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1、微微 分分 几几 何何几何几何学学解析几何微分几何其它几何初等几何用微积分方用微积分方法研究几何法研究几何图形的性质图形的性质包括平面几包括平面几何和立体几何和立体几何何用代数的方用代数的方法研究图形法研究图形的几何性质的几何性质代数几何代数几何分形几何分形几何计算几何计算几何蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如如 a 、 r (u,v)、A 等等粉红色字母代表特殊常数，如圆周率粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p p 和和自然对数的底数自然对数的底数 e 等等黄色字母代表特殊函数（如正弦函数黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq q 等）、特殊空间（
2、如欧氏空间等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面、平面R2 和实数集和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标）、特殊向量（如单位坐标向量，如向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群）或者变换群字母右上角的字母右上角的撇撇号代表对一般参数求导数，号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的右上角或者顶上的圆点圆点代表对弧长参数求代表对弧长参数求导数导数符号说明第一章第一章 预备知识预备知识第二章第二章 曲线论曲线论第三章第三章 曲面的基本理论曲面的基本理论第四章第四章 黎曼曲率张量与黎曼曲率张量与测地线测地线例题选讲例题选讲主目录主目录主目录第一章第一章 约约1616学时学时第二章第二章 约约121
3、2学时学时第三章第三章 约约2424学时学时第四章第四章 约约1818学时学时例题选讲例题选讲 约约2 2学时学时机动机动 约约2 2学时学时总共大约总共大约7474学时学时学习进度表学习进度表学时分配学时分配第一章第一章 预备知识预备知识微分几何微分几何第一章第一章 预备知识预备知识向量代数向量代数向量分析向量分析曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念等距变换等距变换本章补充习题本章补充习题第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面
4、的微分几何时所需要的容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的本章的本章的重点重点是第三节：是第三节：曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念这一这一节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切平面方程平面方程向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉其中拉格朗日公式格朗日公式是这一节的重点是这一节的重点向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解所以本节作为
5、一般了解返回章首1.1向量代数向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计内容：向量积、内积、混合积的性质与计算算重点：拉格朗日公式重点：拉格朗日公式返回章首集合集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 称为三维实向称为三维实向量空间，其元素量空间，其元素 (x, y, z) 叫做一个向量。叫做一个向量。aijkO返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量向量例如例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是是 R3 的三个向量。的三个向量。除了除了 i 、j 、k 这三个向量以外，我们一般用这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希
6、腊字母表示向量，如蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a 、 r 、a a、 b b 等。等。几何上，我们用一个箭几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。端点叫向量的终点。再设再设 a = (x, y, z)，lR，则，则 l 与与 a 的的数乘数乘定义为定义为 la = lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).设设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们则它们的的和和定义为定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1
7、+ z2). a1 a2 a1+a2a la 返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -线性运算线性运算设设 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) ，则任意，则任意向量向量 a = (x, y, z) 可表示为可表示为 a = xi + yj + zk（如（如图）图）aijkOzkyjxixi+yj= xi+yj+zk返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量向量设设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是是 R3 中的两个中的两个向量，它们的向量，它们的内积内积定义为定义为a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2内积
8、具有如下性质：内积具有如下性质：正定性正定性a a 0，等式成立当且仅当，等式成立当且仅当 a = 0；对称性对称性a b = b a；线性性线性性a (kb + hc) = ka b + ha c向量向量 a 的长度为的长度为 |a| = (a a)1/2；长度为长度为 1 的向量叫的向量叫单位向量单位向量返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -内积内积1.11.1 向量代数向量代数- -两个不等式两个不等式定理定理. . 对任意的两个向量对任意的两个向量 a、bR3 有下面有下面两个不等式成立：两个不等式成立：许瓦滋不等式许瓦滋不等式a b |a| |b|闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等
9、式|a + b| |a| + |b|这两个不等式中的等式成立的充分必要条这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是件是 ab返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -两向量的夹角两向量的夹角向量向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为如果两个向量的夹角是如果两个向量的夹角是 p p/2/2，就称这两个，就称这两个向量相互向量相互垂直垂直或或正交正交因此两向量正交的充因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零分必要条件是它们的内积为零由许瓦兹不等式可知由许瓦兹不等式可知 | cosq q | 1. .返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -距离距离两个向量两个向量 a、b 作为作为 R3 的点
10、，它们之间的的点，它们之间的距离距离定义为定义为 d(a,b) = |a b|在在 R3 上装备上装备了这样的距离函数之后就叫了这样的距离函数之后就叫欧氏空间欧氏空间距离具有如下性质：距离具有如下性质： 正定性正定性d(a, b) 0，等式成立当且仅当，等式成立当且仅当 a = b； 对称性对称性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等式三角不等式d(a, b) d(a, c) + d(c, b)返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积向量积ababq q伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量向量 a 朝向量朝向量 b 旋转一个较小的角
11、度（旋转一个较小的角度（小于小于180180 ）到达）到达 b，则大拇指所指的方向就是，则大拇指所指的方向就是 ab 的方向的方向（如图）（如图）设向量设向量 a、b 的夹角为的夹角为 q q，则它们的则它们的向量积向量积（也叫（也叫叉积叉积）ab 是这样一个向量，其长度是这样一个向量，其长度为为 |ab| = |a| |b| sinq q，方向满足右手法则：，方向满足右手法则：返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积的性质根据向量积的定义，我们有根据向量积的定义，我们有ij = k, jk = i, ki = j.反交换律：反交换律：ab = ba（见下图）（见下图）分配律：分配律
12、：a (b + c) = ab + ac.abababba返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积的计算公式向量积的计算公式 注意：注意：| | ab | | 等于由等于由 a 和和 b 张成的平行张成的平行四边形的面积四边形的面积（如图） 设设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是是 R3 中的两个中的两个向量，则有：向量，则有：abq q|a|sinq q|a| |b| sinq q= =| |ab| | 返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -混合积混合积三个向量三个向量 a、b、c 的的混合积混合积定义为定义为 (a, b, c) = (ab) c
13、向量的混合积满足轮换不变性：向量的混合积满足轮换不变性：(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b).向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如向量的位置改变混合积的符号，如 (a, b, c) = (c, b, a)，等等，等等. .返回章首 注意：注意：| |(a, b, c)| | 等于由向量等于由向量 a、b、c 张成张成的平行四面体的体积的平行四面体的体积 （如图）（如图）bacq q| |ab| | q q| |c| |cosq q ab | |(a, b, c)| | = |(ab) c|=| |a
14、b| | | |c| |cosq q=平行四面体的体积平行四面体的体积返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -混合积的几何意义混合积的几何意义1.11.1 向量代数向量代数- -混合积的计算公式混合积的计算公式设设 ai = (xi , yi , zi)（ i = 1, 2, 3 ）是是 R3 中的三中的三个向量，则有：个向量，则有：两个向量垂直的充分必要条件是它们的内两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零要条件是它们的混合积
15、为零返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -拉格朗日公式拉格朗日公式设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则特别地有返回章首看证明练习题练习题1证明证明 (ab)c = (a c) b (b c) a （提示：（提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式用分量验证，并由此证明拉格朗日公式返回章首1.21.2向量分析向量分析内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则重点：链式法则重点：链式法则返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函数的极限向量函数的极限设设 r(t) 是一个向量函数，是一个向量函数，a
16、 是常向量，如果对是常向量，如果对任意的任意的 e e 0，存在，存在 d d 0，使得当，使得当 0 |t t0| d d 时，时，|r(t) a| e e 成立，则称成立，则称 a 是是 r(t) 当当 t 趋趋向于向于 t0 时的时的极限极限，记为，记为 , , 或者记或者记为为 r(t)a ( (当当 tt0) ) 一元向量函数是形如一元向量函数是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) 的向量，其中的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的是普通的一元一元函数函数，叫该向量函数的，叫该向量函数的分量函数分量函数返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向
17、量函数极限的计算向量函数极限的计算这个定理表明这个定理表明对向量函数求极限就是对它的对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限每个分量求极限这样，向量函数的极限就转这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限化成普通函数的极限定理定理. . 设设 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a = (x0, y0, z0) ，则则当且仅当当且仅当返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函数的极限的性质向量函数的极限的性质推论推论. . （极限的运算性质极限的运算性质）设当设当 tt0 时，时，有有 r(t) a ，s(t) b ，l(t) c ，则我们，则我们有：有：r(t)s(t)
18、 ab，l(t)r(t) car(t) s(t) a br(t)s(t) ab返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函数的连续性向量函数的连续性如果当如果当 t t0 时有时有 r(t) r(t0) 成立，则称成立，则称向量函数向量函数 r(t) 在在 t0 处处连续连续；如果；如果 r(t) 在它在它的定义域内的每一点都连续，则称的定义域内的每一点都连续，则称 r(t) 是是连续函数连续函数连续函数的和、差、积（内积、向量积、连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的混合积、数乘）是连续的r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在在 t0 处连续的充分必要
19、处连续的充分必要条件是每个分量条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在都在 t0 处处连续连续返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -一元向量函数的导数一元向量函数的导数显然，若显然，若 r(t) 在一点在一点 t0 处可导，则它在该处可导，则它在该点处必定连续点处必定连续存在，则称向量函数存在，则称向量函数 r(t) 在在 t0 处可导，而该处可导，而该极限就叫极限就叫 r(t) 在在 t0 处的处的导数导数，记为，记为 r (t0)如如果果 r(t) 在它的定义域内处处可导，则称在它的定义域内处处可导，则称 r(t) 可导，此时可导，此时 r (t) 叫叫 r(t) 的的导函
20、数导函数（也简称导（也简称导数）数）设设 r(t) 是一元向量函数如果极限是一元向量函数如果极限返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函数导数的性质向量函数导数的性质向量函数向量函数 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 的导数为的导数为 r(t) = (x(t), y(t), z(t)设设 l 是普通函数，是普通函数，r、s、u 都是向量函数，都是向量函数，则则 (lr) = lr + lr； (rs) = r s； (r s) = r s + r s； (rs) = rs + rs； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u )返回章首
21、 可导的向量函数可导的向量函数 r(t) 具有固定长度的充要条具有固定长度的充要条件是件是 r (t) 垂直于垂直于 r(t) 可导的向量函数可导的向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条具有固定方向的充要条件是件是 r (t) 平行于平行于 r(t)1.21.2 向量分析向量分析- -具有固定长度和固定方向的向量函数具有固定长度和固定方向的向量函数返回章首看证明看证明1.21.2 向量分析向量分析- -一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则定理定理. . （一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则）设设 r(u) 可微的向量函数，可微的向量函数，u = u(t) 是可微的普是可微的
22、普通函数，则复合函数通函数，则复合函数 r(t) = r(u(t) 也可微，也可微，并且并且返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函数的偏导数二元向量函数的偏导数设设 r(u,v) 是二元向量函数，如果极限是二元向量函数，如果极限存在，则称它为函数存在，则称它为函数 r(u,v) 在点在点 (u0,v0) 处关处关于于 u 的的偏导数偏导数，记为，记为 ru(u0,v0)；同样，我们；同样，我们可以定义关于可以定义关于 v 的偏导数的偏导数 rv(u0,v0)二元向量函数二元向量函数是形如是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) 的向量，其中的向量
23、，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通是普通的二元函数的二元函数返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函数的微分二元向量函数的微分返回章首设设 r(u,v) 是二元向量函数，令是二元向量函数，令D Dr = r(u0 + D Du, v0 + D Dv) r(u0, v0).如果存在向量如果存在向量 a、b 使使D Dr = aD Du + bD Dv + o(D Du)2 + (D Dv)2 1/2,则称则称 r(u,v) ) 在点在点 (u0,v0) 处处可微可微，而而 aD Du + bD Dv就叫就叫 r(u,v) 在点在点 (u0,v0) 处的处的微分
24、微分，记为，记为 dr(u0,v0) = aD Du + bD Dvr 的微分简记为的微分简记为 dr = aD Du + bD Dv 或或 dr = adu + bdv.定理定理. 如果如果 r 是可微向量函数，则是可微向量函数，则 dr = rudu + rvdv.返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -微分的计算微分的计算1.21.2 向量分析向量分析- -二元向量函数的链式法则二元向量函数的链式法则定理定理. （链式法则链式法则）设设 r(u,v) 可微如果可微如果 u = u(s,t) 和和 v = v(s,t) 有连续偏导数，则有连续偏导数，则返回章首1.21.2 向量分析向量
25、分析- -向量函数的积分向量函数的积分其中其中 a = t0 t1 tk-1 tk = b 是区间是区间 a, b 的分点，的分点，xi 是区间是区间 (ti-1, ti) 内任一点，内任一点， l lk 是是定义如下：定义如下： 向量函数向量函数 r(t) 在区间在区间 a,b 上的上的积分积分定义为：定义为：返回章首向量函数的积分就是将其每个分量进行积分向量函数的积分就是将其每个分量进行积分定理定理. 设设 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k，则有，则有 返回章首1.21.2 向量分析向量分析- -向量函数积分的计算向量函数积分的计算1.21.2 向量分析向量分析-
26、-向量函数的积分的性质向量函数的积分的性质 设设 r(t)、s(t) 是向量函数，是向量函数，c 是常向量，则有是常向量，则有（ c 为常数）为常数）返回章首（ c 为常向量）为常向量）（ c 为常向量）为常向量）练习题练习题1已知已知 r (t) = a（ a 为常向量），求为常向量），求 r(t)2已知已知 r (t) = ta，（，（ a 为常向量），求为常向量），求 r(t)返回章首1.31.3曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念内容：曲线的切线与法平面、曲面的法线内容：曲线的切线与法平面、曲面的法线与切平面、曲线和曲面的参数变换、曲线与切平面、曲线和曲面的参数变换、曲线的弧长等的弧长等重
27、点：切线、法线、切平面、法平面的方重点：切线、法线、切平面、法平面的方程程返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲线曲线一元向量函数一元向量函数 r(t) 所描绘的图形所描绘的图形 C 叫叫曲线曲线，r(t)叫曲线叫曲线 C 的的参数化参数化，或者叫曲线的或者叫曲线的向量函向量函数数，t 叫曲线的叫曲线的参数参数曲线曲线 C 连同它的参数化连同它的参数化 r(t) 一起叫一起叫参数曲线参数曲线参数曲线用参数曲线用 C : r = r(t) 表示表示如果对某个如果对某个 t0 使得使得 r(t0) 0，就称，就称 r(t0)（或者简称（或者简称 t0）是曲）是曲线的线的正则
28、点正则点如果曲线上处处是正则点，就称如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是该曲线是正则曲线正则曲线，相应的参数叫，相应的参数叫正则参数正则参数今后为了简便，我们把今后为了简便，我们把“参数曲线参数曲线”简称为简称为“曲线曲线”；把把 R2 中的曲线叫平面曲线，把中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线中的曲线叫空间曲线返回章首圆弧圆弧. 曲线曲线 C: r = (cost, sint), t(0, 2p p) 是正则是正则曲线，它是一条半径为曲线，它是一条半径为 1 的的 圆弧圆弧（如图）（如图）返回章首tOcostsint1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲线的例子圆
29、弧曲线的例子圆弧 ( cost, sint ) 1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲线的例子抛物线曲线的例子抛物线抛物线抛物线. 曲线曲线 C: r = (x, x2), x(, +) 也也是一条正则曲线，它是是一条正则曲线，它是抛物线抛物线返回章首圆柱螺线圆柱螺线. 曲线曲线 C: r = (a cost, a sint, bt), t (,+) 也是一条正则曲线，它是缠绕在半径也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为为 a 的圆柱面的圆柱面 x2 + y2 = a2 上的一条上的一条圆柱螺旋圆柱螺旋线线返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲线的例子曲线的
30、例子圆柱螺线圆柱螺线r1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面曲面二元向量函数二元向量函数 r(u,v) 所描绘的图形所描绘的图形 S 叫叫曲曲面面， r(u,v) 就叫曲面就叫曲面 S 的的参数化参数化，也叫曲也叫曲面的面的位置向量位置向量， 或者叫曲面的或者叫曲面的向量函数向量函数，u 和和 v 都叫曲面的都叫曲面的参数参数曲面曲面 S 连同它的连同它的参数化参数化 r(u,v) 一起叫一起叫参数曲面参数曲面返回章首SO参数曲面用参数曲面用 S: r = r(u,v) 表示表示设设 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)，则则 x = x(u,v)
31、, y = y(u,v), z = z(u,v) 就是曲面的就是曲面的参数方程参数方程返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面的参数方程1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -正则曲面正则曲面设曲面设曲面 S: r = r ( u , v ). 如果如果 ru ( u0 , v0 ) 与与 rv (u0 , v0) 线性无关，就称线性无关，就称 r (u0 , v0) 是曲面是曲面的的正则点正则点如果曲面上的所有点都是正则如果曲面上的所有点都是正则点，就称该曲面是点，就称该曲面是正则曲面正则曲面，相应的参数，相应的参数叫叫正则参数正则参数曲面曲面 S: r
32、= r (u , v) 是正则曲面的充分必要是正则曲面的充分必要条件是条件是 rurv 0.返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -正则曲面的例子平面正则曲面的例子平面平面平面. 设设 a = (a1, a2, a3) 是是 R3 的一个固定的非的一个固定的非零向量，零向量，r0 = (x0, y0, z0) 是曲面是曲面 S: r = r(u,v) 上的一个定点，上的一个定点，r = (x, y, z) 是该曲面上的动是该曲面上的动点如果点如果 (r r0) a = 0，则该曲面是以，则该曲面是以 a 为为法向量的平面该平面可表示成如下法向量的平面该平面可表示成如下点法式
33、点法式方程方程：a1(x x0) + a2(y y0) + a3(z z0) = 0.返回章首Or0rr r0aS(r r0) a = 0圆柱面圆柱面. 半径为半径为 R，中心轴为中心轴为 z-轴的圆柱面的轴的圆柱面的向量函数为向量函数为 r = (Rcosq q, Rsinq q, z) , 其中其中 0 q q 2p p, a z b.返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面的例子圆柱面曲面的例子圆柱面1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面的例子球面曲面的例子球面球面球面. 半径为半径为 R，中心为原点的球面的向量中心为原点的球面的向量函数为函数为
34、r = (Rcosj j cosq q, Rcosj j sinq q, Rsinj j), p p/2 j j p p/2, 0 q q 2p p.返回章首旋转曲面旋转曲面. 考虑考虑 Oxz 平面上的平面上的曲线曲线 C: x = j j (t), z = y y(t)，a t b 绕绕 z 轴旋转一周得到的曲面轴旋转一周得到的曲面叫旋转曲面，其向量函数为：叫旋转曲面，其向量函数为：r = (j j(t)cosq q, j j(t)sinq q, y y(t),a t b, 0 q q 0 ，所以由反函数定理，所以由反函数定理，s 有有反函数反函数t = t(s)代入曲线的向量函数就得到代
35、入曲线的向量函数就得到了以弧长为参数的向量函数了以弧长为参数的向量函数 C: r = r(s)正则曲线总可以经过重新参数化，将其参正则曲线总可以经过重新参数化，将其参数变成弧长参数数变成弧长参数曲线的弧长参数也叫曲线的弧长参数也叫自然参数自然参数返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -自然参数自然参数因为弧长函数可以取负值，所以弧长参数也因为弧长函数可以取负值，所以弧长参数也可以为负值可以为负值弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个常数常数关于弧长参数，我们用关于弧长参数，我们用 r 表示表示 r 对对 s 的导数的导数 r 是单位向量
36、是单位向量返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面的重新参数化曲面的重新参数化设设 S: r = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) 是一张曲面，是一张曲面，(u,v)U ，其中其中 U 是是 R2 的开区域设的开区域设 V 是是 R2 的另一个开区域，的另一个开区域，f f : VU 是一个光滑同是一个光滑同胚（即双方光滑的映射），则称胚（即双方光滑的映射），则称 r = r f f 是是曲面曲面 S 的的重新参数化重新参数化 ，f f -1:(u,v)(u, v) 和和 f f :(u, v)(u,v) 都叫曲面的都叫曲面的参数变换参数变换定理定理.
37、 正则曲面的切空间和法线都与曲面参正则曲面的切空间和法线都与曲面参数的选取无关数的选取无关返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念- -曲面的曲面的正反向参数变换正反向参数变换如果如果 (u,v) (u,v) 是正向参数变换是正向参数变换，则，则 n(u,v) = n(u,v)；如果；如果 (u,v) (u,v) 是反向参数变换是反向参数变换，则则 n(u,v) = n(u,v)如果参数变换的雅可比行列式大于零如果参数变换的雅可比行列式大于零，则称，则称此参数变换此参数变换为为正向参数变换正向参数变换； 如果参数变换的如果参数变换的Jacobi行列式小于零，此时的参数变换叫行列式
38、小于零，此时的参数变换叫反向反向参数变换参数变换下面的下面的向量向量 n 叫曲面叫曲面 S: r = r(u,v) 的的单位法单位法向量向量：返回章首内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式达式重点：等距变换的解析表达式重点：等距变换的解析表达式1.4 1.4 等距变换等距变换返回章首1.41.4等距变换等距变换- -定义定义设设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是是 R3 中的任中的任意两点，它们之间的距离为意两点，它们之间的距离为如果如果 T: R3 R3 是一一对应，且是一一对应，且对任意对任意 a、b R3 有
39、有 d(a, b) = d(T(a), T(b) )，则称则称 T 是是 R3 的的等距变换等距变换，也叫，也叫合同变换合同变换、保长变换保长变换或或欧氏欧氏变换变换返回章首1.41.4等距变换等距变换- -正交矩阵正交矩阵如果一个如果一个 3 阶矩阵阶矩阵 T 满足满足 TT t = E ，则，则 T 是是一个一个 3 阶正交矩阵，其中阶正交矩阵，其中 T t 表示表示 T 的转置矩的转置矩阵，阵，E 表示表示 3 阶单位矩阵所有阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫关于矩阵的乘法构成群，叫三阶三阶正交矩阵群，正交矩阵群，记为记为 O(3) 由线性代数知，对任意由线
40、性代数知，对任意 3 阶矩阵阶矩阵 A 以及任以及任意的向量意的向量 a、b R3，有，有 (aA) b = a (bAt)，这里，这里，aA 表示表示 13 矩阵矩阵 a 与与 33 矩阵矩阵 A 的积的积， bAt 等也作同样的解释等也作同样的解释返回章首1.41.4等距变换等距变换- -解析表达式解析表达式定理定理. 变换变换 T: R3 R3 是等距变换的充要条是等距变换的充要条件是存在件是存在 TO(3) 以及以及 pR3，使，使 T(r) = rT + p 对任意的对任意的 r = (x, y, z)R3 成立成立看证明看证明返回章首1.41.4等距变换等距变换- -等距变换群等距
41、变换群欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫构成一个群，叫等距变换群等距变换群上面的定理说明等距变换一定是形如上面的定理说明等距变换一定是形如 rT + p 的变换，并且的变换，并且TO(3) ，因此因此 T 的行列式的行列式等于等于 1 当当 T 的行列式等于的行列式等于 +1 时，对应的等距变换时，对应的等距变换叫叫刚体运动刚体运动，简称，简称运动运动；当；当 T 的行列式等于的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫时，对应的等距变换叫反向刚体运动反向刚体运动刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫叫运
42、动群运动群返回章首1.41.4等距变换等距变换- -切向量切向量设设 PR3，C 是过是过 P 点的曲线，我们把点的曲线，我们把 C 在在 P 点的切向量叫点的切向量叫 R3 在在 P 点的点的切向量切向量过过 P 点点可以作很多曲线，因此就有很多切向量可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在在 P 点的切向量的全体组成的集合记为点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做，叫做 R3 在在 P 点的点的切空间切空间注意到注意到 R3 在在 P 点的任一切向量是某条过点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以点的曲线在该点的切向量，所以对任意对任意 vTP R3 有如下形
43、式有如下形式 v = r (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) 切向量也可以看成是切向量也可以看成是 R3 的点，这样，的点，这样，R3 与与 TP R3 就自然等同起来了就自然等同起来了返回章首1.41.4等距变换等距变换- -幺正标架幺正标架R3 的一个的一个标架标架 P; e1, e2, e3 是由是由 R3 的一个的一个点点 P（叫标架的原点）和（叫标架的原点）和 P 点的点的 3 个线性无关个线性无关的有序切向量的有序切向量 e1, e2, e3 所构成如果这三个切所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架向量是两两正交的单位向量，
44、则称相应的标架为为正交标架正交标架或或幺正标架幺正标架显然，显然，O; i, j, k 是是 R3 的一个幺正标架的一个幺正标架Oe1e3e2P返回章首1.41.4等距变换等距变换- -正标架正标架设设 P; e1, e2, e3 是另一个标架，其中是另一个标架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3令令如果如果 det A 0 ，则称则称 P; e1, e2, e3 是是正标架正标架或或右手标架右手标架或或右手系右手系P; e1, e2, e3 是正标架的充分必要条件是混合是正标架的充分必要条件是混合积积 (e1, e2, e3) 0 返回章首第二章第二章 曲线论
45、曲线论微分几何微分几何第二章第二章 曲线论曲线论平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线本章补充习题本章补充习题第二章内容概要第二章内容概要本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用算、伏雷内公式的应用如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论行讨论
46、返回章首2.12.1平面曲线平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算重点：曲率与相对曲率的计算返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -伏雷内标架伏雷内标架设平面曲线设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数，以弧长为参数，则其切向量则其切向量 a a (s) = r (s) 是一个单位是一个单位向量，向量， 即即 a a (s) a a (s) = 1两边求导数得两边求导数得 a a (s) a a (s) = 0，所以所以 a a (s) 垂直于垂直于 a a (s)，这说明，这说明 a a (s
47、) 是是曲线的法向量曲线的法向量令令 b b = a a / | a a |，则对于每一个，则对于每一个 s，r(s) ; a a (s), b b (s) 构成平面曲线构成平面曲线 C 上上的一个幺正标架，我们称之为曲线的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的上的伏雷内标架伏雷内标架返回章首由导数的定义我们可知由导数的定义我们可知 b b 总是指向曲线弯总是指向曲线弯曲的那一侧曲的那一侧Ca a(s)a a(s+Ds)a a(s+Ds)2.12.1 平面曲线平面曲线- - b b 的指向的指向返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -伏雷内公式伏雷内公式由由 b b 的定义有的定义有 a
48、a (s) = |a a (s)| b b (s)令令 k k(s) = |a a (s)|，则有则有a a (s) = k k (s)b b (s).我们把我们把 k k (s) 叫曲线叫曲线 C 在在 r(s) 处的处的曲率曲率定理定理. （伏雷内公式伏雷内公式）我们有我们有 a a = k kb b , b b = k ka a .以上伏雷内公式叫平面曲线的以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式基本公式返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -曲率计算公式曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零为零如果曲线方程为如果曲线方程为 y = y(x
49、)，取取 x 为参数为参数，则则曲线的参数表示为曲线的参数表示为 r = (x, y(x)，其曲率为，其曲率为定理定理. 设曲线设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t)，则其曲率，则其曲率为为返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -例子例子例例. 求椭圆求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率的曲率解解：椭圆可参数化为椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)，参数方程为参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有，所以有x = asint, x = acost,y = bcost, y = bsint.代入曲率公式得代入曲率
50、公式得返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 y = sinx 的曲率的曲率2求曲线求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率的曲率返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -标准伏雷内标架标准伏雷内标架前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架 r(s) ; a a (s), b b (s)但伏雷内标架不一定是平面正但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）但我们总可以在曲行列式不一定为正数）但我们总可以在曲线上选取一单位法向量线上选取一单位法向量 n(s)，使使 r(s)
51、 ; a a (s), n(s) 构成正标架，这个标架叫平面曲线的构成正标架，这个标架叫平面曲线的标标准伏雷内标架准伏雷内标架a a b b a a n 返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -相对曲率与伏雷内公式相对曲率与伏雷内公式因因 a a / n，所以可令所以可令 a a (s) = k kr (s) n(s)我我们称们称 k kr 为曲线的为曲线的相对曲率相对曲率注意：相对曲率可正可负注意：相对曲率可正可负定理定理. 我们有下述形式的伏雷内公式：我们有下述形式的伏雷内公式：a a = k krn ,n = k kra a .返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -相对曲率计算
52、公式相对曲率计算公式如果曲线由如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为给出，则相对曲率为kr = x y y x ；特别地，当用自然参数时，特别地，当用自然参数时，相对曲率为相对曲率为定理定理. 在一般参数下，相对曲率为在一般参数下，相对曲率为返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线- -在一点附近的结构在一点附近的结构设曲线设曲线 C: r = r(s)则则当当 k k (s) 不为不为 0 时，曲线近似于抛物线时，曲线近似于抛物线当当 k k (s) = 0，但但 k k (s) 不为不为 0 时，曲线近似时，曲线近似于一条近似立方抛物线（于一条近似立方抛物线（看证明看证明）返回章首
53、2.22.2空间曲线空间曲线内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等面、一般螺旋线等重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -密切平面密切平面过曲线过曲线 C 上一点上一点 P 处的切线和曲线上位于处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点点附近的另一点 Q 作一平面作一平面 s s (Q)当当 Q 沿曲线趋向于沿曲线趋向于 P 时时 s s (Q)
54、 的极限位置的极限位置 s s 称称为曲线为曲线 C 在在 P 点的点的密切平面密切平面过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在的平面），而密切平面则是在 P 点附近最点附近最贴近于曲线的平面贴近于曲线的平面平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面线有无穷多个密切平面返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -密切平面方程密切平面方程用坐标把密切平面方程表示为：用坐标把密切平面方程表示为：(R r(t0
55、), r(t0), r(t0) = 0.设曲线设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t) 是光滑的，是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是是曲线上一点，其参数是 t0设设 R = (X, Y, Z) 是是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：方程为：返回章首例例. 求螺旋线求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点在点 P(1,0,0) 处的密切平面方程处的密切平面方程解解：直接计算得直接计算得r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( cost, sint, 0). 在给定点在给定点 P 处的参数
56、处的参数 t = 0，所以有所以有 r(0) = (1,0,0)，r (0) = (0,1,1)，r (0) = ( 1,0,0) 代入密切平面方程并整理得代入密切平面方程并整理得 Y + Z = 02.22.2 空间曲线空间曲线- -例子返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -基本向量与伏雷内标架基本向量与伏雷内标架设有空间曲线设有空间曲线 C: r = r(s)，s 是弧长参数是弧长参数单位单位切向量切向量 a a = r 单位单位主法向量主法向量 b b = a a / |a a |（设（设 r 不为零）不为零）单位单位副法向量副法向量 g g = a ab b 曲线曲线 C 的的伏
57、雷内标架伏雷内标架 r ; a a , b b , g g Ca ab bg grO返回章首伏雷内伏雷内标架标架法法密切密切从切从切CPb ba ag g主法向量和副法向量决定的平面是主法向量和副法向量决定的平面是法平面法平面切向量和副法向量决定的平面叫切向量和副法向量决定的平面叫从切平面从切平面切向量和主法向量决定的平面就是切向量和主法向量决定的平面就是密切平面密切平面2.22.2 空间曲线空间曲线- -三棱锥三棱锥返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -基本向量的计算公式基本向量的计算公式设设 C: r = r(t) 由一般参数给出，则三个基本由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为
58、向量的计算公式为 a a = r / | r | , g g = (r r ) / | r r | , b b = g g a a .返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -例子例子例例. 求螺旋线求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点在点 P(1,0,0) 处的三个基本向量处的三个基本向量解解：直接计算得直接计算得r (t) = ( sint, cost, 1),r (t) = ( cost, sint, 0).在给定点在给定点 P 处的参数处的参数 t = 0，所以有所以有 r (0) = (0,1,1)，r (0) = ( 1,0,0)代入上面的基本向量计算公式得代入
59、上面的基本向量计算公式得 返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 x = acost, y = bsint, z = et 在在 t = 0 点点的切线、主法线、副法线、密切平面、从的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程切平面与法平面方程2证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关关返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲率与挠率曲率与挠率设设 C: r = r(s) 是空间曲线，称是空间曲线，称 k k (s) = |a a (s)|为曲线为曲线 C 在点在点 r(s) 处的处的曲率曲率，而而 a a 叫叫曲率向曲率向量量空间曲线除了弯曲外，
60、还有扭转为了刻空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念画扭转的程度，我们引进挠率的概念我们把我们把 t t 叫曲线的叫曲线的挠率挠率，这里这里返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -伏雷内公式伏雷内公式定理.（伏雷内公式） a a = kb b, b b = ka a + tg g, g g = tb b.返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲率与挠率计算公式曲率与挠率计算公式挠率：挠率：曲率：曲率：用一般参数表示的曲率与挠率计算公式用一般参数表示的曲率与挠率计算公式返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲率与挠率为零的曲线曲率与挠率为零的曲线曲线的
61、曲率为零的充要条件是该曲线是直曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线线曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线面曲线返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲率和挠率计算举例曲率和挠率计算举例 解解：直接计算得：直接计算得： r = ( asinq q, acosq q, b), r = ( acosq q, asinq q, 0), r = (asinq q, acosq q, 0), |r| = (a2 + b2), rr = (absinq q, abcosq q, a2), |rr | = (a2b2 + a4)1/2, (r, r, r )
62、= a2b, 所以有所以有 k k = a/(a2 + b2), t t = b/(a2 + b2).例例：求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 r = (acosq q, asinq q, bq q) 的的曲率和挠率曲率和挠率返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 r(t) = (acosht, asinht, at) 的曲率和挠的曲率和挠率，这里率，这里 a 02求曲线求曲线 r(t) = (a(3t t3), 3at2, a(3t + t3) 的曲的曲率和挠率，这里率和挠率，这里 a 03求求 a、b，使曲线，使曲线 r(t) = (acosht, asinht, bt) 上每一点的曲率和挠率相等上每一
63、点的曲率和挠率相等返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -一般螺旋线一般螺旋线定理定理. 设有曲线设有曲线 C: r = r(s)，（假定，（假定 ktkt 0 ）则下列条件等价：）则下列条件等价： C 是一般螺线；是一般螺线； C 的主法向量与固定方向垂直；的主法向量与固定方向垂直； C 的副法向量与固定方向成定角；的副法向量与固定方向成定角； C 的曲率与挠率之比是常数的曲率与挠率之比是常数如果曲线的切向量与固定方向成定角，如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为则称该曲线为一般螺线一般螺线看证明看证明返回章首证证：由伏雷内公式得由伏雷内公式得 r = a a = k kb b，
64、 r = (k kb b ) = k k 2 a a + k k b b + k k t t g g , r = 3k k k k a a + ( k k k k 3 k k t t 2 )b b + (k k t t ) + t t k k )g g .所以，所以，(r , r , r ) = k k 5 (t t / k k ) ,由此即得结论由此即得结论例例. 曲线曲线 r = r(s) 是一般螺线的充分必要条是一般螺线的充分必要条件是件是( r , r , r ) = 02.22.2 空间曲线空间曲线- -例子返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲线在一点附近的结构曲线在一点附
65、近的结构空间曲线在一点附近的形状（设空间曲线在一点附近的形状（设 ktkt 0 ）：）：在法平面上的投影为半立方抛物线；在法平面上的投影为半立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；从不穿过从切平面；从不穿过从切平面；b b 总是指向凹入的方向总是指向凹入的方向a ab bg g返回章首a ab bg gg ga ab ba ag gb b法法平平面面从从切切平平面面密切平面密切平面2.22.2 空间曲线空间曲线- -曲线在一点附近的结构曲线在一点附近的结构练习题练习题1求曲线求曲线 x = et cos
66、t, y = et sint, z = et 在在 t = 0 处的切线方程处的切线方程2求曲线求曲线 x = t, y = t2, z = t3 经过已知点经过已知点 M0(2, 1/3, 6) 的密切平面方程的密切平面方程.返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -基本定理（唯一性）基本定理（唯一性）定理定理. . （唯一性唯一性）设设 C: r = r(s) 与与 C0: r0 = r0(s) 是两条正则的空间曲线（是两条正则的空间曲线（ s 属于区间属于区间 I 是曲线是曲线 C 的弧长参数）如果对区间的弧长参数）如果对区间 I 中的每个中的每个 s，有，有 k k (s) = k
67、k0(s)，t t (s) = t t0(s)，那么，存在一个等距变换那么，存在一个等距变换 T : R3R3，使，使 r0 = T r，并且，并且 T 所对应的正交矩阵所对应的正交矩阵 T 的的行列式为行列式为 +1，也就是说这样的两条曲线可也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合以经过一个运动使它们重合返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线- -基本定理（存在性）基本定理（存在性）曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的曲线的基本定理基本定理定理定理. （存在性存在性）设设 k k (s), t t (s) 是一组定义是一组定义在在 0R 的一个邻域上的可
68、微函数，的一个邻域上的可微函数， 并且并且 k k (s) 0，则存在一个包含，则存在一个包含 0 的邻域的邻域 I 和一和一条以弧长为参数的曲线条以弧长为参数的曲线 C: r = r(s)，sI，使得其曲率函数就是使得其曲率函数就是 k k (s)，挠率函数就是，挠率函数就是 t t (s)看证明看证明返回章首第三章第三章 曲面的基本理论曲面的基本理论微分几何微分几何第三章第三章 曲面的基本理论曲面的基本理论曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率高斯曲率与平均曲率高斯曲率与平均曲率直纹面直纹面本章补充习题本章补充习题第
69、三章内容概要第三章内容概要本章讨论曲面的第一基本形式、第二基本本章讨论曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、主方向、主曲率、形式、法曲率、主方向、主曲率、WeingartenWeingarten变换、平均曲率、高斯曲率、变换、平均曲率、高斯曲率、直纹面等内容直纹面等内容重点：两个基本形式以及各种曲率的计算重点：两个基本形式以及各种曲率的计算返回章首3.13.1曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式内容：第一基本形式的概念、切向量的长内容：第一基本形式的概念、切向量的长度和夹角、曲面曲线的弧长、曲面区域的度和夹角、曲面曲线的弧长、曲面区域的面积等面积等重点：利用第一基本形式计算弧长和面积重点：
70、利用第一基本形式计算弧长和面积返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -第一基本形式的概念第一基本形式的概念设有曲面设有曲面 S: r = r(u,v)，dr = rudu + rvdv 是曲面上的任一切向量，它的长度的平方是曲面上的任一切向量，它的长度的平方记为记为 I = dr dr，则，则I = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, 其中其中 E = ru ru，F = ru rv，G = rv rv对正则曲面而言，对正则曲面而言，I 是切平面上的一个正是切平面上的一个正定的二次型我们称二次型定的二次型我们称二次型 I 为曲面的为曲面的第第一基本形式一基本形式
71、，称，称 E、F、G 为曲面的为曲面的第一第一类基本量类基本量返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -例子例子例例. . 设曲面由设曲面由 z = f (x,y) 给出，求第一基本形给出，求第一基本形式式解解：该曲面的向量函数表示为该曲面的向量函数表示为r = r(x,y) = (x, y, f (x,y).令令 p = fx，q = fy，则，则 rx = (1, 0, p)，ry = (0, 1, q)由此得由此得E = rx rx = 1 + p2, F = rx ry = pq, G = ry ry = 1 + q2,I = (1 + p2)dx2 + 2pqd
72、xdy + (1 + q2)dy2.返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -例子例子例例. 求球面求球面 S2 的第一基本形式的第一基本形式解解：球面的参数表示为球面的参数表示为r = (Rcosj jcosq q, Rcosj jsinq q, Rsinj j),直接计算得直接计算得 E = rq q rq q = R2cos2j j, F = rq q rj j = 0,G = rj j rj j = R2,因此因此I = R2cos2j j dq q 2 + R2dj j 2.返回章首练习题练习题1求圆柱面求圆柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv,
73、u) 的第一的第一基本形式基本形式2求一般螺面求一般螺面r(u,v) = (aucosv, ausinv, f (u) + bv) 的第一类基本量的第一类基本量3求悬链面求悬链面r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, au)的第一类基本量这里，的第一类基本量这里，coshu = (eu + e-u)返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -曲面上曲线的弧长曲面上曲线的弧长曲面上的曲线曲面上的曲线 C: r = r(u(t),v(t) 切向量切向量 r = ruu + rvv ，则该曲线相应于，则该曲线相应于 a t b 的曲线的曲线段的弧长为：
74、段的弧长为：返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -曲面上的切向量与切方向曲面上的切向量与切方向曲面上的切向量曲面上的切向量 dr = rudu + rvdv 可用其仿可用其仿射坐标射坐标 (du, dv) 来表示，而该切向量所代来表示，而该切向量所代表的切方向则可用仿射坐标的比值来表的切方向则可用仿射坐标的比值来 du:dv 表示表示例如：假设曲面上有一条曲线例如：假设曲面上有一条曲线 u + v = 0，则该曲线的切方向为则该曲线的切方向为 du:dv = 1: 1 返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -曲面上切方向的夹角曲面上切方向的夹角
75、令两切方向分别为令两切方向分别为 d = du:dv，d d = d du:d dv，则则给定曲面上两个切方向给定曲面上两个切方向 du:dv 和和 d du:d dv，设设它们的夹角为它们的夹角为 q q，则可以通过计算则可以通过计算切向量切向量 dr = rudu + rvdv 与与 d dr = rud du + rvd dv 的夹角来计的夹角来计算这两个算这两个切方向切方向的夹角：的夹角：返回章首曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -第一基本形式与参数选取无关第一基本形式与参数选取无关定理：曲面的第一基本形式与曲面的参数曲面的第一基本形式与曲面的参数选取无关选取无关证明证明：用一阶
76、微分的形式不变性很容易用一阶微分的形式不变性很容易证明这个定理通过直接计算也可以证证明这个定理通过直接计算也可以证明这个定理详情点击明这个定理详情点击这里这里练习题练习题1设曲面的第一基本形式为设曲面的第一基本形式为 I = du2 + (u2 + a2) dv2，求其上两条曲线，求其上两条曲线 u + v = 0 和和 u v = 0 的夹角的夹角2在曲面在曲面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 上，求曲上，求曲线线 v = u + 1 与与 v = 3 u 之间的夹角之间的夹角3求在第一基本形式为求在第一基本形式为 I = du2 + sinh2udv2 的的曲面上，
77、方程为曲面上，方程为 u = v (v1 v v2) 的曲线段的曲线段的弧长的弧长4设一个曲面的第一基本形式为设一个曲面的第一基本形式为 I = du2 + (u2 + a2)dv2，求它上面由曲线，求它上面由曲线 u = ()av2，v = 1 所构成的曲线三角形的周长所构成的曲线三角形的周长返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -曲面域的面积曲面域的面积设有曲面设有曲面 S: r = r(u,v)，(u,v)D则曲则曲面的面积元素为面的面积元素为返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -曲面域的面积曲面域的面积如果如果 s s 是曲面上的一个区
78、域，是曲面上的一个区域，G 是对应的是对应的 (u,v)-平面上的区域，则此曲面区域的面积为平面上的区域，则此曲面区域的面积为返回章首定理定理：曲面区域的面积与参数的选取无关曲面区域的面积与参数的选取无关证明点击证明点击这里这里由第一类基本量所决定的量叫由第一类基本量所决定的量叫内蕴量内蕴量，由，由第一类基本量所决定的性质叫第一类基本量所决定的性质叫内蕴性质内蕴性质曲面的面积、曲面上曲线的弧长、曲面上曲面的面积、曲面上曲线的弧长、曲面上切向量的夹角等都是内蕴量切向量的夹角等都是内蕴量3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -内蕴量内蕴量返回章首练习题练习题1求正螺面求正螺面 r
79、= (aucosv, ausinv, bv) 上由曲线上由曲线 u = 0，u = a，v = 0，v = 1 所围成的四边形所围成的四边形的面积的面积2求球面求球面 r(j j,q q) = (acosj jcosq q, acosj jsinq q, asinj j) 的面积的面积返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -正交网正交网设曲面设曲面 S: r = r (u, v)让让 u = u0 固定，固定，v 变化，则变化，则 r = r(u0, v) 也在曲也在曲面上描绘出一条曲线，叫面上描绘出一条曲线，叫 v-曲线曲线让让 v = v0 固定，固定，u 变化，则
80、变化，则 r = r(u, v0) 就在曲就在曲面上描绘出一条曲线，叫面上描绘出一条曲线，叫 u-曲线曲线u-曲线曲线v-曲线曲线返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -正交网正交网如果在曲面上任意一点处的如果在曲面上任意一点处的 u-曲线与曲线与 v-曲线曲线正交，则称这样的参数叫正交，则称这样的参数叫正交参数正交参数，相应的参，相应的参数网叫数网叫正交参数网正交参数网曲面上的所有曲面上的所有 u-曲线和曲线和 v-曲线构成曲面上的曲线构成曲面上的一个曲线网，叫一个曲线网，叫参数网参数网或或曲纹坐标网曲纹坐标网返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式
81、- -正交网正交网参数网为正交网的充分必要条件是参数网为正交网的充分必要条件是 F = 0设有曲面设有曲面 S: r = r (u, v) ，其中，其中 (u, v)U对对 任意的任意的 (u,v)U ，x(u,v) = a(u, v) ru(u,v) + b(u,v) rv(u,v)是是 S 在在 r(u, v) 处的一个切向量，称为曲面上的处的一个切向量，称为曲面上的一个一个切向量场切向量场如果如果 a(u, v) 和和 b(u,v) 都是光滑函数，就称都是光滑函数，就称 x(u,v) 是是光滑切向量场光滑切向量场；如果；如果 a(u, v) 和和 b(u,v) 都是连续函数，就称都是连续
82、函数，就称 x(u,v) 是是连续切向量场连续切向量场返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -正交网正交网引理引理设设 x(u,v) 与与 y(u,v) 是曲面是曲面 S: r = r(u,v) 上两个线性无关的连续切向量场，则上两个线性无关的连续切向量场，则在曲面上任意一点附近可选取新的参数在曲面上任意一点附近可选取新的参数 (u,v )，使得，使得 x 切于切于 u-曲线，曲线，y 切于切于 v-曲线曲线证明点击证明点击这里这里返回章首3.13.1 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式- -正交网正交网定理定理曲面曲面 r = r (u, v) 上任意一点附近存上任
83、意一点附近存在正交参数网在正交参数网证明证明：将：将 ru 和和 rv 实施实施 Schmidt 正交化令正交化令则则 e1 和和 e2 是曲面上的两个正交向量场由引是曲面上的两个正交向量场由引理，存在参数理，存在参数 (u, v) 使使 u-曲线与曲线与 e1 相切，相切，v-曲曲线与线与 e2 相切这样的参数网是正交网相切这样的参数网是正交网返回章首练习题练习题1求曲面求曲面 z = axy 上坐标曲线上坐标曲线 x = x0 和和 y = y0的交角的余弦值的交角的余弦值2双曲抛物面双曲抛物面 r(u,v) = (a(u + v), b(u v), 2uv)的第一基本形式的第一基本形式3
84、设曲面的第一基本形式为设曲面的第一基本形式为I(du,dv) = du2 + (u2 + a2)dv2， 求其上的三条曲线求其上的三条曲线 u = av，v = 1 所围成所围成的三角形的面积的三角形的面积返回章首3.23.2曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式内容：第二基本形式的概念、计算与内容：第二基本形式的概念、计算与几何意义几何意义重点：第二基本形式的计算重点：第二基本形式的计算返回章首设曲面设曲面 S: r = r(u,v)，n = (rurv) / |rurv| 是是它的单位法向量称二次型它的单位法向量称二次型 II = n d2r 为曲为曲面的面的第二基本形式第二基本形式容易算出
85、容易算出II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, 其中其中 L = ruu n，M = ruv n，N = rvv n函函数数 L、M 和和 N 都叫曲面的都叫曲面的第二类基本量第二类基本量由于由于 n dr = 0，两边求微分可得，两边求微分可得 n d2r = dn dr， 因此因此 II = dr dn由此可得由此可得 L = ru nu, M = ru nv = rv nu, N = rv nv.返回章首3.2 曲面的第二基本形式-概念3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -例子例子例例. 设球面设球面 S2 的参数表示为的参数表示为r = (Rcosj j
86、cosq q, Rcosj jsinq q, Rsinj j), 则它的第一、第二基本形式成比例则它的第一、第二基本形式成比例事实上，直接计算得：事实上，直接计算得：I = R2cos2j j dq q 2 + R2 dj j 2,II = (Rcos2j j dq q 2 + R dj j 2). 于是于是: :II : I = 1 / R.返回章首3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -例子例子例例. 设曲面由设曲面由 z = f (x,y) 给出，求该曲面的第给出，求该曲面的第二基本形式二基本形式解解：曲面的参数表示为曲面的参数表示为 r = r(x,y) = (x, y
87、, f (x,y). 令令 p = fx，q = fy，r = fxx，s = fxy，t = fyy，则，则 rx = (1,0,p), ry = (0,1,q), rxx=(0,0,r), rxy=(0,0,s), ryy=(0,0,t), 返回章首于是有于是有3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -例子例子3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -几何意义几何意义定理定理. . 如图，如图，II 2 2d d . .Sp pPQ(dx,dy)Pn证明见证明见这里这里d d II/2/2练习题练习题求正螺面求正螺面 r(u,v) = (aucosv, ausi
88、nv, bv) 的的第二基本形式第二基本形式求旋转抛物面求旋转抛物面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 的第二基本形式的第二基本形式求圆柱面求圆柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv, u) 的第的第二基本形式二基本形式求悬链面求悬链面r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, au) 的第一、第二基本形式，其中的第一、第二基本形式，其中coshu = (eu + e-u)返回章首3.33.3曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率内容：法曲率、主曲率、主方向、内容：法曲率、主曲率、主方向、WeingartenWeingarten变换、
89、曲率线、曲率网、全脐变换、曲率线、曲率网、全脐曲面的特征、欧拉公式、罗德里格定理曲面的特征、欧拉公式、罗德里格定理重点：主方向的判断与主曲率的计算重点：主方向的判断与主曲率的计算返回章首3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -法曲率法曲率设曲面设曲面 S: r = r(u,v)容易看出容易看出 II / I 表面表面上依赖于上依赖于切向量切向量 (du,dv)，但实际上只依赖，但实际上只依赖于于切方向切方向 du:dv给定曲面给定曲面 S: r = r(u,v) 上一点上一点 P 处的一个处的一个切方向切方向 d = du:dv，则则 P 点沿方向点沿方向 d 的的法法曲率曲率
90、定义为定义为 k kn(d ) = II(du,dv) / I(du,dv).返回章首3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -法曲率法曲率定理定理. . 设设 C 是曲面是曲面 S 上的一条曲线，则上的一条曲线，则沿曲线沿曲线 C 的切方向的法曲率的切方向的法曲率 k kn 是该曲线的是该曲线的曲率向量曲率向量 r 在曲面的法向量在曲面的法向量 n 上的投影，上的投影，即即k kn = r n法曲率的几何意义见法曲率的几何意义见这里这里返回章首3.23.2 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式- -全脐曲面全脐曲面定理定理. . 正则曲面是全脐曲面的充要条件是正则曲面是全脐曲面
91、的充要条件是它为平面或球面它为平面或球面看证明练习题练习题1试求出椭圆抛物面试求出椭圆抛物面 z = 2x2 + y2 在原点处沿在原点处沿方向方向 d = 1:2 的法曲率的法曲率2求曲面求曲面 z = x2 + y2 的脐点（即两个基本形的脐点（即两个基本形式成比例的点）式成比例的点）3求曲面求曲面 z = ax2 + by2 在在 (0,0) 点处法曲率的点处法曲率的极值（提示：要考虑极值（提示：要考虑 1:0 方向）方向）返回章首3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- -WeingartenWeingarten变换变换曲面的切平面上由下式定义的线性变换曲面的切平面上由
92、下式定义的线性变换W(ru) = nu， W(rv) = nv , 叫叫WeingartenWeingarten变换变换看例子看例子 注意：注意： W 与参数的选取无关与参数的选取无关返回章首 Weingarten Weingarten变换也可以写成变换也可以写成 W(dr) = dn3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- - WeingartenWeingarten变换的性质变换的性质定理定理. WeingartenWeingarten变换变换 W 满足满足dr W(d dr) = dr d dn,dr W(d dr) = W(dr) d dr, 其中第二个式子说明其中第二
93、个式子说明 W 是对称的是对称的由于由于WeingartenWeingarten变换是对称的线性变换，变换是对称的线性变换，所以有两实特征值所以有两实特征值法曲率达到最值的方向叫法曲率达到最值的方向叫主方向主方向，法曲率，法曲率的最值叫的最值叫主曲率主曲率返回章首定理定理. . WeingartenWeingarten变换的特征值就是主曲率，变换的特征值就是主曲率，特征方向就是主方向特征方向就是主方向看证明看证明3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- - WeingartenWeingarten变换的性质变换的性质返回章首3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率
94、- -欧拉公式欧拉公式推论推论. （欧拉公式欧拉公式）设设 k k1、k k2 是两个主曲是两个主曲率，率，k kn 是是 d 方向的法曲率，方向的法曲率，q q 是是 d 方向与方向与第一特征方向的夹角，则有第一特征方向的夹角，则有k kn = k k1cos2q q + k k2sin2q q.返回章首注意，第一特征方向就是注意，第一特征方向就是 k k1 对应的特征方对应的特征方向，由你任意选定向，由你任意选定（2）方向方向 d = du:dv 是主方向的充要条件是是主方向的充要条件是定理定理. （1）函数函数 l l 是主曲率的充要条件是是主曲率的充要条件是 返回章首3.33.3 曲面
95、的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- -主曲率与主方向的判断看证明3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- -罗德里格定理罗德里格定理定理定理. （罗德里格定理罗德里格定理）如果方向如果方向 d = du:dv 是主方向，则是主方向，则 dn = l ldr，其中，其中 = k kn，k kn 是沿是沿 d 方向的法曲率；反之，如果方向的法曲率；反之，如果方向方向 d 满足满足 dn = l ldr，则则 d 是主方向，且是主方向，且 = k kn，k kn 是沿是沿 d 方向的法曲率方向的法曲率返回章首练习题练习题1求马鞍面求马鞍面 z = xy 在原点处的主方向与主曲在原
96、点处的主方向与主曲率率2求柱面求柱面 r(u,v) = (acos(u/a), asin(u/a), v) 的的主方向和主曲率主方向和主曲率3用欧拉公式求曲面用欧拉公式求曲面 z = ax2 + by2 在在 (0,0) 点点处的两主方向的中线方向的法曲率处的两主方向的中线方向的法曲率4证明：曲面在任意固定点处沿任意两个彼证明：曲面在任意固定点处沿任意两个彼此正交的切方向的法曲率之和是常数此正交的切方向的法曲率之和是常数返回章首3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- -曲率网曲率网如果曲面上一条曲线的每一点处的切方向如果曲面上一条曲线的每一点处的切方向都是主方向，则称该曲线是
97、都是主方向，则称该曲线是曲率线曲率线；如果；如果曲面上的曲线网由两族曲率线构成，则称曲面上的曲线网由两族曲率线构成，则称该网为该网为曲率网曲率网定理定理. . 曲面的曲纹坐标网是曲率网的充分曲面的曲纹坐标网是曲率网的充分必要条件是必要条件是 F = M = 0返回章首看证明看证明3.33.3 曲面的主方向与主曲率曲面的主方向与主曲率- -曲面上点的分类曲面上点的分类使得使得 k k1k k2 0 的点叫曲面的的点叫曲面的椭圆点椭圆点，使得，使得 k k1k k2 0，证明，证明 K = l l-2 (lnl l)uu + (lnl l)vv .返回章首4.2测地曲率、测地挠率和测地线内容：测地
98、曲率、刘维尔公式、测地线、内容：测地曲率、刘维尔公式、测地线、测地挠率测地挠率重点：刘维尔公式的应用重点：刘维尔公式的应用返回章首C4.24.2 测地曲率、测地挠率和测地线测地曲率、测地挠率和测地线- -曲面曲线的新标架曲面曲线的新标架给定曲面给定曲面 S 和曲面上的一条曲线和曲面上的一条曲线 C设设 P 是是 C 上的任意一点上的任意一点，SPa ae en则则 a a、e e、n 是曲线是曲线 C 上彼此正交的单位上彼此正交的单位向量，并且构成一右向量，并且构成一右手系手系命命 e e = na a n 是曲面是曲面 S 在在 P 点的单位法向量，点的单位法向量，a a 是是 C 在在 P
99、 点的单位切向量点的单位切向量，我们要考虑的新标架就是我们要考虑的新标架就是 P ; a a, e e, n 返回章首4.24.2 测地曲率、测地挠率和测地线测地曲率、测地挠率和测地线- -测地曲率测地曲率曲面曲线曲面曲线 C 在在 P 点的曲率向量点的曲率向量 r 在在 e e 上上的投影称为曲线的投影称为曲线 C 在在 P 点的测地曲率，记点的测地曲率，记为为k kgk kg = r e e = k kb b e e k kg = (r , r , n).k k 2 = k kg2 + k kn2，其中其中 C 的曲率为的曲率为k k，测地曲测地曲率为率为k kg，切方向的法曲率为切方向的
100、法曲率为k kn返回章首测地曲率的计算公式测地曲率的计算公式 特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，F=0，代入上式并整理得 这就是测地曲率的一般计算公式。 下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的角为 ，则同理代入前面的 kg 的计算公式可得 这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为其中 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u线和 v 线来说，有其中其中 q q 是曲线是曲线 C 与与 u -曲线的夹角曲线的夹角 定理定理. . 当取正交坐标网时，曲面曲线当取正交坐标网时，曲面曲线 C 的测地曲率为的测地曲率为 u -曲线与曲线与 v -曲线的测地曲率
101、分别为曲线的测地曲率分别为4.24.2 测地曲率、测地挠率和测地线测地曲率、测地挠率和测地线- -测地曲率的刘维尔公式测地曲率的刘维尔公式返回章首练习题练习题1求位于半径为求位于半径为 R 的球面上半径为的球面上半径为 a 的圆周的圆周的测地曲率的测地曲率2求位于正螺面求位于正螺面 x = ucosv, y = usinv, z = av 上的圆柱螺线上的圆柱螺线 x = u0cosv, y = u0sinv, z = av的测地曲率的测地曲率返回章首4.24.2 测地曲率、测地挠率和测地线测地曲率、测地挠率和测地线- -测地线测地线曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的曲面上的一条曲线，如果它
102、的每一点处的测地曲率为零，则称之为测地曲率为零，则称之为测地线测地线由测地曲率的定义知曲面上如果存在直线由测地曲率的定义知曲面上如果存在直线（如直纹面），则此直线一定是测地线（如直纹面），则此直线一定是测地线（因为直线的曲率向量是零向量）（因为直线的曲率向量是零向量）曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线的曲率向量平行于曲面的法向量曲线的曲率向量平行于曲面的法向量球面上的大圆球面上的大圆( (过球面中心的平面与球面的过球面中心的平面与球面的交线交线) )一定是测地线，这是因为大圆的主法一定是测地线，这是因为大圆的主法线重合于球面的法线线重合于球面的法线返回
103、章首定理定理. . 对任意一点对任意一点 PS 和任意一个单位和任意一个单位切向量切向量 vTPS，存在正数存在正数 e e 和唯一一条测和唯一一条测地线地线 g gv(s)，s(e e, e e)，满足满足 g gv(0) = P, g gv (0) = v， 并且并且 g gv(s) 光滑地依赖于光滑地依赖于 s、P、v，而且而且 s 是是 g gv 的弧长参数的弧长参数由常微分方程理论得：由常微分方程理论得：测地线的方程为测地线的方程为4.24.2 测地曲率、测地挠率和测地线测地曲率、测地挠率和测地线- -测地线方程测地线方程返回章首代入测地线的方程得代入测地线的方程得即是平面上的直线。
104、即是平面上的直线。例例: :利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线 证明：对于平面证明：对于平面练习题练习题1求平面上的测地线求平面上的测地线2求圆柱面求圆柱面 r = (Rcosq q, Rsinq q, z) 上的测地线上的测地线返回章首4.34.3曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式内容：半测地坐标网、测地线的短程性、内容：半测地坐标网、测地线的短程性、高斯波涅公式高斯波涅公式重点：高斯波涅公式的应用重点：高斯波涅公式的应用返回章首4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-
105、 -测地平行坐标系测地平行坐标系对曲面对曲面 S 上任一点上任一点 P，设设 g g 是曲面上过是曲面上过 P 点点的一条测地线，的一条测地线，v 是是 g g 的自然参数的自然参数 (|v|d d)沿沿 g g 作一个单位向量场作一个单位向量场 e(v) 垂直于垂直于 g g (v)，然后过然后过 g g 上每一点上每一点 g g (v) 作一条测地线作一条测地线 a av: ( e e, e e)S，使得使得 a av(0) = g g (v)， a av(0) = e(v) a av 的自然参的自然参数用数用 u 表示这样，表示这样，(u, v) 就构成了曲面在就构成了曲面在 P 点附近
106、的一个坐标系，这样的坐标系称为点附近的一个坐标系，这样的坐标系称为测地测地平行坐标系平行坐标系，相应的坐标曲线网叫相应的坐标曲线网叫半测地坐标半测地坐标网网 （如图）（如图）g av e(v) P g (v)返回章首4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -在测地平行坐标系下的第一基本形式在测地平行坐标系下的第一基本形式定理定理. . 在半测地坐标网下，曲面的第一基本在半测地坐标网下，曲面的第一基本形式为形式为I = du2 + Gdv2,G(0,v) = 1, Gu(0,v) = 0.返回章首4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上
107、的半测地坐标网、高斯波涅公式- -测地线的局部极小性测地线的局部极小性定理定理. (测地线的局部极小性测地线的局部极小性) 设设 Q、R 是曲是曲面上点面上点 P 的一个充分小邻域内的两点，则的一个充分小邻域内的两点，则在连接在连接 Q、R 的诸线段中，测地线段的弧的诸线段中，测地线段的弧长最短长最短RQ返回章首如果区域如果区域 G 是一整块，里面没有洞，也没是一整块，里面没有洞，也没有缝隙，则称区域有缝隙，则称区域 G 是是单连通单连通的的4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -单连通区域单连通区域单连通区域单连通区域不是单连通不是单连通区域区
108、域返回章首其中其中 a ai 是是 G 的第的第 i 个内角的角度个内角的角度，p p a ai 是是第第 i 个外角的角度个外角的角度n定理定理. . 如果如果 G 是单连通的，则有是单连通的，则有高斯高斯- -波涅波涅公式公式：曲面曲面 S 上的区域上的区域 G 的边界记为的边界记为 G，高斯，高斯曲率记为曲率记为 K，G 的测地曲率记为的测地曲率记为 k kg，曲面曲面的面积元素和弧长元素分别记为的面积元素和弧长元素分别记为 ds s 和和 ds4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -高斯波涅公式高斯波涅公式返回章首SGGaia2a1GG4
109、.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -高斯波涅公式高斯波涅公式返回章首其中其中 S(D D) = a a1 + a a2 + a a3 表示表示 D D 的三内角之和的三内角之和如果如果 G 是一个测地三角形是一个测地三角形 D D，即三条测地即三条测地线所围成的三角形，则有线所围成的三角形，则有 如果如果 G 是由测地线段组成，则有是由测地线段组成，则有如果如果 G 是一条光滑曲线，则有是一条光滑曲线，则有4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -高斯波涅公式的特例高斯波涅公式的特例返回章首练习题练
110、习题2计算测地曲率在一般参数下的计算公式计算测地曲率在一般参数下的计算公式1. 证明：如果曲面证明：如果曲面 S: r = r(u,v) 的第一基本形的第一基本形式为式为 I = du2 + Gdv2，则曲面上的曲线，则曲面上的曲线 C 的测的测地曲率满足地曲率满足返回章首4.34.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- -曲面的基本定理曲面的基本定理定理定理. 设设 I = gijduiduj, II = hijduiduj,（gij = gji, hij = hji）是给定的两个二次形式，其中是给定的两个二次形式，其中第一个正定如果第一个正定如果 gij
111、 和和 hij 满足高斯方程满足高斯方程和科达齐方程，则除了空间中的位置差别和科达齐方程，则除了空间中的位置差别外，存在唯一一张曲面，以外，存在唯一一张曲面，以 I 作为第一基作为第一基本形式，以本形式，以 II 作为第二基本形式作为第二基本形式返回章首例例 题题 选选 讲讲直接计算即可得直接计算即可得 k k (t) = 1 / a解解. . x = acost, y = asint，运用曲率计算公式，运用曲率计算公式1. 求平面曲线求平面曲线 r(t) = (acost, asint) 在任意点在任意点的曲率的曲率返回提示：提示：这是一个极坐标方程，将它化成直角这是一个极坐标方程，将它化成
112、直角坐标方程：坐标方程：r = (aj j cosj j, aj j sinj j)，然后再用，然后再用曲率计算公式进行计算注意曲率计算公式进行计算注意 j j 是曲线的是曲线的参数参数返回2.求曲线求曲线 r = aj j 的曲率的曲率提示：提示：用曲率计算公式得用曲率计算公式得k k (x) = ex / (1 + e2x)3/2. 然后求函数然后求函数 k k (x) 的极值点的极值点返回3. 求使曲线求使曲线 y = ex 的曲率取得极值的点的曲率取得极值的点 然后将然后将 t = 1 代入得所求代入得所求解解. .切线的方向向量为切线的方向向量为 r = (et, e-t, 2t)曲
113、线曲线在其上任意一点的切线方程是在其上任意一点的切线方程是4. 设有曲线设有曲线 C: x = et, y = e-t, z = t2， 求当求当 t = 1 时的切线方程时的切线方程返回解解. .设曲线为设曲线为 r = (x(t), y(t), z(t)，则切向量是，则切向量是 r = (3 3t2, 6t, 3 + 3t2)平面的法向量为平面的法向量为 n = (3,1,1)曲线的切向量平行于平面的充分曲线的切向量平行于平面的充分必要条件是必要条件是 rn，即，即3(3 3t2) + 6t + (3 + 3t2) = 0. 解这个方程可得解这个方程可得 t = 1, 2所求点为所求点为
114、( 2,3, 4) 和和 ( 2,12,14)。返回5. 曲线曲线 x = 3t t3, y = 3t2, z = 3t + t3 上哪些点上哪些点的切线与平面的切线与平面 3x + y + z + 2 = 0 平行平行?证明证明. . n充分性充分性. .根据假设条件可知根据假设条件可知 (r a)g g , 所以所以 (r a)2 = 2(r a) r = 2(r a) a a = 2 k k -1b b t t -1(k k -1) g g a a = 0， 因此因此 |r a|2 = c2，即曲线在以，即曲线在以 a 为中心、以为中心、以 c 为半径的球面上为半径的球面上返回6. 证明
115、曲线证明曲线 r = r(s)（ktkt 0）是球面曲线的）是球面曲线的充分必要条件是存在常向量充分必要条件是存在常向量 a 使得使得 r a = k k -1b b t t -1 (k k -1) g g .n必要性必要性. .若若 C 是半径为是半径为 c 的球面上的曲线，的球面上的曲线，令令 a 是球面的球心，则是球面的球心，则 r a 是球面的法向是球面的法向量，因此也是量，因此也是 C 的法向量，于是它可写成的法向量，于是它可写成 r a = ab b + bg g，其中，其中 a 和和 b 是两个函数是两个函数两边和两边和 b b 作内积得作内积得 a = (r a) b b =
116、k k -1r (r a) = k k -1r r = k k -1|a a|2 = k k -1. 另一方面，由于另一方面，由于 b b (r a) = b b (r a) + b b r =t tg g (r a)， 所以有所以有 b = (r a) g g = t t -1 b b (r a) = t t -1(k k -1) .返回证明证明. . 曲面的法线方程是曲面的法线方程是 R r = l lnn充分性充分性设法线过定点设法线过定点 R0，则，则 R0 r = l ln两边微分得两边微分得 dr = (dl l)n + l ldn，比较两边法，比较两边法向量的系数得向量的系数得
117、dl l = 0，即，即 l l 是常数，所以是常数，所以 |R0 r| = |l l|，这说明曲面是球面，这说明曲面是球面n必要性必要性. . 球面的法线都过球心，而球心是一球面的法线都过球心，而球心是一个定点个定点.返回7. 曲面为球面的充分必要条件是所有法线过定曲面为球面的充分必要条件是所有法线过定点点证明证明. . 两个方向两个方向 d = du:dv 和和 d d = d du:d dv 正交正交的充分必要条件是的充分必要条件是Edud du + F(dud dv + d dudv) + Gdvd dv = 0， 即即 Edd d + F(d + d d) + G = 0另一方面，另
118、一方面，d 和和 d d 是是 Pd 2 + 2Qd + R = 0 的两个根，所以的两个根，所以 dd d = R/P，d + d d = Q/P代入正交条件即可代入正交条件即可返回8. 求证：在曲面上的两族曲线求证：在曲面上的两族曲线Pdu2 + 2Qdudv + Rdv2 = 0 正交的充分必要条件是正交的充分必要条件是 ER 2FQ + GP = 0证明证明. . 因为因为 n 是是 P 点的单位法向量，所以点的单位法向量，所以 nu 和和 nv 是曲面在该点的切向量，因此是曲面在该点的切向量，因此 nunvn，即，即 rurvnunv，所以有，所以有 nunv = l l(rurv)
119、两边与两边与 rurv 作内积得作内积得(nunv) (rurv) = l l(rurv) (rvrv)返回9. 证明证明 nunv = K(rurv). 将此式两端运用拉格朗日公式得将此式两端运用拉格朗日公式得 (nu ru)(nv rv) (nu rv)2 = l l (ru ru)(rv rv) (ru rv)2, 即即 LN M2 = l l(EG F2)于是于是 l l = (LN M2) / (EG F2) = K 这样我们得到了这样我们得到了nunv = K(rurv).返回证明证明. . 设设 v = v1ru + v2rv，w = w1ru + w2rv，则，则W(v) =
120、v1nu v2nv，W(w) = w1nu w2nv 于是于是 vw = (v1w2 v2w1) rurv， W(v)W(w) = (v1w2 v2w1) nunv = (v1w2 v2w1) nunv = (v1w2 v2w1) Krurv = Kvw. 这里我们运用了这里我们运用了 nunv = Krurv返回10. 设有正则曲面设有正则曲面 S: r = r(u,v)，P 是是 S 上一点，上一点，TPS 是曲面是曲面 S 在在 P 点的切平面，点的切平面，v,wTPM证证明明 W(v)W(w) = Kvw11. 若曲面若曲面 S 的高斯曲率处处小于零，则曲面的高斯曲率处处小于零，则曲面 S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线地线 这不可能，因为等式左边为负，右边为正这不可能，因为等式左边为负，右边为正由于曲线光滑，所以由于曲线光滑，所以 S Si(p p a ai) = 0 又由于又由于 C = D 是测地线，所以是测地线，所以 k kg = 0 于是有于是有证明证明. . 如果存在，设为如果存在，设为 C，它所围城的区域，它所围城的区域设为设为 D，则由高斯，则由高斯-波涅公式为波涅公式为返回
