《高等数学方明亮版课件25函数的微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学方明亮版课件25函数的微分（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回上页上页下页下页目录目录第五节第五节 函数的微分函数的微分 第二章第二章 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则二、微分的几何意义二、微分的几何意义一、微分的定义一、微分的定义 四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用（ Functions Differential ）五、五、本章小结与思考题本章小结与思考题8/21/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、微分的定义一、微分的定义引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶
2、无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其（Definition of Differentials）8/21/20242返回返回上页上页下页下页目录目录的微分微分,在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,定义定义 若函数8/21/20243返回返回上页上页下页下页目录目录证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即定理定理 函数8/21/20244返回返回上页上页下页下页目录目录在点 可微的充要条件充要条件是在点
3、 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则定理定理 函数8/21/20245返回返回上页上页下页下页目录目录时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当说明说明:8/21/20246返回返回上页上页下页下页目录目录二、微分的几何意义二、微分的几何意义切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量当 很小时,则有从而导数也叫作导数也叫作微商微商自变量的微分自变量的微分, 记作记8/21/20247返回返回上页上页下页下页目录目录又如又如,例如例如,8/21/20248返回返回上页上页下页下页目录目录三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1基本初等函
4、数的微分公式基本初等函数的微分公式 (参看课本表格参看课本表格)2函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)8/21/20249返回返回上页上页下页下页目录目录3复合函数的微分法则复合函数的微分法则分别可微 ,的微分为微分形式不变性微分形式不变性则复合函数求 例例1 解法解法1：解法解法2： 利用“微分形式不变性”8/21/202410返回返回上页上页下页下页目录目录求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例2 设例例3 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意注意
5、: 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.（点击看其他例子）（点击看其他例子）8/21/202411返回返回上页上页下页下页目录目录四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:8/21/202413返回返回上页上页下页下页目录目录很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明: 令得特别当8/21/202414返回返回上页上页下页下页目录目录的近似值 .解解: 设取则例例4 求8/21/202415返回返回上页上页下页下页目录目录的近似值 .解解:例例5 计算8/21/202416返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1. 微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量 )3. 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用8/21/202417返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题2-5 1；4（2）（）（4）（）（6）；）； 5（2）（）（4）（）（6）；）；8（5）思考与练习思考与练习1.8/21/202418返回返回上页上页下页下页目录目录由方程确定,求4. 设解解: 方程两边求微分, 得当时由上式得8/21/202419
