2023年《实际问题与反比例函数3》参考教学导案

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1、实际问题与反比例函数(3) 参考教案 2 作者： 日期： 3 / 9 26.2 实际问题与反比例函数(3) 教学目标 一、知识与技能 1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题 2能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题 二、过程与方法 1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 三、情感态度与价值观 1积极参与交流，并积极发表意见 2体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具 教学重点 掌握从物理问题中建构反比例函数模型 教学

2、难点 从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动 1 问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用下面的例子就是其中之一 例 1在某一电路中，保持电压不变，电流 I(安培)和电阻 R(欧姆)成反比例，当电阻 R5 欧姆时，电流 I2 安培 (1)求 I 与 R 之间的函数关系式； 4 / 9 (2)当电流 I0.5 时，求电阻 R 的值 设计意图： 运用反比

3、例函数解决物理学中的一些相关问题， 提高各学科相互之间的综合应用能力 师生行为： 可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用 教师应给“ 学困生” 一点物理学知识的引导 师：从题目中提供的信息看变量 I 与 R 之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I 与 R 的一对对应值)得到字母系数 k 的值 生：(1)解：设 IkR R5，I2，于是 2k5 ，所以 k10，I10R (2)当 I0.5 时，R10I100.5 20(欧姆) 师：很好!“ 给我一个支点，我可以把地球撬动” 这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢? 生：这是古希腊科学家阿基米德的名言 师：

4、 是的 公元前 3 世纪， 古希腊科学家阿基米德发现了著名的“ 杠杆定律” ：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为； 阻力 阻力臂动力 动力臂(如下图) 下面我们就来看一例子 二、讲授新课 活动 2 例 3小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为 1200牛顿和 0.5 米 (1)动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系?当动力臂为 1.5 米时，撬动石头至 5 / 9 少需要多大的力? (2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少? 设计意图： 物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系 因此， 在这儿又一次借助反比例

5、函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用 师生行为： 先由学生根据“ 杠杆定律” 解决上述问题 教师可引导学生揭示“ 杠杆乎衡” 与“ 反比例函数” 之间的关系 教师在此活动中应重点关注： 学生能否主动用“ 杠杆定律” 中杠杆平衡的条件去理解实际问题， 从而建立与反比例函数的关系； 学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径； 学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣 师：“ 撬动石头” 就意味着达到了“ 杠杆平衡” ，因此可用“ 杠杆定律” 来解决此问题 生：解：(1)根据“ 杠杆定律” 有 F l1200 0.5得 F600l 当 l1.5 时，F6001

6、.5 400 因此，撬动石头至少需要 400 牛顿的力 (2)若想使动力 F 不超过题(1)中所用力的一半，即不超过 200 牛，根据“ 杠杆定律” 有 Fl600， l600F 当 F40012 200 时， l600200 3 31.51.5(米) 因此，若想用力不超过400 牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5 米 6 / 9 生：也可用不等式来解，如下： Fl600，F600l 而 F40012 200 时 600l 200 l3 所以 l1.53 1.51.5 即若想用力不超过 400 牛顿的一半，则动力臂至少要加长 1.5 米 生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出 师：很棒

7、!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题： 用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力? 生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为 l，动力为 F，阻力 阻力臂k(常数且 k0)，所以根据“ 杠杆定理” 得 Flk，即 Fkl (k 为常数且 k0) 根据反比例函数的性质，当 kO 时，在第一象限 F 随 l 的增大而减小，即动力臂越长越省力 师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛例如在解决经济预算问题中的应用 活动 3 问题：某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0.550.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年

8、度新增用电量 y(亿度)与(x04)元成反比例又当 x065 元时，y0.8(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价 0.3 元，电价调至 0.6 元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 设计意图： 在生活中各部门， 经常遇到经济预算等问题， 有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题 师生行为： 7 / 9 由学生先独立思考，然后小组内讨论完成 教师应给予“ 学困生” 以一定的帮助 生：解：(1)y 与 x04 成反比例， 设 ykx0.4 (k0) 把 x0.65，y0.8

9、代入 ykx0.4 ，得 k0.650.4 0.8 解得 k0.2， y0.2x0.415x2 y 与 x 之间的函数关系为y15x2 (2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为 (0.60.3)(1y)0.3(115x2 )0.3(110.6 52 )0.3 20.6(亿元) 答：本年度的纯收人为0.6 亿元， 师生共析： (1)由题目提供的信息知 y 与(x0.4)之间是反比例函数关系， 把 x0.4 看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件 x0.65 时，y0.8 得出字母系数的值； (2)纯收入总收入总成本 三、巩固提高 活动 4 一定质量的二氧化碳气体， 其体积 y(m3)是密

10、度 (kg m3)的反比例函数， 请根据下图中的已知条件求出当密度 1.1 kgm3时二氧化碳气体的体积 V 的值 设计意图： 进一步体现物理和反比例函数的关系 师生行为 由学生独立完成，教师讲评 8 / 9 师：若要求出 1.1 kgm3时，V 的值，首先 V 和 的函数关系 生：V 和 的反比例函数关系为：V990 生：当 1.1kgm3根据 V990 ，得 V990 9901.1 900(m3) 所以当密度 1.1 kgm3时二氧化碳气体的气体为 900m3 四、课时小结 活动 5 你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根

11、据解析式解得 设计意图： 这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会， 并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性 师生行为： 学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流 教师组织学生小结 反比例函数与现实生活联系非常紧密， 特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系 五、

12、活动与探究 学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边 y与另一边 x 之间的函数关系式如下图所示 (1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过 40m，那么它的宽应控制在什么范围内? x(m) 10 20 30 40 9 / 9 y(m) 过程：点 A(40，10)在反比例函数图象上说明点 A 的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数 k 的值 结果：(1)绿化带面积为 10 40400(m2) 设该反比例函数的表达式为 ykx ， 图象经过点 A(40，10)把 x40，y10 代入，得 10k40 ，解得，k400 函数表达式为 y400x (2)把 x10，20，30，40 代入表达式中，求得 y 分别为 40，20，403 ，10从图中可以看出。若长不超过 40m，则它的宽应大于等于 10m。