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1、第二章利息理论基础第一节利息分析第一节汉英名词对照n积累值n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest 一、利息与积累函数n利息定义：n利息是货币资本投资的利益，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的报酬，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 n影响利息大小的三要素：n本金n利率：单位本金
2、在单位时间上产生的利息称为该单位时间上的利率，如年利率、月利率、日利率等。n 计息方式：单利、复利（一般复利、标准复利、连续复利）n时期长度一、利息与积累函数n积累函数： 是单位资本金经过时间后的积累额。n总累积额函数n贴现函数n第N期利息0t1-K- -1例2-1n已知本金A(0)=1000元，若按a（t）=3t2+1 积累,求：n（1）10年的积累值；n（2）20年的积累值；n（3）第10年获得的利息及利率；n（4）第20年获得的利息及利率。n1、单利条件下的积累函数n假定一个单位的投资在每个单位时间所赚的利息是相等的，而利息不用于再投资。n一个投资者开了一个储蓄帐户并存入1元，该帐户按每
3、年单利率i支付利息，那么一年后投资者帐户有1+i元，两年后他的帐户值是1+2i元，二、单利与复利n一般表现形式假设：I利息；P期初本金；i利率; A(t) 经过时间t后的积累值 IPit A(t)PIP(1+it)注意：i和t的单位必须一致，即若利率取年利率，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须以月计。n例：如果每年单利率为8，投资额为2000元，求（1）4年后的利息 （2）3个月后的利息（3）4年后的本利和解：（1）IPit200084640（元）（元）（2）IPit200081/440（元）（元）（3） A(t) P(1+it)2000（184）2640（元）（元）2、复利条件下的积累
4、函数n复利息n所赚的利息收入记入下一期的本金可以进行再投资以赚取额外利息。即通常所说的“利滚利”。n一个投资者开了一个储蓄帐户并存入1元，该帐户按每年复利率i支付利息，那么一年后投资积累值1i元；接下来用1i金额作投资，在第二年末的积累值是(1+i)+i(1+i)=(1+i)2； 在第三年末的积累值将达到(1+i)2+i(1+i)2=(1+i)3；以此类推,第t年可得到该投资的积累值为(1+i)t，t是非负数。n一般表示形式假设：I利息；P期初本金；i利率； A(t) 经过时间t后的积累值 A(t) P(1+i)t t0 n当利率相同，计息期相同时，比较单利累积值和复利累积值的大小例：如果年复
5、利率8，投资额为2000元，分别求三个月末、一年末和四年末的终值。 解：时间t时的终值：A(t)P(1+i)tA(1/4) 2000(18)1/42038.35(元)A(1) 2000(18)2160(元)A(4) 2000(18)42720.98（元） 比较：若单利率复利率8 当当t1/4时，时， 2038.352040，即：，即： 复利终值复利终值2640，即：复利终值单利终值单利计算与复利计算的区别1.若单利率复利率，则当0t1时，复利终值1时，复利终值单利终值。2.短期两者差异不大，长期两者显著差异3.复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利不足期近似计算。注：除特别声明，
6、一般考虑复利计算方式 ta (t)011(1+it)(1+i)t e (it)三、贴现率与现值函数三、贴现率与现值函数1、实质贴现率、实质贴现率一个度量期上的实质贴现率为该度量期内产生的利息金额与期末的积累值之比。通常用字母d来表示实质贴现率。n设i为单利率，计算相应单利各期的实质贴现率 大小发生变化n设i为复利率，计算相应复利各期的实质贴现率 大小不发生变化注：实质利率与实质贴现率的关键区别 a）利息在期初余额的基础上期末支付 b）贴现在期末节余的基础上期初支付例： 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？例：答
7、案 例：假设期初借款人从贷款人那里借10000元，商定一年到期时还10500元，如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元，问：期初借款人实际可得金额多少？解：可得i5，贴现因子v=(1+i)-1=0.9524 d=iv=0.04762 从而借款人期初实际可得 10000(1-d)=9524(元)2、现值与终值n终值是现在的货币值在未来时期的价值。n现值是未来的货币值在现在时期的价值。n积累因子（accumulation factor） 如果实质利率为i，则在期初投资的1个单位的本金在期末将累积到1i。把1i称为积累因子，即 期末积累值期初本金累积因子 n贴现因子(d
8、iscount factor)： 积累的反问题：在期初投资多少，才能使在1个时期结束时本金和利息总额等于1单位的货币量？ 如果在期初投资（1i）1，期末恰好累积到1，把 v （1i）1 称为贴现因子 期初本金期末积累值贴现因子 贴现函数a-1(t)：也叫为t期贴现因子。a-1(1)简称为贴现因子，并简记为v;现值 present valuen积累与贴现是一对相反的过程，相对于期初1个单位本金在t时期期末积累值是a(t)，相对于t时期期末1单位金额的期初值则为a-1(t)。n贴现率与贴现因子的关系是：四、一般复利与一般复贴现n利息可以按年支付，也可以在一年多次支付，我们将一年多次支付利息的形式称
9、为一般复利。n利率表中是否表示存3个月的实质利率为1.71，而存一年的实质利率为2.25？n注意：上述理解是有问题的。项目年利率(%)活期存款0.36 整存整取3个月1.71半年1.981年2.252年2.793年3.335年3.60人民币存款利率人民币存款利率2008年年12月月23日日名义利率n定义：每个度量期（通常为一年）支付m次利息的名义利率用i(m)表示（m一般大于1，也可小于1或不为整数），即每1/m个度量期支付利息一次，每1/m个度量期的实质利率为 i(m)/m。n例：i(4)8（季换算名义利率8）表示每个季度支付利息一次，且每个季度的实质利率为2。 如3个月的定期存款利率（挂牌
10、利率）为i(4)1.71,则10000元存满三个月可得利息42.75 元。问题：连续存4个三个月的定期和存一个一年定期，哪一个更划算？解：设期初的本金是10000元，连续存4个三个月的定期可得利息 10000(11.71%/4)410000=172.10 存一个一年定期可得利息 100002.25=225例：2年期的定期 i（1/2）=2.79% 2年期的实际利率为多少 ？ 2i（1/2）=5.58% 3年期的定期 i（1/3）=3.33% 3年期的实际利率 3i（1/3）=9.99% 5年期的定期 i（1/5）=3.60% 5年期的实际利率 5i（1/5）=18%例：Find the acc
11、umulated value of $500 invested for 5 years at 8% per annum convertible quarterly.解：500(1+8%/4)455001.0220=$742.97 n实际应用中通常需要计算与名义利率i（m）等价的（年）实质利率i的大小。 名义利率与实际利率有如下关系 及 补充： 名义利率图名义贴现率n用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。n如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样，名义贴现率d(m)是一种对1/
12、m个度量期初支付的利息的度量。图(1-2B) 名义贴现率图等价关系n相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下的关系（m，p可以不相同）例（1）求与实质利率8等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次年名义贴现率为8，求实质利率； （3）Find the nominal rate of interest convertible quarterly which is equivalent to a nominal rate of discount of 6% per annum convertible monthly. 解：例：以每年计息2次的年名
13、义贴现率10，在6年后支付5万元，求其现值。解：记现值为PV则 A(6)=PVa(6) PV A(6)a1(6)=50000(1-d)6 = 50000(1-d(2)/2)62 50000(1-5)12 27018例：1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例：答案1、2、3、利息效力n定义：瞬间时刻利率强度等价公式n一般公式n恒定利息效力场合例：n确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、例：答案利息的度量总结利息转换频率不同n实
14、质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为 。n名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。第二节年金分析年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。n分类n基本年金n等时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n一般年金n不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金一、基本年金n基本年金n等时间间隔付款n付
15、款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n分类n付款时刻不同：初付年金/延付年金n付款期限不同：有限年金/永久年金基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0- 延付年金基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0 0- 初付年金基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 1 1- 延付永久年金基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 1 1- 初付永久年金基本年金公式推导例1：n一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金
16、的现时值。例2： n某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例2答案（1）（2）例3n假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。例3答案n方法一：n方法二：例4n有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？例5永久年金nA留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给
17、受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例5答案基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付 等差年金n一般形式n现时值n积累值012nPP+QP+(n-1)Q特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值例n有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。例答案二、一般年金的现值和终值n分类n支付频率小于利息转换频率n支付频率大于利息转换频率n方法n通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。n年金的代数
18、分析1付款频率小于计息频率的情况付款频率小于计息频率的情况n考虑一项有n个计息期的年金。该年金在每K个计息期末付款一次，每次付款1。因为每k个计息期末付款一次，所以年金总的付款次数为 n / k（假设 n, k为整数，并且 n/ k也为整数）。n定义记号： k 每个付款周期内的计息次数 n 年金的付款总次数k（计息总次数） i 每个计息期内的实质利率（名义利率/计息次数）（1）期末付年金）期末付年金 （2）期初付年金）期初付年金该年金等价于一个付款周期等于计息期、数额为 的n期期末年金，流程图为：（3）其他的付款频率小于计息频率的情况）其他的付款频率小于计息频率的情况2付款频率大于计息频率的年
19、金付款频率大于计息频率的年金（1）期末付年金）期末付年金n设设每每个个计计息息期期内内付付款款m次次，n为为年年金金总总的的计计息息期期数数，i为为每每个个计计息息期期的的实实质质利利率率，假假设设m、n均均为为正整数，显然总的付款次数为正整数，显然总的付款次数为mn。n定义记号：定义记号：nm每个计息期内的付款次数每个计息期内的付款次数nn 年年金金的的付付款款总总次次数数/m（计计息息总总次次数数），即即：付款总次数为付款总次数为mnni 每个计息期内的实质利率每个计息期内的实质利率n考考虑虑在在年年金金的的每每个个付付款款期期期期末末付付款款1/m的的情情况况（见下图）（见下图）n期末年
20、金 在每个付款期的期末付款1/m元，流程图为： 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 0 1/m 2/m 1 2 n注：在年金的每个付款期期末付款在年金的每个付款期期末付款1/m ，因为，因为每个计息期内付款每个计息期内付款m次，所以每个计息期内次，所以每个计息期内全部付款总量为全部付款总量为m1/m =1，而年金总共有，而年金总共有n个计息期，因此，年金总的付款量为个计息期，因此，年金总的付款量为n。n比较：期末年金流程图（1）付款频率大于计息频率的情况）付款频率大于计息频率的情况 在每个付款期的期末付款1/m元，流程图为： 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 0 1/m 2/m 1
21、2 n（2）付款频率小于计息频率的情况付款频率小于计息频率的情况年金现值年金现值n例例: 某年轻人从他某年轻人从他20岁参加工作开始每个岁参加工作开始每个月末存入月末存入100元到某基金中，直到元到某基金中，直到60岁退岁退休为止共进行了休为止共进行了40年年480次的存款。假设次的存款。假设基金年利率为基金年利率为13%，求到最后一次存款时，求到最后一次存款时，全部存款的积累值。全部存款的积累值。（2）期初付年金）期初付年金在每个付款期的期初付款1/m元：1/m 1/m 1/m 1/m 0 1/m 1 n-1/m n注：在一个计息期内共支付1个单位金额（2）期初付年金）期初付年金（3）其它各
22、种形式的付款频率）其它各种形式的付款频率大于计息频率的情形大于计息频率的情形n例：考虑一个十年期每月末付400元租金的年金，用年利率表示以下的量：1）在首次付款两年前的现值2）在末次付款三年后的终值n例：已知每半年付款1元的永久年金的现值为10元，计算年利率。年金关系延付年金初付年金现时值积累值一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付三、连续年金的现值与终值n定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.n公式:假设：假设：年金为1个单位金额的广义年金的付款周期可以充分小，即：付款间隔充分小，而付款频率充分快（相当于m）问题：问题：极限状态下，时间为n个利息换算期，利息力为的年金的现值和终值？ 假定付款是均匀的，即付款率(rate of payment)等于1，从而在小时间段 上付款为n例例: 假设某假设某10年期连续年金的支付率为常年期连续年金的支付率为常数数30，年度实质利率为，年度实质利率为8%，求该年金在，求该年金在其开始前其开始前3年的值。年的值。n例例: 某某n年年期期连连续续年年金金，其其t时时的的支支付付率率为为t2+t(0 t n)，如如果果利利息息强强度度为为常常数数，求求该该年金的终值的表达式。年金的终值的表达式。n该年金终值表达式：恒定利息效力场合例n确定利息效力使连续支付的永久年金
