《史上最详细的平面曲线的弧长公式计算微积分讲课教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《史上最详细的平面曲线的弧长公式计算微积分讲课教案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长小结小结(xioji) (xioji) 思考题思考题 作业作业弧长的概念弧长的概念(ginin)(ginin)直角坐标直角坐标(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)情情形形参数方程情形参数方程情形7.47.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长极坐标情形极坐标情形第一页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长2 2设设A A、B B是曲线是曲线(qxin)(qxin)在在弧上插入弧上插入(ch r)(ch r)分点分点依次依次(yc)(yc)用弦用弦将将记每条弦记每条弦的长度为的长度为折线长度的极限折线长度的极限如果当分点无限增加
2、如果当分点无限增加, , 弧长(长度).弧上的两个端点弧上的两个端点, ,光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长. .则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧 ABAB的的相邻两点联结起来相邻两点联结起来, ,得到一条内接折线得到一条内接折线. .一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念第二页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长3 3弧长元素弧长元素(yun s)(yun s)弧长弧长小切线小切线(qixin)(qixin)段的段的长为长为: :弧段的长弧段的长, ,设曲线设曲线(qxin)(qxin)弧为弧为y y = f (x)= f (x)其中其中f f ( (x x) )在
3、在 a a, , b b 上有上有一阶连续导数一阶连续导数. .取积分变量为取积分变量为x x, ,任取小区间任取小区间在在 a a, , b b 上上二、直角坐标情形二、直角坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .( (弧微分弧微分) )以对应小以对应小切线段的长代替小切线段的长代替小第三页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长4 4解解所求弧长为所求弧长为例例悬链线方程悬链线方程(fngchng)(fngchng)计算计算(j (j sun)sun)介于介于 之间一段弧长度之间一段弧长度(chngd).(chngd).第四页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长
4、平面曲线的弧长5 5解解例例 计算计算(j sun)(j sun)曲线曲线的弧长的弧长第五页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长6 6曲线曲线(qxin)(qxin)弧弧为为弧长弧长其中其中(qzhng)(qzhng)在在a, ba, b上具有上具有(jyu)(jyu)连续导数连续导数. .三、参数方程情形三、参数方程情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .取参数取参数t t为积分变量为积分变量, ,其变化区间为其变化区间为对应于对应于上任一小区间上任一小区间的小弧段的的小弧段的长度的近似值长度的近似值, ,即即弧长元素弧长元素为为第六页，共13页。 7.4 平面曲
5、线的弧长平面曲线的弧长7 7解解 星形线的参数星形线的参数(cnsh)(cnsh)方程为方程为对称性对称性第一第一(dy)(dy)象限部分的象限部分的弧长弧长例例求星形线求星形线的全长的全长. .第七页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长8 8证证设正弦设正弦(zhngxin)(zhngxin)线的弧线的弧长等于长等于s1s1设椭圆设椭圆(tuyun)(tuyun)的周长的周长为为s2s2证明证明(zhngmng)(zhngmng)正正弦线弦线例例的弧长的弧长等于椭圆等于椭圆的周长的周长. .对称性对称性第八页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长9 9曲线曲线(qx
6、in)(qxin)弧弧为为弧长弧长具有具有(jyu)(jyu)连续连续导数导数. .四、极坐标情形四、极坐标情形(qng (qng xing)xing)现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度. .由直角坐标与极坐标的关系：由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素弧长元素为为 为参数的为参数的参数方程参数方程第九页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1010解解求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线(qxin)(qxin)例例的长的长. .第十页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1111解解求阿基米德求阿基米德( j m ( j m d)d)螺线螺线例例第十一页，共13页
7、。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1212平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念(ginin)(ginin)直角坐标直角坐标(zh jio (zh jio zu bio)zu bio)系下系下参数参数(cnsh)(cnsh)方程情形方程情形下下极坐标系下极坐标系下求弧长的公式求弧长的公式四、小结四、小结第十二页，共13页。 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1313思考题思考题解答解答(jid)(jid)仅仅仅仅(jnjn)(jnjn)有曲线连续还不有曲线连续还不够够, , 不一定不一定(ydng).(ydng).必须保证曲线光滑才可求长必须保证曲线光滑才可求长. .闭区间闭区间 a a, , b b 上的连续曲线上的连续曲线 y y = f f ( (x x) )是否是否一定可求长一定可求长? ?第十三页，共13页。
