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1、 主主 要要 内内 容容 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 1、函数、函数 2 2、数列的极限、数列的极限 3 3、函数的极限、函数的极限 4 4、无穷大与无穷小、无穷大与无穷小 5 5、极限运算法则、极限运算法则 6 6、极限存在准则、两个重要极限、极限存在准则、两个重要极限 7 7、无穷小的比较、无穷小的比较 8 8、函数的连续性与间断点、函数的连续性与间断点 9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质1 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；2、了了解解函函数数的的表表示示和和函函数数的的简
2、简单单性性态态有有界界性性、单单调调性性、奇偶性、周期性；奇偶性、周期性；3、熟熟悉悉基基本本初初等等函函数数与与初初等等函函数数（包包含含其其定定义义区区间间、简简单单性态和图形）；性态和图形）；4、理解数列极限的概念（对、理解数列极限的概念（对 定义不作过高要求）；定义不作过高要求）；5、 熟悉收敛数列的性质熟悉收敛数列的性质有界性、唯一性；有界性、唯一性；6、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则；单调有界准则、夹逼准则；7、理理解解函函数数的的极极限限的的定定义义（包包括括当当 和和 时时，函函数数极极限的定义及左、右极限的定义）限的定义及左、右极限的定义
3、）;8、了解函数极限的性质、了解函数极限的性质局部保号性；局部保号性；9 9、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）限） 基基 本本 要要 求求210、掌握两个重要极限：、掌握两个重要极限：11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；13、函数极限与无穷小量的关系；、函数极限与无穷小量的关系；14、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断
4、点的分类；1515、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。 基基 本本 要要 求（续）求（续）3无穷小，求极限的各种方法，函数的连续性。无穷小，求极限的各种方法，函数的连续性。【内容小结内容小结】（一）如何求极限？（一）如何求极限？求极限的方法小结求极限的方法小结（1）利用函数的连续性）利用函数的连续性（2）利用极限的四则运算法则）利用极限的四则运算法则（3）利用两个重要极限公式）利用两个重要极限公式（4）利用无穷小的基本性质）利用无穷小的基本性质本章重点本章重点4 （5）利用极限存在的充要条件）利用极限存在的充要条件（二）如何讨
5、论函数的连续性（二）如何讨论函数的连续性 对于初等函数可依据结论；对于分段函数，对于初等函数可依据结论；对于分段函数，讨论分段点处的连续性，则要用定义讨论分段点处的连续性，则要用定义5椅子为什么能放稳椅子为什么能放稳 我们都有这样的生活经验：把椅子往不平的地我们都有这样的生活经验：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。但只要面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。但只要稍微挪动几次，就可以四脚着地放稳了。这是什么稍微挪动几次，就可以四脚着地放稳了。这是什么道理呢？道理呢？ 为了能用数学语言说明这个问题，必须对椅子为了能用数学语言说明这个问题，必须对椅子和地面作出一些合理的假设：和
6、地面作出一些合理的假设： 1.椅子的四条腿一样长，椅脚和地面接触处看做椅子的四条腿一样长，椅脚和地面接触处看做是一个点，四脚连线呈正方形是一个点，四脚连线呈正方形;62 2. .地面高度是连续变化的，沿任何方向不会出现地面高度是连续变化的，沿任何方向不会出现间断（如没有台阶那种情况），即地面是数学间断（如没有台阶那种情况），即地面是数学上的连续曲面；上的连续曲面；3 3. .地面相对平坦，不会出现连续变化的深沟或凸地面相对平坦，不会出现连续变化的深沟或凸峰，能够使椅子在任何位置上至少有三只脚同峰，能够使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。时着地。 这里的假设这里的假设1 1是显然的，假设是显
7、然的，假设2 2给出了椅子可给出了椅子可以放稳的条件，假设以放稳的条件，假设3 3则排除了三只角无法同时则排除了三只角无法同时着地的情况。下面，我们就在这些假设的基础着地的情况。下面，我们就在这些假设的基础上建立椅子问题的数学模型。上建立椅子问题的数学模型。 7 这里首先要解决的，是如何用数学语言把问题这里首先要解决的，是如何用数学语言把问题的条件和结论表示出来，如图所示，如果我们以的条件和结论表示出来，如图所示，如果我们以A A、B B、C C、D D表示椅子的四只脚，以正方形表示椅子的四只脚，以正方形ABCDABCD表示椅表示椅子的初始位置，则以原点为中心按逆时针将其旋子的初始位置，则以原
8、点为中心按逆时针将其旋转转 角所得到的正方形角所得到的正方形 就表示椅子位置就表示椅子位置的改变。换言之，椅子位置应该是角的改变。换言之，椅子位置应该是角 的函的函数；数； 另一方面，由于我们可以以椅脚与地面的竖直另一方面，由于我们可以以椅脚与地面的竖直距离是否为零作为衡量椅脚是否着地的标准，而距离是否为零作为衡量椅脚是否着地的标准，而椅子旋转就是在调整这一距离，因此该距离也应椅子旋转就是在调整这一距离，因此该距离也应该是角该是角 的函数；的函数； 8注意到正方形的椅子腿是中心对称的，所以注意到正方形的椅子腿是中心对称的，所以只要考虑两组对称的椅脚与地面的竖直距离只要考虑两组对称的椅脚与地面的
9、竖直距离就可以了。就可以了。 设设A A、C C两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为 ，B B、D D两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为 ，显然，显然 0 0 0 0且由假设且由假设2 2可知，可知， 、 均为连续函数；由均为连续函数；由假设假设3 3可知，可知， 与与 中至少有一个为零，中至少有一个为零，即对任意的即对任意的 ， = =0 0 。不妨设。不妨设 =0 =0 时，时，有有 0 0 = =0 09于是，改变椅子的位置使其四脚着地，就归结为于是，改变椅子的位置使其四脚着地，就归结为证明下面的命题：证明下面的命题： 已知已知 、 均为均为 的连续函数，对任意的连续函数，对任
10、意的的 ， = =0 0，且，且 0 0， =0=0，证明至，证明至少存在一点少存在一点 ，可使，可使 = = = =0 0 注意到将椅子旋转注意到将椅子旋转 后对角线后对角线ACAC与与BDBD交换，于交换，于是由是由 0 0 = =0 0知知 10设辅助函数设辅助函数 ，则，则 在在 上连续，且上连续，且 故由零点定理可知，至少存在点故由零点定理可知，至少存在点 ，使得使得 即即 ；又因为对任；又因为对任意的意的 ， = =0 0，所以，所以 与与 中中至少有一个为零，故至少有一个为零，故 = = = =0 0 11由以上模型的建立与求解过程不难看出，由以上模型的建立与求解过程不难看出，关
11、键是选择了变量关键是选择了变量 表示椅子的位置，以表示椅子的位置，以及用及用 的两个函数表示椅脚与地面的距离，的两个函数表示椅脚与地面的距离，并且把问题的条件和结论翻译成了数学语并且把问题的条件和结论翻译成了数学语言。至于利用中心对称和旋转言。至于利用中心对称和旋转 并不是本并不是本质的东西。质的东西。 作为练习，请读者求解下面的作为练习，请读者求解下面的“爬山爬山问题问题”。12 某游客计划用两天的时间游览泰山。第某游客计划用两天的时间游览泰山。第一天上午七时开始登山，边走边看，共用一天上午七时开始登山，边走边看，共用了五个小时到了山顶。第二天早晨看完日了五个小时到了山顶。第二天早晨看完日出
12、之后，于上午七时开始按原路下山，回出之后，于上午七时开始按原路下山，回到起点时也用了五个小时。试建立数学模到起点时也用了五个小时。试建立数学模型，证明在上下山的过程中至少有一次是型，证明在上下山的过程中至少有一次是在同样的时刻经过同样的地点。在同样的时刻经过同样的地点。13 复习第一章复习第一章 函数与极限函数与极限【基本要求及重点】(1) 理解函数的概念，掌握函数表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。(2) 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等基本性态；理解复合函数、反函数和分段函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。(3) 了解数列极限和函数极限（包括
13、左极限与右极限）的概念14 (6) 了解极限存在的两个准则 (7) 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）；会使用函数在一点处连续的定义判断函数在该点处连续性。 (8) 理解间断点的概念，能准确找出间断点，并会判断其类型。 (9) 了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值性定理）及其简单应用。(4) 理解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。(5) 熟练掌握求极限的各种方法。15本章重点本章重点：无穷小，求极限的各种方法，函数的连续性。【内容小结与例题分析】（一）.如何求极限？求极限的方法小结（1）利用函数的连续性（2）利用极限的四则运算法则（3）利用两个重要极限公式（4）利用无穷小的基本性质16 （5）利用极限存在的充要条件（6）极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）（二）如何讨论函数的连续性对于初等函数可依据结论；对于分段函数，讨论分段点处的连续性，则要用定义17
