第七节 双 曲 线(全国卷5年5考 ) 【【知识梳理知识梳理】】1.1.双曲线的定义双曲线的定义(1)(1)平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2(|F(|F1 1F F2 2|=2c>0)|=2c>0)的距离之差的距离之差的的______________为非零常数为非零常数2a(2a<2c)2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲的点的轨迹叫做双曲线线. .这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的_____._____.绝对值绝对值焦点焦点 (2)(2)集合集合P={M|||MFP={M|||MF1 1|-|MF|-|MF2 2||=2a},|F||=2a},|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,其中其中a,ca,c为常数且为常数且a>0,c>0.a>0,c>0.①①当当__________________时时,M,M点的轨迹是双曲线点的轨迹是双曲线; ;②②当当__________________时时,M,M点的轨迹是两条射线点的轨迹是两条射线; ;③③当当__________________时时,M,M点不存在点不存在. .2a<|F2a<|F1 1F F2 2| |2a=|F2a=|F1 1F F2 2| |2a>|F2a>|F1 1F F2 2| | 2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程标准方程 (a>0,b>0)(a>0,b>0) (a>0,b>0)(a>0,b>0)图形图形 标准方程标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) (a>0,b>0) (a>0,b>0)性质性质 范围范围x≥ax≥a或或x≤-a,x≤-a,y∈Ry∈Rx∈R,x∈R,y≤-ay≤-a或或y≥ay≥a对称性对称性对称轴对称轴:_______,:_______,对称中心对称中心:_____:_____顶点顶点A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,-a),A(0,-a),A2 2(0,a)(0,a)渐近线渐近线y = y = y =y =坐标轴坐标轴原点原点 标准方程标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质性质 离心率离心率 e= ,e∈________,e= ,e∈________,其中其中c= c= a,b,ca,b,c的关系的关系c c2 2=_____(c>a>0,c>b>0)=_____(c>a>0,c>b>0)(1,+∞)(1,+∞)a a2 2+b+b2 2 3.3.等轴双曲线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, ,其渐近线方其渐近线方程为程为______,______,离心率为离心率为e= .e= .y=y=±±x x 【【常用结论常用结论】】1.1.双曲线中的几个常用结论双曲线中的几个常用结论(1)(1)焦点到渐近线的距离为焦点到渐近线的距离为b.b.(2)(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. .(3)(3)双曲线为等轴双曲线双曲线为等轴双曲线⇔⇔双曲线的离心率双曲线的离心率e= e= ⇔⇔双双曲线的两条渐近线互相垂直曲线的两条渐近线互相垂直( (位置关系位置关系).). (4)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 (5)(5)过双曲线焦点过双曲线焦点F F1 1的弦的弦ABAB与双曲线交在同支上与双曲线交在同支上, ,则则ABAB与另一个焦点与另一个焦点F F2 2构成的构成的△△ABFABF2 2的周长为的周长为4a+2|AB|.4a+2|AB|.(6)(6)双曲线的离心率公式可表示为双曲线的离心率公式可表示为 2.2.巧设双曲线方程巧设双曲线方程(1)(1)与双曲线与双曲线 =1(a>0,b>0)=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程有共同渐近线的方程可表示为可表示为 =t(t≠0).=t(t≠0).(2)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为过已知两个点的双曲线方程可设为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(mn<0).=1(mn<0). 3.3.直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系判断直线判断直线l与双曲线与双曲线C C的位置关系时的位置关系时, ,通常将直线通常将直线l的方程的方程Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为不同时为0)0)代入双曲线代入双曲线C C的方程的方程, ,消去消去y(y(也可以消去也可以消去x)x)得到一个关于变量得到一个关于变量x(x(或变量或变量y)y)的一元的一元方程方程, ,即即 消去消去y,y,得得axax2 2+bx+c=0.+bx+c=0. (1)(1)当当a≠0a≠0时时, ,设一元二次方程设一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的判别式的判别式为为Δ,Δ,则则Δ>0Δ>0⇔⇔直线与双曲线直线与双曲线C C相交相交; ;Δ=0Δ=0⇔⇔直线与双曲线直线与双曲线C C相切相切; ;Δ<0Δ<0⇔⇔直线与双曲线直线与双曲线C C相离相离. . (2)(2)当当a=0,b≠0a=0,b≠0时时, ,即得到的是一次方程即得到的是一次方程, ,则直线则直线l与双与双曲线曲线C C相交相交, ,且只有一个交点且只有一个交点, ,此时此时, ,直线直线l与双曲线的渐与双曲线的渐近线的位置关系是平行近线的位置关系是平行. . 【【基础自测基础自测】】题组一题组一: :走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误.(.(正确的打正确的打““√√””, ,错误的打错误的打““×”×”) )(1)(1)平面内到两点平面内到两点F F1 1(-1,0),F(-1,0),F2 2(1,0)(1,0)的距离之差等于的距离之差等于1 1的的点的轨迹是双曲线点的轨迹是双曲线. .( ( ) ) (2)(2)方程方程 (mn>0)(mn>0)表示焦点在表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线. .( ( ) )(3)(3)与双曲线与双曲线 (mn>0)(mn>0)共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线方程可设为可设为 =λ(λ≠0).=λ(λ≠0). ( ( ) ) (4)(4)等轴双曲线的离心率等于等轴双曲线的离心率等于 , ,且渐近线互相垂直且渐近线互相垂直. .( ( ) )(5)(5)若双曲线若双曲线 (a>0,b>0)(a>0,b>0)与与 (a>0,b>0)(a>0,b>0)的离心率分别是的离心率分别是e e1 1,e,e2 2, ,则则 ( (此结此结论中两条双曲线为共轭双曲线论中两条双曲线为共轭双曲线).).( ( ) ) 【【解析解析】】(1)(1)××. .已知点的轨迹是双曲线的一支已知点的轨迹是双曲线的一支. .到两点到两点F F1 1(-1,0),F(-1,0),F2 2(1,0)(1,0)的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为1 1的点的轨迹的点的轨迹是双曲线是双曲线. .(2)(2)××. .例如当例如当m=-1,n=-1m=-1,n=-1时时, ,方程为方程为y y2 2-x-x2 2=1,=1,表示焦点在表示焦点在y y轴上的双曲线轴上的双曲线. . (3)√.(3)√.易知双曲线易知双曲线 与与 =λ(λ≠0)=λ(λ≠0)渐渐近线相同近线相同, ,且且 =λ(λ≠0)=λ(λ≠0)可表示渐近线为可表示渐近线为y= y= 的任意双曲线的任意双曲线. .(4)√.(4)√.因为是等轴双曲线因为是等轴双曲线, ,所以所以a=b,c= a,a=b,c= a,离心率等离心率等于于 . .渐近线方程为渐近线方程为y=y=±±x,x,互相垂直互相垂直. . (5)√.(5)√.由已知由已知, , 所以所以 2.2.双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为________.________. 【【解析解析】】双曲线化为标准方程双曲线化为标准方程 焦点在焦点在x x轴轴上上, ,所以渐近线方程为所以渐近线方程为y=y=±± x. x.答案答案: : y= y=±± x x 【【一题多解一题多解】】由由 =0=0得得 , ,即即y y2 2= ,= ,即即y=y=±± x, x,所以渐近线方程为所以渐近线方程为y=y=±± x. x.答案答案: :y=y=±± x x 题组二题组二: :走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-1P61A2-1P61A组组T1T1改编改编) )双曲线双曲线 上的点上的点P P到到点点(5,0)(5,0)的距离是的距离是6,6,则点则点P P的坐标是的坐标是________.________. 【【解析解析】】设设P(x,y),P(x,y),由已知得由已知得: : 解得解得 所以所以P(8, ).P(8, ).答案答案: :(8, )(8, ) 2.(2.(选修选修2-1P612-1P61练习练习T3T3改编改编) )以椭圆以椭圆 的焦点为的焦点为顶点顶点, ,顶点为焦点的双曲线方程为顶点为焦点的双曲线方程为________.________. 【【解析解析】】由已知得由已知得a=1,c=2,a=1,c=2,则双曲线方程为则双曲线方程为x x2 2- =1.- =1.答案答案: :x x2 2- =1- =1 3.(3.(选修选修2-1P62A2-1P62A组组T6T6改编改编) )经过点经过点A(5,-3),A(5,-3),且对称轴都且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.________. 【【解析解析】】设双曲线的方程为设双曲线的方程为:x:x2 2-y-y2 2=λ,=λ,把点把点A(5,-3)A(5,-3)代代入入, ,得得λ=16,λ=16,故所求方程为故所求方程为 答案答案: : 考点一 双曲线的定义及标准方程考点一 双曲线的定义及标准方程【【题组练透题组练透】】1.(20181.(2018··福州模拟福州模拟) )设设F F1 1,F,F2 2分别是双曲线分别是双曲线x x2 2- =1- =1的的左、右焦点左、右焦点. .若点若点P P在双曲线上在双曲线上, ,且且|PF|PF1 1|=5,|=5,则则|PF|PF2 2|= (|= ( ) )A.5A.5 B.3B.3 C.7 C.7 D.3D.3或或7 7 【【解析解析】】选选D.D.因为因为||PF||PF1 1|-|PF|-|PF2 2||=2,||=2,所以所以|PF|PF2 2|=7|=7或或3.3. 2.2.已知双曲线已知双曲线 (a>0,b>0)(a>0,b>0)的左、右焦点分别的左、右焦点分别为为F F1 1,F,F2 2, ,以以|F|F1 1F F2 2| |为直径的圆与双曲线渐近线的一个交为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为点为(3,4),(3,4),则此双曲线的方程为则此双曲线的方程为( ( ) ) 【【解析解析】】选选C.C.因为以因为以|F|F1 1F F2 2| |为直径的圆与双曲线渐近为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为线的一个交点为(3,4),(3,4),所以所以c=5, c=5, 又又c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,所以所以a=3,b=4,a=3,b=4,所以此双曲线的方程为所以此双曲线的方程为 3.(20193.(2019··淄博模拟淄博模拟) )过双曲线过双曲线 (a>0,b>0)(a>0,b>0)的的左焦点左焦点F F1 1, ,作圆作圆x x2 2+y+y2 2=a=a2 2的切线交双曲线的右支于点的切线交双曲线的右支于点P,P,切点为切点为T,PFT,PF1 1的中点的中点M M在第一象限在第一象限, ,则以下结论正确的是则以下结论正确的是( ( ) )A.b-a=|MO|-|MT| A.b-a=|MO|-|MT| B.b-a>|MO|-|MT|B.b-a>|MO|-|MT|C.b-a<|MO|-|MT|C.b-a<|MO|-|MT| D.b-a=|MO|+|MT|D.b-a=|MO|+|MT| 【【解析解析】】选选A.A.如图如图, ,连接连接OT,PFOT,PF2 2, ,则则OT⊥FOT⊥F1 1T,T,在直角三角在直角三角形形OTFOTF1 1中中, ,|F|F1 1T|= =b,T|= =b, 因为因为M M为线段为线段F F1 1P P的中点的中点,O,O为为F F1 1F F2 2的中点的中点, ,所以所以|OM|= |PF|OM|= |PF2 2|,|,所以所以|MO|-|MT|= |PF|MO|-|MT|= |PF2 2|-( |PF|-( |PF1 1|-|F|-|F1 1T| ) T| ) = (|PF= (|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|)+b= |)+b= ××(-2a)+b=b-a.(-2a)+b=b-a. 4.(20194.(2019··唐山模拟唐山模拟)P)P是双曲线是双曲线 右支上一右支上一点点,F,F1 1,F,F2 2分别为左、右焦点分别为左、右焦点, ,且焦距为且焦距为2c,2c,则则△△PFPF1 1F F2 2的的内切圆圆心的横坐标是内切圆圆心的横坐标是________.________. 【【解析解析】】( (利用定义解三角形利用定义解三角形) )如图所示如图所示, , 内切圆圆心内切圆圆心M M到各边的距离分别为到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,|MA|,|MB|,|MC|,切切点分别为点分别为A,B,C,A,B,C,由三角形的内切圆的性质有由三角形的内切圆的性质有|CF|CF1 1|= |= |AF|AF1 1|,|AF|,|AF2 2|=|BF|=|BF2 2|,|PC|=|PB|,|,|PC|=|PB|,所以所以|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=|CF|=|CF1 1|-|BF|-|BF2 2|=|AF|=|AF1 1|-|AF|-|AF2 2|=2a,|=2a,又又|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2c,|=2c,所以所以|AF|AF1 1|=a+c,|=a+c, |OA|=|AF|OA|=|AF1 1|-|OF|-|OF1 1|=a.|=a.因为因为M M的横坐标和的横坐标和A A的横坐标相同的横坐标相同, ,所以所以M M的横坐标为的横坐标为a.a.答案答案: :a a 5.5.设动圆设动圆C C与两圆与两圆C C1 1:(x+ ):(x+ )2 2+y+y2 2=4,C=4,C2 2:(x- ):(x- )2 2+y+y2 2=4=4中的一个内切中的一个内切, ,另一个外切另一个外切, ,则动圆圆心则动圆圆心C C的轨迹方程为的轨迹方程为__________________________.__________________________. 【【解题指南解题指南】】根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差定圆圆心的距离之差, ,然后用定义法求解然后用定义法求解. . 【【解析解析】】设圆设圆C C的圆心的圆心C C的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),半径为半径为r,r,由已由已知知r>2,r>2,则则 所以所以||CC||CC1 1|-|CC|-|CC2 2||=4<2 =|C||=4<2 =|C1 1C C2 2|,|,即圆心即圆心C C的轨迹的轨迹L L是是以以C C1 1,C,C2 2为焦点为焦点,4,4为实轴长的双曲线为实轴长的双曲线, , 所以所以L L的方程为的方程为 答案答案: : 【【规律方法规律方法】】 1.1.应用双曲线的定义需注意的问题应用双曲线的定义需注意的问题(1)(1)注意注意““绝对值绝对值””: :““到两定点到两定点( (焦点焦点) )的距离之差的的距离之差的绝对值为一常数绝对值为一常数, ,且该常数必须小于两定点间的距离且该常数必须小于两定点间的距离””. .若定义中的若定义中的““绝对值绝对值””去掉去掉, ,点的轨迹是双曲线的点的轨迹是双曲线的一支一支. . (2)(2)注意完全平方式注意完全平方式: :在焦点三角形中在焦点三角形中, ,注意定义、余弦注意定义、余弦定理的活用定理的活用, ,常将常将||PF||PF1 1|-|PF|-|PF2 2||=2a||=2a平方平方, ,建立建立|PF|PF1 1| |··|PF|PF2 2| |间的联系间的联系. . 2.2.求双曲线标准方程的一般方法求双曲线标准方程的一般方法(1)(1)定义法定义法: :依定义得出距离之差的等量关系式依定义得出距离之差的等量关系式, ,求出求出a a的值的值, ,由定点位置确定由定点位置确定c c的值的值. . (2)(2)待定系数法待定系数法: :设出双曲线方程的标准形式设出双曲线方程的标准形式, ,根据已知根据已知条件条件, ,列出参数列出参数a,b,ca,b,c的方程并求出的方程并求出a,b,ca,b,c的值的值. .与双曲与双曲线线 有相同渐近线时有相同渐近线时, ,可设所求双曲线方程可设所求双曲线方程为为 =λ(λ≠0).=λ(λ≠0). 考点二 直线与双曲线的位置关系考点二 直线与双曲线的位置关系【【典例典例】】(1)(1)已知双曲线已知双曲线 (a>0,b>0)(a>0,b>0)的离心率的离心率为为 , ,则其渐近线与圆则其渐近线与圆(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2= a= a2 2的位置关系是的位置关系是 ( ( ) )A.A.相交相交 B.B.相切相切 C.C.相离相离 D.D.不确定不确定 (2)(2)若双曲线若双曲线E: -yE: -y2 2=1(a>0)=1(a>0)的离心率等于的离心率等于 , ,直线直线y=kx-1y=kx-1与双曲线与双曲线E E的右支交于的右支交于A,BA,B两点两点. .①①求求k k的取值范围的取值范围; ;②②若若AB=6 ,AB=6 ,点点C C是双曲线上一点是双曲线上一点, ,且且 求求k,mk,m的值的值. . 【【解析解析】】(1)(1)选选C.C.因为一条渐近线方程为因为一条渐近线方程为ay-bx=0,ay-bx=0,又离又离心率为心率为 所以所以a=b,a=b,所以一条渐近线方程为所以一条渐近线方程为y-x=0,y-x=0,由由(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2= a= a2 2知圆心为知圆心为(a,0),(a,0),半径为半径为 a,a,圆心到圆心到直线的距离直线的距离d= d= 所以直线与圆相离所以直线与圆相离. . (2)①(2)①设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),), 所以双曲线所以双曲线E E的方程为的方程为x x2 2-y-y2 2=1.=1.由由 得得(1-k(1-k2 2)x)x2 2+2kx-2=0.(ⅰ)+2kx-2=0.(ⅰ) 因为直线与双曲线的右支交于因为直线与双曲线的右支交于A,BA,B两点两点, , 所以所以10,b>0)=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A,BA,B两点两点, ,若若△△OABOAB的面积为的面积为 , ,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为( ( ) ) 【【解析解析】】选选D.D.由已知由已知|AB|= |AB|= 所以所以 整理得整理得 2.(20182.(2018··福州模拟福州模拟) )已知直线已知直线y=kx-1y=kx-1和双曲线和双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1的右支交于不同两点的右支交于不同两点, ,则则k k的取值范围是的取值范围是________.________. 【【解析解析】】由直线由直线y=kx-1y=kx-1和双曲线和双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1联立方程组联立方程组, ,消消y y得得(1-k(1-k2 2)x)x2 2+2kx-2=0,+2kx-2=0,因为该方程有两个不等且都大于因为该方程有两个不等且都大于1 1的根的根, , 所以所以 解得解得10,b>0)(a>0,b>0)的右焦点为的右焦点为F(c,0).F(c,0).(1)(1)若双曲线的一条渐近线方程为若双曲线的一条渐近线方程为y=xy=x且且c=2,c=2,求双曲求双曲线的方程线的方程. . (2)(2)以原点以原点O O为圆心为圆心,c,c为半径作圆为半径作圆, ,该圆与双曲线在第一该圆与双曲线在第一象限的交点为象限的交点为A,A,过过A A作圆的切线作圆的切线, ,斜率为斜率为- ,- ,求双曲线求双曲线的离心率的离心率. . 【【解析解析】】(1)(1)因为双曲线的渐近线为因为双曲线的渐近线为y=y=±± x, x,所以所以a=b,a=b,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=2a=2a2 2=4,=4,所以所以a a2 2=b=b2 2=2,=2,所以双曲线方程为所以双曲线方程为 (2)(2)设点设点A A的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 0>0),>0),所以直线所以直线AOAO的斜率满足的斜率满足 所以所以x x0 0= y= y0 0.①.①由已知由已知, ,圆的方程为圆的方程为x x2 2+y+y2 2=c=c2 2, ,将将①①代入圆的方程得代入圆的方程得 =c=c2 2, ,即即y y0 0= c,= c, 所以所以x x0 0= c,= c,点点A A的坐标为的坐标为 代入双曲线方程得代入双曲线方程得 即即 b b2 2c c2 2- a- a2 2c c2 2=a=a2 2b b2 2.②.②又因为又因为a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,所以将所以将b b2 2=c=c2 2-a-a2 2代入代入②②式式, , 整理得整理得 c c4 4-2a-2a2 2c c2 2+a+a4 4=0,=0,所以所以 所以所以(3e(3e2 2-2)(e-2)(e2 2-2)=0,-2)=0,又因为又因为e>1,e>1,所以所以e= ,e= ,即双曲线的离心率为即双曲线的离心率为 . . 【【状元笔记状元笔记】】求双曲线离心率的方法求双曲线离心率的方法(1)(1)直接求出直接求出a,ca,c的值的值, ,利用离心率公式直接求解利用离心率公式直接求解. .(2)(2)列出含有列出含有a,b,ca,b,c的齐次方程的齐次方程( (或不等式或不等式),),借助于借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b,b,转化为含有转化为含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解, ,注注意意e e的取值范围的取值范围. . (3)(3)因为离心率是比值因为离心率是比值, ,所以可利用特殊值法所以可利用特殊值法. .例如例如, ,令令a=1,a=1,求出相应求出相应c c的值的值, ,求离心率求离心率, ,能有效简化计算能有效简化计算. .(4)(4)通过特殊位置通过特殊位置, ,求出离心率求出离心率. . 命题角度命题角度2 2 双曲线的渐近线 双曲线的渐近线【【典例典例】】(1)(2018(1)(2018··合肥模拟合肥模拟) )若双曲线若双曲线C C1 1: :与与C C2 2: (a>0,b>0): (a>0,b>0)的渐近线相同的渐近线相同, ,且双曲线且双曲线C C2 2的焦距为的焦距为4 ,4 ,则则b=b=( ( ) )A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.8 (2)(2)已知已知F F1 1,F,F2 2为双曲线为双曲线 (a>0,b>0)(a>0,b>0)的焦点的焦点, ,过过F F2 2作垂直于作垂直于x x轴的直线交双曲线于点轴的直线交双曲线于点P P和和Q Q且且△△F F1 1PQPQ为正为正三角形三角形, ,则双曲线的渐近线方程为则双曲线的渐近线方程为________.________.世纪金世纪金榜导学号榜导学号 【【解析解析】】(1)(1)选选B.CB.C1 1的渐近线方程为的渐近线方程为y=y=±±2x,2x,即即 =2,=2,又因为又因为2c=4 ,c=2 .2c=4 ,c=2 .由由c c2 2=a=a2 2+b+b2 2得得, ,所以所以20= b20= b2 2+b+b2 2, ,解得解得b=4.b=4. (2)(2)设设F F2 2(c,0)(c>0),P(c,y(c,0)(c>0),P(c,y0 0),),代入双曲线方程得代入双曲线方程得y y0 0= =±± , ,因为因为PQ⊥xPQ⊥x轴轴, ,所以所以|PQ|= .|PQ|= .在在Rt△FRt△F1 1F F2 2P P中中,∠PF,∠PF1 1F F2 2=30=30°°, ,所以所以|F|F1 1F F2 2|= |PF|= |PF2 2|,|,即即2c= 2c= ·· , ,又因为又因为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, , 所以所以b b2 2=2a=2a2 2或或2a2a2 2=-3b=-3b2 2( (舍舍),),又因为又因为a>0,b>0,a>0,b>0,所以所以 所以所求双曲线的渐近线方程为所以所求双曲线的渐近线方程为y=y=±± x. x.答案答案: :y=y=±± x x 【【状元笔记状元笔记】】求双曲线渐近线方程的方法求双曲线渐近线方程的方法(1)(1)求双曲线中求双曲线中a,ba,b的值的值, ,进而得出双曲线的渐近线方程进而得出双曲线的渐近线方程. .(2)(2)求求a a与与b b的比值的比值, ,进而得出双曲线的渐近线方程进而得出双曲线的渐近线方程. .(3)(3)令双曲线标准方程右侧为令双曲线标准方程右侧为0,0,将所得代数式化为一次将所得代数式化为一次式即为渐近线方程式即为渐近线方程. . 命题角度命题角度3 3 与双曲线有关的范围问题 与双曲线有关的范围问题【【典例典例】】(1)(1)设双曲线设双曲线 =1=1的两条渐近线与直线的两条渐近线与直线x= x= 分别交于分别交于A,BA,B两点两点,F,F为该双曲线的右焦点为该双曲线的右焦点. .若若6060°°<∠AFB<90<∠AFB<90°°, ,则该双曲线的离心率的取值范围是则该双曲线的离心率的取值范围是( ( ) ) A.(1, )A.(1, )B.( ,2)B.( ,2)C.(1,2) C.(1,2) D.( ,+∞)D.( ,+∞) (2)(2018(2)(2018··兰州模拟兰州模拟) )若双曲线若双曲线 =1(a>0,b>0)=1(a>0,b>0)一一条渐近线的倾斜角为条渐近线的倾斜角为 , ,离心率为离心率为e,e,则则 的最小值的最小值为为________.________. 【【解析解析】】(1)(1)选选B.B.双曲线双曲线 =1=1的两条渐近线方程的两条渐近线方程为为 不妨设不妨设 因为因为6060°°<∠AFB<90<∠AFB<90°°, , (2)(2)由已知由已知, , 所以所以 所以所以 当且仅当当且仅当b b2 2=6,a=6,a2 2=2=2时取时取““= =””. .答案答案: : 【【状元笔记状元笔记】】与双曲线有关的范围问题的解题思路与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)(1)若条件中存在不等关系若条件中存在不等关系, ,则借助此关系直接求解则借助此关系直接求解. .(2)(2)若条件中没有不等关系若条件中没有不等关系, ,要善于发现隐含的不等关要善于发现隐含的不等关系系, ,如借助双曲线上点的坐标范围如借助双曲线上点的坐标范围, ,方程中方程中Δ≥0Δ≥0来解决来解决. . 【【对点练对点练··找规律找规律】】1.(20181.(2018··成都模拟成都模拟) )已知已知a>b>0,a>b>0,椭圆椭圆C C1 1的方程为的方程为 双曲线双曲线C C2 2的方程为的方程为 ,C,C1 1与与C C2 2的离心率之积的离心率之积为为 , ,则则C C2 2的渐近线方程为的渐近线方程为( ( ) )A.xA.x±± y=0 y=0B. xB. x±±y=0y=0C.xC.x±±2y=0 2y=0 D.2xD.2x±±y=0y=0 【【解析解析】】选选A.A.设椭圆设椭圆C C1 1和双曲线和双曲线C C2 2的离心率分别为的离心率分别为e e1 1和和e e2 2, ,则则e e1 1= ,e= ,e2 2= .= .因为因为e e1 1··e e2 2= ,= ,所所以以 = ,= ,即即 所以双曲线的所以双曲线的渐近线方程为渐近线方程为 2.2.已知双曲线已知双曲线C: (a>0,b>0)C: (a>0,b>0)与双曲线与双曲线M:M: 有相同的渐近线有相同的渐近线, ,则双曲线则双曲线C C的离心率的离心率e=___.e=___. 【【解析解析】】因为双曲线因为双曲线M M的渐近线方程为的渐近线方程为y=y=±± x, x,双曲线双曲线C C的渐近线为的渐近线为y=y=±± x, x,所以所以 = ,= ,e e2 2= = 所以所以 答案答案: : 【【一题多解一题多解】】因为双曲线因为双曲线M M的渐近线方程为的渐近线方程为y=y=±± x, x,双曲线双曲线C C的渐近线为的渐近线为y=y=±± x, x,不妨令不妨令a=2,a=2,则则b=3, b=3, 所以所以e= .e= .答案答案: : 数学能力系列数学能力系列2424————与双曲线有关的范围、最值问题与双曲线有关的范围、最值问题 【【能力诠释能力诠释】】 以学过的双曲线和不等式相关知识为基础 以学过的双曲线和不等式相关知识为基础, ,通过将已通过将已知条件代数化知条件代数化, ,并进行一系列的数学运算并进行一系列的数学运算, ,从而使问题从而使问题得以解决得以解决. . 【【典例典例】】(2018(2018··吉安模拟吉安模拟) )在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,AB∥CD,,AB∥CD,且且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中其中x∈(0,1),x∈(0,1),以以A,BA,B为焦为焦点且过点点且过点D D的双曲线的离心率为的双曲线的离心率为e e1 1, ,以以C,DC,D为焦点且过点为焦点且过点A A的椭圆的离心率为的椭圆的离心率为e e2 2, ,若对任意若对任意x∈(0,1),x∈(0,1),不等式不等式t > 因为对任意因为对任意x∈(0,1),x∈(0,1),不等式不等式t