《弹塑性力学》_浙江大学.ppt

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1、工程弹塑性力学工程弹塑性力学浙江大学浙江大学 建筑工程学院建筑工程学院绪论0.1 课程研究对象、研究任务课程研究对象、研究任务0.2 基本假定基本假定0.3 几个基本概念几个基本概念0.4 参考书目参考书目0.1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学弹塑性力学: :研究可变形固体受到外荷载、温度研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。塑性变形和应力状态的科学。固体力学的一个分支学科固体力学的一个分支学科研究对象研究对象: :对实体结构、板壳结构、杆件的进对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。

2、一步分析。PPP研究方法研究方法: :材料力学、结构力学材料力学、结构力学: :简化的数学模型简化的数学模型研究任务研究任务: :弹塑性力学弹塑性力学: :较精确的数学模型较精确的数学模型建立并给出用材料力学、结构力学方建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。法无法求解的问题的理论和方法。给出初等理论可靠性与精确度的度量。给出初等理论可靠性与精确度的度量。学习目的学习目的: :确定一般工程结构的弹塑性变形与内确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。力的分布规律。确定一般工程结构的承载能力。确定一般工程结构的承载能力。为研究一般工程结构的强度、振动、为研究一般工程结构

3、的强度、振动、稳定性打下理论基础。稳定性打下理论基础。0.2 基本假定基本假定1).1).假定固体材料是连续介质假定固体材料是连续介质连续性假定连续性假定2).2).物体为均匀的物体为均匀的各向同性各向同性的的3).3).物体的变形属于物体的变形属于小变形小变形4).4).物体原来是处于一种物体原来是处于一种无应力无应力的自然状态的自然状态0.3 几个基本概念几个基本概念张量的概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量矢量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够不够的如应力状态、应变状

4、态、惯性矩、弹性模量等张量张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M=rn=3n标量标量:n=0,:n=0,零阶张量零阶张量矢量矢量:n=1,:n=1,一阶张量一阶张量应力应力, ,应变等应变等:n=2,:n=2,二阶张量二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。0.3 几个基本概念几个基本概念为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。下标记号法下标记号法: :不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3)内分别取数1，2，3，N重复出现的下标符号称为哑标号,

5、取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号自由标号: :哑标号哑标号: :0.3 几个基本概念几个基本概念当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。求和约定求和约定: :d dij记号记号：Kroneker-delta记号记号0.3 几个基本概念几个基本概念凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：张量的计算张量的计算: :1 、张量的加减第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之

6、和。2 、张量的乘法张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。3 、张量函数的求导0.4 主要参考书目主要参考书目Foundations of Solid Mechanics1 、Y.C.Fung(冯元桢)2 、杨桂通3 、徐秉业A first course in continuum mechanics 固体力学导论固体力学导论连续介质力学导论连续介质力学导论弹塑性力学弹塑性力学应用弹塑性力学应用弹塑性力学第一章第一章 弹塑性力学基础弹塑性力学基础1.1 应力张量应力张量1.2 偏量应力张量偏量应力张量1.3 应变张量应变张量1.4 应变速率张量应变速率张量1.5 应力、应变应力、应变

7、Lode参数参数1.1 应力张量力学的语言力学的语言yxzO正应力正应力正应力正应力剪应力剪应力剪应力剪应力过过C点可以做无点可以做无穷多个平面穷多个平面K不同的面上的应不同的面上的应力是不同的力是不同的到底如何描绘一到底如何描绘一点处的应力状态点处的应力状态? ?1).1).一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABC1.1 应力张量一点的应力状态一点的应力状态可由过该点的微小可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量应力张量数学上，在坐标变换时，服从一数学上

8、，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的定坐标变换式的九个数所定义的量叫做量叫做二阶张量二阶张量二阶张量二阶张量。用张量下标记号法下标下标1、2、3表示坐标表示坐标x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 应力张量2).2).一点斜面上的应力一点斜面上的应力( (不计体力不计体力) )i ：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。斜截面外法线斜截面外法线n n的方向余弦的方向余弦: :令斜截面令斜截面ABCABC的面积为的面积为1 1(1.3)(1.4)1.1 应力张量斜截面斜截面OABC上的正应力上的正应力:斜截面斜截面OABC上的剪应力上的剪应力:(1

9、.5)(1.6)1.1 应力张量3).3).主应力及其不变量主应力及其不变量主平面主平面: :剪应力等于零的截面剪应力等于零的截面主应力主应力-: :主平面上的正应力主平面上的正应力代入代入采用张量下标记号采用张量下标记号Kroneker delta记号(1.7)(1.8)(1.9)1.1 应力张量d dij记号：记号：Kroneker-delta记号记号方向余弦满足条件：方向余弦满足条件：采用张量表示采用张量表示联合求解联合求解 l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于不全等于0 0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 应力张量联合求解联合求解 l1,l2,l3：行列式展

10、开后得：行列式展开后得：简化后得简化后得(1.14)(1.15)式中式中:是关于是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故主应力大小与坐标选择无关，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必与坐标选择无关。也必与坐标选择无关。1.1 应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：(1.16)主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主剪应力面主剪应力面( 1 )

11、213121311.1 应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：取取主方向为坐标轴取向主方向为坐标轴取向, ,则一点处任一截面上的剪应力的计算式则一点处任一截面上的剪应力的计算式: :消去消去l3：由极值条件由极值条件1.1 应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：第一组解：第一组解：第二组解：第二组解：第三组解：第三组解：它们分别作用在它们分别作用在与相应主方向成与相应主方向成4545 的斜截面上的斜截面上因为：因为：1.1 应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八个面组成

12、的图形，称为八面体八面体。(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体（每个坐标象限1个面）或或(1.20)1.1 应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3八面体面上的正应力为八面体面上的正应力为:八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为：(1.22)平均正应力平均正应力1.1 应力张量例题例题: :已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组

13、应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 代入式(1.14)后得:解解: :解得主应力为解得主应力为:1.2 应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量分解物体的变形物体的变形(1.32)体积改变体积改变形状改变形状改变由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的材料晶格间的移动引起的球应力状态球应力状态/静水压力静水压力弹性性质弹性性质塑性性质塑性性质球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量1.2 应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量

14、分解(1.31)球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力1.2 应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量(1.31)二阶对称张量二阶对称张量其中其中:剪应力分量始剪应力分量始终没有变化终没有变化主偏量应力主偏量应力(1.33)1.2 应力偏量张量证明偏应力状态证明偏应力状态证明偏应力状态证明偏应力状态 的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态 的主方向重合的主方向重合的主方向重合的主方向重合例例:设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：证明：显然

15、，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。(a)若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得：显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。(b)由于:l1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量(1.33)偏应力状态偏应力状态偏应力状态偏应力状态 的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主

16、方向与原应力状态 的主方向一致的主方向一致的主方向一致的主方向一致, , , ,主值为主值为主值为主值为: : : :满足三次代数方程式：满足三次代数方程式：(1.34)式中式中J1,J2,J3为不变量为不变量(1.35)1.2 应力偏量张量(1.40)利用利用J1=0，不变量不变量J2还可写为还可写为:(1.38)1.2 应力偏量张量(1.43)3).3).等效应力等效应力( (应力强度应力强度) )在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力等效应力(1.41)简单拉伸时简单拉伸时: :“等效等效”的命名由此而来。各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说

17、明等效应力与球应力状态无关1.2 应力偏量张量(1.42)4).4).等效剪应力等效剪应力( (剪应力强度剪应力强度) )“等效等效”的命名由此而来。例题：例题：已知结构内某点的应力张量如已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。量应力张量、等效应力及主应力数值。 解：解：解：解：1.2 应力偏量张量等效应力等效应力: :1.2 应力偏量张量关于主应力的方程为关于主应力的方程为: :由主应力求等效应力由主应力求等效应力: :1.2 应力偏量张量1.3 应变张量1).1).一点应变状态一点应变状态位移位移刚性位移刚

18、性位移变形位移变形位移物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。点之间的距离却保持不变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究的相对位置变动情况，也即研究变形位移变形位移位移函数位移函数位置坐标的单值连续函数1.3 应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形当物体在一点处有变形时，小单元体的当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸尺寸(即单元体各棱边的长度即

19、单元体各棱边的长度)及形状及形状(即即单元体各面之间所夹直角单元体各面之间所夹直角)将发生改变。将发生改变。由于变形很微小，可以认为两由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。相差高阶微量，可忽略不计。1.3 应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形B点位移分量点位移分量D点位移分量点位移分量A点位移分量点位移分量xOy的改变量的改变量:1.3 应变张量变形后变形后AB边长度的平方边长度的平方:M点沿点沿X方向上的方向上的线应变线应变:(a)(b)(c)代入代入(a)得得:略去高阶微量略去高阶微量同理，同理，M点沿点沿Y方向

20、方向上的上的线应变线应变:1.3 应变张量同理同理:xOy的改变量，即的改变量，即剪应变剪应变:1.3 应变张量对角线对角线AC线的线的转角转角:刚性转动刚性转动1.3 应变张量(1.44)1).1).一点应变状态一点应变状态工程应变分量：工程应变分量：(几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系)1.3 应变张量(1.45)1).1).一点应变状态一点应变状态受力物体内某点处所取无限多方向上的受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变线应变与与剪应变剪应变( (任意两相任意两相互垂直方向所夹直角的改变量互垂直方向所夹直角的改变量) )的的总和总和，就表示了该点的应变状态。，就表示了该点的应变状

21、态。定义定义: :应变张量应变张量: :(1.46)1.3 应变张量2).2).主应变及其不变量主应变及其不变量由全微分公式由全微分公式: :M点的位移分量点的位移分量N点的位移分量点的位移分量表示刚性转动，不引起应表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。变，计算应变时可忽略。1.3 应变张量在主应变空间中在主应变空间中: :主平面法线方主平面法线方向的线应变向的线应变主应变主应变: :1.3 应变张量类似于应力张量类似于应力张量: : ij ij: : : : 二阶对称张量。主应变二阶对称张量。主应变二阶对称张量。主应变二阶对称张量。主应变 1 1, , 2 2, , 3 3 满足：满足

22、：满足：满足： i i3 3 I I I I1 1 1 1 i i2 2 I I I I2 2 2 2 i i I I I I3 3 3 3 =0 =0 I I I I1 1 1 1、I I I I2 2 2 2 、I I I I3 3 3 3 为应变张量不变量。为应变张量不变量。为应变张量不变量。为应变张量不变量。其中其中: :(1.47)(1.48)平均正应变平均正应变: :1.3 应变张量偏量应变张量偏量应变张量: :(1.52)eij 的主轴方向与ij 的主方向一致，主值为: e1= 1- ， e2= 2- ， e3= 3-满足三次代数方程式：(1.50)(1.51)I I2 2应用较

23、广应用较广, ,又可表达为又可表达为: :1.3 应变张量等效应变等效应变( (应变强度应变强度):):(1.54)等效剪应变等效剪应变( (剪应变强度剪应变强度):):(1.55)1.4 应变速率张量一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则表示质点的位移分量，则:设设应变速率分量应变速率分量为为: :质点的运动速度分量质点的运动速度分量1.4 应变速率张量线应变速率线应变速率在在小变形情况小变形情况下，下，应变速率分量应变速率分量与与应变分量应变分量之间

24、存在有简单关系之间存在有简单关系: :剪剪应应变变速速率率1.4 应变速率张量在在小变形情况小变形情况下的下的应变速率张量应变速率张量: :(1.56)可缩写为可缩写为在一般情况下，应变速率主在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。且在加载过程中发生变化。1.4 应变速率张量应变增量应变增量: :应变增量应变增量由位由位移增量微分得：移增量微分得：由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量

25、用应变增量张量来代替应变率张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。更能表示不受时间参数选择的特点。(1.57)应变微分应变微分由两由两时刻应变差得：时刻应变差得：泰勒级数展开泰勒级数展开高阶微量高阶微量忽略高阶微量忽略高阶微量1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :任一斜面上应力任一斜面上应力位于阴影线内位于阴影线内m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介质中某点的三个主应如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在力的大小为已知，便可以在 - -

26、平面内绘出相应的应力圆。平面内绘出相应的应力圆。1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。1.5 应力和应变的L

27、ode参数若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，则应力，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径直径)则则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变

28、应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 1.5 应力和应变的Lode参数二、二、应力应力Lode参数参数: :几何意义几何意义: :应力圆上应力圆上Q Q2 2A A与与Q Q1 1A A之比，或两内圆直径之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。之差与外圆直径之比。球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常球形应力

29、张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数为此，引进参数Lode参数参数：Lode参数：表征参数：表征Q2在在Q1与与Q3之间的相对位置，反之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。映中间主应力对屈服的贡献。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 应力和应变的Lode参数应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义：1、与、与平均应力无关；平均应力无关；2 2、其、其值确定了应力圆的三个直径之比；值确定了应力圆的三个直径之比；3 3、如果两个应力状态的如果两个应力状态的Lode参数相等

30、，就说明两个应力状态参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同偏量应力张量的形式相同；Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。(1.65)1.5 应力和应变的Lode参数简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数：Q3OQ1Q2AQ1OQ2Q3A单向压缩(1=2=0, 30, 2=3=0) m=1 m=-11.5 应力和应变的Lode参数简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数：Q2OQ1

31、Q3纯剪(10, 2=0, 3=-1): m=01.5 应力和应变的Lode参数为表征偏量应变张量的形式，引入为表征偏量应变张量的形式，引入应变应变Lode参数参数：三、三、应变应变Lode参数参数: :如果两种应变状态的如果两种应变状态的m m 相等，则表明它们所对应的应变相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。几何意义：应变莫尔圆上几何意义：应变莫尔圆上Q2A与与Q1A之比之比(1.66)1.6 弹性力学的基本方程应力分量满足平衡方程：应力分量满足平衡方程：一、平衡方程一、平衡方程(1.67)1.6 弹

32、性力学的基本方程弹性体的应力弹性体的应力-应变关系服从虎克定律应变关系服从虎克定律二、物理方程二、物理方程(1.72)1.6 弹性力学的基本方程 x对对y， y对对x求两次偏导，有：求两次偏导，有：三、应变协调方程三、应变协调方程保证物体在变形后不会出现保证物体在变形后不会出现撕裂撕裂，套叠套叠的现象的现象1.6 弹性力学的基本方程类似可得三维问题的类似可得三维问题的应变协调方程应变协调方程：(1.82)1.6 弹性力学的基本方程例题：例题：设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。解：解：如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程

33、。根据给定的应变分量，式(1.82) 中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为:代入给定的应变分量有:比较两边对应项系数有:所以解为：所以解为：第五章第五章 简单应力状态的弹塑性问题简单应力状态的弹塑性问题5.1 基本实验资料基本实验资料5.2 应力应变的简化模型应力应变的简化模型5.3 应变的表示法应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响加载路径对桁架内应力和应变的影响5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线（1）单向拉伸曲线）单向拉伸曲线

34、123OsaD p e （a）有明显屈服流动阶段有明显屈服流动阶段拉伸试验拉伸试验和和静水压力试验静水压力试验是塑性力学是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。系的建立是以这些实验资料为基础。屈服应力屈服应力（b）无明显屈服流动阶段无明显屈服流动阶段O 0.2D p e CAB0.2%屈服应力屈服应力如如:低碳钢低碳钢,铸铁铸铁,合金钢等合金钢等如如:中碳钢中碳钢,高强度合金钢高强度合金钢,有色金属等有色金属等5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性

35、系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化应变强化(或加工硬化加工硬化)。材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：加载卸载简单拉伸试验的塑性阶段：5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）O拉压应变应变10%时，基本一致；时，基本一致；应变应变 10%时，较大差异。时，较大差异。一般金属的拉伸与压缩曲线比较用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。5.1 基本实验资料一

36、一、应力应力-应变曲线应变曲线（3）反向加载反向加载卸载后反向加载，卸载后反向加载， s sBauschinger效应效应BAsssBBO拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。5.1 基本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线(4) 断裂特性断裂特性伸长率伸长率:标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。截面收缩率截面收缩率: d dk 5%：塑性材料；低碳钢塑性材料；低碳钢d dk=20% 30% d dk 5%：脆性材料。脆性材料。5.1 基本实验资料塑性变形有以下特点：塑性变形有以下特点： (2)、由于应力应变关系的非线性，应力与应变应力与应变间不

37、存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种非单值性非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。 (1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功塑性功具有不可逆性，或称为耗散性耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。 (3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域弹性区域和产生塑性变形的塑性区域塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化分界面也会产生变化。5.1 基本实验资料二、静水压力二、静水压力( (各向均匀受压各向均匀受压) )试验试验(1)、体积变化、体积变化体积应变与压力的关

38、系体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式实验公式)体积压缩模量体积压缩模量派生模量派生模量铜铝铅a7.31x10-713.34x10-723.73x10-7b2.7x10-123.5x10-1217.25x10-12铜：铜：当p1000MPa时，ap7.3110-4，而bp22.710-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。5.1 基本实验资料二、静水压力二、静水压力( (各

39、向均匀受压各向均匀受压) )试验试验(2)、静水压力对屈服极限的影响静水压力对屈服极限的影响BridgmanBridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。5.2 应力应变简化模型一般应力一般应力-应变曲线：应变曲线： =E ， s (屈服后屈服后)选取模型的标准：选取模型的标准：1 1、必须符合材料的实际性质、必须符合材料的实际性质2 2、数学上必须是足够地简单、数学上必

40、须是足够地简单5.2 应力应变简化模型1. 理想弹塑性模型理想弹塑性模型符号函数符号函数:（软钢或强化率较低的材料）（软钢或强化率较低的材料）加载加载:卸载卸载:Oss E 为一个大于或等于零的参数5.2 应力应变简化模型1. 理想弹塑性模型理想弹塑性模型用应变表示的加载准则：用应变表示的加载准则：加载加载:卸载卸载:Oss E符号函数符号函数:公式只包括了材料常数E和 ，故不能描述应力应变曲线的全部特征；在 s处解析式有变化，给具体计算带来困难;理想弹塑性模型抓住了韧韧性材料性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。缺点缺点:优点优点:5.2 应力应变简化模型2. 线性强化弹塑性模型线性强

41、化弹塑性模型（材料有显著强化率）（材料有显著强化率）Oss EE加载加载:卸载卸载:5.2 应力应变简化模型2. 线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型用应变表示的加载准则：用应变表示的加载准则：Oss EE加载加载:卸载卸载:在许多实际工程问题中，弹性应变弹性应变 Pe）（塑性流动阶段）塑性流动阶段）约束塑性变形阶段：约束塑性变形阶段：杆杆2已屈服，杆已屈服，杆1、3仍为弹性仍为弹性塑性流动阶段：塑性流动阶段：3杆均屈服杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载相应的荷载为塑性极限荷载点点A的位移：的位移：(5.38)(5.35)(5.36)(5.37)5.4 理想弹塑性材料的简单桁架弹性与塑性极限荷

42、载（极限位移）的关系：弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载荷载-挠度曲线：挠度曲线：理想弹塑性理想弹塑性线性强化线性强化d d / /d deP/ /PeP1/ /PePs/ /Pe1.01.00 01 11/ 1/cos2 (5.39)5.4 理想弹塑性材料的简单桁架卸载符合弹性规律。设荷载变化为卸载符合弹性规律。设荷载变化为 P ，则由式，则由式(5.33)得得三、卸载三、卸载若加载至若加载至P*（ Pe P*Pe），），此过程仍为弹性过程。这相此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。当于将弹性范围由扩大了。四、重复加载四、重复加载这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为

43、这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态安定状态。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架联立平衡和协调方程可求得联立平衡和协调方程可求得平衡方程与协调方程不变平衡方程与协调方程不变加载过程，加载过程，物理方程改变物理方程改变部分：部分：1. 弹性阶段弹性阶段 (P Pe)：与理想弹塑性相：与理想弹塑性相同同2. 约束塑性变形阶段约束塑性变形阶段(P Pe)：(5.42)(5.43)5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架(杆杆1、3进入屈服进入屈服)3. 塑性流动阶段塑性流动阶段(P Pe)：(5.44)与理想弹塑性材料的比较：与理想弹塑性材料的比较：(5.45)如考虑中等强化情形如考虑

44、中等强化情形:说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架考虑随动强化，加载应力范围为考虑随动强化，加载应力范围为2 s ，即要求，即要求2 2 s，4. 卸载卸载：仍按弹性规律变化仍按弹性规律变化卸载后杆卸载后杆2转为压应力，是否会进入转为压应力，是否会进入压缩塑性状态压缩塑性状态？最大安定荷载最大安定荷载5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架aN1bPN2图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A，在在x=a ( (ab) )处作用集中处作用集中力力P，试求弹性极限荷载试求弹性

45、极限荷载Pe和塑性极限荷载和塑性极限荷载Ps。若加载若加载至至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为分别为:(1):(1)理想弹塑性；理想弹塑性；( (2) )线性强化弹塑性。线性强化弹塑性。例题：例题：解：解：平衡方程：平衡方程：变形协调方程：变形协调方程：5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架(1)(1)理想弹塑性理想弹塑性弹性阶段弹性阶段：代入变形协调方程，可得：代入变形协调方程，可得：联立平衡方程，可得：联立平衡方程，可得：5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架弹塑性阶段弹塑性阶段：由：由 1= s，并利用平衡方程得：，并利用平衡方程得

46、：卸载卸载：加载至加载至Pe P*0杆1，2仍保持塑性状态杆3卸载5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案从从(5.47)(5.47)可得：可得：(5.49)当当 3=-2 s；使使 3=- s时时，杆杆3进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段叠加上初始值后：叠加上初始值后：保持保持 的比例，一直加载到方案一的最终状态的比例，一直加载到方案一的最终状态5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案弹性阶段弹性阶段最大对应的应对应的应力和位移力和位移再继续加载再继续加载5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案对应的应对应的应力和

47、位移力和位移(5.50)第六章第六章 屈服条件和加载条件屈服条件和加载条件6.1 6.1 基本假设基本假设基本假设基本假设6.2 6.2 屈服条件概念屈服条件概念屈服条件概念屈服条件概念6.3 6.3 屈服曲面屈服曲面屈服曲面屈服曲面6.4 6.4 TrescaTresca和和和和MisesMises屈服条件屈服条件屈服条件屈服条件6.5 6.5 TrescaTresca和和和和MisesMises屈服条件的比较屈服条件的比较屈服条件的比较屈服条件的比较6.6 6.6 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证6.7 6.7 加载条件和加载曲面加载条件和加载曲面加

48、载条件和加载曲面加载条件和加载曲面6.8 Mohr-Coulomb6.8 Mohr-Coulomb和和和和Drucker-PragerDrucker-Prager屈服条件屈服条件屈服条件屈服条件6.1 基本假定对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：忽略时间因素的影响忽略时间因素的影响(蠕变、应力松弛等蠕变、应力松弛等) ；连续性假设；连续性假设；静水压力部分只产生弹性的体积变化静水压力部分只产生弹性的体积变化(不影响塑性变形规律不影响塑性变形规律)；在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致；应变特性一致；材

49、料特性符合材料特性符合Drucker公设公设(只考虑稳定材料只考虑稳定材料)；变形规律符合均匀应力应变的实验结果。变形规律符合均匀应力应变的实验结果。 1). 单向拉压应力状态的屈服条件单向拉压应力状态的屈服条件6.2 屈服条件的概念(6.1)(6.2) s：屈服应力屈服应力 2). 复杂复杂应力状态的屈服函数应力状态的屈服函数(6.3)或者或者: :(6.4)应力空间应力空间、应变空间：应变空间：分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态。一点代表一个应力状态或应变状态。应力路径应力路径、应变路径

50、：应变路径：应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。屈服面：屈服面：应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。引入的概念：引入的概念：6.2 屈服条件的概念3). 屈服条件屈服条件/屈服函数屈服函数( (描述屈服面的数学表达式描述屈服面的数学表达式) )：材料处于弹性状态：材料处于弹性状态：材料开始屈服进入塑性状态：材料开始屈服进入塑性状态屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力三个主应力或或应力不变量应力不变量表示：表示：(6.6)(6.7)静水

51、压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力主偏量应力或或其其不变量不变量表示：表示：各向同性材料各向同性材料:(6.8)(6.9)6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间(6.10)(以主应力以主应力 1, , 2, , 3为坐标轴而构成的应力空间为坐标轴而构成的应力空间)OQNP 平面平面L直线直线123任一应力状态任一应力状态静水应力矢量静水应力矢量主偏量应力矢量主偏量应力矢量主应力空间、主应力空间、 L直线、直线、 平面平面与1,2,3轴的夹角相等在主应力空间内，过原点且和三个坐标在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴

52、夹角相等的直线。轴夹角相等的直线。方程：方程： 1= = 2= = 3L直线：直线：主应力空间内过原点且和主应力空间内过原点且和L直线垂直直线垂直的平面。的平面。方程：方程： 1+ + 2+ + 3=0=0 平面：平面：总在平面上6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间即直线方程即直线方程1.1.球应力状态或静水应力状态球应力状态或静水应力状态几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：应力偏量为零，即它的轨迹是经过坐标原点并与l、2、3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线2.2.平均应力为零平均应力为零平均应力为零，即m=0，应力偏量Sij不等于零。3.3.应

53、力偏量为常量应力偏量为常量应力偏量为常量，即SlC1，S2C2，S3C3轨迹是与等倾线平行但不经过坐标原点的直线在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直。6.3 屈服曲面二、屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面屈服曲面 F( 1, , 2, , 3)=0：为一平行为一平行L直线的柱面；直线的柱面；屈服曲线屈服曲线 f(J2, , J3)=0 ：屈服曲面与屈服曲面与 平面的交线平面的交线 对应无静水压力部分的情况。对应无静水压力部分的情况。6.3 屈服曲面三、三、矢量矢量OP在在 平面上的投影平面上的投影Oyx213r30坐标轴坐标轴 1， 2， 3在在 平面上的投影平面

54、上的投影O1、O2、 O3互成互成120120 ；矢量矢量OP在在 平面上的平面上的x，y坐标值坐标值为：为：矢量矢量OP在在 平面上的平面上的极坐标值极坐标值为：为：(6.13)(6.14)(6.15)6.3 屈服曲面由于由于1212矢量与矢量与 平面平行平面平行, ,故故矢量矢量OP在在x,y平面上的平面上的坐标坐标为：为：(6.13)O21312030x坐标变换：坐标变换：6.3 屈服曲面引进极坐标的关系引进极坐标的关系: :可见可见Lode参数为：参数为：(6.14)O21312030x(6.15)(6.16)6.3 屈服曲面几种典型应力状态在几种典型应力状态在 平面上的极坐标值：平面

55、上的极坐标值：(6.17)在纯剪切时：在纯剪切时：在单向拉伸时：在单向拉伸时：在单向压缩时：在单向压缩时：6.3 屈服曲面四、屈服曲面的特征四、屈服曲面的特征纯剪纯拉 平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线(1)、屈服曲线为一屈服曲线为一封闭曲线封闭曲线，原点原点 在曲线内部；在曲线内部；(2)、对各向同性材料，若对各向同性材料，若(S1, , S2, , S3)或或( 1, , 2, , 3)屈服，则各应屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服力分量互换也会屈服，故屈服曲线曲线关于关于 1,2,3轴均对称轴均对称；(3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态若应

56、力状态(S1, , S2, , S3)屈服，则屈服，则( S1, ,S2, , S3)也会屈服，故屈服曲线为也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于关于垂直于 1,2,3轴的直线也对称轴的直线也对称。6.4 Tresca和Mises屈服条件历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设第一个假设：第一个假设：材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即当最大主应力达到当最大主应力达到 s s时，材料即进入塑性状态。时，材料即进入塑性状态。GalilMo在17世纪时提出在各向相等压缩时压应力可以远远超过屈服极限 s s ，而材料并未进

57、入塑性状态，也未破坏。被实验所推翻被实验所推翻原因：原因：第二个假设：第二个假设：最大的主应变能使材料进入塑性状态最大的主应变能使材料进入塑性状态St-Venant提出被实验所推翻被实验所推翻第三个假设：第三个假设：Beltrami提出当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服与实验相抵触与实验相抵触6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件认为最大剪应力达到极限值时开始屈服认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:(6.18)(材料力学的第三强度理论材料力学的第三强度理论)金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力

58、方向的细痕纹(滑移线滑移线)，因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。1864年，年，Tresca作了一系列的作了一系列的挤压实验挤压实验来研究屈服条件：来研究屈服条件：四个强度理论四个强度理论:第一强度理论：第一强度理论：最大拉应力理论最大拉应力理论第二强度理论：第二强度理论：最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论第三强度理论：第三强度理论：最大剪应力理论最大剪应力理论第四强度理论：第四强度理论：形状改变比能理论形状改变比能理论屈服破坏理论屈服破坏理论脆断破坏理论脆断破坏理论6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件 平面上的

59、屈服曲线平面上的屈服曲线在在 平面上，式平面上，式(6.18)可表示为：可表示为：在在 30 30（即（即 1 2 3) 范范围内为一平行围内为一平行y轴的直线，对称拓轴的直线，对称拓展后为一展后为一正六角形正六角形。xy 平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线 (正六角形正六角形)6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件(正六边形柱面正六边形柱面)主应力空间主应力空间内的屈服条件内的屈服条件: 2k 2k2k2k平面应力状态平面应力状态的屈服条件的屈服条件（ 3 3=0=0） :(6.19)(6.20)平面应力的平面应力的Tresca屈服线屈服线6.

60、4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件常数常数K值的确定值的确定:(6.23)Tresca屈服条件的完整表达式屈服条件的完整表达式由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因 1= = s， 2= = 3=0=0， 1 3=0=0，故故由纯剪实验确定：由纯剪实验确定：因因 1= = s， 2=0=0， 3= s， 故故k= = s /2 /2 k= = s s=2=2 s对多数材料只能近似成立对多数材料只能近似成立(6.24)(6.25)6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件(6.27)Tresca六边

61、形的六个顶六边形的六个顶点由实验得到，但点由实验得到，但顶点顶点间的直线是假设间的直线是假设的。的。Mises指出：指出：用连接用连接 平面上的平面上的Tresca六六边形的六个顶点的边形的六个顶点的圆圆来来代代替替原来的原来的六边形六边形，即：，即：Mises屈服条件：屈服条件：(6.26)Mises屈服面屈服面考虑(6.14)式6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件常数常数C的确定：的确定：(6.28)由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因 1= = s， 2= = 3=0=0， 1 3=0=0，故故由纯剪实验确定：由纯剪实验确定：因因

62、1= = s， 2=0=0， 3= s， 故故C= =J2= = s2 2/3 /3C= =J2= = s2 2对多数材料符合较好对多数材料符合较好6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件两种屈服条件的关系：两种屈服条件的关系：(6.29)TrescaTrescaMises圆纯剪纯剪单向拉伸单向拉伸Tresca和和Mises屈服线屈服线若规定若规定简单拉伸简单拉伸时时两种屈服条两种屈服条件重合件重合，则，则Tresca六边形内接于六边形内接于Mises圆，且圆，且若规定若规定纯剪纯剪时时两种屈服条件重两种屈服条件重合合，则，则Tresca六边形外接于

63、六边形外接于Mises圆，且圆，且(6.30)6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件两种屈服条件的关系：两种屈服条件的关系：(6.31)1s2sO平面应力问题的平面应力问题的Tresca和和Mises屈服线屈服线 （主应力平面上）（主应力平面上）在主应力空间中，在主应力空间中，Mises屈服面屈服面将是圆柱面，在将是圆柱面，在 3=0的平面应的平面应力情形力情形,Mises屈服条件可写成屈服条件可写成:Tresca屈服条件内接于屈服条件内接于Mises圆圆从Mises屈服条件可以看出，静水压力状态并不影响材料屈服，而且满足互换原则，因此与实验相符。

64、6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.36)Tresca Tresca 条件条件: :Tresca屈服条件：屈服条件：是基于某种是基于某种韧性金属韧性金属的最大剪应力达到一定值时，的最大剪应力达到一定值时，材料开始进入塑性状态，也就是说材料开始进入塑性状态，也就是说只有最大和最小的主应力对屈服有影只有最大和最小的主应力对屈服有影响响，忽略了中间主应力对屈服的影响。，忽略了中间主应力对屈服的影响。(6.37)纯剪切纯剪切: :(6.38)Tresca Tresca 条件条件: :(6.39)简单拉伸和纯剪时最大剪

65、应力为同样同样的数值6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.41)Mises Mises 屈服条件屈服条件: :(6.40)纯剪切纯剪切: :(6.43)(6.44)基于某种金属屈服时基于某种金属屈服时(6.42)简单拉伸和纯剪时最大剪应力的数值不同不同6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较单向拉伸单向拉伸: :(6.41)纯剪时比较两个剪应力纯剪时比较两个剪应力: :(6.47)两个条件的计算结果相差不大两个条件的计算结果相差不大Tresca Tresca

66、 条件条件: :(6.45)Mises Mises 条件条件: :(6.46)6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较纯剪时纯剪时1/s1 =-22/s-1O-111按最大剪切应力条件计算按最大剪切应力条件计算: :按形变能量条件计算按形变能量条件计算: :Mises条件与条件与Tresca条件的比较条件的比较6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较垂直于轴线的平面与屈服面相交垂直于轴线的平面与屈服面相交: :Mises条件与条件与Tresca条件的比较条件的比较(6.48)TrescaMisesh

67、RO正六边形正六边形TrescaTresca条件是正六边形条件是正六边形: :6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较11 =-22OEFABCDG2G1H1H2-1 =2平面应力状态塑性条件的图形表示平面应力状态塑性条件的图形表示B点和点和E点：点：表示二向等拉或等压表示二向等拉或等压的应力状态的应力状态A、C 、D 、F点：点：表示单向应力状态表示单向应力状态按最大剪切应力条件计算按最大剪切应力条件计算: :按形变能量条件计算按形变能量条件计算: :二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用PPpp设

68、圆筒壁厚为设圆筒壁厚为t, 平均半径为平均半径为r。 trLode参数参数:Mises屈服条件屈服条件:(6.49)6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用Mises屈服条件屈服条件:(6.50)从从Lode参数可得参数可得:(6.51)(6.52)6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用(6.53)代入代入Mises条件条件Mises屈服条件屈服条件:6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用(6.54)Trescda屈服条件屈服条件:Mises

69、屈服条件表示一条抛物线；屈服条件表示一条抛物线；Trescda屈服条件表示平行横坐屈服条件表示平行横坐标的直线标的直线实验证明实验证明Mises屈服条件屈服条件有较好的正确性有较好的正确性6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用PPMM设圆筒壁厚为设圆筒壁厚为t,平平均半径为均半径为a。 ta应力应力:(6.55)主应力主应力:(6.56)6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用(6.57)(6.58)Mises屈服条件屈服条件:Tresca屈服条件屈服条件:Mises屈服条件屈服条件:Tresca屈服

70、条件屈服条件:(6.59)(6.60)6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用实验结果及与两种屈服条件的比较实验结果及与两种屈服条件的比较: :1OTrescaMises实验结果更接近实验结果更接近于于Mises屈服条件屈服条件简单拉伸时两个简单拉伸时两个屈服条件重合屈服条件重合纯剪切时两个屈纯剪切时两个屈服条件相差最大服条件相差最大6.6 屈服条件的实验验证三、应力应变关系的实验验证三、应力应变关系的实验验证0.20.4 0.60.8+1-1O+1 复杂应力状态下如何考虑应力复杂应力状态下如何考虑应力分量与应变分量的关系？分量与应变分量的关系？考

71、虑应力应变的考虑应力应变的LodeLode参数参数应力应力Mohr圆和应圆和应变变Mohr圆相似圆相似由左图相似性可得：由左图相似性可得：应力主轴和应应力主轴和应变主轴一致变主轴一致6.6 屈服条件的实验验证例题：例题：薄壁圆筒受拉力薄壁圆筒受拉力P和扭矩和扭矩M的作用，写出该情况的的作用，写出该情况的Tresca和和Mises屈服条件。屈服条件。若已知若已知r=50mm，t=3mm， s=400MPa，P=150kN， M=9kNm，试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。解：解：先求应力：先求应力：用用Tresca屈服条件判断：屈服条件判

72、断：用用Mises屈服条件判断：屈服条件判断：屈服屈服未屈服未屈服6.7 加载条件和加载曲面应力强化：应力强化：交叉效应：交叉效应：加载条件：加载条件：加载曲面：加载曲面：在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低(Bauschinger(Bauschinger效应效应),),并且还影响剪切屈服应力等的现象。并且还影响剪切屈服应力等的现象。材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不材料经过初次屈服后，后继的屈服条件将与初始条件不同。这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件

73、。同。这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件。应力空间内与加载条件对应的曲面应力空间内与加载条件对应的曲面概念：概念：进一步发生塑性变形的条件：进一步发生塑性变形的条件：理想塑性材料：理想塑性材料：加载面加载面屈服面屈服面加载面还依赖于塑性应变的过程。即它与此刻的ijp状态有关，还依赖于整个应变历史(K)。因此，一般加载面一般加载面为：(6.62)6.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型(6.65)单向拉压情况：单向拉压情况：令令: :(6.63)(6.64)复杂应力状态：复杂应力状态：假定加载面就是屈服面做相似扩大假定加载面就是屈服面做相似扩大应变历史及强化程度的参数应变历

74、史及强化程度的参数6.7 加载条件和加载曲面一一、等向强化模型等向强化模型在在Mises屈服条件下：屈服条件下：(6.66)等效塑性应变增量等效塑性应变增量按按(1.54)式式(6.67)加载面为加载面为(6.68)退化到一维时与退化到一维时与(6.64)一致一致表示成依赖于塑性功的参数：表示成依赖于塑性功的参数：(6.69)6.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型(6.70)推广到复杂应力状态推广到复杂应力状态屈服条件屈服条件:(6.71)表示屈服条件表示屈服条件在在Mises屈服条件下：屈服条件下：(6.72)可根据简单拉伸试验来定可根据简单拉伸试验来定6.7 加载条件和

75、加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型(6.72)在简单拉伸下：在简单拉伸下：式式(6.72)对于线性强化材料对于线性强化材料(6.73)6.7 加载条件和加载曲面二、随动二、随动强化模型强化模型AOO-112初始屈服面初始屈服面一次二次三次后后继继屈屈服服面面两种强化形式两种强化形式Ivey的拉扭实验结果的拉扭实验结果6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件(6.74)粘聚力粘聚力内摩擦角内摩擦角岩石和土质破裂面上的剪应力岩石和土质破裂面上的剪应力破裂面上破裂面上的正应力的正应力OC由左图得由左图得:(6.75

76、)代入代入(6.74)6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件静水应力对屈服条件的影响静水应力对屈服条件的影响(6.75)EODCBAFxy静水应力静水应力( ( 1 1+ + 2 2)/2)/2的函数的函数 平面上的平面上的Mohr-CoulombMohr-Coulomb屈服条件屈服条件在在 平面上可表示为平面上可表示为: :6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件一、一、Mohr-Coulomb屈服条件屈服条件(6.76)EODCBAFxy若若 1 1 2 2 3 3，则求出的图

77、形对应于，则求出的图形对应于3030 3030 6.8 Mohr-Coulomb 和Drucker-Prager屈服条件二、二、Drucker-Prager屈服准则屈服准则(6.77)在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广在一般应力状态下，考虑到静水压力影响的最简单推广形式是形式是Mises条件上加一个静水压力因子。条件上加一个静水压力因子。OO 平面平面主应力空间主应力空间第七章第七章 塑性本构关系塑性本构关系7.1 7.1 弹性本构关系弹性本构关系弹性本构关系弹性本构关系7.2 7.2 塑性全量理论塑性全量理论塑性全量理论塑性全量理论7.3 7.3 DruckerDrucker公

78、设公设公设公设7.4 7.4 加载和卸载准则加载和卸载准则加载和卸载准则加载和卸载准则7.5 7.5 塑性增量理论塑性增量理论塑性增量理论塑性增量理论7.6 7.6 简单加载定律简单加载定律简单加载定律简单加载定律7.0 绪论塑性本构关系塑性本构关系：从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。反映材料进入塑性以后的力学特性。两类塑性本构关系两类塑性本构关系: :全量理论全量理论/形变理论形变理论增量理论增量理论/流动理论流动理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。建立在弹塑性小变形理论

79、上，它建立了应力与应变全量间的关系。描述材料在塑性状态时描述材料在塑性状态时应力与应变速度应力与应变速度或或应变增量之间应变增量之间关系的理论关系的理论均与均与DruckerDrucker公公设有密切关系设有密切关系直角坐标系中的的应力应变表达式直角坐标系中的的应力应变表达式(7.1)弹性模量弹性模量7.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律泊松比泊松比(7.2)7.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义虎克定律(7.2)(7.3)用张量表示：用张量表示：3 3个正应变相加：个正应变相加：(7.4)或或对于不可压缩对于不可压缩固体，固体， =1/2=1/27.1 弹性本构关系-广义虎克定律广义

80、虎克定律(7.5)(7.2)方程互减：方程互减：(7.6)(7.7)以主应力形式表示以主应力形式表示: :应力应力MohrMohr圆和应变圆和应变MohrMohr圆相似，应力圆相似，应力和应变主轴重合。和应变主轴重合。7.1 弹性本构关系(7.8)用应力应变偏量表示：用应力应变偏量表示：(7.9)(7.7)(7.7)代入代入应力偏量分量和应应力偏量分量和应变偏量分量成正比。变偏量分量成正比。形状改变只是由应形状改变只是由应力偏量引起的。力偏量引起的。等效剪应力等效剪应力等效剪应变等效剪应变同理：同理：等效正应力等效正应力, ,式式(1.41)(1.41)等效正应变等效正应变, ,式式(1.54

81、)(1.54)(7.10)7.1 弹性本构关系加载加载卸载卸载(7.11)应力应变增量间满足广义虎克定律应力应变增量间满足广义虎克定律(1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；(2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；(3)、应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4)、等效正应力与等效正应变成比例。7.1 弹性本构关系弹性应变比能弹性应变比能(7.12)单位体积内的弹性应变能单位体积内的弹性应变能体积变形比能体积变形比能形状改变弹性比能形状改变弹性比能成正比成正比Mises屈服条件屈服条件也可称为也可称为最大弹性形变能条件最大弹性形变能条件7.2 塑性全量理论全量理论的假定：全量理

82、论的假定：(7.14)应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。平均应力与平均应变成比例。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等。和塑性变形程度有关7.2 塑性全量理论(7.15)G与材料性质和塑性变形程度有关与材料性质和塑性变形程度有关(7.16)应力偏量分量和

83、应变偏量分量成正比应力偏量分量和应变偏量分量成正比(7.17)7.2 塑性全量理论(7.18)(7.20)(7.19)由式由式(7.17)得得:设物体的体积是不可压缩的，即设物体的体积是不可压缩的，即 =1/2(7.21)7.2 塑性全量理论由式由式(7.17)， (7.20)得得:(7.22)与广义虎克定律与广义虎克定律形式上非常相似形式上非常相似解决具体问题比弹性力学复杂很多解决具体问题比弹性力学复杂很多7.2 塑性全量理论 acbO图图7.1 单向拉伸曲线单向拉伸曲线(7.25)在弹性极限内在弹性极限内复杂应力状态复杂应力状态下下: :(7.26)(7.28)(7.27)在在单向拉伸单向

84、拉伸状态下状态下: :(7.9)形式上非形式上非常相似常相似根据单一曲线假定根据单一曲线假定: :7.2 塑性全量理论(7.28) =1/2由右图几何条件可得由右图几何条件可得: :(7.29) acbO(7.30)空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题7.2 塑性全量理论(7.17)(7.31)(7.32)7.2 塑性全量理论(7.33)总应变总应变=弹性应变弹性应变+塑性应变塑性应变由式由式(7.33)(7.22)7.2 塑性全量理论(7.34)(7.34)或或: :7.2 塑性全量理论理想弹塑性材料理想弹塑性材料E 的表达的表达式式 OA

85、(a) 理想弹塑性材料理想弹塑性材料图图 7.2 理想塑性模型理想塑性模型 E在弹性区域内在弹性区域内(OA)在塑性区域内在塑性区域内(AE)7.2 塑性全量理论线性强化弹塑性材料线性强化弹塑性材料E 的表达的表达式式在塑性区域内在塑性区域内(AE) Oabdc(b) 理想弹塑性强化材料理想弹塑性强化材料图图 7.2 理想塑性模型理想塑性模型 (7.36)这些物理关系对于塑性体或者是这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体对于物理关系是非线性的弹性体在在主动变形时主动变形时都是适用的。都是适用的。7.3 Drucker 公设应力应变曲线形式应力应变曲线形式OOO(a)(b)(c

86、)图图 7.3 应力应变曲线形式应力应变曲线形式应力增加应变减应力增加应变减少少, ,不可能现象不可能现象7.3 Drucker 公设公设的叙述：公设的叙述：考虑某应力循环，开始应力考虑某应力循环，开始应力 0ij在加载面内，然后达到在加载面内，然后达到 ij ，刚好在加载面上，刚好在加载面上，再继续在加载面上加载到再继续在加载面上加载到 ij+ d ij ，在这一阶段，将产生塑性应变，在这一阶段，将产生塑性应变d pij 。最。最后将应力又卸回到后将应力又卸回到 0ij 。若在整个应力循环过程中，附加应力。若在整个应力循环过程中，附加应力 ij- d ij所做的所做的塑性功不小于零，则这种材

87、料就是稳定的。塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。图图 7.4 应力循环路径应力循环路径(7.37)应力循环过程中外载所做的功：应力循环过程中外载所做的功：7.3 Drucker 公设(7.38)判断材料稳定性的条件判断材料稳定性的条件:O图图 7.5 一维的应力循环一维的应力循环因弹性应变在应力循环中可逆因弹性应变在应力循环中可逆(7.39)(7.40)对于稳定材料对于稳定材料阴影面积一定阴影面积一定不会小于零不会小于零7.3 Drucker 公设两个矢量的夹角是锐角。两个矢量的夹角是锐角。O图图 7.6(7.39)(7.41)(7.43)加载面外凸才有可能。加载面外凸才有可能。(7.42

88、)7.3 Drucker 公设塑性应变增量各分量之间的塑性应变增量各分量之间的比例可由比例可由 ij在加载面在加载面 上的上的位置决定，与位置决定，与d ij无关。无关。n图图 7.7(7.44)(7.42)(7.45)只有当应力增量指向加载面只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。的外部时才能产生塑性变形。加载准则加载准则7.4 加载和卸载准则(7.46)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载加载面和屈服面一样加载面和屈服面一样加卸载准则的数学形式加卸载准则的数学形式:弹性状态弹性状态加载加载卸载卸载7.4 加载和卸载准则(7.47)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的

89、加载和卸载在应力空间中的形式在应力空间中的形式:加载加载卸载卸载加载加载图图 7.8卸载卸载由于屈服面不能扩大，由于屈服面不能扩大，d 不能指向屈服面外不能指向屈服面外7.4 加载和卸载准则(7.48)理想塑性材料的加载和卸载理想塑性材料的加载和卸载光滑面交界处的加卸载准则光滑面交界处的加卸载准则:加载加载卸载卸载加载加载卸载卸载加载加载图图 7.9(7.49)加载加载卸载卸载总之，应力增量保持在屈总之，应力增量保持在屈服面上就称为服面上就称为加载加载；返到；返到屈服面以内时就称为屈服面以内时就称为卸载卸载。7.4 加载和卸载准则强化材料的加卸载准则：强化材料的加卸载准则：不同点：加载面允许向

90、外扩张不同点：加载面允许向外扩张(7.50)加载加载卸载卸载中性变载中性变载：相当于应力点沿加：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩载面切向变化，加载面并未扩大的情形。大的情形。卸载卸载加载加载n中性变载中性变载加载曲面加载曲面图图 7.10中性变载中性变载(7.51)加载加载卸载卸载中性变载中性变载数学表达数学表达7.5 理想塑性材料的增量关系(7.52)进入塑性状态的应变增量表达式进入塑性状态的应变增量表达式流动法则流动法则应力应变增量关系应力应变增量关系与屈服条件相联系与屈服条件相联系(7.44)7.5 理想塑性材料的增量关系(7.53)一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法

91、则屈服条件相关连的流动法则(7.54)加上弹性应变增量Prandtl-Reuss关系关系(7.55)Levy-Mises关系关系略去弹性应变略去弹性应变7.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(7.56)(7.57)变换变换7.5 理想塑性材料的增量关系一一、与、与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(7.58)O321图图 7.117.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则(7.59)主应力空间的屈服面主应力空间的屈服面当应力点处在当应力点处在f1=0

92、面上时面上时: :(7.60)当应力点处在当应力点处在f2=0面上时面上时: :(7.61)7.5 理想塑性材料的增量关系二、与二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则当应力点处在当应力点处在f1=0及及 f2=0交点交点上时上时: :(7.62)f1 =0f2 =0n1n2f1 =0f2 =0图图 7.127.12(a)(b)7.6 强化材料的增量关系假设假设: :(7.63)强化模量强化模量(7.64)Mises等向强化模型等向强化模型依赖于加载面的变化规律依赖于加载面的变化规律(7.65)(7.66)(7.67)7.6 强化材料的增量关系(7.67)(7.68)

93、(7.69)自乘自乘自乘自乘7.6 强化材料的增量关系(7.70)(7.71)可由简单拉伸的曲线来确定可由简单拉伸的曲线来确定线性强化时线性强化时: :(7.72)7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载如果应力的加载路径已知如果应力的加载路径已知, ,可以通过对增量应可以通过对增量应力应变的积分力应变的积分, ,得到应力和应变的全量关系得到应力和应变的全量关系(7.73)O321图图 7.13 简单加载简单加载主方向不变主方向不变由由(7.63)(7.63)确定确定与理想塑性的与理想塑性的Prandtl-Reuss关系形式一样关系形式一样7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载(7.

94、74)应力按比例增加应力按比例增加: :令令: :(7.75)7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载应用应用: :(7.76)(7.77)单一曲线假定单一曲线假定: :7.7 简单加载定律一、简单加载一、简单加载全量关系表达式全量关系表达式: :(7.78)(7.79)或者或者: :第八章第八章 理想刚塑性的平面应变问题理想刚塑性的平面应变问题8.1 平面应变问题的基本方程平面应变问题的基本方程8.2 特征线和滑移线特征线和滑移线8.3 滑移线的性质滑移线的性质8.4 塑性区的边界条件塑性区的边界条件8.5 典型的滑移线场典型的滑移线场8.6 滑移线场的数值求解滑移线场的数值求解8.7

95、楔体的单边受压楔体的单边受压8.8 刚性压模的冲压问题刚性压模的冲压问题8.9 圆形切口板条的极限拉力圆形切口板条的极限拉力8.10 板条的抽拉拉板条的抽拉拉-定常塑性流动问题定常塑性流动问题8.1 平面应变问题的基本方程物体的各点位移发生在物体的各点位移发生在xoy平面内：平面内：(8.1)(8.2)(8.3)应变分量为应变分量为: :8.1 平面应变问题的基本方程理想刚塑性材料的总应变分量：理想刚塑性材料的总应变分量：(8.4)(8.5)忽略弹性变形忽略弹性变形流动速度场流动速度场应变率张量应变率张量8.1 平面应变问题的基本方程采用采用Mises屈服条件屈服条件与其相关连的流动法则：与其

96、相关连的流动法则：(8.6)(8.7)中间主应力中间主应力刚塑性情况的刚塑性情况的LevyMises关系关系:8.1 平面应变问题的基本方程考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：(8.8)注意到：注意到：(8.9)塑性区：塑性区：刚性区：刚性区：(8.10)在在塑性区塑性区由由5个方程求个方程求5个未知量个未知量8.1 平面应变问题的基本方程有速度边界条件的求解问题：有速度边界条件的求解问题：(8.11)(8.12)不可压缩条件：不可压缩条件：LevyMises关系：关系：若采用若采用Tresca屈服条件屈服条件，在刚塑性平面应变条件下，在刚塑性平面应

97、变条件下，其表达式与其表达式与Mises屈服条件相同。屈服条件相同。8.1 平面应变问题的基本方程在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：(8.13)图图 8.1 刚塑性交界线刚塑性交界线连续允许有间断交界线两侧都是塑性区的情形：交界线两侧都是塑性区的情形：两侧应力间断值两侧应力间断值8.2 特征线和滑移线(8.14)一一、应力状态分析、应力状态分析O图图 8.2 摩尔图摩尔图塑性区内任一点的应力可写成塑性区内任一点的应力可写成: :若若x,yx,y方向方向为主方向为主方向8.2 特征线和滑移线(8.15)一一、应力状态分析、应力状态分析O图图 8.

98、2 摩尔图摩尔图(8.16)n,tx,y(8.17)X方向是主应力方向8.2 特征线和滑移线一一、应力状态分析、应力状态分析(8.17)任一点的应力状态任一点的应力状态由静水应力由静水应力 与纯剪与纯剪应力应力叠加而成。叠加而成。在与主应力在与主应力 1 1成成角的方向上：角的方向上：(8.18)(8.19)O图图 8.3 微元体上的应力微元体上的应力8.2 特征线和滑移线二、滑移线二、滑移线(8.19)(8.20)代入代入双曲线方程双曲线方程O取活动坐标取活动坐标OsOs1 1s s2 2，s s1 1表示沿的表示沿的L L切线方向，切线方向，s s2 2为沿的为沿的L L法线方向法线方向(

99、8.21)8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:（在（在XYXY平面内平面内, ,线线L L给定了函数给定了函数 、 ）方程组的解为方程组的解为: :(8.20)8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:若若D=0, ,则方程没有唯一解则方程没有唯一解, ,表明已知表明已知L L线一侧导数线一侧导数, ,若无其他条件若无其他条件, ,就不能求出就不能求出L L线另一侧的导数线另一侧的导数, ,具有这种性质的曲线叫做具有这种性质的曲线叫做特征线特征线。若若D0, ,则方程有唯一解。则方程有唯一解。当最大剪应力当最大剪应力 maxmax= = ( ( 1 1- - 3 3)/2= )/2=

100、 k k时，材料进入塑性流动状态。时，材料进入塑性流动状态。塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力线滑动，所以最大剪应力线（线滑动，所以最大剪应力线（ 、 线线）又叫）又叫滑移线滑移线。8.2 特征线和滑移线如坐标轴如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合与滑移线的切线重合:O(8.22)(8.23)积分积分(8.24)写成改变量形式写成改变量形式8.2 特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式(8.25)(8.26)沿特征线的正应变率沿特征线的正应变率等于零，没有伸缩。等于零，没有伸缩。8.2 特

101、征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式(8.27)图图 8.4 速度的坐标变换速度的坐标变换或或(8.28)8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出图图 8.5 压力变化与角度变化之间的关系压力变化与角度变化之间的关系(1)、沿着滑移线的压力变化与滑移线和沿着滑移线的压力变化与滑移线和X轴所成的角度变化成比例，轴所成的角度变化成比例， 滑移线的方向变化得愈大，即滑移线的方向变化得愈大，即( ab)愈大，平均应力的变化也就愈大。愈大，平均应力的变化也就愈大。8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研

102、究得出(8.29)(2)、如果由一条滑移线如果由一条滑移线 l转到另一条滑移线转到另一条滑移线 2 ，则沿任何一，则沿任何一个个 族的滑移线而变化的族的滑移线而变化的 角和压力角和压力 的改变值将保持常数的改变值将保持常数。 。O(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)图图 8.6 滑移线场的单元网格滑移线场的单元网格沿族滑移线沿族滑移线8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(8.30)(8.31)同理同理: :(8.32)如果如果 1 1线沿任意线沿任意 线转到线转到 2 2线线, ,同样可得同样可得: :HenckyHencky第一定理第一定理(8

103、.29) (8.32)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(3)、假定滑移线网格中各点的坐标、假定滑移线网格中各点的坐标(x，y)， 值均为已知，则只值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的要知道滑移线网格中任何一点的 值，就可定出场内各处的值，就可定出场内各处的 值。值。A(已知)BC沿沿 1 1线线: :沿沿 1 1线线: :同理，滑移线场内任何点的同理，滑移线场内任何点的 值均可求出值均可求出。8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Henc

104、ky的研究得出的研究得出设设 线的线段是直线线的线段是直线如果在某些区域中两族滑移线是直线如果在某些区域中两族滑移线是直线, ,则在这种区域则在这种区域中的应力是均匀分布的中的应力是均匀分布的, ,并且参数并且参数C C , , C C 是常数。是常数。(4)、如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的 ， ，C ，C ，以及应力分量，以及应力分量 x， y， xy都是常数。都是常数。8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(5)、如果如果 族族(或或 族族)滑移线的某一线段是直线，则被滑移线的某一线段是直线

105、，则被 族族(或或 族族)滑移线滑移线所切截的所有所切截的所有 (或或 )线的相应线段皆是直线。线的相应线段皆是直线。ABBA图 8.8设设ABAB为直线为直线说明说明A AB B亦亦为直线为直线8.3 滑移线的性质根据根据H.HenckyH.Hencky的研究得出的研究得出(6)、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。曲率半径曲率半径: :(8.33)DBCA图 8.9 正向正向正向正向AB的平行线8.3 滑移线的性质根据根据H.Hencky

106、H.Hencky的研究得出的研究得出(8.34)性质性质2 2和和为常数为常数(8.35)HenckyHencky第二定理第二定理AABPQOB图图 8.10如果塑性状态扩张的足够远，曲率半径最后必须变为零。8.4 塑性区的边界条件(8.36)一、用一、用 、 表示的应力边界条件表示的应力边界条件O图图 8.11 应力边界条件应力边界条件将将x x轴取在轴取在n n轴方向上轴方向上给定给定 n n, , ntnt, , 值值(8.37)(8.38)平均应力的间断值平均应力的间断值: :8.4 塑性区的边界条件二、符号的选择方法二、符号的选择方法图 8.12 平均应力的间断值ABCD图 8.13

107、给定n，n=-nt后,、 的取值需要从整体运动状态来进行判断。例例: :在右边界上在右边界上 n n= = 1 1, , n n=0,=0,取取m=0m=0若若: :AB边拉力边拉力MMMe e，塑性区向截面内扩展，塑性区向截面内扩展: :图图(c)(c)(9.11)弹塑性交界弹塑性交界: :即即: :(9.12)(9.13)(c)(d)9.1 梁的弹塑性分析3 3、MMMMe e，塑性区向截面内扩展，塑性区向截面内扩展: :图图(c)(c)(9.14)4 4、0，截面全部进入塑性状态，截面全部进入塑性状态: :图图(d)(d)常见的截面形状系数常见的截面形状系数: :截面形状系数截面形状系数

108、9.1 梁的弹塑性分析引入无量纲的量引入无量纲的量: :(9.14)(9.16)1.01.51.55图图 9.4简化简化当截面全部进入塑性状态当截面全部进入塑性状态(m1.5)后，后，曲率可以任意增长。这时可将截面看曲率可以任意增长。这时可将截面看作一个铰，称为作一个铰，称为塑性铰塑性铰。塑性铰的待征：塑性铰的待征：(1)、铰上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩。(2)、铰的转角可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致。9.1 梁的弹塑性分析二二、卸载情形卸载情形-残余曲率和参与应力残余曲率和参与应力(9.17)(9.18)(M K完全服从弹性规律完全服从弹性规律)残余曲率：残余曲率：卸载前一时刻的曲

109、率与卸载前一时刻的曲率与M*的关系的关系:卸载过程中的卸载过程中的M-K弹性规律弹性规律:(9.15)9.1 梁的弹塑性分析(9.19)残余应力：残余应力：图图 9.5 梁内的残余应力梁内的残余应力9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析(9.20)A A点点B B点将首先进入塑性：点将首先进入塑性：ABPLPPPPe e后，在后，在x=x= 处梁分为两段考虑，交界线处梁分为两段考虑，交界线为：为：x=x=0 0处的弹性域：处的弹性域：9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析进入塑性区域的梁段占整梁的进入塑性区域的梁段占整梁的1/3固定端

110、的弹性区域完全消失固定端的弹性区域完全消失,Ps,Ps即梁的即梁的极限荷载极限荷载。求挠度：求挠度：9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析曲率方程：曲率方程：悬臂梁达到塑悬臂梁达到塑性极限荷载时，性极限荷载时，挠度还是弹性挠度还是弹性量级的。量级的。9.2 梁和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析M-KM-K曲线假设曲线假设( (图图9.8)9.8)(b)(a)(c)图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁图图 9.8 理想刚塑性模型理想刚塑性模型开始梁内弯矩按弹性超静定梁计算：开始梁内弯矩按弹性超静定梁计算：最大弯矩截面最大弯矩截面A A处：处：9.2 梁

111、和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析(b)(a)(c)图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁最大正弯矩截面最大正弯矩截面B B处：处：点点A A、B B都变成都变成塑性铰塑性铰, ,PsPs是是塑性极限荷载塑性极限荷载对于一个对于一个n次的超静定梁，当梁内出现次的超静定梁，当梁内出现n十十1个塑性铰时，个塑性铰时，就可成为一个几何可变机构，对应的荷载即是极限荷载。就可成为一个几何可变机构，对应的荷载即是极限荷载。9.2 梁和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析(b)(a)(c)图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁1.1.机动法机动法假设可能破损的机构，令外载在这个机构运动过

112、假设可能破损的机构，令外载在这个机构运动过程中所做的功与塑性铰在同一过程中所做的内力程中所做的功与塑性铰在同一过程中所做的内力功相等，可以求得要形成这个机构所需的外载。功相等，可以求得要形成这个机构所需的外载。内力功内力功: :外力功外力功: :内力功内力功= =外力功外力功: :1.1.静力法静力法在弯矩可能是最大的一些截面处，使弯矩达到屈服条件在弯矩可能是最大的一些截面处，使弯矩达到屈服条件M= = Ms，使结构成为一个机构，然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布。使结构成为一个机构，然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布。9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析124

113、35图图 9.9 平面框架平面框架右图是一个平面框架。设各截面的右图是一个平面框架。设各截面的塑性极限弯矩塑性极限弯矩Ms相同，受水平力相同，受水平力3P及竖直力及竖直力2P的作用。求结构能承受的作用。求结构能承受的最大荷载的最大荷载P值。值。9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析(2,3,4)(1,2,4)(1,3,4)(1,2,3)(a)(b)(c)(d)图图 9.10 各种可能的破坏机构各种可能的破坏机构机动法机动法9.2 梁和刚架的极限分析(2,3,4)(1,2,4)(1,3,4)(1,2,3)(a)(b)(c)(d)对机构对机构(a):(a):对机构对机构(b)

114、:(b):对机构对机构(c):(c):对机构对机构(d):(d):取最小的取最小的P P为为PsPs9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析12435静力法静力法先取先取2，3及及4成铰作为机构，按虚功原理得：成铰作为机构，按虚功原理得：点点5处水平力：处水平力：考虑柱考虑柱45的平衡：的平衡：再考虑柱再考虑柱12的平衡：的平衡：违反屈服条件违反屈服条件减小减小P P至原值的至原值的1/121/12结构很安全，不成为机构结构很安全，不成为机构9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析12435取取1，2及及4成铰作为机构：成铰作为机构：考虑柱考虑柱45的平

115、衡：的平衡：没有超过屈服条件没有超过屈服条件按虚功原理：按虚功原理：9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理寻求结构所能承受外力寻求结构所能承受外力P的最大乘子的最大乘子S机动场机动场(运动可能场运动可能场)：是一组满足运动约束条件的位移场是一组满足运动约束条件的位移场*和截和截面转角面转角 i*，并且外力并且外力P在在*上做正功。上做正功。机动乘子：机动乘子：静力场静力场(静力许可场静力许可场)：它是一组满足平衡方程和不违背屈服条件的弯炬分它是一组满足平衡方程和不违背屈服条件的弯炬分布布Mi0，与它平衡的外力为，与它平衡的外力为S0P，S0称为静力乘子。称为静力乘子。真实极限状态的外力真实极限状

116、态的外力SP9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理上限定理上限定理:真实的安全乘子真实的安全乘子S是最小的机动乘子。是最小的机动乘子。下限定理下限定理:真实的安全乘子真实的安全乘子S是最大的静力乘子。是最大的静力乘子。(9.21)如果找到一个乘子既满足机动场，也满足静力场，则上述定理保证如果找到一个乘子既满足机动场，也满足静力场，则上述定理保证它是真实的安全乘子，它是真实的安全乘子，SPSP是极限荷载。否则可以分别求得它的上限是极限荷载。否则可以分别求得它的上限和下限，并改进这些上下限，以得到极限荷载的一个可靠估计。和下限，并改进这些上下限，以得到极限荷载的一个可靠估计。9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理上限定理证明上限定理证明:(9.22)(9.23)以机动场为虚位移，将真实应力和外力场作用在机动场以机动场为虚位移，将真实应力和外力场作用在机动场按虚功原理：按虚功原理：按机动乘子定义：按机动乘子定义：(9.23)-(9.22)：(9.24)9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理下限定理证明下限定理证明:(9.25)(9.26)按虚功原理：按虚功原理：(9.25)-(9.26)：(9.28)以真实位移场为虚位移，将真实应力场和静力以真实位移场为虚位移，将真实应力场和静力应力场分别作用在真实位移场上。应力场分别作用在真实位移场上。(9.27)