时间序列分析模型实例

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1、时间序列分析模型时间序列分析模型1时间序列分析模型简介时间序列分析模型简介2长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测【CUMCM2005A】一、问题分析一、问题分析二、模型假设二、模型假设三、模型建立三、模型建立四、模型预测四、模型预测五、结果分析五、结果分析 六、模型评价与改进六、模型评价与改进一、时间序列分析模型概述一、时间序列分析模型概述1、自回归模型、自回归模型2、移动平均模型、移动平均模型3、自回归移动平均模型、自回归移动平均模型二、随机时间序列的特性分析二、随机时间序列的特性分析三、模型的识别与建立三、模型的识别与建立四、模型的预测四、模型的预测时间序列的分类平平稳序列

2、序列有有趋势序列序列复合型序列复合型序列非平非平稳序列序列时间序列序列随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v把时间序列数据作为由随机过程产生的样本来分析把时间序列数据作为由随机过程产生的样本来分析v多数影响时间序列的因素具有随机性质，因此时间序列的多数影响时间序列的因素具有随机性质，因此时间序列的变动具有随机性质变动具有随机性质v随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程由平稳随机过程产生的时间序列叫做平稳性时间序列由平稳随机过程产生的时间序列叫做平稳性时间序列由非平稳随机过程产生的时间序列叫做非平稳性时间序列由非平稳随机过程产生的时间序列叫做

3、非平稳性时间序列v平稳序列平稳序列(stationary series)(stationary series)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的成是随机的 v非平稳序列非平稳序列 (non-stationary series)(non-stationary series)有趋势的序列：线性的，非线性的有趋势的序列：线性的，非线性的 有趋势、季节性和周期性的复合型序列有趋势、季节性和周期性的复合型序列 平稳时间

4、序列平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列平稳性时间序列平稳性时间序列v由平稳随机过程产生的时间序列的性质：由平稳随机过程产生的时间序列的性质：概率分布函数不随时间的平移而变化，即：概率分布函数不随时间的平移而变化，即：P P（Y Y1 1，Y Y2 2， ，Y Yt t）=P=P（Y Y1+m1+m，Y Y2+m2+m， ，Y Yt+mt+m) )期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的常数，即：期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的常数，即：E E（Y Yt t）=E=E（Y Yt+mt+m）VarVar（Y Yt t）= Var= Var（Y Y t+mt+m）CovCov（Y Yt t

5、，Y Y t+kt+k）= Cov= Cov（Y Y t+mt+m，Y Y t+m+kt+m+k）v随机性时间序列模型是以时间序列的平稳性为基础建立的随机性时间序列模型是以时间序列的平稳性为基础建立的随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v利用时间序列中的自相关关系进行分析和建摸利用时间序列中的自相关关系进行分析和建摸v时间序列的自相关关系是指时间序列在不同时期观测值之时间序列的自相关关系是指时间序列在不同时期观测值之间的相关关系间的相关关系v许多因素产生的影响不是瞬间的，而是持续几个时期或更许多因素产生的影响不是瞬间的，而是持续几个时期或更长时间，因此时间序列在不同时期的值往往存在

6、较强的相长时间，因此时间序列在不同时期的值往往存在较强的相关关系关关系v用自相关函数和偏自相关函数衡量时间序列中的自相关关用自相关函数和偏自相关函数衡量时间序列中的自相关关系系时间序列的自相关关系时间序列的自相关关系v自相关函数自相关函数随机过程的自相关函数随机过程的自相关函数样本的自相关函数样本的自相关函数v偏自相关函数偏自相关函数随机过程的偏自相关函数随机过程的偏自相关函数样本的偏自相关函数样本的偏自相关函数自相关函数自相关函数v对于平稳随机过程，滞后期为对于平稳随机过程，滞后期为 K K 的自相关函数定义为的自相关函数定义为滞后期为滞后期为 K K 的自协方差与方差之比的自协方差与方差之

7、比样本自相关函数样本自相关函数样本自相关函数的性质样本自相关函数的性质v可以用来判断时间序列的平稳性可以用来判断时间序列的平稳性平稳性时间序列的样本自相关函数值随滞后期的延长很快趋平稳性时间序列的样本自相关函数值随滞后期的延长很快趋近于零近于零v可以较好描述季节性变动或其他周期性波动的规律可以较好描述季节性变动或其他周期性波动的规律如果季节变化的周期是如果季节变化的周期是 12 12 期，观测值期，观测值 Yt Yt 与与 Yt+12Yt+12，Yt+24Yt+24，Yt+36Yt+36之间存在较强自相关关系之间存在较强自相关关系因此，当因此，当 K=12K=12，2424，3636，48,4

8、8,时，样本自相关函数值在时，样本自相关函数值在绝对值上大于它周围的值绝对值上大于它周围的值偏自相关函数值偏自相关函数值v滞后期为滞后期为K的偏自相关函数值是指去掉的偏自相关函数值是指去掉Yt+1，Yt+2，Yt+3，Yt+k-2，Yt+k-1的影响之后，反映观测值的影响之后，反映观测值Yt和和Yt+k之间相关关之间相关关系的数值系的数值随机性时间序列模型的特点随机性时间序列模型的特点v建摸过程是一个反复实验的过程建摸过程是一个反复实验的过程v借助自相关函数值和偏自相关函数值确定模型的类型借助自相关函数值和偏自相关函数值确定模型的类型v借助诊断性检验判断模型的实用性借助诊断性检验判断模型的实用

9、性时间序列最佳模型的确定时间序列最佳模型的确定出发点：模型总类出发点：模型总类选择暂时试用的模型选择暂时试用的模型估计模型中的参数估计模型中的参数诊断检验：模型是否适用诊断检验：模型是否适用运用模型分析和预测运用模型分析和预测模型分类模型分类v总类模型总类模型v移动平均模型移动平均模型 MA(q) (Moving Average)MA(q) (Moving Average)v自回归模型自回归模型 AR(p) (Autoregression)AR(p) (Autoregression)v混合自回归移动平均模型混合自回归移动平均模型 ARMA (pARMA (p，q q）v差分自回归差分自回归-

10、-移动平均模型移动平均模型 ARIMA (pARIMA (p，d d，q q）11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 ARMA模型是一模型是一类常用的随机常用的随机时间序列模型，序列模型，是一种精度是一种精度较高的高的时间序列短期序列短期预测方法，其基本思方法，其基本思想是：某些想是：某些时间序列是依序列是依赖于于时间的一族随机变的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的但整个序列的变化却有一定的规律性

11、，可以用相应的数学模型近似描述数学模型近似描述.通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测优预测.ARMAARMA模型有三种基本类型：模型有三种基本类型：模型有三种基本类型：模型有三种基本类型：自回归（自回归（自回归（自回归（ARAR：Auto-regressiveAuto-regressive）模型）模型）模型）模型移动平均（移动平均（移动平均（移动平均（MAMA：MovingAverageMovingAverage）模型）模型）模型）模型自回归移动平均

12、（自回归移动平均（自回归移动平均（自回归移动平均（ARMAARMA：Auto-regressiveMovingAverageAuto-regressiveMovingAverage）模型）模型）模型）模型 一、概一、概述述11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 1 1、自回归、自回归、自回归、自回归【ARAR】模型模型模型模型自回归序列：如果时间序列 是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为【1】【1】式称为阶自回归模型，记为AR（）注注1：实参数：实参数称为自回归系数，是待估参数称为自回归系数，是待估参数.随

13、机项随机项是相互独立的白噪声序列，且服从均值为是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为方差为的正态分布的正态分布.随机项与滞后变量不相关。随机项与滞后变量不相关。注注2：一般假定：一般假定均值为均值为0，否则令，否则令11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 记 为 步滞后算子，即 ，则模型【1】可表示为令 ，模型可简写为AR（）过程平稳的条件是滞后多项式的根均在单位圆外，即的根大于1【2】11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介

14、 2 2、移动平均、移动平均、移动平均、移动平均【MAMA】模型模型模型模型移动平均序列移动平均序列移动平均序列移动平均序列： 如果时间序列 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为【3】式【3】称为阶移动平均模型，记为MA（）注：实参数为移动平均系数，是待估参数11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 引入滞后算子，并令则模型【3】可简写为注1：移动平均过程无条件平稳注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程能相互表出，即过程可逆，【4】即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的A

15、R过程注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA过程，即11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 3 3、自回归移动平均、自回归移动平均、自回归移动平均、自回归移动平均【ARMAARMA】模型模型模型模型【B-JB-J方法建模方法建模方法建模方法建模】自回归移动平均序列自回归移动平均序列：如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为【5】式【5】称为阶的自回归移动平均模型，记为ARMA注1：实参数称为自回归系数，为移动平均系数，都是模型的待估参数注2：【1】和【3】是【5】的

16、特殊情形注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为【6】注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式的根均在单位圆外可逆条件是滞后多项式的根都在单位圆外11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 二、随机时间序列的特性分析二、随机时间序列的特性分析二、随机时间序列的特性分析二、随机时间序列的特性分析1 1、时序特性的研究工具、时序特性的研究工具、时序特性的研究工具、时序特性的研究工具（1 1）自相关）自相关）自相关）自相关构成构成时间序列的每个序列序列的每个序列值相关关系称相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数自相关。自

17、相关程度由自相关系数表示表示时间序列中相隔序列中相隔期的期的观测值之之间的相关程度。的相关程度。之间的简单之间的简单度量，度量，注1：是样本量，为滞后期，代表样本数据的算术平均值注2：自相关系数的取值范围是且越接近1，自相关程度越高11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 （2 2）偏自相关）偏自相关）偏自相关）偏自相关偏自相关是指对于时间序列，在给定的条件下， 与之间的条件相关关系。其相关程度用度量，有偏自相关系数其中是滞后期的自相关系数，11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【AR

18、MAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 2 2、时间序列的特性分析、时间序列的特性分析、时间序列的特性分析、时间序列的特性分析（1 1）随机性）随机性）随机性）随机性如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定。在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型的优劣。（2 2）平稳性）平稳性）平稳性）平稳性若时间序列满足1）对任意时间，其均值恒为常数；2）对任意时间和，其自相关系数只与时间间隔有关，而与的起始点无关。那么，这个时间序列就称为平稳时间序列。和1

19、1时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序列的自相关系数自相关系数（3 3）季节性）季节性）季节性）季节性时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等时间序列都具有明显的季节变化.一般地，月度

20、资料的时间序列，其季节周期为12个月；季度资料的时间序列，季节周期为4个季.11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 判断时间序列季节性的标准为：月度数据，考察时的自相关系数是否与0有显著差异；季度数据，考察系数是否与0有显著差异。时的自相关说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则存在季节性.若自相关系数与0无显著不同，实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须事先剔除序列趋势性事先剔除序列趋势性事先剔除序列趋势性事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性识别序列的季节性识别序列的季

21、节性识别序列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误.包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 三、模型的识别与建立三、模型的识别与建立三、模型的识别与建立三、模型的识别与建立在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数以及（消除季节趋势性后的平稳序列）1 1、自相关函数与偏自相关函数、自相关函数与偏自相关函数、自相关函数与偏自相

22、关函数、自相关函数与偏自相关函数（1 1）MAMA（）的自相关与偏自相关函数）的自相关与偏自相关函数自协方差函数自协方差函数是白噪声序列的方差是白噪声序列的方差11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 样本自相关函数样本自相关函数MA（）序列的自相关函数在这种性质称为自相关函数的步截尾性；以后全都是0，随着滞后期这种特性称为偏自相关函数的拖尾性的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，偏自相关函数11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介

23、 （2 2）ARAR（）序列的自相关与偏自相关函数）序列的自相关与偏自相关函数偏自相关函数是步截尾的；自协方差函数满足自相关函数满足它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性（3 3）ARMAARMA（）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 2 2、模型的识别、模型的识别、模型的识别、模型的识别自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.若样本自协方差函数在步截尾，则判断是MA（）序列若样

24、本偏自相关函数在步截尾，则可判断是AR（）序列若，都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定.在，是但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是和的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于和不可能的，的截尾性只能借助于统计手段进行检验和判定。11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 （1）的截尾性判断对于每一个 ，计算（ 一般取左右），考察其中满足或的个数是否为的68.3%或95.5%。如果当

25、时，明显地异于0，而近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，则可近似地认为在步截尾11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 （2）的截尾性判断作如下假设检验：存在某个，使，且统计量表示自由度为的分布的上侧分位数点对于给定的显著性水平，若，则认为样本不是来自AR（）模型；，可认为样本来自AR（）模型。注：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaike信息定阶准则（AIC）11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介

26、简介简介 （3）AIC准则确定模型的阶数AIC定阶准则：是模型的未知参数的总数是用某种方法得到的方差的估计为样本大小，则定义AIC准则函数用AIC准则定阶是指在的一定变化范围内，寻求使得最小的点作为的估计。AR（）模型：ARMA模型：11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 3 3、参数估计、参数估计、参数估计、参数估计在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，这里仅介绍矩估计法（1）AR（）模型白噪声序列的方差的矩估计为11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析

27、模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 （2）MA（）模型（3）ARMA模型的参数矩估计分三步：i）求的估计11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 ii）令，则的自协方差函数的矩估计为iii）把近似看作MA（）序列，利用（2）对MA（）序列的参数估计方法即可11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 4 4、模型检验、模型检验、模型检验、模型检验对于给定的样本数据AIC准则确定了模型的类型和阶数，用矩估

28、计法确定了模型中的参数，从而建立了一个ARMA模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优劣程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过数学方法来检验。，我们通过相关分析法和下面介绍模型拟合的残量自相关检验，即白噪声检验：下面介绍模型拟合的残量自相关检验，即白噪声检验： 对于ARMA模型，应逐步由ARMA（1，1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2，2），依次求出参数估计，对AR（）和MA（）模型，先由和初步定阶，再求参数估计。的截尾性11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 一般地，对ARM

29、A模型取初值和它们均值为0），可递推得到残量估计现作假设检验：（可取它们等于0，因为是来自白噪声的样本令11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 其中取左右。 则当成立时，服从自由度为的分布。对给定的显著性水平，若，则拒绝，即模型与原随机序列之间拟合得不好，则认为模型与原随机序列之间拟合需重新考虑得较好，模型检验被通过。建模；若11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 四、模型的预测四、模型的预测四、模型的预测四、模型的预测若模型经检验

30、是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测.B-J方法采用L步预测，即根据已知个时刻的序列观测值，对未来的个时刻的序列值做出估计，线性最小方差预测是常用的一种方法.误差的方差达到最小.其主要思想是使预测若表示用模型做的L步平稳线性最小方差预测，那么，预测误差并使达到最小.11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 1 1、ARAR（）序列）序列预测模型（1）：的L步预测值为其中（）11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模

31、型模型模型模型】简介简介简介简介 2 2、MAMA（）的）的预测对模型（3）：当时，由于可见所有白噪声的时刻都大于，故与历史取值无关，；从而当时，各步预测值可写成矩阵形式：11时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型时间序列分析模型【ARMAARMA模型模型模型模型】简介简介简介简介 递推时，初值均取为0。22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】题中给出了题中给出了“19952004年长江流域水质报告年长江流域水质报告”中中的主要统计数据和关于的主要统计数据和关于地表水环境

32、质量标准地表水环境质量标准的的国标（国标（GB3838-2002）中）中4个主要项目标准限值个主要项目标准限值（见（见附录附录1），其中），其中I、II、III类为可饮用水类为可饮用水.假如不假如不采取更为有效的治理措施，根据过去采取更为有效的治理措施，根据过去10年的主要统年的主要统计数据（见计数据（见附录附录2），对长江未来水质污染的发展），对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况年的情况.22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM20

33、05A】一、问题分析一、问题分析一、问题分析一、问题分析 为了分析长江水质的发展变化情况，对未来为了分析长江水质的发展变化情况，对未来10年全流域、年全流域、支流、干流中三类水所占的比例做出预测支流、干流中三类水所占的比例做出预测.考虑到若仅用考虑到若仅用10年水年水文年的观测数据来预测后文年的观测数据来预测后10年的数据，显然可利用的数据量太年的数据，显然可利用的数据量太少，所以我们将充分利用枯水期、丰水期和水文年的数据少，所以我们将充分利用枯水期、丰水期和水文年的数据.由于建立时间序列模型需要相等的时间间隔，所以我们将由于建立时间序列模型需要相等的时间间隔，所以我们将一年分为三段，一年分为

34、三段，1-4月、月、5-8月、月、9-12月月.对于每一年，对于每一年，1-4月的平均数据可直接取为枯水期的数据，月的平均数据可直接取为枯水期的数据，5-8月的平均数据可直接取为丰水期的数据，而月的平均数据可直接取为丰水期的数据，而9-12月的数据可月的数据可用用【（水文年（水文年*12-枯水期枯水期*4-丰水期丰水期*4）/4=水文年水文年*3-枯水期枯水期-丰水期丰水期】来估计（具体数据见来估计（具体数据见附录附录3）.我们分别对全流域、干我们分别对全流域、干流、支流来建立时间序列模型，并将水质分为饮用水（流、支流来建立时间序列模型，并将水质分为饮用水（I、II、III类）、污水（类）、污

35、水（IV、V类）和劣类）和劣V类水三类，注意到饮用水的比类水三类，注意到饮用水的比例可由其它两类水的比例推算出来例可由其它两类水的比例推算出来.22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】二、模型假设二、模型假设二、模型假设二、模型假设（2）假设枯水期、丰水期和水文年中，每个月各类水质的百分比不变.（1）问题中所给出的数据能客观反映现实情况；22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM20

36、05A】三、模型建立三、模型建立三、模型建立三、模型建立对于各类水，根据它在各个时期所占的比例，通过作图容易观察发现，时间序列是非平稳的，而通过适当差分则会显示出平稳序列的性质，所以我们将建立自回归移动平均模型ARIMA（）.在实际建模中，考虑到一期的数据应该与前期的数据有关，在实际建模中，考虑到一期的数据应该与前期的数据有关，所以对差分后的平稳序列我们建立所以对差分后的平稳序列我们建立ARMA模型模型.在这里，我们不考虑随机干扰项，即，因此建立ARAR模型模型模型模型仅以预测干流中劣仅以预测干流中劣类水所占比例的类水所占比例的ARIMA模型为例，模型为例，详细叙述一下详细叙述一下ARIMA建

37、模过程。建模过程。22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】11、数据筛选与处理、数据筛选与处理、数据筛选与处理、数据筛选与处理 根据需要，我们将数据筛选并处理得到干流中劣类水所占比例的时间序列：=0，4，-4，0，1.5，-1.5，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，6.9，5.1，5.4，7.9，4.8，13.4，0，0，0，14.2，9.3，3.5，2 2、对序列平稳化、对序列平稳化、对序列平稳化、对序列平稳化观察序列时序图，发现序列有递增趋势，因此，我们对序，得到

38、序列列进行一阶差分22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】0，4，-8，4，1.5，-3，1.5，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，6.9，-1.8，0.3，2.5，-3.1，8.6，-13.4，0，0，14.2，-4.9，-5.8 劣劣劣劣类水所占比例时序图类水所占比例时序图类水所占比例时序图类水所占比例时序图22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】利用公式

39、计算此序列的自相关系数可看出，明显异于0，说明此序列短期内具有很强的相关性因此可初步认为经1阶差分后的序列平稳，即1阶差分后的白噪声检验结果如下：延延迟阶数数 统计量量P P值6 610.7610.760.09600.0960在检验的显著性水平取为0.05的条件下，P值大于0.05，故该差分后序列可视为白噪声序列22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】3 3 3 3、对对序列序列序列序列进进行零均行零均行零均行零均值值化化化化对序列进行零均值化，得到新序列=-0.11667，3.8

40、8333，-8.11667，3.88333，1.38333，-3.11667，1.38333，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667，6.78333，-1.91667，0.18333，2.38333，-3.21667，8.48333，-13.51667，-0.11667，-0.11667，14.08333，-5.01667，-5.9166722长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展

41、趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】4 4、对对序列序列序列序列求求求求样样本自本自本自本自协协方差函数与方差函数与方差函数与方差函数与样样本偏自相关函数本偏自相关函数本偏自相关函数本偏自相关函数 利用（）得样本自协方差函数估计利用，（）计算样本自相关函数通过估计样本偏自相关函数，得到22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】当当时，具有截尾性具有截尾性用AR（3）模型拟合序列模型拟合原序列。对残差序列进行检验，得到，即用ARIMA（3，1，0）残差白噪声残差白噪声

42、检验检验参数参数显显著性著性检验检验延延迟阶迟阶数数 统计统计量量P P值值待估参数待估参数t t统计统计量量P P值值6 63.073.070.38030.3803AR1.1AR1.1-3.16-3.160.00390.003912123.603.600.93600.9360AR1.2AR1.2-2.75-2.750.01600.016018186.806.800.96290.9629AR1.3AR1.3-3.30-3.300.00280.0028拟合检验统计量的概率拟合检验统计量的概率拟合检验统计量的概率拟合检验统计量的概率P P值都显著大于显著性检验水平值都显著大于显著性检验水平值都显著

43、大于显著性检验水平值都显著大于显著性检验水平0.050.05，可，可，可，可认为该残差序列为白噪声序列，认为该残差序列为白噪声序列，认为该残差序列为白噪声序列，认为该残差序列为白噪声序列， 系数显著性检验显示三个参数均系数显著性检验显示三个参数均系数显著性检验显示三个参数均系数显著性检验显示三个参数均显著。从而显著。从而显著。从而显著。从而ARIMAARIMA（3 3，1 1，0 0）模型对该序列建模成功。）模型对该序列建模成功。）模型对该序列建模成功。）模型对该序列建模成功。22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUM

44、CM2005ACUMCM2005A】5 5、模型参数估计、模型参数估计、模型参数估计、模型参数估计通过公式得到与上述参数显著性检验一样的结果：= -3.16，= -2.75，= -3.30，因此ARIMA（3，1，0）模型即为：注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、全流注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、全流注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、全流注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、全流域和支流中的三类水所占比例的时间序列分析模型。域和支流中的三类水所占比例的时间序列分析模型。域和支流中的三类水所占比例的时间序列分析模型。域和支流中的三类水所占比例

45、的时间序列分析模型。 22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】四、模型预测四、模型预测四、模型预测四、模型预测利用上述模型，预测干流中劣类水未来10年所占比例，得到：年份年份月份月份劣劣V V类水水年份年份月份月份劣劣V V类水水200520051-41-40.21110.2111200620061-41-40.22920.22925-85-80.27790.27795-85-80.29300.29309-129-120.27660.27669-129-120.29230.2923

46、200720071-41-40.24450.2445200820081-41-40.25990.25995-85-80.30840.30845-85-80.32380.32389-129-120.30780.30789-129-120.32320.3232200920091-41-40.27530.2753201020101-41-40.29070.29075-85-80.33920.33925-85-80.35460.35469-129-120.33590.33599-129-120.35400.3540201120111-41-40.30610.3061201220121-41-40.32

47、140.32145-85-80.37000.37005-85-80.38540.38549-129-120.36910.36919-129-120.38460.3846201320131-41-40.33680.3368201420141-41-40.35220.35225-85-80.40070.40075-85-80.41610.41619-129-120.40010.40019-129-120.41550.415522长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】五、结果分析五、结果分

48、析五、结果分析五、结果分析在上述模型预测结果中，我们得到的数据为枯水期、丰水期和8-12月的平均值，并不包含水文年的数据，故还需要还原水文年的数据，可以通过公式：水文年=（枯水期+丰水期+8-12月平均值）/3对于三类水所占的比例满足：饮用水+污水+劣V类水=100%.具体预测结果见附录4。从预测结果中可以看出，干流中污水和劣V类水所占的比例只有微小的增长，支流中劣V类水的比例增长速度较快。全流域中劣V类水所占比例增长速度也较快。尽管干流中和全流域中污水所占比例增长并不大，但长期发展下去，全流域和支流中可饮用水的比例将低于50%，而在干流中可饮用水比例也仅仅是略高于50%，若不采取措施防污治污

49、，后果不堪设想！22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】六、模型评价与改进六、模型评价与改进六、模型评价与改进六、模型评价与改进在题目中仅仅给出了10年水文年的观测数据，要用来预测后10年的数据，显然数据量太小。虽然我们经过了数据处理，将数据合理地增加到30个，但是对于利用时间序列分析模型进行短期的预测，数据量仍然显得太少，这样难免导致数据的预测误差较大。但就本题目而言，我们还是得到了较为满意的结果。事实上，我们还可以对数据进一步进行处理，以增加数据量，事实上，我们还可以对数据进一

50、步进行处理，以增加数据量，提高预测的精度。对上述的原始序列提高预测的精度。对上述的原始序列，我们可以在保证，我们可以在保证序列的平稳性的条件下，进行平滑技术处理：序列的平稳性的条件下，进行平滑技术处理：然后与原始序列融合得到一个新的时间序列，新序列的时期然后与原始序列融合得到一个新的时间序列，新序列的时期长度将接近于原始序列的两倍，数据个数大大增多，关键是长度将接近于原始序列的两倍，数据个数大大增多，关键是可以降低预测的误差。可以降低预测的误差。22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005

51、A】22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】22长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】附附录1 1：附表附表: : 地表水地表水环境境质量量标准准（GB3838GB383820022002）中中4 4个主要个主要项目目标准限准限值 单位：位：mg/Lmg/L序序号号 分分 类标准准值 项 目目类类类类类劣劣类1 1溶解氧(DO)7.5（或饱和率90%）6532 02 2高

52、锰酸盐指数(CODMn) 24610153 3氨氮（NH3-N） 0.150.51.01.52.04 4PH值（无量纲）6-922长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】附录2：1995年年-2004年长江流域水质报告年长江流域水质报告【干流劣干流劣V类类】年份时段评价范围评价河长劣类【河 长】劣类【%】年份时段评价范围评价河长劣类【河 长】劣类【%】1995枯水期干流4456002000枯水期干流5285001995丰水期干流44561794.02000丰水期干流5285001995

53、水文年干流4456002000水文年干流5285001996枯水期干流4479002001枯水期干流60124156.91996丰水期干流4479681.52001丰水期干流60123075.11996水文年干流4479002001水文年干流60123495.81997枯水期干流4479002002枯水期干流59834737.91997丰水期干流4479002002丰水期干流59832874.81997水文年干流4479002002水文年干流5983 5218.71998枯水期干流4529002003枯水期干流6226001998丰水期干流4529002003丰水期干流6226001998水文

54、年干流4529002003水文年干流6226001999枯水期干流6136002004枯水期干流634190014.21999丰水期干流6136002004丰水期干流63415909.31999水文年干流6136002004水文年干流63415719.022长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】附录附录3：干流中：干流中劣V类水所占比例（类水所占比例（1/100）年份月份劣V类水年份月份劣V类水19951-4020001-405-84.05-809-12-49-12019961-40

55、20011-46.95-81.55-85.19-12-1.59-125.419971-4020021-47.95-805-84.89-1209-1213.419981-4020031-405-805-809-1209-12019991-4020041-414.25-805-89.39-1209-123.522长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM2005ACUMCM2005A】附录附录4：20052014年的预测数据（年的预测数据（1/100）【干流劣干流劣V类水类水】年份时期劣V类年份时期劣V类2005枯水期21.112010枯水期29.07丰水期27.79丰水期35.46水文年25.52水文年33.312006枯水期22.922011枯水期30.61丰水期29.3丰水期37水文年27.15水文年34.842007枯水期24.452012枯水期32.14丰水期30.84丰水期38.54水文年28.69水文年36.382008枯水期25.992013枯水期33.68丰水期32.38丰水期40.07水文年30.23水文年37.922009枯水期27.532014枯水期35.22丰水期33.92丰水期41.61水文年31.68水文年39.46