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1、数值分析数值分析Numerical Analysis第三章数据拟合方法郑州大学研究生课程郑州大学研究生课程 （2013-20142013-2014学年第一学期）学年第一学期） 第三章数据拟合方法 3.1问题提出3.2最小二乘法的基本概念3.3线性拟合方法3.4非线性曲线的数据拟合 ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.1问题提出离散数据点插值：插值函数 精确通过每一个数据点。 ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalA
2、nalysis两类实际情况: 离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。 某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函 数，而非精确通过关键点的外形控制函数。3.1问题提出ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis例3.1.1ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis已知一组数据(xi, yi), y = f(xi)，i = 1,2, m。f未知。构造插值函数(x)来
3、逼近f(x),则有(xi) = f(xi) = yi, i = 1,2, m或记Q =(x1) , (x2) ,(xm) ), Y = (y1, y2,ym),则有Q = Y.如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的逼近函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y的误差或距离最小。按Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。3.1问题提出ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis定义Q与Y之间的距离：其中，R 称为均方误差。最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。3.1
4、问题提出ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.2最小二乘法的基本概念 构造拟合曲线的两个问题：Q:从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A:根据问题的实际背景，选择逼近f ( x )的函数族。 ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型 (x)=a1 1(x) + +an n(x)例如例如: 1(x) , , n(x)=1, x, , xn-1 1(x) , , n(x
5、)=1, cos x, , cos (n-1)x3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis Q：如何确定参数a1,a2,an以确定一条拟合曲线呢？A:按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值问题来确定拟合参数的方法称为数据拟合的最小二乘法3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing C
6、hina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 最小二乘法归结为 求n个未知数的线性代数方程组。3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 最小二乘法的正规方程组 （其解为驻点）3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis引进矩阵和向量记号 3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/
7、41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis以上正规方程组是否存在唯一解?正规方程组的解是最小二乘问题的驻点，此驻点是否就是最小二乘问题的解呢？3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 可以证明,此解是最小二乘问题的解.3.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beiji
8、ng China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis定理3.2.23.2最小二乘法的基本概念ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis 3.3线性数据拟合方法已知数据表已知数据表 x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym求拟求拟合合函数函数: (x) = a + b xa + b x1 = y1a + b x2 = y2a + b xm = ym超定超定方程组方程组ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-201
9、4学年课程数值分析NumericalAnalysis 2-范数平方范数平方 残差残差: rk= (a + bxk) yk ( k = 1,2,m)3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis求求 a, b 使使 S(a, b)= min3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013
10、-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis方程组方程组系数矩阵系数矩阵方程组方程组右端项右端项3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis超定方程组超定方程组: AX= 正规方程组正规方程组: ATAX=AT 拟合曲线的法方程(正规方程组)。解之得a，b。代入 (x) = a +b x,即得所求的拟合曲线。3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis例例3
11、.3.1 已知实验数据如下已知实验数据如下, ,求线性拟合函数求线性拟合函数。 解解: 设设拟合拟合曲线方程为曲线方程为 (x)= a + b x x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 93.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis5a + 15b = 31.515a +55b =108a =2.25, b= 1.35 ATAX=AT3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析Numeric
12、alAnalysis|r |2 = 0.7583残差向量残差向量: (1)4= 0.40 (2)4.5= 0.45 (3)6= 0.30 (4)8=0.35 (5)9= 0 (x)= 2.25+1.35 x3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis例3.3.2 求数据的二次拟合函数求数据的二次拟合函数 P(x)=a0+a1x+a2x2x 1 2 3 4 5f(x) 4 4.5 6 8 9 解解:将数据点代入将数据点代入, , 得得3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beiji
13、ng China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysisa0 + a1 + a2 = 4a0 + 2a1 + 4a2 = 4.5a0 + 5a1 + 25a2 = 93.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysisa0=3, a1=0.7071, a2=0.10713.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis得得 P(x)=3+0
14、.7071x + 0.1071x2二次拟合误差二次拟合误差: | r |2 = 0.6437比较线性拟合误差比较线性拟合误差: |r |2 = 0.75833.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.3线性数据拟合方法x0=0:0.1:1;y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);p3=polyfit(x0,y0,3);vpa(poly2sym(p3),10)x=0:0.01:1;ya=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x)
15、;y1=polyval(p3,x);subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,o),legend(三次拟合三次拟合曲线曲线,原函数曲线原函数曲线,样本点样本点)p4=polyfit(x0,y0,4); y4=polyval(p4,x);p5=polyfit(x0,y0,5); y5=polyval(p5,x);p8=polyfit(x0,y0,8); y8=polyval(p8,x);subplot(2,1,2),plot(x,y4,x,x,y5,-,x,y8,:,x,ya,-)legend(四次拟合曲线四次拟合曲线,五次拟合曲线五次拟合曲线,八次拟合曲线八次拟合
16、曲线,原函数曲线原函数曲线)vpa(poly2sym(p8),5)ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.3线性数据拟合方法ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.4非线性曲线的数据拟合问题提出：离散点图呈非线性。ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis如果非线性函数为将给定数据(xi, yi)转换为(ui,
17、 vi),求出a, b,再代回原变量y, x，可求得原非线性拟合曲线。3.4非线性曲线的数据拟合ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis例3.4.1用给数据求经验公式：y = a ebx x 1 2 3 4 5 6 7 8y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6解线性化。对经验公式取自然对数ln y = ln a + bx令u = ln y ，b0 = ln a ， u=b0+bx 代入数据得矛盾方程组3.4非线性曲线的数据拟合ISCM 2007,Beiji
18、ng China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis由法方程ATAB=ATy，B =（b0, b),即 a = e2.4369 =11.4375. y =11.4375e0.2912x.ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis拟合曲线的均方误差为：拟合曲线的图形为3.4非线性曲线的数据拟合ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis3.4非线性曲线的数据拟合例3
19、.4.2ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*x),a,x)x=0:0.1:10;y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);xx,res=lsqcurvefit(f,1,1,1,1,1,x,y);xx,resx1=0:0.01:10;y1=f(xx,x1);plot(x1,y1,x,y,o)legend(拟合曲线拟合曲线,样本点样本点)3.4非线性曲线的数据拟合ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis第三章小结 本章内容为离散数据的最小二乘拟合方法，需要重点掌握以下内容：最小二乘法的概念最小二乘法的概念 最小二乘问题解的存在问题及解的矩阵表示。最小二乘问题解的存在问题及解的矩阵表示。线性数据的拟合方法。线性数据的拟合方法。非线性数据的拟合方法。非线性数据的拟合方法。 ISCM 2007,Beijing China/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis
