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1、第一讲第一讲 函数与方程函数与方程 重点：二分法重点：二分法ab函数的函数的零点零点是怎样定义的是怎样定义的一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)在在实数实数x处的值处的值等于零等于零,即即 f(x)=0则则x叫做这个函数的叫做这个函数的零点零点.结论结论: : 零点就是方程零点就是方程f(x)=0的实数的实数根根.也也就是函数图象与就是函数图象与x轴轴交点的横坐标交点的横坐标.问题问题 1 1?练习练习求下列函数的零点求下列函数的零点:(1)f(x)=2x-4 (2) f(x)=x2-4x+3 (2)(3) f(x)=x2-2x+1 (4) f(x)=3x2-2x-7 (1)解方程解方程
2、f(x)=0(2)作函数图象作函数图象问题 2答案（答案（1）2（2）1，3（3）1（4） 、?如何求函数的零点xyo123变号零点变号零点xyo1不变号零点不变号零点问题问题3 3 观察函数图象观察函数图象,看两函数零点两侧的看两函数零点两侧的函数值有什么关系函数值有什么关系?函数的变号零点有怎样的性质函数的变号零点有怎样的性质? 如果函数如果函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上的图象不间断上的图象不间断,并且在它的两个并且在它的两个端点处的函数值异号端点处的函数值异号,即即f(a)f(b)o,则则定理定理问题问题4xyoabxyoab 这个函数在这个函数在这个区间上这个区间上至少有
3、至少有一个一个 变号零点变号零点.yxo ab练习练习1.函数函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上的图象不间断上的图象不间断,并并且且f(a)f(b)0,f(b)0,f( )0,则则x0在哪个区间内在哪个区间内( )A. ,b B. a, C. ,a D. b, CB问题问题5 当确定函数在区间内存在一个变号零点后当确定函数在区间内存在一个变号零点后,如何求出这个零点如何求出这个零点? 通过取中点通过取中点,不断把函数的区间不断把函数的区间一分为一分为二二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得进而得到函数的零点或零点的近似值到函数的零点或零点的近似值,这样的
4、方法这样的方法叫做叫做二分法二分法.oxyabcde例例1 1 求函数求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间在区间0,4内的内的变号零点变号零点.解解 f(0)=-60端点端点(中点中点)坐坐标标中点的函数值中点的函数值取区间取区间0,42,4X1=(0+4)/2=2X2=(2+4)/2=3f(x1)=f(2)=-60f(x2)=f(3)=0由上式计算可知由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个就是所求函数的一个零零点点.例例2 2 求函数求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的的一个为正数的零点零点(误差不超过误差不超过0.1)解解 由于由于f(0)=-20,f(1)=-2
5、0,可以可以取区间取区间1,2作为计算的初始区间作为计算的初始区间.端点端点(中点中点)坐标坐标 中点的函数值中点的函数值取区间取区间区间长度区间长度1,21,1.51.25,1.51.375,1.510.50.250.125X1=(1+2)/2=1.5X2=1.25X3=1.375X4=1.438f(x1)=0.6250f(x2)0f(x3)0 由上表的计算可知由上表的计算可知,区间区间1.375,1.5的长的长度度小于小于0.2,所以这个区间的所以这个区间的中点中点x3=1.438可可作为所求函数误差不超过作为所求函数误差不超过0.1的一个的一个正实数正实数零点零点的近似值的近似值.用二分
6、法求函数变号零点的一般步骤用二分法求函数变号零点的一般步骤: 1.零点存在性定理零点存在性定理,求出初始区间求出初始区间 2.进行计算进行计算,确定下一区间确定下一区间3.循环进行循环进行,达到精确要求达到精确要求练习练习 1.函数函数f(x)=-x2+8x-16在区间在区间3,5上上( )2.(A)没有零点没有零点 (B)有一个零有一个零点点3.(C)有两个零点有两个零点 (D)无数个零点无数个零点 4.2.函数函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间在区间-2,4上的变上的变号零点必定在号零点必定在( )内内5.(A) -2,1 (B) 2.5,46.(C) 1,1.75 (D) 1.7
7、5,2.5 BD 3.用二分法求函数的零点用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间函数的零点总位于区间an,bn上上,当当 时函数的近似零点与真时函数的近似零点与真正零点的误差不超过正零点的误差不超过( ) A.m B.m/2 C. 2m D. m/4B4. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这一条条10km长的线路，如何迅速查出故障所在长的线路，如何迅速查出故障所在？ 要把故障可能发生的范围缩小到要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？要检查多少次？算一算：算一算：7次次小结小结1.二分法是求函数零点近似二分法是求函数零点近似解的一种计算方法解的一种计算方法.2.用二分法求函数零点的一用二分法求函数零点的一般步骤般步骤.3.二分法渗透了极限和算法二分法渗透了极限和算法的思想的思想.
