第讲矩阵的转置和逆

矩矩 阵阵2.3 矩阵的转置矩阵的转置 对称矩阵对称矩阵2.4 可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵的逆矩阵第第5讲讲第第2章章12.3 矩阵的转置矩阵的转置 对称矩阵对称矩阵定义定义2.11 2.11 把矩阵A=(aij)mn的行列依次互换得到nm矩阵, 称为A的转置矩阵转置矩阵, 记作 AT2矩阵的转置运算满足以下运算律矩阵的转置运算满足以下运算律:(1) (A T)T = A;(2) (A +B)T = A T+ B T ;(3) (k A)T = k A T (k是数量) ;(4) (A B)T = B T A T ;(5)  A T= A (A1 A2 An)T = AnT A2T A1T证明证明 (4) (AB)T = BTAT设 A=(aij)mn , A T=(aTji)nm , B =(bij)ns , B T=(bTji)sn，则 (A B)T与B T A T都是sm矩阵，且故 (A B)T = B T A Tj=1,, s ; i=1,, m3定义定义2.12则 称A为对称矩阵对称矩阵；则 称A为反对称矩阵反对称矩阵。

n阶反对称矩阵A的主对角元都为零， 因为 由aii = aii 即得 aii = 0 (i =1,2,,n)A为对称矩阵的充要条件是为对称矩阵的充要条件是 AT= A ; A为反对称矩阵的充要条件是为反对称矩阵的充要条件是 AT=  A 4例例1 1 设A是mn矩阵，则AT A和A AT都是对称矩阵因为AT A是n阶矩阵,且(AT A)T= AT(AT)T = AT A ; 同理A A T是m阶对称矩阵必须注意，两个对称矩阵A和B的乘积不一定是对称矩阵因为，(A B)T = BT A T = B A而B A不一定等于AB 例例2 设A, B分别是n阶对称和反对称矩阵，则 AB+BA 是反对称矩阵因为(A B+B A)T = BT AT+ ATBT= ( B)A+A(B)=  (AB+BA)52.4 可逆矩阵的逆可逆矩阵的逆定义定义2.13 设设A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵B使得使得 BA=AB=I,则称矩阵则称矩阵A是是可逆可逆的，称的，称B 为为A的的逆矩阵逆矩阵，记作，记作 B =A 1 .(或或B是可逆的且是可逆的且A= B 1)如单位矩阵如单位矩阵I是可逆的，且是可逆的，且I  1= I, 因为因为 I · I = I显然显然A,B是平等的，是平等的，B也是也是A的逆，的逆，6定理定理2.2 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

的逆矩阵是唯一的 证证设B, C都是A的逆矩阵， 即 BA=AB=CA=AC=I，则∴∴B=BI=B(AC) =(BA)C=IC=C所以，A的逆矩阵是唯一的可见，可见，A可逆的必要条件是可逆的必要条件是 |A|≠0.即即A是非奇异的是非奇异的下面来证明，下面来证明， |A|≠0也是也是A可逆的充分条件可逆的充分条件为此，引入伴随矩阵的概念为此，引入伴随矩阵的概念7定义定义2.14 设设 A=(aij)n n , A ij是是det A 中中 aij 的代数余的代数余子式子式, 称称 cof A =(A ij) n n 为为A的的代数余子式矩阵代数余子式矩阵，，其转置矩阵其转置矩阵A *=(cof A)T称为称为A的的伴随矩阵伴随矩阵，，记作记作A *由教材由教材pp.59~60的例题的例题6，可知，可知AA*=A*A=|A|I当当|A|≠0时，时，8定理定理2.3 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是   A 0 且 且且A可逆时，其逆为可逆时，其逆为 证证 必要性：若A可逆，则存在B使得AB=I, 于是AB=AB=I=1,故A0。

充分性: 用构造性证法若A0, 由 AA*=A*A=|A|I，推论推论1 设A，，B都是n阶矩阵,且AB=I, 则BA=I,即A，，B 都可逆，并互为逆矩阵证证由AB=I,得AB=AB=I=1, 故A0，B0,即A，，B 都可逆 AB=IA1(AB)A= A1 IA=I,即 BA=I9推论推论2对角阵、上（下）三角阵可逆的充要条件是对角阵、上（下）三角阵可逆的充要条件是主对角元全部不为零主对角元全部不为零注意注意: A, B 都可逆，而A+B不一定可逆，即使A+B可逆, 一般地 (A+B) 1 A1 + B1例例1 是否可逆？若可逆,求其逆矩阵解：解： A=40, A可逆(非奇异)A11=3, A12=4, A13=5, A21=3, A22=0, A23=1,A31=1, A32=4, A33=3,C=0, 故C不可逆10例例2 解：解： B= ad-bc, 当ad-bc 0时, B可逆, 其逆矩阵为可逆矩阵的运算性质（可逆矩阵的运算性质（A, B 为n阶可逆矩阵，数k0) A*= An-1  (A1) 1= A (k A) 1= k1 A 1  (A B) 1=B1 A 1  (AT) 1=(A1)T  A1= A1 (A1A2Ak) 1= Ak1 A21  A11´(Ak) 1=(A1)k＝ A k´´(A1,A2 ,, Ak均可逆);11证证 (kA)( k1A1)=(kk1)(AA1)=1I=I。

 (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AIA1=AA1=I 因为 AA* =  A I , A  A* = A  n,  A* = A n-1  由 AA 1=I,得(AA 1)T=(A 1)T AT=I；；(AT)  1=(A 1)T  由 AA1=I,得| A ||A1 | =1, |A | 0,  A 1 = A   1 例例3 设方阵B为幂等矩阵(即B2=B), A=I+B, 证明：A是可逆阵，且A1=(3I A)/2证证由 B=AI , B2=(A I)2= A 2 2 A +I及 B2= B = A  I得 A2  2A+I= A I A2  3A=A(A  3I)=  2I ,即 A[(3I  A)/2]=I∴ ∴ A可逆，且A1=(3I  A)/212例例4主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且注意：例例5设A为n阶可逆对称(反对称)矩阵，则A1也是对称(反对称)的。

证证设AT =A，则设AT =-A，则13例例6 已知A为非零n阶实矩阵，当A*= AT时，证明: A为可逆矩阵证证要证A可逆，即证 A 0由AT A = A* A =A I，知当A*= AT时， A 0  AT A 014例例7若A,B,C,D均为n阶矩阵,且ABCD=I(n阶单位阵)，以下哪个成立？(A) BCDA=I；；(B) CABD=I；(C) BACD=I；(B)(D) CBAD=I；； (E) BCAD=I；； (F) CDAB=I解：解：根据矩阵乘法 满足结合律和定理2.3的推论，由于ABCD=I,A(BCD)=I,(BCD) A =I,(A)成立AB)(CD)=I,(CD) (AB) =I,CDAB=I,(F)成立15例例8已知A=diag(1, 2, 1), 且A*BA=2BA   8I,求B解：解：由由A*BA   2BA=   8I, 得= 4(I+A) –1 = 4[ diag(2, 1, 2)] –1 (A*   2I)BA=   8IB=   8(A*   2I) –1A –1=  8(A (A*   2I)) –1=  8(A A*   2A) –1=  8( 2I   2A) –1 =4diag(2 –1 , 1, 2 –1 )，所以，B=diag(2,  4, 2)16例例9设A可逆，且A*B=A 1+B，证明B可逆，当时，求B。

解：解：由A*B=A 1+B= A 1+I B 得(A* I)B=A 1，因为| A*I || B |=| A 1 |0，所以，| B |0，B可逆B= (A*I)  1 A1=(A (A*I) )1 =( | A | I  A) 117例例10 已知：n阶矩阵A，B均可逆，证明：(1) (AB) * =B * A *;(2) (A*) * =|A|n-2A证明：证明：18作业Ex.33, Ex.36, Ex.38,Ex.40(3),Ex.4519习题讲解习题讲解Ex.11 已知已知为正交矩阵，试求为正交矩阵，试求a, b, c, d, e 的值的值.解：解：因为因为Q为正交矩阵为正交矩阵,所以所以20。