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1、第三章 恒定磁场Steady Magnetic Field恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件序磁感应强度磁通连续性原理安培环路定律磁矢位及边值问题磁位及边值问题镜像法电感磁场能量与力磁路下 页返 回Introduction3.0 序 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。下 页上 页返 回本章要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与
2、力的各种计算方法。了解磁路及其计算方法。下 页上 页返 回3.1.1 安培力定律 (Amperes Force Law ) 两个载流回路之间的作用力 F3.1 磁感应强度Magnetic Flux Density图3.1.1 两载流回路间的相互作用力下 页上 页返 回式中， 为真空中的磁导率 磁场力安培力定义：磁感应强度单位 T（Wb/m2）3.1.2 毕奥沙伐定律 、磁感应强度 ( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )下 页上 页返 回力 = 受力电流 磁感应强度毕奥沙伐定律注：毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。体电流面电流下 页上 页返
3、回线电流当 时，例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，式中下 页上 页返 回图3.1.2 长直导线的磁场 例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环，试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B (自学自学)。根据圆环电流对 P 点的对称性，解：元电流 在 P 点产生的 为 图3.1.3 圆形载流回路下 页上 页返 回图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布下 页上 页返 回 根据对称性By = 0解：取宽度 dx 的一条无限长线电流 例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流 , 试求磁感应强度 B 分布。下 页上 页返 回图3.1.
4、5 无限大电流片及 B 的分布3.2 安培环路定律 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )1. 恒定磁场的散度 可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。Amperes Circuital Law进行散度运算后图3.2.1 计算体电流的磁场下 页上 页返 回2. 磁通连续性原理磁通：磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通单位：Wb (韦伯) 根据有散度定理下 页上 页返 回物理意义：穿过任意闭和面的磁通量为零。即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数相等，磁力线是闭和的。表明磁感应线
5、是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。直角坐标系3. 磁感应线磁感应线方程图3.2.2 B 的通量下 页上 页返 回磁感应线的性质：图3.2.3 导线位于铁板上方图3.2.4 长直螺线管的磁场磁感应线是闭合的曲线;磁感应线不能相交；磁感应强处 ，磁感应线稠密，反之，稀疏。 闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；下 页上 页返 回图3.2.5 一对反向电流传输线图3.2.6 一对同向电流传输线图3.2.7 两对反相电流传输线图3.2.8 两对同向电流传输线下 页上 页返 回3.2.2 安培环路定律 (Aperes Circuital Law)1. 恒定磁场的旋度在直角坐标系中 （ 毕奥沙伐定律
6、） 恒定磁场是有旋场（有电流区）（无电流区）旋度运算后，得到下 页上 页返 回2. 真空中的安培环路定律用斯托克斯定理 环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？真空中的安培环路定律 B 的旋度等式两边取面积分讨论当电流与安培环路呈右手螺旋右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；下 页上 页返 回物理意义：磁感应强度B沿任意闭和路径l的线积分，等于穿过路径l所围面积的总电流与真空磁导率的乘积。 根据对称性例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋下 页上 页返 回图3.2.9 无限大载流导板解： 平行平面磁场,例 3.2.2 试求载流无限长
7、同轴电缆产生的磁感应强度。故图3.2.11 安培定律示意图安培环路定律下 页上 页返 回图3.2.10 同轴电缆得到得到下 页上 页返 回图3.2.12 同轴电缆的磁场分布3. 介质的磁化（magnetization）2）介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不显磁性，1）磁偶极子 (magnetic dipole) 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，Am2 磁偶极矩( magnetic dipole moment )图3.2.14 介质的磁化下 页上 页返 回图3.2.13 磁偶极子m=IdSdS 转矩为 Ti=miB ，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。磁化
8、强度（magnetization Intensity）（A/m）图3.2.15 磁偶极子受磁 场力而转动下 页上 页返 回3） 磁化电流体磁化电流面磁化电流例 3.2.3 判断磁化电流的方向。 有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化电流共同作用，在真空中产生的。磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。下 页上 页返 回4） 磁偶极子与电偶极子对比下 页上 页返 回模 型极化与磁化 电场与磁场电偶极子磁偶极子4.有磁介质时的环量与旋度移项后定义：磁场强度A/m则有安培环路定律的一般形式下 页上 页返 回图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗
9、？图3.2.17 H 的分布与磁介质有关图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？有磁介质存在时，重答上问。安培环路定律思考下 页上 页返 回图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系5. B 与 H 的关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中积分式对任意曲面 S 都成立，则恒定磁场是有旋场6. H 的旋度即r相对磁导率。 斯托克斯定律斯托克斯定律 磁化率。 H/m磁导率下 页上 页返 回3.3.1 基本方程 (Basic Equations)构成方程恒定磁场的基本方程表示为（磁通连续原理）（安培环路定律） 恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。3.3 基本方程 、
10、分界面衔接条件Basic Equations and Boundary Condition下 页上 页返 回F2不能表示恒定磁场。F1可以表示恒定磁场。解： 例 3.3.1 试判断 能否表示为一个恒定磁场？下 页上 页返 回 解: 平行平面磁场，且轴对称，故 例 3.3.2 有一磁导率为 ，半径为 a 的无限长导磁圆柱 ，其轴线处有无限长的线电流 I ，圆柱外是空气，磁导率为 0 ，试求 B，H 与 M 的分布。磁场强度下 页上 页返 回图3.2.19 磁场分布 导磁圆柱 r = 0 及 r =a 处有磁化电流吗？两者关系如何？=下 页上 页返 回图3.2.20 场量分布ImIm3.3.2 分
11、界面上的衔接条件（Boundary Condition)1. B 的衔接条件B 的法向分量连续2. H 的衔接条件 H 的切向分量不连续 (K = 0时) 根据得, 由 可得根据下 页上 页返 回图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件例.3.3.3 分析铁磁媒质与空气分界面情况。图3.3.3 铁磁媒质与空气分界面解：3. 折射定律媒质均匀、各向同性，分界面 K=0折射定律 表明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。下 页上 页返 回即A/mT解:若面电流 , 答案有否变化，如何变？思考例 3.3.4 在两种媒质分界面处， ， 试求
12、 B1，B2与 H2 的分布。 面电流A/m，且A/m，下 页上 页返 回图3.3.4 含有 K 的分界面衔接条件3.4.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Potential A)由磁矢位 A 也可直接从 毕奥沙伐定律 导出。 A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。3.4 磁矢位及其边值问题Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem下 页上 页返 回3.4.2 磁矢位 A 的边值问题 （ Boundary Value Problem of A)1. 微分方程及其特解（矢量）泊松方程 （矢量）
13、拉普拉斯方程 当 J= 0 时从基本方程出发矢量运算取库仑规范（Coulombs gauge)下 页上 页返 回令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为矢量合成后，得 在直角坐标系直角坐标系下， 可展开为 面电流与线电流引起的磁矢位为下 页上 页返 回注意注意：磁矢位的方向与元电流的方向相同磁矢位的方向与元电流的方向相同2. 分界面上 A 的衔接条件a) 围绕 P点作一矩形回路，则当 时, 下 页上 页返 回图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件(1)有与对比，b) 围绕 P点作一扁圆柱，则表明 在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。从式(1)、(2) 得当 时，(2)(1)下 页上 页返
14、 回图3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件由 有对于平行平面场，如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。下 页上 页返 回通解3 由微分方程求 A(磁矢位的边值问题磁矢位的边值问题) 例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez ，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。解: 采用圆柱坐标系， 且 下 页上 页返 回解得通解边界条件（参考磁矢位） (1)(2)有限值(3)磁感应强度下 页上 页返 回 3.4.3 磁矢位 A 的应用（Application of A )1) 由磁矢位 A 求 B解: 取圆柱坐标系图3.4.3 位于坐标原点的短铜线 例3.4.1 试求载流短铜线产
15、生的磁感应强度(r l）(自学)。 由于下 页上 页返 回根据下 页上 页返 回 例3.4.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生的磁场。 解: 定性分析场分布，磁感应强度下 页上 页返 回图3.4.4 长直载流细导线的磁场 解: 由上例计算结果, 两导线在 P 点的磁矢位例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。总的磁矢位磁感应强度下 页上 页返 回图3.4.5 圆截面双线输电线3) 在平行平面场中， 等 A 线就是磁感应线。图3.4.6 等 A 线与 B 线关系Wb（韦伯）磁感应 线方程(1)(2)下 页上 页返 回 2) 由磁矢位 A 计算磁通 在轴对称场中， 为等 A
16、线。式（2）代入式（1）B 线方程(1)(2)下 页上 页返 回两线输电线的等A 线方程为偏心圆方程相似图3.4.7 双线输电线的磁场等A线下 页上 页返 回图3.4.8 双线输电线的电场等 线磁位 A（安培）3.5 磁位及其边值问题(了解)Magnetic Potential and Boundary Value Problem3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )无电流区磁位 仅适合于无自由电流区域；标量函数；等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直;的多值性。下 页上 页返 回注：注：n 没有物理意义，仅仅为了计算简化设
17、 B 点为参考磁位，则推论 规定: 积分路径不得穿过磁屏障面。 图3.5.1 磁位 与积分路径的关系下 页上 页返 回在直角坐标系中2. 分界面上的衔接条件由（仅适用于无电流区域）1. 微分方程03.5.2 磁位 的边值问题 ( Boundary Value Problem of )了解下 页上 页返 回位 函 数比较内容引入位函数依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位A A(有源或无源）(无源）(有源或无源）3.5.3 磁位 、磁矢位与电位的比较 (Comparison of 、A and ）下 页上 页返 回联立求解根据惟一性定理由 由 3.6 镜像法Image Method(
18、1)(2)图3.6.1 两种不同磁介质的镜像下 页上 页返 回空气中铁磁中磁场强度 H2=0 吗？ 例3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。解：镜像电流图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像 思考下 页上 页返 回磁场分布的特点：解：镜像电流例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的2倍。 铁磁表面近似为等磁位面。空气中的磁感应线与其垂直。下 页上 页返 回3.7 电 感3.7 .1 自感（Self-Inductance） 回路的电流与该回路交链的磁链
19、的比值称为自感。即H（亨利） L = 内自感 Li + 外自感 L0Inductance求自感的一般步骤：设A图3.7.1 内磁链与外磁链下 页上 页返 回例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。1. 内导体的内自感 解:磁通匝数内自感因此，下 页上 页返 回图3.7.2 同轴电缆截面2. 外导体内自感 图3.7.3 同轴电缆由例3.2.2 知匝数下 页上 页返 回3. 外自感 总自感下 页上 页返 回设总自感为总自感解: 内自感解法一例 3.7.2 试求半径为R的两平行传输线自感。图3.7.4 两线传输线下 页上 页返 回解法二图3.7.5 双线传输线下 页上 页返 回3.7
20、.2 互感（Mutual Inductance） 互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。计算互感的一般步骤：设A可以证明H（亨利）下 页上 页返 回图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链图3.7.7 两对传输线的互感解： 设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链导线 B 作用合成后导线 A 作用例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。下 页上 页返 回 媒质为线性； 磁场建立无限缓慢(不考虑涡流及辐射)； 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。假设：磁场能量的推导过程3.8.1 恒定磁场中的能量
21、（Magnetic Energy）3.8 磁场能量与力Magnetic Energy and Force自有能互有能下 页上 页返 回由矢量恒等式3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 ( Energy Distribution and Energy Density )得下 页上 页返 回第一项为 0由于所以时，+SVVBHSAHd21d)(21 J（焦耳）磁能密度磁场能量是以密度形式储存在空间中。下 页上 页返 回解: 由安培环路定律自感 例 3.8.1 试求长度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。磁能下 页上 页返 回图3.8.1 同轴电缆截面3.8.3 磁场力 ( M
22、agnetic Field Force )1. 安培力解: 定性分析场分布B 板的磁场A A 板受力例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。下 页上 页返 回图3.8.2 两平行导板间的磁力2. 虚位移法（Method of False Displacement )电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功 常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。 n 个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移dg ，系统的功能守恒是广义力即下 页上 页返 回 常磁链系统 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量广义力 取两个回路的相对位置坐标
23、为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。 两种假设的结果相同，即下 页上 页返 回解：系统的相互作用能为用矢量表示为例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。 选 a 为广义坐标，对应的广义力是转矩， T 0 表示磁路对试棒的作用力为吸力(沿x轴方向）, 这也是电磁阀的工作原理。 例 3.8.4 试求磁路对磁导率为 的试棒的作用力，试棒截面积为 。下 页上 页返 回图3.8.4 磁路对磁导率为试棒的作用力3.9 磁 路3.9.1 磁路的基本概念 ( Basic Conception of Magnetic Circuit ) 利用铁磁材料制成一定形状的回路 （ 可包括气隙），其上绕有线
24、圈，使磁通主要集中在回路中，该回路称为磁路。Magnetic Circuit下 页上 页返 回(a) 变压器(b) 接触器(c) 继电器(d) 四极电机(e) 永磁式电磁仪表下 页上 页返 回图3.9.1 几种常见的磁路1. 磁路的基本物理量 磁路物理量：磁通 、磁势Fm、磁压Um 、 B、 H 电路物理量: 电流I 、电源Us 、元件电压UUm 的降落方向与 H 方向一致(2) 磁压 Um A（安）(1) 磁势 Fm =Ni A（安） Fm 的方向与电流 i 符合右手定则用类似于电路的方法进行磁路计算。下 页上 页返 回2. 磁路的基尔霍夫定律磁路的基尔霍夫第一定律 磁通连续性原理 设磁通（
25、即H的）参考方向，若电流与 H 方向呈右手螺旋，Fm 取正，否则取负。如图参考方向下，磁路的基尔霍夫第二定律 安培环路定律如下 页上 页返 回图3.9.2 磁路定律3. 磁路的欧姆定律磁阻， 1/H磁阻与磁路的几何尺寸、磁导率 有关。线性 线性磁阻 线性磁路非线性 非线性磁阻 非线性磁路下 页上 页返 回图3.9.3 磁阻计算3.9.2 线性磁路的计算 (calculation of Linear Magnetic Circuit)(了解了解)思路: 求磁势电流磁压磁阻解:，问电流I I？并求气隙的磁压Um0。,若在磁路中产生 例 3.9.1 已知磁路 L=20cm ，截面积 ，下 页上 页返
26、 回图3.9.4 磁压计算3.9.3 铁磁质的磁特性1. 两种基本的特性曲线 磁滞回线：铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。可确定剩磁Br，矫顽力HC，磁能积（BH）等重要参数。 基本磁化曲线: 是许多不饱和磁滞回线的正顶点的连线。图3.9.9 基本磁化曲线图3.9.8 磁滞曲线下 页上 页返 回 硬磁材料 磁滞回线较宽 ， 充磁后剩磁大。如铁氧体 、钕铁硼 。用于永磁电机、电表、电扇，电脑存储器等器件中的永磁体。图3.9.10 软磁材料磁滞曲线 图3.9.11 硬磁材料磁滞曲线2. 铁磁质的分类 下 页上 页返 回 软磁材料 磁滞回线较窄， 断电后能立即消磁。 如硅钢、矽钢等 。用于电机、变压
27、器、整流器、继电器等电磁设备的铁芯。大小，若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功, 过程中，外源所做的功推导磁场能量表达式（1） 从 的感应电动势为t 时刻，l1、l2中即下 页返 回（2） 不变， 从 , 若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功不变， 从 过程中，外源所做的功 即的感应电动势为t 时刻，l1、l2中下 页上 页返 回总磁能上 页返 回矢量恒等式故取散度则推导 B 的散度返 回无感电阻下 页返 回无感电阻上 页返 回超导技术的应用超导： 指金属、合金或其它材料的电阻在 420K 温度下变为零的性质。高温超导： 指温度在77K以上，材料的电阻变为零 的性质。目
28、前的Bi系，TI系等材料在液 氮温度下超导。超导体内部没有电场。载流能力强（约6000A/cm2），损耗小。下 页上 页返 回超导技术应用 超导电机、超导变压器、超导限流器、超导输电、超导储能、高能加速器、核聚变装置、磁流体发电、超导磁悬浮列车、超导磁分离、核磁共振谱仪。下 页上 页返 回江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车下 页上 页返 回世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车下 页上 页返 回高温超导磁悬浮模拟实验车下 页上 页返 回超导线材界面图Bi系高温超导线材图下 页上 页返 回常导磁悬浮实验下 页上 页返 回磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律 (安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律)H 的旋度基本方程B 的散度磁位( )分界面衔接条件下 页上 页返 回Time-Varying Electromagnetic Field第四章 时变电磁场下 页电磁感应定律和全电流定律正弦电磁场序电磁辐射电磁场基本方程、分界面上的衔接条件动态位及其积分解返 回坡印廷定理和坡印廷矢量
