第二讲第二讲 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算•内容提要内容提要• 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算•教学要求教学要求• 理解和熟练掌握二重积分的计算理解和熟练掌握二重积分的计算 预备知识：预备知识：(1) (1) 曲顶柱体体积：曲顶柱体体积：(2)(2)在直角坐标下，在直角坐标下，x二重积分二重积分(3)(3)平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 如果积分区域为如果积分区域为（（1 1〕〕X X－型区域－型区域1.1.对积分区域的讨论：对积分区域的讨论：X-X-型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y y 轴的直线与区域边界轴的直线与区域边界相交不多于两个交点相交不多于两个交点. .1.1.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 如果积分区域为如果积分区域为（（2 2〕〕Y Y－型区域－型区域Y-Y-型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x x 轴的直线与区域边界相交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点. . 可以用平行于坐标轴的直线可以用平行于坐标轴的直线(3) (3) 一般区域：一般区域：把把 D D 分解成有限个分解成有限个 x-- x--型区域或型区域或y--y--型区域型区域 2.2.二重积分的计算公式：二重积分的计算公式： 通常写成：通常写成： 如果积分区域为如果积分区域为 [y-- [y--型型] ]：：类似的有：类似的有：通常写成：通常写成： 计算二重积分需要注意以下几点：计算二重积分需要注意以下几点： (1) (1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定在计算二重积分时，首先根据已知条件确定积分区域积分区域 D D 是是 x- x-型还是型还是 y- y-型区域，由此确定将型区域，由此确定将二重积分化为先二重积分化为先y y后后x x的二次积分还是先的二次积分还是先x x后后y y的二次积分。
的二次积分 (2) (2)当积分区域当积分区域 D D 既是既是x-x-型区域，又是型区域，又是y-y-型型区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积分顺序：分顺序：先先y y后后x x 先先x x后后y y (3) (3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D D 的的则必须分割区域则必须分割区域 D D 根据二重积分的性质根据二重积分的性质交线多于两个交点，交线多于两个交点， 如图 解法一：解法一：D D 为为 X-- X--型区域型区域二重积分化为先二重积分化为先 y y 后后 x x 的二次积分的二次积分 解法二：解法二：D D 为为 Y-- Y--型区域型区域二重积分化为先二重积分化为先 x x 后后 y y 的二次积分的二次积分 解解将将 D 化为化为 X--型区域型区域 将将 D 化为化为 Y--型区域型区域 D D 为为 X-- X--型区域型区域 解：画出积分区域解：画出积分区域 D D 的图形的图形. .求出各个交点，如图求出各个交点，如图将将 D D 化为化为 X-- X--型区域型区域 将将 D D 化为化为 Y-- Y--型区域型区域 这样计算量这样计算量 就比就比 X-- X--型区域的计算量大的多型区域的计算量大的多因而，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。
因而，计算二重积分时，要适当的选择积分区域 D D 为为 y- y-型区域型区域 解解 将将 D 化为化为 X--型区域型区域无法用初等函数表示无法用初等函数表示, 无法积分无法积分. 将将 D 化为化为 Y--型区域型区域 解解积分区域由两个积分区域由两个y-y-型区域构成型区域构成转化积分区域为转化积分区域为 Y- Y-型区域型区域积分区域为积分区域为 X- X-型区域型区域 解解由原积分知，积分区域为由原积分知，积分区域为两个两个Y-Y-型区域型区域转化积分区域为转化积分区域为 X- X-型区域型区域 解解积分区域由两个积分区域由两个X-X-型区域构成型区域构成转化积分区域为转化积分区域为 Y- Y-型区域型区域的次序的次序. 二重积分在直角坐标下的计算二重积分在直角坐标下的计算（在积分中要正确选择积分次序）（在积分中要正确选择积分次序）小小 结结［［Y－型］－型］［［X－型］－型］ 解解积分区域为积分区域为 X- X-型区域型区域（如图）（如图）故故 原式原式转化积分区域为转化积分区域为 Y- Y-型区域型区域改变积分改变积分的次序的次序. 练练 习习 。