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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 第四章第四章 基本积分法基本积分法 : 直接积分法直接积分法 ;换元积分法换元积分法 ;分部积分法分部积分法 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分（见本节第一段）（见本节第一段）一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例本节内容本节内容: （Integration of several kinds of Special Functions）8/21/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、一、 有理函数的积分有理函数的积分(Integr
2、ation of Rational Function)两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：有理函数的定义：8/21/20242返回返回上页上页下页下页目录目录假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1）利用多项式除法）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和一个真分式之和.例如，例如，我们可将我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和8/21/20243返回返回上页上页下页下页目录
3、目录2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式8/21/20244返回返回上页上页下页下页目录目录（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为8/21/20245返回返回上页上页下页下页目录目录 为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫同
4、时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系待定系数法数法例例18/21/20246返回返回上页上页下页下页目录目录例例2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得：8/21/20247返回返回上页上页下页下页目录目录 我们也可以用我们也可以用赋值法赋值法来得到最简分式，比如来得到最简分式，比如前面的前面的例例2，两端去分母后得到，两端去分母后得到 8/21/20248返回返回上页上页下页下页目录目录例例3整理得整理得8/21/20249返回返回上页上页下页下页目录目录例例4 求积分求积分 解：解：例例28/21/202410返回返回上页上页下页下页目录目录例例5 求积分求积分 解：解：例例38/
5、21/202411返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 原式思考思考: 如何求提示提示: 变形方法同变形方法同例例6, 并利用并利用 第三节第三节 例例9 . 例例6 求8/21/202412返回返回上页上页下页下页目录目录注意：注意：有理函数的积分就是对下列有理函数的积分就是对下列三类函数三类函数的积分：的积分：多项式；多项式；主要讨论（主要讨论（3）积分）积分8/21/202413返回返回上页上页下页下页目录目录其中其中并记并记令令8/21/202414返回返回上页上页下页下页目录目录第三节第三节 例例9结论：结论： 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.8/21/2
6、02415返回返回上页上页下页下页目录目录解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构被积函数的结构寻求简便的方法. 例例7（补充题）（补充题） 求8/21/202416返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁例例8 （补充题）（补充题） 求点击看点击看“常规解法常规解法”8/21/202417返回返回上页上页下页下页目录目录二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换万能代换t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有
7、理式的积分则8/21/202419返回返回上页上页下页下页目录目录8/21/202420返回返回上页上页下页下页目录目录令令8/21/202421返回返回上页上页下页下页目录目录例例9 （课本例（课本例5）求求解：解：令则8/21/202422返回返回上页上页下页下页目录目录例例10（补充题）（补充题） 求解：解：一直做下去，一定可以积出来，只是一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦太麻烦。 由此可以看出，万能代换法不是最简方法，由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。能不用尽量不用。8/21/202423返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往
8、更方便 .的有理式用代换例例11（1987.III) 求8/21/202424返回返回上页上页下页下页目录目录令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分8/21/202425返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则原式例例12（课本课本 例例7）求8/21/202426返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令例例13 求（自学课本（自学课本 例例8）8/21/202427返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令则原式原式例例
9、14 求（自学课本（自学课本 例例9）8/21/202428返回返回上页上页下页下页目录目录本节小结本节小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法 , 简便计算简便计算 .简便简便 , 8/21/202429返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题4-4 奇数题奇数题思考与练习思考与练习1. 如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便 ?解解: （1）（2） 原式原式8/21/202430返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法 1 令原式2. 求8/21/202431返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法 2 令原式2. 求8/21/202432返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令原式3. 求8/21/202433
