , 即T” - x = 1 , 或 i L2 - x= - 1 ,解得：.n= 2 + 2 料 1 / 2 = 2 - 2 料 1 = ZM4DH,：.AAEDSAMAEH,V5M4E EH 比己= 2/. AE iDE,即 如 1 ,解得h E a ,5：.DM4=M4E- DE= 233- J,13：.M4F=DM4+DF= 2+5= 2 ,.3 制 .综上所述,存在点M、点0 ,使得以Q、A、E、例四点为顶点的四边形是菱形；时间， 的值为：h= 4 - V j2 = 6 j3 = 4 + V lj4 = l.IBy
