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1、第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器现代控制理论基础现代控制理论基础主讲人主讲人: :荣军荣军E-mail:rj1219E-mail:rj1219 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-1 3-1 线性定常系统的综合线性定常系统的综合- -引言引言 在第一章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的在第一章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的运动，从而了解系统的运动形态。第二章介绍了系统的能控性和运动，从而了解系统的运动形态。第二章介绍了系统的能控性和能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概能观测性。第四章是系统稳定性问题
2、。如果将上述研究的内容概括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性能或特性，即所谓系统分析问题。能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从量系统的状态，再用
3、状态来确定被控对象上所加的控制输人，从而构成状态反馈系统。而构成状态反馈系统。 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢?这是这是本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构方法。设计状态观测器。实现反馈的情况，通过状态重构方法
4、。设计状态观测器。 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-23-2状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈一、经典控制理论：一、经典控制理论： 在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求
5、，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。 二、状态反馈：二、状态反馈：线性定常系统方程为：线性定常系统方程为： 其中状态其中状态x x、输入、输入u u和输出和输出y y分分别为别为n n、r r、m m维向量。维向量。A A、B B、C C、D D为满足矩阵运算的矩阵。为满足矩阵运算的矩阵。 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器假定有可能设置假定有可能设置n n个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。其反
6、馈控制律为其反馈控制律为 ：u=V-Kxu=V-Kx ，其中其中 K K为为rnrn型反馈增益矩阵型反馈增益矩阵;V;V为为r r维输入向量维输入向量 。构成的状态反馈系统如下图所示构成的状态反馈系统如下图所示 ：状态反馈系统方程为状态反馈系统方程为 ：比较与讨论：比较与讨论：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器1)1)状态反馈不增加新的状态变量状态反馈不增加新的状态变量 ;2)2)状态反馈对输入矩阵状态反馈对输入矩阵B B和直接传输矩阵和直接传输矩阵D D无影响；无影响； 3)3)系统的系数矩阵由系统的系数矩阵由A A变成变成(A-BK)(A-BK) ；4)4)输出矩阵
7、由输出矩阵由C C变成变成(CDK)(CDK) ； 系系统统的的瞬瞬态态性性能能主主要要由由系系数数矩矩阵阵决决定定。A A、B B阵阵是是已已知知的的，不不能能改改变变。K K阵阵可可以以在在一一个个很很宽宽范范围围内内选选择择。因因此此，通通过过适适当当的方法选择反馈阵的方法选择反馈阵K K，就可以使系统达到希望的控制目的。，就可以使系统达到希望的控制目的。 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-33-3状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的能控性和能观测性线性定常系统方程为：线性定常系统方程为： 引入状态反馈引入状态反馈u=V-Kx后，系统后，系统方程为：方
8、程为： 对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同样具有很重对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同样具有很重要的意义。那么，引入状态反馈的系统能控性、能观测性与要的意义。那么，引入状态反馈的系统能控性、能观测性与未引入状态反馈的情况下的系统能控性、能观测性有什么关未引入状态反馈的情况下的系统能控性、能观测性有什么关系呢系呢? ?换句话说，状态反馈对系统能控性、能观测性有无影响换句话说，状态反馈对系统能控性、能观测性有无影响呢呢? ?这个问题的结论是状态反馈不改变系统的能控性，但可能这个问题的结论是状态反馈不改变系统的能控性，但可能改变系统能观测性。改变系统能观测性。 第四章第四章 系统的状态反馈及
9、观测器系统的状态反馈及观测器定理一：对于任何常值反馈阵定理一：对于任何常值反馈阵K K，状态反馈系统能控的充分必要条，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控件是原系统能控 。因此引入状态反馈不改变系统的能控性。因此引入状态反馈不改变系统的能控性。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-33-3极点配置极点配置 状态反馈系统购稳定性和瞬态性能主要是由系统极点决定状态反馈系统购稳定性和瞬态性能主要是由
10、系统极点决定的。如果引人状态反馈将系统的极点配置在的。如果引人状态反馈将系统的极点配置在S S左半平面的希望左半平面的希望位置上，则可以得到满意的系统特性。位置上，则可以得到满意的系统特性。 一个系统引入状态反一个系统引入状态反馈馈可以任意配置极点的条件是原系可以任意配置极点的条件是原系统统能控能控。现现在介在介绍单输绍单输入入单输单输出系出系统统的极点配置的极点配置 一、极点配置介绍一、极点配置介绍系统方程为系统方程为 A A、B B一一定定，配配置置系系统统的的极极点点，就就是是确确定定K K阵阵。通通过过计计算算合合适适的的K K阵，将系统极点配置在阵，将系统极点配置在S S平面上所平面
11、上所希望的位置。希望的位置。 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器例：线性定常系统状态方程为例：线性定常系统状态方程为 引入状态反馈配置系统的极点为引入状态反馈配置系统的极点为S S1,21,2-1 j,s-1 j,s 3 322，试确定，试确定反馈阵反馈阵K K 。2)2)希望的状态反馈系统特征多项式为希望的状态反馈系统特征多项式为 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第
12、四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-43-4状态重构和状态观
13、测器状态重构和状态观测器 引入状态反馈可以得到较好的系统性能，而实现状态反引入状态反馈可以得到较好的系统性能，而实现状态反馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到，但是由于种馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到，但是由于种种原因，状态变量不是都可以测量得到的。种原因，状态变量不是都可以测量得到的。 这就要求用系统的输入量和输出量重新构造全部状态。这就要求用系统的输入量和输出量重新构造全部状态。一、状态观测器的定义一、状态观测器的定义第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器BAABC 图图4-5 开环估计方案开环估计方案由于图由于图4-5 中未能利用系统的输出信息对误差进中
14、未能利用系统的输出信息对误差进行矫正行矫正,所以该图得到的估计值是一个开环估计值所以该图得到的估计值是一个开环估计值一般系统的输入量一般系统的输入量 和输出量和输出量 均为已知均为已知,因此希因此希望利用望利用 的偏差信号来修正的偏差信号来修正 的值的值,这样形成了图这样形成了图3-4的闭环估计方案的闭环估计方案 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器BBHCAACuxy_ 闭环估计方案闭环估计方案在上图中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是在上图中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是一个动态系统，以原系统的输入量和输出量作为一个动态系统，以原系统的输入量和
15、输出量作为它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值，应当满足下式计值，应当满足下式第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器二、全维观测器的结构二、全维观测器的结构第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器三、相关定理三、相关定理1)系统的状态观测器存在的充分必要条件是系统能观测或系系统的状态观测器存在的充分必要条件是系统能观测或系统不能观测但其不能观测的子系统的特征值有负实部。统不能观测但其不能观测的子系统的特征值有负实部。2)系统的状态观测器可任意配置特征值的充分必要条件是系系统的状态观测器可任
16、意配置特征值的充分必要条件是系统能观测。统能观测。四、计算方法四、计算方法第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器系统期待的多项式系统期待的多项式f*=（s+3)(s+4)(s+5）=s3+12s2+47s+60第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状
17、态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器 设计状态观测器时，需要选择希望的特征值。确定希望设计状态观测器时，需要选择希望的特征值。确定希望特征值的原则有如下几点：特征值的原则有如下几点：1、希望的特征值一定要具有负实部，而且要比原系统的特、希望的特征值一定要具有负实部，而且要比原系统的特征值更负，这样重构的状态可以尽快地趋尽状态征值更负，这样重构的状态可以尽快地趋尽状态x。2、状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太、状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负。若特征值太负，状态观测吕的频带很宽，抗干扰能力负。若特征值太负，状态观测吕的频带很宽，抗干扰能力低。低。3、系统的参数严格
18、地说，随着运行情况不同，是变化的。、系统的参数严格地说，随着运行情况不同，是变化的。因此选择状态观测器的特征值时，应考虑到不致因为参数因此选择状态观测器的特征值时，应考虑到不致因为参数的变化引起状态观测器的性能有大的变化，以致于失衡。的变化引起状态观测器的性能有大的变化，以致于失衡。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-53-5降阶观测器降阶观测器 在上一节所介绍的状态观测器，由于它的维数同原系统在上一节所介绍的状态观测器，由于它的维数同原系统的维数相同，这种状态观测器称为全维状态观测器。的维数相同，这种状态观测器称为全维状态观测器。 1964年，龙伯格认为，一个年，龙
19、伯格认为，一个n维系统，它的输出量维系统，它的输出量y(t)总总是可以直接测量的，因此状态观测器的维数可以小于是可以直接测量的，因此状态观测器的维数可以小于n。这。这种状态观测器就称为降阶观测器或龙伯格观测器。种状态观测器就称为降阶观测器或龙伯格观测器。一、降阶观测器的维数一、降阶观测器的维数当当rankC=m，表示，表示m个输出向量是线性无关的，可由它们组个输出向量是线性无关的，可由它们组成成m个状态变量的信息，这样只需要重构个状态变量的信息，这样只需要重构n-m个状态变量就可个状态变量就可以了，所以降价观测器的最小维数是以了，所以降价观测器的最小维数是n-m。第四章第四章 系统的状态反馈及
20、观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器二、降阶观测器的存在条件及其构成二、降阶观测器的存在条件及其构成第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器 因此我们研究降阶观测器的存在条件及构成方法就转化因此我们研究降阶观测器的存在条件及构成方法就转化为构造上式的子系统全阶状态观测器的存在条件和构成方法。为构造上式的子系统全阶状态观测器的存在条件和构成方法。 则可得到如下结论：若系统能观测，子系统也能观则可得到如下结论：若系统能观测，子系统也能观测；如果子系统能观测，则可以任意配置它的状态观测测；如果子系统能观测，则可以任意配置它的状态观测
21、器的特征值。器的特征值。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器解题步骤：1)能观测性判断。能观测性判断。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器3-63-6
22、带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统 当系统能控时，引入状态反馈构成状态反馈系统，当系统能控时，引入状态反馈构成状态反馈系统，可任意配置状态反馈系统的特征值；当系统能观测时，可任意配置状态反馈系统的特征值；当系统能观测时，可以采用状态观测器实现状态重构。可以采用状态观测器实现状态重构。 但这个重构的状态是否可以代替真实的状态进行反但这个重构的状态是否可以代替真实的状态进行反馈，即构成带状态反馈器的状态反馈系统？馈，即构成带状态反馈器的状态反馈系统？首先来看两个问题：首先来看两个问题：1)状态反馈阵是根据真实状态状态反馈阵是根据真实状态x计算，当用估计状态时，计算，当用估计状态时
23、，为保持状态反馈系统所希望的特征值，是否要重新计算为保持状态反馈系统所希望的特征值，是否要重新计算K。2)状态反馈器是单独计算的，当它作为带状态反馈器的状状态反馈器是单独计算的，当它作为带状态反馈器的状态反馈系统的一部分时，是否要重新计算态反馈系统的一部分时，是否要重新计算Ke。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器一、结构形式与闭环方程第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器二、闭环方程有分离性二、闭环方程有分离性 若对闭环方程直接进行特征值的计算比较麻烦，我们可若对闭环方程直接进行特征值的计算比较麻烦，我们可先做线性变换：先做线性变换：第四章第四章 系
24、统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器我们从上可观测到，特征值为采用真实状态反馈的状态我们从上可观测到，特征值为采用真实状态反馈的状态反馈系统特征值，加上状态观测器的特征值。反馈系统特征值，加上状态观测器的特征值。这个结果表明，采用估计状态代替真实状态进行时，反这个结果表明，采用估计状态代替真实状态进行时，反馈阵馈阵K不改变；状态观测器作为系统一个组成部分时，不改变；状态观测器作为系统一个组成部分时，Ke也也不改变。不改变。 当系统能控时，则当系统能控时，则(A-bK)的特征值可以任意配置，不受的特征值可以任意配置，不受状态观测器的影响；当系统能观测时，则状态观测器的影响；当系统能观测时，
25、则(A-keC)的特征值可的特征值可以任意配置，不受状态反馈的影响，以任意配置，不受状态反馈的影响，这种互不影响的方法称这种互不影响的方法称为分离原理。为分离原理。需要注意的是：状态观测器的特征值大约是状态反馈系统的需要注意的是：状态观测器的特征值大约是状态反馈系统的特征值的特征值的4倍，从而保证状态观测器的快的瞬态过程。倍，从而保证状态观测器的快的瞬态过程。第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器习题课习题课第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及
26、观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器与期望特征多项式特征值相比，有：第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统
27、的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第
28、四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器 实验一(极点配置)：二阶系统方框图如下所示：1) 由图得 ：令 :第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器则电路图为：则电路图为： 2) 2) 检查能控性检查能控性 因为因为 所以系统完全能控，即极点能任意配置所以系统完全能控，即极点能任意配置 3) 3) 由性能指标确定希望的闭环极点由性能指标确定希望的闭环极点 令性能指标：令性能指标： 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器选择 选择 于是求得希望的闭环极点： 希望的闭环特征多项式为: 第
29、四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器4) 确定状态反馈系数K1和K2引入状态反馈后系统的特征方程式为 5) 引入状态反馈后的方框图和模拟电路图为： 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器则状态反馈后的电路图为：其中：Rx1=50K，Rx2=666.6K 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器实验二(状态观测器及其应用)：系统框图如下：可知系统能控和能观，当状态变量X1和X2均不能测量,试用状态反馈使闭环系统的阻尼比 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器可求得系统的闭环极点可求得系统的闭环极点 ：相应的特征方程为相
30、应的特征方程为 :令令K=k1, k2，则状态反馈后系统的闭环特征多项式为：则状态反馈后系统的闭环特征多项式为： 可解：可解： K K1 1=1,K=1,K2 2= = 0.414第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器2 2、状态观测器的设计、状态观测器的设计 状态观测器的状态方程为状态观测器的状态方程为: : 令令 为使为使x x尽快地趋于实际的状态尽快地趋于实际的状态X,X,要求观测器的特征值远小于闭要求观测器的特征值远小于闭环极点的实部环极点的实部, ,现设观测器的特征值现设观测器的特征值S S1,21,2=-5,=-5,据此得据此得 ： 可解出可解出g g1 1=9,g=9,g2 2=16=16 第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器观测器的方框图观测器的方框图 :观测器的模拟电路观测器的模拟电路 :第四章第四章 系统的状态反馈及观测器系统的状态反馈及观测器
