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1、函数的和、差、积的导数函数的和、差、积的导数一、复习回顾：一、复习回顾：3. .常见函数的导数公式常见函数的导数公式: :(1)(1) ( (C为常数为常数););2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:1.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.练一练练一练:求下列函数的导数求下列函数的导数(1) y=100 (2) y=x5 利用函数的导数公式，得(3)y=4x(3)y=4x2 2 +3x+3x(4)y=4x(4)y=4x2 2 -3x-3x?二、新课讲授二、新课
2、讲授：1.和和(差差)的导数的导数:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导导 数的和数的和(差差),即即:证证:即即:练一练练一练:求下列函数的导数求下列函数的导数(1) y=5x2-4x+1(2) y=-5x2+3x+7(4) y=(2+x)(3-x)(5) y=(2x-1)(3x+2)(3)y=x2-cosx2.积的导数积的导数:法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数 乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数 的导数的导数 ,即即证证:因为因为v(
3、x)在点在点x处可导处可导,所以它在点所以它在点x处连续处连续,于是于是当当x0时时, v(x+x) v(x).从而从而:即即:推论推论:常数与函数的积的导数常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数等于常数乘函数的导数,即即:小结：小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了而不必从导数定义出发了.(轮流求导之和轮流求导之和)例1 (1) y=(2+x)(3-x)(2)y=(
4、2x2+3)(3x-2)课本课本p119练习练习例 :求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)猜想猜想:函数函数f1 (X) f2(x) f3(x) fn(x)的导数的导数讨论函数讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+ + f n(x)的导数并证明的导数并证明.例求曲线例求曲线y=2x+x3在在x= -1处的切线方处的切线方程程y=5x+2y=5x+2例例 4在曲线在曲线y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最求斜率最小的切线所对应的切点小的切线所对应的切点解解:由于由于 ,故当故当x=2时时, 有最小值有最小值.而当而当x=2时时,y=-13,故斜率最小的切线所对应
5、的切故斜率最小的切线所对应的切点点为为A(2,-12).练习练习: :已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均相切均相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.因为两切线重合因为两切线重合,若
6、若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.五、课堂小结：五、课堂小结：1:1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法先化简，再求导是实施求导运算的基本方法; ;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；3:3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解解决问题时
7、，关键在与理解题意，论来求解解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来来. .例例5 5 用求导的方法求和用求导的方法求和:对对(1)由求导公式由求导公式 可联想到它是另一个和可联想到它是另一个和式式x+x2+x3+xn的导数的导数.例例7 7 已知抛物线已知抛物线C1:y=x2+2x和和C2:y=x2+a,如果直线如果直线l 同时是同时是C1和和C2的切线的切线,称称l是是C1和和C2的公切线的公切线,公切公切线线 上两个切点之间的线段上两个切点之间的线段,称为公切线段称为公切线段. ()a取什么值时取什么值时,C1和和C
8、2有且仅有一条公切线有且仅有一条公切线?写出写出 此公切线的方程此公切线的方程; ()若若C1和和C2有两条公切线有两条公切线,证明相应的两条公切线证明相应的两条公切线 段互相平分段互相平分.(2003天津高考天津高考(文文)题题)()()解解: :函数函数y=x2+2x的的导数数y=2x+2, ,曲曲线C1在点在点P ( (x1,x12+2x1)的切线方程是的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即即 y=(2x1+2)x-x12;函数函数y=-x2+a的导数的导数y=-2x,曲线曲线C2 在点在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是的切线方程是y-(-x22+a)
9、=-2x2(x-x2).即即y=-2x2x+x22+a . 如果直线如果直线l是过是过P和和Q的公切线的公切线,则则式和式和式都式都是是l的方程的方程. 所以所以 消去消去x2得方程得方程:2x12+2x1+1+a=0. 若判若判别式式=442(1+a)=0时, ,即即a=-1/2时解得时解得x1=-1/2,此时点此时点P与与Q重合重合. 即当即当a=-1/2时时C1和和C2有且仅有一条公切线有且仅有一条公切线,由由得得公切线方程为公切线方程为y=x-1/4.()()证: :由由()()可知可知: :当当a-1/2时时C1和和C2有两条公切线有两条公切线.设一条公切线上切点为设一条公切线上切点
10、为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中其中P在在C1上上,Q在在C2上上,则有则有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故故线段线段PQ的中点为的中点为: 同理同理,另一条公切另一条公切线段段PQ的中点也是的中点也是所以公切线段所以公切线段PQ和和PQ互相平分互相平分.四、课堂练习：四、课堂练习：1、已知曲线、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线求曲线C上横坐上横坐标为标为1的点的切线方程的点的切线方程;(2)第第(1)小题中切线与曲线小题中切线与曲线C是是否还有其它公共点否还有其它公共点?如
11、果有如果有,求出这些点的坐标求出这些点的坐标. 解解:(1)把把x=1代入代入曲线曲线C的方程得切点的方程得切点(1,-4). ,所以切线的斜率所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为故切线方程为y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.故除切点以外故除切点以外,还有两个交点还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 事实上事实上,在曲线在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为是只有横坐标为-a/3的唯一一点的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点其它公共点.而点而点M实际上就是这条三次曲线的对称中实际上就是这条三次曲
12、线的对称中心心.2、三次曲线、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线过原点的切线l1,平行平行 于于l1的另一条切线为的另一条切线为l2. (1)求求l1、l2的方程的方程; (2)当当l1、l2的斜率为的斜率为m时时,求斜率为求斜率为-m的两切线的两切线 l3、l4的方程的方程. (3)求求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积所围成的平行四边形的面积.答案答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.六、作业布置：六、作业布置：1、课本、课本 P38习题习题2.3No.1、；2、；3；5.三
13、、例题讲解：三、例题讲解：例例1 1 求下列函数的导数求下列函数的导数:答案答案:常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差; ;就是说：导数运算法则：（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(上导乘下上导乘下,下导乘上下导乘上,差比下方差比下方)例例2 2 (1)命题甲命题甲:f(x),g(x)在在x=x0处均可导处均可导;命题乙命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在在x=x0处可导处可导,则甲是乙成立的
14、则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充分必要条件充分必要条件 (D)即不充分也不必要条即不充分也不必要条件件 A(2)下列函数在点下列函数在点x=0处没有切线的是处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxD(3)若若 则则f(x)可能是下式中的可能是下式中的( )B(4)点点P在曲线在曲线y=x3-x+2/3上移动时上移动时,过点过点P的曲线的曲线的的 切线的倾斜角的取值范围是切线的倾斜角的取值范围是( )D例例3 3 某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解解得得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2) 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.
