刚体的平移与绕定轴转动

《刚体的平移与绕定轴转动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《刚体的平移与绕定轴转动（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、12.1第第1212章章 刚体的平移与绕定轴转动刚体的平移与绕定轴转动 在许多工程实际问题中，有些情况下不能把运动物体看作为一个点，而在许多工程实际问题中，有些情况下不能把运动物体看作为一个点，而是需要考虑其本身的几何形状和尺寸，例如：是需要考虑其本身的几何形状和尺寸，例如：汽缸中的活塞汽缸中的活塞，摆式送料机的摆式送料机的送料槽送料槽以及传动机械中的以及传动机械中的带轮、齿轮带轮、齿轮等，此时应把物体抽象为等，此时应把物体抽象为刚体刚体。刚体运动的形式是多种多样的。本章研究刚体的两种最简单、也是最基刚体运动的形式是多种多样的。本章研究刚体的两种最简单、也是最基本的运动形式：平行移动（简称平移

2、）和绕定轴转动，这两种运动一方面在本的运动形式：平行移动（简称平移）和绕定轴转动，这两种运动一方面在工程上有着广泛的应用；另一方面工程上有着广泛的应用；另一方面, ,其它一些较复杂的刚体运动都可看作这其它一些较复杂的刚体运动都可看作这两种运动的复合。因此，本章也是研究刚体其它运动的基础。两种运动的复合。因此，本章也是研究刚体其它运动的基础。 12.112.1刚体的平动刚体的平动 12.212.2质心运动定理质心运动定理12.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 12.412.4刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程12.212.112.1刚体的平移刚体的平移 1. 1. 刚体平移的概念刚体

3、平移的概念刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这种运动称为刚体的平行移动。（简称平移）种运动称为刚体的平行移动。（简称平移） 例如：在直线轨道上行驶的例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动列车车厢的运动，摆式振动筛中，摆式振动筛中筛子筛子ABCD的运动的运动，都具有上述特征，都属平动，车厢作平动时，其上各点的，都具有上述特征，都属平动，车厢作平动时，其上各点的运动轨迹为直线，称为运动轨迹为直线，称为直线平动直线平动；筛子平动时，各点的运动轨迹为曲线，；筛子平动时，各点的运动轨迹为曲线，称为称为曲线平动曲线平动，由

4、此可见，平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线。，由此可见，平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线。你能否再举出些实例来说明你能否再举出些实例来说明刚体平移刚体平移的概念呢？的概念呢？ 12.312.112.1刚体的平移刚体的平移 2.平移刚体上各点的轨迹、速度、加速度特征平移刚体上各点的轨迹、速度、加速度特征 在平移刚体上任取两点在平移刚体上任取两点 ，作矢量，作矢量 ，如图，如图12.212.2所示。所示。根据刚根据刚体不变形的性质和刚体平移的特征，体不变形的性质和刚体平移的特征，矢量矢量 的长度和方向始终不变，故的长度和方向始终不变，故 是常是常矢量。矢量。 动点动点 位置的变化可用矢径的变

5、化表示位置的变化可用矢径的变化表示 即即 对时间对时间 求导得求导得 由于由于 BABA 是常矢量，因此是常矢量，因此 ，于是，于是（12.1） A，B12.412.112.1刚体的平移刚体的平移 再对时间再对时间 求一次导得求一次导得 （12.2） 因为因为 是刚体上任意两点，因此上述结论对刚体上所有点都成立。即是刚体上任意两点，因此上述结论对刚体上所有点都成立。即刚刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具有相体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具有相同的速度和相同的加速度同的速度和相同的加速度。 上述结论表明，刚体的平移可以用其上任一点的

6、运动来代替，即上述结论表明，刚体的平移可以用其上任一点的运动来代替，即刚体平移刚体平移可以归结为点的运动来研究可以归结为点的运动来研究。 例例12.1 12.1 曲柄导杆机构曲柄导杆机构如图所示，柄绕如图所示，柄绕 固定轴固定轴转动，通过滑块转动，通过滑块 带动带动导杆导杆 在水平导槽内作直线往复运动。已知（在水平导槽内作直线往复运动。已知（ 为常量），求导为常量），求导杆在任一瞬时的速度和加速度。杆在任一瞬时的速度和加速度。 12.512.112.1刚体的平移刚体的平移 解解 1.1.分析：分析： 由于导杆在水平直线导槽内运动，其上任一直线始终与它的最初位置相由于导杆在水平直线导槽内运动，其

7、上任一直线始终与它的最初位置相平行，且其上各点的轨迹均为直线，故导杆作直线平移。导杆的运动可以用平行，且其上各点的轨迹均为直线，故导杆作直线平移。导杆的运动可以用其上任一点的运动来表示。其上任一点的运动来表示。 2.2.计算：计算： 选取导杆上的选取导杆上的点研究，点研究，点沿点沿 轴作直线运动，其运动方程为轴作直线运动，其运动方程为 点的速度、加速度分别为点的速度、加速度分别为 12.612.2 12.2 质心运动定理质心运动定理12.2.1 12.2.1 质心的概念质心的概念 由个由个 质点组成的质点系中，设任一质点质点组成的质点系中，设任一质点 的质量为的质量为 ，它在空间的，它在空间的

8、位置以矢径位置以矢径 表示表示, ,则由式则由式 （12.3） 所确定的点所确定的点C C称为质点系的称为质点系的质量中心质量中心，简称简称质心质心。式中。式中 为质点系的总质量。为质点系的总质量。 质心位置的直角坐标形式为质心位置的直角坐标形式为 （12.4） 12.712.2 12.2 质心运动定理质心运动定理说明：说明：1.1.质心与重心是两个不同的概念，质心反映了构成质点系的各质点质质心与重心是两个不同的概念，质心反映了构成质点系的各质点质量的大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系量的大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系的中心，只有当质点系

9、处于重力场时重心才有意义，而质心则与该质点系的中心，只有当质点系处于重力场时重心才有意义，而质心则与该质点系是否在重力场中无关。是否在重力场中无关。 2.2.若将式若将式(12.4)(12.4)中的分子、分母同乘以重力加速度中的分子、分母同乘以重力加速度g g即得重心的坐标公即得重心的坐标公式。可见，在地球表面（均匀重力场），质点系的质心和重心的位置相重式。可见，在地球表面（均匀重力场），质点系的质心和重心的位置相重合。合。12.2.2 12.2.2 质心运动定理质心运动定理 设刚体在外力作用下作加速平移，某瞬时刚体上各质点的加速度设刚体在外力作用下作加速平移，某瞬时刚体上各质点的加速度 均均

10、相同，且等于质心的加速度为相同，且等于质心的加速度为 。按照质点的动静法，在刚体内每个质点。按照质点的动静法，在刚体内每个质点上虚加质点的惯性力上虚加质点的惯性力 ，它和刚体内每个质点上作用的主，它和刚体内每个质点上作用的主动力和约束力组成形式上的平衡力系。动力和约束力组成形式上的平衡力系。 12.812.2 12.2 质心运动定理质心运动定理平平移移刚刚体体上上惯惯性性力力系系组组成成空空空空间间间间平平平平行行行行力力力力系系系系。与与重重心心计计算算相相类类似似，该该惯性力系的简化结果为一个通过质心惯性力系的简化结果为一个通过质心C C的合力。即的合力。即 （12.512.5）式中，式中

11、，m m为刚体总质量，于是，平移刚体上的外力为刚体总质量，于是，平移刚体上的外力 （包括主动（包括主动力和约束力）与该惯性力系合力力和约束力）与该惯性力系合力 共同构成一个形式上的平衡力系。共同构成一个形式上的平衡力系。 12.912.2 12.2 质心运动定理质心运动定理即即 将将 代入得代入得 （12.6） 将式（将式（12.612.6）与质点动力学基本方程式（）与质点动力学基本方程式（11.1311.13）相比较，就可发）相比较，就可发现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。只要该质点的质量等于刚体的质量

12、，则作用在该质点上的力等于作用只要该质点的质量等于刚体的质量，则作用在该质点上的力等于作用于刚体上所有外力的合力。于刚体上所有外力的合力。 可可以以证证明明，以以上上结结论论也也适适用用于于质质点点系系，即即质质点点系系的的质质量量与与质质心心加加速速度度的的乘乘积积，等等于于作作用用于于质质点点系系上上所所有有外外力力的的矢矢量量和和（或或外外力力的的主主矢矢）。这就是这就是质心运动定理质心运动定理。 实际应用中常将质心运动定理写成投影式。即实际应用中常将质心运动定理写成投影式。即: : 12.1012.2 12.2 质心运动定理质心运动定理 例例12.2 12.2 设电动机外壳和定子的质量

13、为设电动机外壳和定子的质量为 ，转子质量为，转子质量为 ，而转子的，而转子的质心因制造和安装误差不在轴线上，如图所示。设偏心距质心因制造和安装误差不在轴线上，如图所示。设偏心距 ，转子以，转子以匀角速度匀角速度 转动。如电动机固定在机座上，求机座对电动机的约束力。转动。如电动机固定在机座上，求机座对电动机的约束力。 解：解：1.1.取整个电动机为研究对象。取整个电动机为研究对象。设机座对电动机的约束力为设机座对电动机的约束力为 ，取图示坐标系。取图示坐标系。则外壳与定子的质心坐标在原点处，则外壳与定子的质心坐标在原点处，转子质心转子质心 的坐标为的坐标为12.1112.2 12.2 质心运动定

14、理质心运动定理整个电动机的质心坐标为整个电动机的质心坐标为 由此可求得质心由此可求得质心C C 的加速度为的加速度为 12.1212.2 12.2 质心运动定理质心运动定理利用质心运动定理的投影式，有利用质心运动定理的投影式，有 将将 代入，解得机座对电动机的约束力为代入，解得机座对电动机的约束力为 说明：说明：1.1.在在 的表达式中，由重力引起的约束力的表达式中，由重力引起的约束力 称为称为静反力静反力；而式中而式中 和和 是因为转子偏心在转动时引起是因为转子偏心在转动时引起的约束力，称为的约束力，称为附加动反力附加动反力。 2.2.附加动反力随时间周期性变化，将导致机座振动。附加动反力随

15、时间周期性变化，将导致机座振动。12.1312.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或其扩展部分）有刚体在运动过程中，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终一条直线始终一条直线始终一条直线始终固定不动固定不动固定不动固定不动，其他各点则分别在与固定直线垂直的不同平面内作不同半，其他各点则分别在与固定直线垂直的不同平面内作不同半径的圆周运动。刚体的这种运动称为径的圆周运动。刚体的这种运动称为刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动，其中固定不动，其中固定不动的直线称为转轴，转轴上各点的速度恒为零。的直线称为转轴，转轴上各点的速度恒为零。 例如：电机

16、转子的转动、例如：电机转子的转动、齿轮传动齿轮传动、门的开启门的开启等的运动。等的运动。 12.1412.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 对于转动的刚体对于转动的刚体, ,我们既要从整体上研究它的转动规律，又要从我们既要从整体上研究它的转动规律，又要从局部上研究。先研究绕定轴转动刚体整体的转动规律。局部上研究。先研究绕定轴转动刚体整体的转动规律。12.3.1 12.3.1 转动方程转动方程设坐标轴设坐标轴OzOz与刚体的转轴相重合，为了描述刚体绕转轴整体转与刚体的转轴相重合，为了描述刚体绕转轴整体转动的情况，设想有一通过动的情况，设想有一通过OzOz轴的固定平面轴的固定平面I I，

17、作为观察刚体转动的参作为观察刚体转动的参考面；另外设想有一通过考面；另外设想有一通过OzOz轴与转动刚体固连并随之一同转动的平轴与转动刚体固连并随之一同转动的平面面IIII，这样，就可以通过这两个平面间的夹角这样，就可以通过这两个平面间的夹角来确定刚体转动时来确定刚体转动时在任意瞬时的空间位置和转动的快慢方向及其变化，在任意瞬时的空间位置和转动的快慢方向及其变化，角称为刚体角称为刚体的转角，以弧度计。的转角，以弧度计。（点击观看动画点击观看动画）12.1512.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动方程转动方程 当刚体转动时，当刚体转动时， 角随时间角随时间 连续发生变化，即连续发生

18、变化，即 角是时间角是时间t的单值的单值连续函数。连续函数。 （12.7） 上式称为上式称为刚体绕定轴转动的转动方程刚体绕定轴转动的转动方程。简称刚体的。简称刚体的转动方程转动方程。它。它表示刚体绕定轴转动的规律。表示刚体绕定轴转动的规律。 说明：说明： 1.角是代数量，单位为弧度角是代数量，单位为弧度()。2.规定从规定从 轴的正方向看，逆时针转动角轴的正方向看，逆时针转动角 为正；反之为负。为正；反之为负。（点击观看动画点击观看动画） 12.1612.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 12.3.2 12.3.2 角速度角速度 角速度角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量。角速

19、度用符号是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量。角速度用符号 来表示。来表示。 在时间间隙中刚体的角位移（即转角的增量）为在时间间隙中刚体的角位移（即转角的增量）为 ，则刚体的，则刚体的角速度定义为角速度定义为 ： （12.8） 即即刚刚体的角速度等于体的角速度等于转转角角对时间对时间的一的一阶导阶导数数。说明：说明： 12.1712.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 1.1.角速度是代数量，角速度的单位是角速度是代数量，角速度的单位是 。 2.2.角速度的正负表示刚体的转动方向。当角速度的正负表示刚体的转动方向。当 0 0 时，刚体逆时针转动；时，刚体逆时针转动；反之则顺时针转动。反

20、之则顺时针转动。 3.3.工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速转速转速转速，用符号用符号 表示，单位是表示，单位是 。转速。转速 与角速度与角速度 的关系为的关系为 （12.9）12.3.3 12.3.3 角加速度角加速度 角加速度是表示角速度角加速度是表示角速度 变化的快慢和方向的物理量。角加速度用变化的快慢和方向的物理量。角加速度用符号符号 来表示。来表示。 在时间间隙在时间间隙t内刚体角速度的改变量为内刚体角速度的改变量为，则刚体的角加速度定义则刚体的角加速度定义为：为：12.1812.3 12.3 刚体绕定轴转动刚体绕

21、定轴转动 （12.10） 即即刚体的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对刚体的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对时间的二阶导数时间的二阶导数。 说明：说明：1.1.角加速度是代数量，角加速度的单位是角加速度是代数量，角加速度的单位是 。2.2.角加速度的大小：表示角速度变化的快慢。角加速度的大小：表示角速度变化的快慢。角加速度的正负号：表示角速度变化的方向：角加速度的正负号：表示角速度变化的方向： 若若 0：表示角加速度与转角：表示角加速度与转角 的正方向一致。的正方向一致。若若 0：表示角加速度与转角：表示角加速度与转角 的正方向相反。的正方向相反。12.191

22、2.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 3.3.当当与与同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作加速转动；反之，则作减速转动。加速转动；反之，则作减速转动。 虽然刚体绕定轴转动与点的曲线运动的运动形式不同，但它们相对应虽然刚体绕定轴转动与点的曲线运动的运动形式不同，但它们相对应的变量之间的关系却是相似的，其相似关系如表的变量之间的关系却是相似的，其相似关系如表12.112.1所示。所示。例例12.3 12.3 某发动机转子在起动过程中的转动方程为某发动机转子在起动过程中的转动方程为 ，其中，其中 以以 计，计， 以以radrad计

23、。试计算转子在计。试计算转子在2 2 内转过的圈数和内转过的圈数和 时的角速度、角加速度。时的角速度、角加速度。 解解 由转动方程由转动方程 可知可知 时，时， ，转子在，转子在 内转过的角度为内转过的角度为转子转过的圈数为转子转过的圈数为 12.2012.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 由式（由式（12.912.9）和式（）和式（12.1112.11）得转子的角速度和角加速度为）得转子的角速度和角加速度为 当当 时时 12.2112.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 表表12.1 12.1 刚体绕定轴转动与点的曲线运动刚体绕定轴转动与点的曲线运动点的曲线运动点的曲线运动 刚体定

24、轴转动刚体定轴转动 运动方程运动方程 转动方程转动方程 速度速度 角速度角速度 切向加速度切向加速度 角加速度角加速度 匀速运动匀速运动 匀速转动匀速转动 匀变速运动匀变速运动 匀变速转动匀变速转动 12.2212.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 12.3.4 12.3.4 定轴转动刚体上各点的速度、加速度定轴转动刚体上各点的速度、加速度 前面研究了刚体整体转动的规律，但在工程实际中，有时往往不仅前面研究了刚体整体转动的规律，但在工程实际中，有时往往不仅要知道刚体整体运动情况，而且还需要知道其上某些点的运动情况，如要知道刚体整体运动情况，而且还需要知道其上某些点的运动情况，如滚轮传送器

25、传送钢板滚轮传送器传送钢板时，若滚轮的尺寸，转速一定，且滚轮与钢板在接时，若滚轮的尺寸，转速一定，且滚轮与钢板在接触点无相对滑动，则计算传送钢板的速度触点无相对滑动，则计算传送钢板的速度 和加速度和加速度 ，即为计算滚轮，即为计算滚轮边缘上与钢板接触点的速度和切向加速度。边缘上与钢板接触点的速度和切向加速度。 当刚体整体转动的规律可以用角量当刚体整体转动的规律可以用角量 来描述时，则刚体上任来描述时，则刚体上任一点的运动可用线量一点的运动可用线量 来描述。来描述。 分析分析: :刚体作定轴转动时，转轴以外的各点都在垂直于转轴的平面内作圆刚体作定轴转动时，转轴以外的各点都在垂直于转轴的平面内作圆

26、周运动，圆心是该平面与转轴的交点，半径等于点到转轴的垂直距离周运动，圆心是该平面与转轴的交点，半径等于点到转轴的垂直距离（称为转动半径）。因此，各点的运动可用自然坐标法描述。（称为转动半径）。因此，各点的运动可用自然坐标法描述。 12.2312.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 如图所示如图所示在转动刚体的平面在转动刚体的平面IIII内任取一点内任取一点 来考察，设来考察，设 点的转动点的转动半径为半径为r，其轨迹是半径为其轨迹是半径为 的一个圆。的一个圆。 确定点确定点 的运动时，可选当刚体转角的运动时，可选当刚体转角 为零时为零时 点所在的位置为弧坐标点所在的位置为弧坐标原点原点 ，

27、以转角，以转角 的正向为弧坐标的正向为弧坐标 的正向，则有：的正向，则有： （12.11） 此为用自然坐标法表示的转动刚体上任一点此为用自然坐标法表示的转动刚体上任一点M的运动方程，于是可用此的运动方程，于是可用此法求法求M点的速度和加速度。点的速度和加速度。 M点的速度：点的速度： 即即 （12.12）M点速度的方向垂直于转动半径点速度的方向垂直于转动半径, ,指向与角速度的转向一致。指向与角速度的转向一致。12.2412.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 M点的加速度：点的加速度：即：即： 切向加速度为切向加速度为 ( (12.13）法向加速度为法向加速度为( (12.14) ) M

28、点全加速度的大小和方向为点全加速度的大小和方向为 （12.15） （12.16） 12.2512.312.3刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 由以上分析可得如下结论：由以上分析可得如下结论：2.2.转转动动刚刚体体上上各各点点的的速速度度方方向向垂垂直直与与转转动动半半径径，其其指指向向与与角角速速度的转向一致。度的转向一致。3.3.转转动动刚刚体体上上各各点点的的切切向向加加速速度度垂垂直直与与转转动动半半径径，其其指指向向与与角角加速度的转向一致。加速度的转向一致。4.4.转动刚体上各点的法向加速度方向，沿半径指向转轴。转动刚体上各点的法向加速度方向，沿半径指向转轴。5.5.任一瞬时各点的全加

29、速度与转动半径的夹角相同。任一瞬时各点的全加速度与转动半径的夹角相同。 1.1.转动刚体上各点的速度、切向转动刚体上各点的速度、切向加速度、法向加速度、全加速度的大加速度、法向加速度、全加速度的大小分别与其转动半径成正比。同一瞬小分别与其转动半径成正比。同一瞬时转动半径上各个点的速度、加速度时转动半径上各个点的速度、加速度分布规律如图所示，呈线性分布。分布规律如图所示，呈线性分布。12.26sBAOMvR 半半径径R=20cm的的滑滑轮轮可可绕绕水水平平轴轴O转转动动，轮轮缘缘上上绕绕有有不不能能伸伸长长的的细细绳绳，绳绳的的另另一一端端与与滑滑轮轮固固连连，另另一一端端则则系系有有物物块块A

30、，设设物物块块A从从位位置置B出出发发，以以匀匀加加速速度度a =4.9 ms2向向下下降降落落，初初速速v0 0=4ms1，求求当当物物块块落落下下距距离离s=2m时时轮轮缘缘上上一一点点 M 的的速度和加速度。速度和加速度。例例 题题12.27根据根据v2v02=2as，得，得M点的速度点的速度M点的法向加速度点的法向加速度M点的切向加速度点的切向加速度M点的总加速度点的总加速度解:sBAOMvR例例 题题12.28滑滑轮轮的的半半径径r=0.2m，可可绕绕水水平平轴轴O转转动动，轮轮缘缘上上缠缠有有不不可可伸伸长长的的细细绳绳，绳绳的的一一端端挂挂有有物物体体A（如如图图），已已知知滑滑

31、轮轮绕绕轴轴O的的转转动动规规律律j j=0.15t3，其其中中t以以s计计，j j以以rad计计，试试求求t=2s时时轮轮缘缘上上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度和加速度。AOM例例 题题12.29首先根据滑轮的转动规律，求得首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度代入代入t =2s，得得轮缘上轮缘上M 点上在点上在t =2s时的速度为时的速度为vMAOM解：解：例例 题题12.30AOM加速度的两个分量加速度的两个分量vM总加速度总加速度aM 的大小和方向的大小和方向atanaMq例例 题题12.31因因为为物物体体A与与轮轮缘缘上上M点点的的运运动动

32、不不同同，前前者者作作直直线线平平移移，而而后后者者随随滑滑轮轮作作圆圆周周运运动动，因因此此，两两者者的的速速度度和和加加速速度度都都不不完完全全相相同同。由由于于细细绳绳不不能能伸伸长长，物物体体A与与M点点的的速速度度大大小小相相等等，A的的加加速速度度与与M点点切切向向加加速速度度的的大大小小也也相等，于是有相等，于是有它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。OAMvMatanavAaA例例 题题运动学运动学第七章第七章刚体的简单运动刚体的简单运动12.3212.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 刚体运动时的转速是经常变化的，如电动机在起动时，转速逐渐升高；刚体运

33、动时的转速是经常变化的，如电动机在起动时，转速逐渐升高；制动时，转速又逐渐减少，直到停止转动。显然，转速的变化与作用在电制动时，转速又逐渐减少，直到停止转动。显然，转速的变化与作用在电动机上的力有关，因为力对刚体转动的效应取决于力对转轴的力矩，所以，动机上的力有关，因为力对刚体转动的效应取决于力对转轴的力矩，所以，转速的变化与力矩有关。下面研究刚体转速的变化与力矩之间的关系。转速的变化与力矩有关。下面研究刚体转速的变化与力矩之间的关系。 12.4.1 12.4.1 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 设刚体在外力设刚体在外力 作用下作用下, ,绕绕 轴转动。某瞬时它的角速度为轴转动。某瞬

34、时它的角速度为 ，角加速度，角加速度 。设刚体由。设刚体由 个质点组成。任取其中一个质点个质点组成。任取其中一个质点 来研究，此来研究，此质点的质量为质点的质量为 ，该点到转轴的距离为，该点到转轴的距离为 ，其切向加速度为，其切向加速度为 法向加速度为法向加速度为 , ,按质点的动静法，在此质点按质点的动静法，在此质点 上虚加切向惯性力上虚加切向惯性力 , ,法向惯性力法向惯性力 则质点则质点 处于假想的平衡状态处于假想的平衡状态。12.3312.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 对对刚刚体体上上的的各各质质点点都都虚虚加加相相应应的的切切向向惯惯性性力力和和法法向向惯惯

35、性性力力，整整个个定定轴轴转转动动刚刚体体处处于于假假想想的的平平衡衡状状态态. . 按按空空间间任任意意力力系系的的平平衡衡条条件件，作作用用于于转转动刚体上的全部外力和惯性力动刚体上的全部外力和惯性力, ,应满足应满足即即: :由由于于个个质质点点的的法法向向惯惯性性力力的的作作用用线线都都通通过过轴轴线线, ,对对转转轴轴 的力矩的力矩为零为零, ,故有故有:如将如将 表示为表示为 ,则有则有 (12.17)(12.17)12.3412.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 式中式中 称为刚体对转轴称为刚体对转轴 的的转动惯量转动惯量，即刚体的转动惯量与角加速，即刚体的

36、转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体上的外力对转轴之矩的代数和。上式称为刚体度的乘积等于作用于刚体上的外力对转轴之矩的代数和。上式称为刚体绕定轴转动的绕定轴转动的动力学基本方程动力学基本方程. .它将刚体转动时力与运动的关系联系起来它将刚体转动时力与运动的关系联系起来, ,是解决转动刚体动力学问题的理论基础是解决转动刚体动力学问题的理论基础. .又因又因故有故有:(12.18) 上式称为上式称为刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程。(12.18)式说式说明明: 1.1.刚体绕定轴转动时，刚体对于转轴的转动惯量与角加速度的乘积，刚体绕定轴转动时，刚体对于转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于

37、作用于刚体上的外力对于转轴之矩的代数和。等于作用于刚体上的外力对于转轴之矩的代数和。 12.3512.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 12.4.2转动惯量转动惯量 上节在推导刚体绕定轴转动的动力学方程时上节在推导刚体绕定轴转动的动力学方程时, ,出现了一个表征刚体出现了一个表征刚体绕定轴转动惯性大小的物理量绕定轴转动惯性大小的物理量, , 即转动惯量即转动惯量. .其定义式为其定义式为: ,: ,式中式中 表示转动刚体某个质点的质量表示转动刚体某个质点的质量, , 为该质点至转轴的垂直距离为该质点至转轴的垂直距离, , 的单位为的单位为 。 如转动刚体的质量是连续分布的

38、如转动刚体的质量是连续分布的, ,则转动惯量公式又可改写成如下形式则转动惯量公式又可改写成如下形式 (12.19) 利用式利用式(12.19)(12.19)可将形状规则且质量均匀刚体的转动惯量计算出来。可将形状规则且质量均匀刚体的转动惯量计算出来。1.1.均质等截面细直杆对质心轴的转动惯量均质等截面细直杆对质心轴的转动惯量 设有等截面细直杆，其单位长度的质量为设有等截面细直杆，其单位长度的质量为 ，长为，长为 ，求它对过质心，求它对过质心C的的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。 12.3612.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 分析：杆为均质，故有分析：杆为均质，故有 可得：

39、可得： （12.20） 2. 2. 回转半径回转半径 工程中有时也把转动惯量写成刚体的总质量工程中有时也把转动惯量写成刚体的总质量 与当量长度与当量长度 的平方的平方乘积形式，即乘积形式，即 （12.21） 12.3712.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 式中，式中， 称为刚体对于称为刚体对于 轴的轴的回转半径回转半径。它是假想把刚体的质量集中于。它是假想把刚体的质量集中于距转轴为距转轴为 的质点上，则此质点对于的质点上，则此质点对于 轴的转动惯量等于原来刚体对于轴的转动惯量等于原来刚体对于 轴轴的转动惯量。的转动惯量。 3.3.平行轴定理平行轴定理 在工程中，有时需要

40、确定刚体对不通过质心轴在工程中，有时需要确定刚体对不通过质心轴的转动惯量。例如，求等截面直杆的转动惯量。例如，求等截面直杆 对通过杆端对通过杆端点点 的轴的轴 的转动惯量，需要应用如下的转动惯量，需要应用如下转动惯量的转动惯量的平行轴定理平行轴定理：刚体对于任一轴：刚体对于任一轴 的转动惯量的转动惯量 ，等于对与此轴平行的质心轴，等于对与此轴平行的质心轴 的转动惯量的转动惯量 ，加上刚体的质量加上刚体的质量 与两轴间的距离与两轴间的距离 平方的乘积，平方的乘积，即即 （12.2212.22） 12.3812.4 12.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 例例12.712.7 求如图中

41、等截面直杆求如图中等截面直杆 对轴对轴 的转的转动惯量及对动惯量及对 轴之回转半径轴之回转半径 。 解解 设等截面直杆的质量为设等截面直杆的质量为 ，按式（，按式（12.2012.20） ，根据转动惯，根据转动惯量的平行轴定理，直杆量的平行轴定理，直杆 对轴对轴 的转动惯量为的转动惯量为 12.39解解：其中其中由由，得得例例12-11：已知：已知：， 求求.12.40作业作业12.1 12.2 12.6 12.1112.41*这里以后是动画12.42汽缸中活塞的运动汽缸中活塞的运动12.43摆式送料机摆式送料机12.44带带轮，齿轮轮，齿轮12.45车厢平移运动车厢平移运动12.46筛子平移

42、运动筛子平移运动12.47刚体的平动刚体的平动12.48齿轮的传动齿轮的传动12.49刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动12.50转角转角的正负规定的正负规定12.51滚动运送钢板滚动运送钢板12.52刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动12.53带传动、齿轮传动带传动、齿轮传动12.54曲柄导杆机构曲柄导杆机构12.55一、一、 刚体平移刚体平移: :刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这种运动称为刚体的平行移动，简称平移。种运动称为刚体的平行移动，简称平移。 二、刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，

43、各点具有相二、刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具有相同的速度和相同的加速度。同的速度和相同的加速度。 三、刚体绕定轴转动的微分方程应用中要注意：三、刚体绕定轴转动的微分方程应用中要注意：1. 1. 刚体所受的力对转轴之矩的计算，常应用合力矩定理；刚体所受的力对转轴之矩的计算，常应用合力矩定理；2. 2. 刚体所受的力对转轴之矩的刚体所受的力对转轴之矩的“+ +、- -”号要与角加速度一致；号要与角加速度一致；四、体操、跳水运动员利用直体、曲体、团体等不同的动作，改变自身的转动惯量四、体操、跳水运动员利用直体、曲体、团体等不同的动作，改变自身的转动惯量来获得高质量的转体翻腾动作。来获得高质量的转体翻腾动作。 第第1212章章 刚体的平移与绕定轴转动刚体的平移与绕定轴转动 小结小结