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1、第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*时变情况下，电场和磁场相互关联，构成时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一统一的电磁场的电磁场 时时变变电电场场和和磁磁场场能能量量在在空空间间中中不不断断相相互互转转换换，并并以以电电磁磁波波动动的的形式从一个地方传递到另外一个地方形式从一个地方传递到另外一个地方第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 时变电场和磁场满足的方程时变电场和磁场满足的方程波动方程波动方程 时变电磁场的辅助函数时变电磁场的辅助函数标量电位和矢量磁位标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律时变电磁场的能量守恒定律 正弦规律变化的时变场正弦规律变化的时变场时谐电磁场时谐
2、电磁场 本章主要内容：本章主要内容：1第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.1 波动方程波动方程 波波动动方方程程反反映映了了时时变变电电磁磁场场中中电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量在在空空间间中中传传播时所遵循的规律。波动方程可由麦克斯韦方程组推出。播时所遵循的规律。波动方程可由麦克斯韦方程组推出。 波动方程的建立（无源区）波动方程的建立（无源区） 在无源空间中，电荷和电流处处为零，即在无源空间中，电荷和电流处处为零，即 0 0，J J0 0，电磁场满，电磁场满足的麦克斯韦方程为足的麦克斯韦方程为 均匀无耗媒质均匀无耗媒质中中无源区域无源区域波动方程的推导：波动方程的推导：
3、2第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*无源区电场无源区电场波动方程波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：同理，可以推得无源区磁场波动方程为： 从从上上方方程程可可以以看看出出：时时变变电电磁磁场场的的电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量在在空空间间中中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 通通过过解解波波动动方方程程，可可以以求求出出空空间间中中电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量的的分分布布情情况况。但但需需要要注注意意的的是是：只只有有少少数数特特殊殊情情况况可可以以通通过过直直接接求求解解波波动动方方程程求解。求解
4、。3第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数4.2.1 矢量位和标量位矢量位和标量位令：令： ，可得，可得故：故： 说说明明： 1 1、时时变变场场电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量均均为为时时间间和和空空间间位位置置的的函函数数，对应的矢量位和标量位也为对应的矢量位和标量位也为时间时间和和空间位置空间位置的函数。的函数。时变场位函数同时包括标量位和矢量位时变场位函数同时包括标量位和矢量位 矢量位和标量位的定义矢量位和标量位的定义4第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 不确定性产生原因不确定性产生原因：未规定：未规定 的散度。的散度。
5、满满足足下下列列变变换换关关系系的的两两组组位位函函数数 和和 能能描描述述同同一一个电磁场问题。个电磁场问题。 2 2、由由于于时时变变场场电电场场和和磁磁场场为为统统一一整整体体，因因此此其其对对应应的的标标量量位位和和矢量位也是一个统一的整体矢量位也是一个统一的整体。 位函数的不确定性位函数的不确定性即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。为任意可微函数为任意可微函数5第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 由由于于在在定定义义中中矢矢量量位位函函数数仅仅仅仅确确定定了了其其旋旋度度式式，而而没没有有确确定定散散度
6、度式式，因因此此满满足足定定义义的的矢矢量量位位函函数数有有无无限限多多个个。为为了了使使时时变变电电磁磁场场场场量量和和动动态态位位之之间间满满足足一一一一对对应应关关系系，须须引引入入额额外外的的限限定定条条件件规规范范条条件。件。 对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件 洛伦兹规范条件的引入洛伦兹规范条件的引入思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？6第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.2.2 达朗贝尔方程达朗贝尔方程(4.
7、2.7)(4.2.7)引入洛伦兹规范条件，则方程简化为引入洛伦兹规范条件，则方程简化为达朗贝尔方程达朗贝尔方程(4.2.6)(4.2.6)7第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*关于位函数和达朗贝尔方程的讨论关于位函数和达朗贝尔方程的讨论 引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解：引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解： 原因：原因：1 1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同；、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2 2、矢量位方向与电流元方向相同；、矢量位方向与电流元方向相同； 矢量位和标量位满足达朗贝尔方程，同时也须满足洛伦兹条件矢量位和标量位满足达朗贝尔方程
8、，同时也须满足洛伦兹条件 从从达达朗朗贝贝尔尔方方程程可可知知：电电荷荷是是产产生生标标量量位位的的源源，电电流流是是产产生生矢矢量量位的源位的源 动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的8第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 能能量量守守恒恒定定律律是是一一切切物物质质运运动动过过程程遵遵守守的的普普遍遍规规律律，作作为为特特殊殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 本本节节将将详详细细讨讨论论电电磁磁场场的的能能量量和和能能
9、量量守守恒恒定定律律，引引入入重重要要的的坡坡印印廷廷矢矢量量和和坡坡印印廷廷定定理理，分分析析讨讨论论电电磁磁场场能能量量、电电荷荷电电流流运运动动及及电电磁场做功之间的相互联系。磁场做功之间的相互联系。 9第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.3.1 电磁场能量密度和能流密度电磁场能量密度和能流密度电磁场的电磁场的能量密度能量密度： 电电磁磁场场能能量量的的空空间间分分布布用用能能量量密密度度w w来来描描述述，它它表表示示单单位位体体积积中电磁场的能量中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和，为电场能量和磁场能量之和电场能量密度：电场能量密度：磁场能量密度：磁场能量密度：电
10、磁场能量密度：电磁场能量密度： 电磁场的电磁场的能量流密度能量流密度矢量：矢量： 电电磁磁波波电电磁磁振振荡荡定定向向运运动动伴伴随随电电磁磁场场能能量量移移动动，其其流流动动情情况况用用电电磁磁场场能能量量流流密密度度( (能能流流密密度度)S)S表表示示，其其数数值值为为单单位位时时间间垂垂直直流流过过单位面积的能量单位面积的能量，方向为，方向为能量流动方向能量流动方向10第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.3.2 坡应廷定理和坡印廷矢量坡应廷定理和坡印廷矢量 坡印廷定理的数学推导坡印廷定理的数学推导坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式11第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电
11、磁场与电磁波*将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得坡印廷定理积分形式坡印廷定理积分形式 坡印廷定理的物理意义坡印廷定理的物理意义设设区区域域V V中中电电磁磁场场能能量量随随时时间间减减少少，由由于于能能量量守守恒恒，减减少少的的能能量量可可能通过边界能通过边界 流出，或因对流出，或因对V V中电荷做功而消耗，即中电荷做功而消耗，即 减少量减少量 = = 流出量流出量 + + 消耗量消耗量12第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 坡印廷定理坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积物理意义：单位时间内流入体积V V内的电磁能量等于内的
12、电磁能量等于体积体积V V内增加的电磁能量与体积内增加的电磁能量与体积V V内损耗的电磁能量之和。内损耗的电磁能量之和。 坡印廷矢量（坡印廷矢量（能流密度矢量能流密度矢量） 表流入闭合面表流入闭合面S S的电磁功率，因此的电磁功率，因此 为一与为一与能能量流密度量流密度有关的矢量，称为有关的矢量，称为坡印廷矢量坡印廷矢量. . 定义：坡印廷矢量（用符号定义：坡印廷矢量（用符号 表示）表示）瞬时坡印廷矢量瞬时坡印廷矢量坡印廷适量是描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量坡印廷适量是描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 物理意义：物理意义： 大小表示单位时间内通过大小表示单位时间内通过
13、垂直垂直于能量于能量传输方向的传输方向的单位面积单位面积的电磁能量的电磁能量 方向即为电磁能量传输方向方向即为电磁能量传输方向13第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 上式中坡印廷矢量为时间上式中坡印廷矢量为时间t的函数，表示的函数，表示瞬时瞬时功率流密度。功率流密度。 公式中公式中 表达式应为场量的表达式应为场量的瞬时表达式瞬时表达式关于坡印廷矢量瞬时形式的说明：关于坡印廷矢量瞬时形式的说明： 时变电磁场的平均坡应廷矢量时变电磁场的平均坡应廷矢量 对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个平面的电
14、磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，用用 表示表示，即：即：注：注： 与与时间时间t t无关无关。14第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5 时谐电磁场时谐电磁场 由由傅傅立立叶叶级级数数可可知知：在在线线性性媒媒质质中中，正正弦弦电电磁磁波波可可以以合合成成其其他他形形式式的电磁波。的电磁波。 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则如果场源以一定的角频率随
15、时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频以一定角频率作时谐变化的电磁场率作时谐变化的电磁场，称为，称为时谐电磁场时谐电磁场或正弦电磁场。或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 时时谐谐场场易易于于激激励励，工工程程上上时时谐谐电电磁磁场场应应用用最最多多。广广播播、电电视视和和通通信信等的载波都是时谐电磁场。等的载波都是时谐电磁场。 任任意意的的时时变变场场在在一一定定的的条条件件下下可可通通过过傅傅里里叶叶分分析析方方法法展展开开为为不不同同频频率的时谐场的叠加
16、。率的时谐场的叠加。15第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 采采用用复复数数方方法法表表示示时时谐谐电电磁磁场场，可可使使得得大大多多数数时时谐谐电电磁磁场场问问题题的分析得以简化。的分析得以简化。 时谐场量的实数表示法（瞬时表示）时谐场量的实数表示法（瞬时表示） 设设 是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它与与时时间的关系可以表示成间的关系可以表示成式中：式中：A A0 0为振幅、为振幅、 为初始相位，与坐标有关。为初始相位，与坐标有关。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表
17、示法1 1、实数表示表征场量随时间、空间变化规律，具有实际物理意义。、实数表示表征场量随时间、空间变化规律，具有实际物理意义。 2 2、实数表示时间、空间变量无法分离，数学上处理较复杂。、实数表示时间、空间变量无法分离，数学上处理较复杂。 关于场量实数（瞬时）表示法的说明：关于场量实数（瞬时）表示法的说明：16第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*由复变函数，知：由复变函数，知： ，则：，则： 式中：式中： 时谐场量的复数表示法时谐场量的复数表示法 时谐电磁场场量的复数表示法时谐电磁场场量的复数表示法 在直角坐标系下，时谐电场可表示为：在直角坐标系下，时谐电场可表示为： 式中：式中：
18、 为电场在为电场在x,y,zx,y,z方向分量的幅度方向分量的幅度为电场为电场x,y,zx,y,z分量的初始相位分量的初始相位17第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*式中式中, ,场量上加场量上加点表示该量为复数点表示该量为复数。由前面分析，电场各分量可表示为：由前面分析，电场各分量可表示为：因此时谐电场强度可表示为因此时谐电场强度可表示为18第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 由由于于所所有有场场量量表表达达式式都都有有取取实实部部运运算算，并并都都含含有有 项项，为为简简化化，以上两项作为以上两项作为缺省项缺省项，均不写。故电场的复数表达式为：，均不写。故电场的复
19、数表达式为：同理同理 复数式只是数学表示方式，复数式只是数学表示方式，不代表真实的场不代表真实的场，没有明确物理意义没有明确物理意义。采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化 只有场量的只有场量的瞬时表达形式才代表真实场瞬时表达形式才代表真实场，具有明确的物理意义，具有明确的物理意义19第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量的复数形式：场量的复数形式：场量的瞬时形式场量的瞬时形式： 场量的复数形式转换为实数形式的方法：场量的复数形式转换为实数形式
20、的方法：20第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*例例 已已知知电电场场强强度度为为，其其中中E Exmxm和和 k kz z为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：解：21第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*例例 已已知知电电场场强强度度为为，其其中中E Exmxm和和 k kz z为为实实常数。写出电场强度的瞬时矢量。常数。写出电场强度的瞬时矢量。解解：22第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程组复矢量的麦克斯韦方程组 很明显，对于时谐场很明显，对于时谐场 故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：故由
21、麦克斯韦方程组微分形式，可得： 为了简化书写，约定为了简化书写，约定 写做写做 ，而，而 项则省略不写，则方程变为：项则省略不写，则方程变为：麦克斯韦方程组复数形式麦克斯韦方程组复数形式23第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*对麦克斯韦方程组时谐形式的进一步说明对麦克斯韦方程组时谐形式的进一步说明 方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式（为了简化方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式（为了简化书写而略写）书写而略写） 方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子 为缺省式子为缺省式子, ,有时没有书写出来有时没有书写出来 麦克斯韦方程
22、组时谐形式只能用于时谐场（正弦场）麦克斯韦方程组时谐形式只能用于时谐场（正弦场）24第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.3 复介电常数复介电常数 当当媒媒质质为为非非理理想想介介质质时时，介介质质的的电电导导率率为为不不为为零零的的有有限限值值，此此时时介质存在介质存在欧姆损耗欧姆损耗， 式中：式中：等效复介等效复介电常数电常数 存在欧姆损耗的介质存在欧姆损耗的介质 存在电极化损耗的介质存在电极化损耗的介质等效复介等效复介电常数电常数表征电极表征电极化损耗化损耗表征欧姆表征欧姆损耗损耗 存在电极化损耗和欧姆损耗的介质存在电极化损耗和欧姆损耗的介质25第4章 时变电磁场电磁场
23、与电磁波电磁场与电磁波*电介质欧姆损耗正切角电介质欧姆损耗正切角 定义：定义： 介质损耗角介质损耗角 工程上为了方便工程上为了方便描述导电媒质的损耗特性描述导电媒质的损耗特性，引入，引入媒质损耗正切角媒质损耗正切角的的概念。概念。 电介质极化损耗正切角电介质极化损耗正切角 定义：定义：讨论：讨论：传导电流与位移电流之比。传导电流与位移电流之比。媒质的导电性强弱与信号频媒质的导电性强弱与信号频率有关，是一个率有关，是一个相对相对的概念。的概念。26第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*例例 海海水水电电导导率率 ，相相对对介介电电常常数数 。求求海海水水在在 和和 时的等效复介电常数。
24、时的等效复介电常数。解：解：当当 时时当当 时时27第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程时谐场时谐场所满足的所满足的波动方程波动方程即为亥姆霍兹方程。即为亥姆霍兹方程。 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 令：令： ，则亥姆霍兹方程变为，则亥姆霍兹方程变为 则无源空间的波动方程变为：则无源空间的波动方程变为：28第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波* 说明：说明：1 1、亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）；、亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）；2 2、
25、对损耗媒质，其等效介电常数为复数则：、对损耗媒质，其等效介电常数为复数则：式中：式中： 为复数。为复数。29第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数对时谐场，有对时谐场，有 ，则其辅助为函数可表示为，则其辅助为函数可表示为洛伦兹规范条件变为：洛伦兹规范条件变为：达朗贝尔方程变为：达朗贝尔方程变为：30第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*4.5.6 平均能流密度平均能流密度 对角频率为对角频率为 的时谐场，其周期为：的时谐场，其周期为： 对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：
26、式中：式中： 、 为场量的为场量的复数表达式复数表达式；为对场量为对场量 取复数共轭运算。取复数共轭运算。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，用用Sav，即：即： 对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。31第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*时谐场平均坡印廷矢量的证明时谐场平均坡印廷矢量的证明代入第一式，代入第一式，得证！得证！32第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*例例 已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为求：求：(1)(1)磁场强度；（磁场强度；（2 2）瞬时坡印廷矢量；（）瞬时坡印廷矢量；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量解：解：(1)(1)(2)(2)33第4章 时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波*(3)(3)另解：另解：34
