【典型例题】第五章线性微分方程组_高等教育-微积分

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1、学习必备 欢迎下载 第五章 线性微分方程组 5-1 考虑方程组 xAx)(tdtd （1） 其中)(tA是区间bta上的连续nn矩阵，它的元素为njitaij, 2 , 1,),(， 1）如果)(,),(),(21tttnxxx是（1）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式)()(,),(),(21tWtxtxtxWn满足下面的一阶线性微分方程 WtatataWnn)()()(2211 （2） ； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式： ,)()(0)()(0011battetWtWttnndssasa 。 证 1）根据行列式的微分公式 )()()()()()()()()()()()()

2、()()()()()()(122111112211111221111txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnnnnnnnnnnn（3） 由于)(,),(),(21tttnxxx是（1）的解，所以 njjknjnjjkjnjjkjnkkknnnnnktxtatxtatxtatxtxtxtatatatatatat11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()( x， 所以njjkijiknkitxtatx1),2, 1,(),()()(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于

3、 学习必备 欢迎下载 )()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111tWtatxtxtxtxtxtxtatxtxtxtxtxtatxtannnnnnnnnnjjnjnjjj 类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22tWtatWtann，代入（3）得 WtatataWnn)()()(2211 （2） 2）方程（2）是关于)(tW的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ttnndssasaCetW011)()()(，C为任意常数。 若)(,00tWWtt，则 )(0tWC ， 于是 ttnndssasaetWt

4、W011)()(0)()(。 评注：公式 ttnndssasaetWtW011)()(0)()(称为刘维尔公式，反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵)(tA的关系。)()()()(22111tatatatannniii称为矩阵)(tA的迹，记为)(ttrA，所以刘维尔公式又可表示为ttdsstretWtW0)(0)()(A。从公式中可以看出，线性齐次方程组（1）的n个解构成的朗斯基行列式)(tW或者恒为零，或者恒不为零。 5-2 设)(tA为区间bta上连续的nn实矩阵，)(t为方程xAx)(t的基本解矩阵，而)(tx 为其一解。试证： 1） 对于方程yAy)(tT的任一解)(ty 必有)()(

5、ttT常数； 2） )(t为方程yAy)(tT的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使C)()(ttT。 证 1） 由于)(ty 为方程yAy)(tT的解，则 )()()(tttTA， 两边转置，得 )()()(tttTTA，即 )()()(tttTTA。 因为 )()()()()()(ttttdtttdTTT 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹

6、记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 )()()()()()(ttttttTTAA 0 ， 所以必有)()(ttT常数。 2） 必要性。 由于)(t为方程yAy)(tT的基本解矩阵， 则 )()()(tttTA， 转置后，得 )()()(tttTTA。 因为 )()()()()()(tt

7、ttdtttdTTT )()()()()()(ttttttTTAA 0 （零矩阵） 。 所以 C)()(ttT（常数矩阵） ，而)(t和)(t都是基本解矩阵，因而C还为非奇异矩阵。 充分性。由于存在非奇异的常数矩阵C，使 C)()(ttT， 两边关于t求导数，有 )()()()()()(ttttdtttdTTT 0)()()()()(tttttTTA 即 )()()()()(tttttTTA， 而)(t是基本解矩阵，则)(t为非奇异矩阵，故有 )()()(tttTTA，即 )()()(tttTTA，两边再转置，得 )()()(tttTA， 即证明了)(t为方程yAy)(tT的基本解矩阵。 评注

8、：由证明过程可以看出，方程yAy)(tT和xAx)(t的解曲线之间满足 )()(ttT常数。 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩

9、阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 5-3 设)(t是n阶线性方程组 Axxdtd （A是nn的常数矩阵） 的标准基本解矩阵， （即E)0(）证明 )()()(001tttt 其中0t为某一值。 证 因)(t为基本解矩阵，则有 )()(tdttdA，0)(dett )()()(000ttttdttdA， 即 )()(00ttdtttdA， 所以)(0tt 也是基本解矩阵。 由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故 C)()(0ttt， 由条件E)0(得，EC) 0()(0t，即得 )(01t C

10、，所以有 )()()(001tttt。 评注：这是标准基本解矩阵的一个性质，即)exp()exp()exp(00AAAtttt。 5-4 试求下列方程的通解 1）22,secttxx， 2）texx28 。 解 1）i2, 12, 01，齐次方程的基本解组为ttxttxsin)(,cos)(21 所以1cossinsincos)(),(21tttttxtxW，取00t，利用常数变易公式 dssfsxsxWsxtxsxtxttt)()(),()()()()()(0212112 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所

11、以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 可得原方程的特解为 ttttdssststttcoslncossincos1)sincosco

12、s(sin)(0 ， 原方程的通解为tCtCttttxsincoscoslncossin21。 2）083，i 31, 23 , 21， 齐次方程基本解组为tetxtetxetxttt3sin)(,3cos)(,)(3221。 利用常数变易公式，原方程满足初始条件的特解为： dssfsxsxsxWsxsxsxWtxtktkk)()(),(),()(),(),()()(310321321， 其中)(),(),(321sxsxsxWk是在朗斯基行列式)(),(),(321sxsxsxW中的第k列代以T1 , 0 , 0后得到的行列式。 经计算可得 ),3cos33sin3()(),3cos33si

13、n3()(,3)(,312)(3221ttetWttetWetWtWttt 可得原方程的特解为teteetettttt3sin57633cos1925241121)(22 ， 原方程的通解为 tttteeCetCtCx22321121)3sin3cos(。 评注： 此题主要是常数变易公式的应用。 常数变易公式表明线性非齐次方程的特解可以由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示。当然，此题中的 2）用待定系数方法求特解会更简单。 5-5 给定方程 )(78tfxxx 其中)(tf在 t0上连续，试利用常数变易公式，证明： 1）如果)(tf在 t0上有界，则上面方程的每一个解在 t0上有界； 它

14、们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两

15、边关学习必备 欢迎下载 2） 如果当t时0)(tf， 则上面方程的每一解)(t， 满足)( 0)(tt当。 证 1）1, 7, 078212，齐次方程有基本解组ttee7, ttttteeeeetW87767)(。 利用常数变易公式：dssfsxsxWsxtxsxtxttt)()(),()()()()()(0212112 可得原方程的一个特解 dssfeeeeetststst)()(61)(7780 tsttstdssfeedssfee0770)(61)(61 ， 所以原方程的任一解为 tsttstttdssfeedssfeeeCeCt0770721)(61)(61)(。 因为)(tf有界，故

16、存在0M，使得), 0,)(tMtf，而在 t0上，10 te，故在 t0上有 MCCeMeMCCdseeMdseeMCCttttsttst214)1 (42)1 (6 66)(21721077021 所以，每一个解)(t在 t0上有界。 2）因为tsttstttdssfeedssfeeeCeCt0770721)(61)(61)(，又t时0)(tf， 所以若tsdssfe0)(和tsdssfe07)(均有界，则当t时，0, 07ttee 因而，对每一个解)(t都有0)(t。 设tsdssfe0)(和tsdssfe07)(都是无穷大量，则 )(lim)(lim61)(lim61)(lim7217

17、070tttttstttstteCeCedssfeedssfet 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而

18、和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 07)(lim61)(lim6177ttttttetfeetfe 。 所以，方程的每一个解)(t，满足0)(t，当t。 评注：一般地，对于高阶常系数线性非齐次方程有如下结论：若其对应齐次方程的特征根的实部均为负， 则当非齐次项)(tf在 t0上有界， 则方程的每一个解在 t0上有界；若当t时0)(tf，则方程的每一个解)(t，满足0)(t，当t。 5-6 给定方程组 xAx)(tdtd （1） 这里)(tA是区间bta上连续的nn矩阵，设)(t是方程（1）的一个基本解矩阵，n维向量函数),(xF t在b

19、ta，x上连续，,0bat ，试证明初值问题 xFxAx)(),()(0ttt （2） 的解)(t是积分方程组 dsssstttttt)(,()()()()()(1010xFx （3） 的连续解。反之， （3）的连续解也是初值问题（2）的解。 证 因为)(t是初值问题 （2） 的解， 所以)(,()()()(tttttFA， 这说明),(xF t是t的向量函数，且)(t是线性非齐次方程组)(,()(tttFxAx的满足初始条件)(0t解，于是有 dsssstttttt)(,()()()()()(1010F， 这说明)(t是积分方程组（3）的连续解。 反之，设)(t是积分方程组（3）的连续解，则

20、有（3）式成立，微分（3）的两边得 )(,()(,()()()()()(,()()()(,()()()()()(001011101ttdsssstttttttdssssttttttttFFFF 又)(t是基本解矩阵，)()()(tttA， 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或

21、者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 所以 )(,()(,()()()()()()()(0101ttdssssttttttttFFAA )(,()(,()()()()()(0101ttdssssttttttFFA )(,()()(ttttFA 且)(0t，故)(t也是初值问题（2）的解。 评注：方程组),()(xFxAxtt虽是线性非方程组，但和它等价的积分方程组在形式

22、上与线性非齐次方程组的常数变易公式相同。 这个积分方程组在微分方程定性理论方面有广泛的应用。 5-7 试 证 ： 如 果)(t是 方 程 组Axx 满 足 初 始 条 件)(0t的 解 ， 那 么A)(exp)(0ttt。 证 由于方程组Axx 的基本解矩阵是)exp(tA。 设)(t的形式为 CA)exp()(tt （1） ， 则由初始条件得 CA)exp()(00tt， 而 )exp()exp(010ttAA， 所以 AC)exp(0t，代入（1）得 A)(exp)(0ttt。 评注：一阶常系数线性齐次微分方程组Axx 的标准基本解矩阵为)exp(tA；通解为CA)exp()(tt ；满足

23、初始条件)(0t的解为A)(exp)(0ttt。 5-8 试求方程组Axx 的一个基本解矩阵，并计算)exp(tA，其中A为： 1） 2112 2）244354332 3）115118301 解 1）由2112)det(AE032，得 32, 1。 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯

24、基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 又由代数方程组 023112321uu， 求得属于特征值31的特征向量为3211u。 同理属于特征值32的特征向量为 3212u。 所以基本解矩阵为 2313uuttee(t) tttteeee3333)32()32(。 标准基本解矩阵为 )e x p (tA) 0()(1t 133333232113232tttteeee

25、 1321323232633333tttteeee tttttttteeeeeeee333333333232323263。 2）由 1) 1(0354332244354332)det(AE 100324302 0) 2)(2)(1(， 得特征根为221321,。 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的

26、个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 由特征向量方程组244354332000321uuu，分别求得属于特征根321,的特征向量为011 ，110 和111 ， 所以基本解组为 111,110,011)(22ttteeetttttttteeeeeee2222200。 标准基本解矩阵为 )exp(tA) 0()(1t 122222110111101

27、00ttttttteeeeeee 1110111100022222ttttttteeeeeee ttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeee2222222222222 3）由 115118301)det(AE 091523， 得特征根为31 ，723 , 2 。 由特征向量方程组115118301000321uuu，分别求得属于特征根321,它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线

28、性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 的特征向量为34371 ，37135741 ，和37137451， 所以基本解组为 37135741,37135741,34371)()72()72(3ttteeet ttttttttteeeeeeeee)

29、72()72(3)72()72(3)72()72(3371371343574357437。 标准基本解矩阵为 )e x p (tA) 0()(1t ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(33713713435743574371371371343574357437111 741ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(337137134357435743737423757337423757337837272 由于所求标准基本解矩阵表达式占空间比较大，我们将它的每一列表示如下： 它们的朗斯基行列式满足下

30、面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载

31、 ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(337410374103783713377133714)73()73(72741， )t()t(t)t()t(t)t()t(teeeeeeeee727237272372723974297429789725539725539714375375372741， ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(39722697226973297281229728122975637423274378741。 评注： 求基本解矩阵或标准基本解矩阵是求解线性方程组的基础。 对于常

32、系数线性方程组， 且其系数矩阵的特征值为互不相同的单根时， 求基本解矩阵的关键是转化为求系数矩阵的特征值和特征向量的问题。 5-9 给定方程组 02023221122111xxxxxxxxx （1） 1）试证上面方程组等价于方程组Auu （2） ； 其中211321xxxuuuu，112244010A。 2）试求与(1) 等价的方程组（2）的基本解矩阵； 3）试求原方程组满足初始条件0) 0(, 1) 0(, 0) 0(211xxx的解。 证 1）令231211,xuxuxu，则方程组（1）化为 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微

33、分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 31233312221223uuuuuuuuuuu， 将上式的第三式代入

34、第二式得 32133212212244uuuuuuuuuu， 上式向量形式为 uu112244010， 即 Auu （2） 。 反之，设322111,uxuxux，则方程组（2）化为 211221112244xxxxxxxx，即211221121112)2(32xxxxxxxxxxx， 可得 211222111223xxxxxxxxx。 解 2） 求方程组(2)的基本解矩阵。 第一步 求特征根和特征向量 由0) 1)(2(11224401)det(AE，得特征根为 210321,。正是互不相同的单根。 由0uA)uE112244010(1，得 02011,u， 由0uA)uE212234011

35、(2， 得 021112,u， 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵

36、充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 由0312224012(2uA)uE， 得 00213,u。 第二步 求标准基本解矩阵 取 2011v，21112v，0213v， 则基本解矩阵为 0212201,)(2232210tttttttteeeeeeeetvvv， 所以，由于标准基本解矩阵 ) 0()()exp(1Att， 所以有 12322241211021220102122101110212201)exp(22122tttttttttteeeeeeeeeetA ttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeee21222232442123221241 22222

37、2。 3）求原方程组满足初始条件0) 0(, 1) 0(, 0) 0(211xxx的解。 解法 1 令231211,xuxuxu，则（1）化为等价的方程组（2）且初始条件变为0) 0(, 1) 0(, 0) 0(321uuu，而（2）满足此初始条件的解为 A )exp(t01021222232442123221241222222ttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeee 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公

38、式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 ttttteeeee1322322122。 于是根据等价性， （1）满足初始条件的解为：tttexeex1,23221221。 解法 2 拉普拉斯变换法。 设)(txi的拉普拉斯变换

39、记为)(sXi，2 , 1i。 在方程组两端施行拉普拉斯变换得 0)()()(2)(0)()()(2)(31)(2211221112sXssXsXssXsXssXsXssXsXs ， 即 0)() 1()() 2(1)() 1()() 23(21212sXssXssXssXss ， 解得 2123112121)(1ssssX， 111) 1(1)(2sssssX。 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为 tteetx2123221)(，tetx 1)(2。 评注：高阶方程组可转化为一阶方程组，且它们对应的初值问题是等价的。利用这个等价原理， 有时在解方程组时消去某几个未知函数， 使方程组用一

40、个未知函数及其各阶导数来表示，从而转化为高阶方程的求解问题；有时也可将高阶方程组转化为一阶方程组来求解；有时也可直接求解高阶方程（组） ，拉普拉斯变换法就具有这样的功能，见 5-12题。 5-10假设m不是矩阵A的特征值，试证线性非齐次方程组mteCAxx有一解形如mtetP)(，其中PC,是常数向量。 证 设方程有形如mtetP)(的解，下面证明P是可以唯一确定的。 事实上，将mteP代入方程组，得 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载

41、类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 mtmtmteeemCAPP， 因为0mte，所以有 CAPPm， 即 CA)PEm(， 又因m不是矩阵A的特征值，即0)det(AEm， 所以1)(AEm存在，于是由

42、CA)PEm(，得 CA)EP1(m， 即P可由方程组唯一确定。 故方程确有一解mtmteemtPCA)E 1()(。 评注：本题给出寻求线性非齐次方程组特解的一种方法。 5-11 试求方程组)(tfAxx的满足初始条件的解)(t： 1） 0) 0(，6116100010A， tet00)(f 2） 21) 0(，1234A，tttcos2sin)(f 3） 11) 0(，2012A ，tet20)(f 解 1） 由 611661161001)det(23AE 0) 3)(2)(1(， 特征根为321321,。 由特征向量方程组00061161001321uuu，分别求得属于特征根321,的特

43、征它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵

44、使两边关学习必备 欢迎下载 向量为931,421,111， 所以基本解组为 931,421,111)(32ttteeetttttttttteeeeeeeee3232329432， 标准基本解组为 ) 0()()exp(1Att ttttttttteeeeeeeee32323294321941321111 ttttttttteeeeeeeee323232943221131286156 ttttttttttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee3232323232323232329827325182463491656126238526621 由常系

45、数线性非齐次微分方程组的满足初始条件)(0t的求解公式 Ax)exp()(0tttttdssst0)()exp(fA， 所求特解为 000)exp()(ttAtsdsest000)exp(A dseeeeeeeeeestststststststststst03322332233229834221 dseeeeeeeeetststtststtststt02322322329834221 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称

46、为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 tttttttttttteeeteeeeteeeete32323249447214325421414321。 2） 首先求出1234A的特征值与其对应的特征相量。 0211234detA

47、E 由此得2, 121。 对于, 11其特征向量方程组为 0u2233 。 由此可得111u。同样，对于22，有0u3232，由此可得232u。 再求齐次方程组的基本解矩阵。 齐次方程组的两个线性无关解为te11，te223。 齐次方程组的基本解矩阵为tttteeeet2223)(。 由于ttsseeees22132)(，则1132) 0(1， 所以标准基本解矩阵为113223) 0()(1tttteeeet 。 最后求方程满足初始条件21) 0(的解)(t。 由于线性非齐次微分方程组 )()(ttdtdfxAx 的满足初始条件)(0t的解为 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面

48、的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 ttdssstttt0)

49、()()()()()(101f 所以 dssseeeeeeeeeeeettssssttttttttcos2sin3223113223022222122 14cossin2cos4232)()32(3)()32(22221212121tetteeeeeeeeetttttttttttteetteettttsin2cos22) 1() 432(sin2cos3) 1() 432(21212121。 3）由于系数矩阵2012A是若当标准型矩阵，所以对应线性齐次方程组的基本解矩阵为 ttteteet2220)(， 其逆矩阵为 tett21101)(，1001) 0(1。 由线性非齐次方程组的特解公式得

50、tdsssttt011)()()(11) 0()()(f tttttteteeetee2222220110dsesests2020101 dssteteeeteettttttt 022222210 tteteeeteetttttt2222222210 tttttteetetee22222221 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为

51、从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 tettt221211 评注：线性非齐次方程组求特解可以直接用公式 ttdssstttt0)()()()()()(101f 和公式 A)exp()(0tttttdssst0)()exp(fA， 两者的区别在于前者基于一般的基本解矩阵， 而后基于标准基本解矩阵。 线性非齐次方程组

52、求特解也可先得到通解表达式，再通过初始条件确定通解中的任意常向量。 5-12 求下列初值问题的解。 1）102121xxxx ，0) 0(, 1) 0(21 2）02023221122111xxxxxxxxx ，0) 0(, 1) 0(, 1) 0(211 解 用拉普拉斯变换法。设)(txi的拉普拉斯变换记为)(sXi，2 , 1i。 1）在方程组两端施行拉普拉斯变换得 sssXssXssXssX1)(1)(0)(1)(2121 ， 即 sssXsXssXsX11)()(1)()(22121 ， 解得 sssX121)(21，221)(ssX。 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为 121

53、)(1 ttx，ttx21)(2。 2）在方程组两端施行拉普拉斯变换得 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数

54、矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 0)()()(21)(0)()()(23)(31)(2211221112sXssXsXssXsXssXsXssXssXs ， 即 1)() 1()() 2(2)() 1()() 23(21212sXssXsssXssXss ， 解得 2112111322141)(1ssssX， )2111(31) 2)(1(1)(2sssssX。 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为 ttteeetx2211213241)(，)(31)(22tteetx。 评注： 用拉普拉斯变换法求初值问题的解时非常方便，

55、不需要把高阶方程组化为一阶方程组，更不需要求对应齐次方程组的解本解矩阵，但注意此方法仅适用于常系数线性方程（组） 。 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于

56、为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关学习必备 欢迎下载 它们的朗斯基行列式满足下面的一阶线性微分方程解上面的一阶线性微分方程证明下面的公式证根据行列式的微分公式由于是的解所以所以把这些等式代入的右端化简计算每个行列式如式右端第一项等于学习必备欢迎下载类似地可评注公式称为刘维尔公式反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵的关系称为矩阵的迹记为所以刘维尔公式又可表示为从公式中可以看出线性齐次方程组的个解构成的朗斯基行列式或者恒为零或者恒不为零设为区间上连续的实矩阵为矩阵使证由于为方程的解则两边转置得即因为学习必备欢迎下载所以必有常数必要性由于为方程转置后得的基本解矩阵则因为零矩阵所以常数矩阵而和都是基本解矩阵因而还为非奇异矩阵充分性由于存在非奇异的常数矩阵使两边关