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1、1.1集合集合1.2函数函数1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.3函数的极限函数的极限1.5函数的连续性函数的连续性11 . 3 函数的极限函数的极限(1)一、数列的极限定义及性质一、数列的极限定义及性质二、函数的极限定义二、函数的极限定义三、函数极限的性质三、函数极限的性质四、两个重要极限四、两个重要极限2“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”引例引例1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽1 1、概念的引入、概念的引入一、数列的极限定义及性质一、数列的极限定义及性质3正六边形的面积
2、正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积12引例引例2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”132、数列的定义、数列的定义数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列, ,可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取注意注意:x14例如例如3 3、数列的极限、数列的极限15问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. .通过观察通过观察: 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的距离距离来刻化两个数来刻化两个数的的接近程度接近程度.随着随着n的增加，的
3、增加，1/ /n会越来越小会越来越小.16随着随着n的增加，的增加，1/ /n会越来越小会越来越小.例如例如17只要只要n无限增大，无限增大，an 就会与就会与1无限靠近无限靠近,引入符号引入符号 和和N来刻化无限靠近和无限增大来刻化无限靠近和无限增大.18注意注意: : 19几何解释几何解释:20Z 思考思考以下结论是否成立以下结论是否成立?21 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。可以用定义来证明极限的存在。例例1 1证证所以所以, ,22例例2 2证证所以所以, ,说明说明: :常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同
4、一常数. .注注: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, ,关键是关键是从从主要不等式出发主要不等式出发, ,由由0,0,找到使找到使主要主要不等式成立的不等式成立的N(N(并不在乎并不在乎N N是否最小是否最小).).23例例3 3证证24用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, ,N不必是最小不必是最小！254、收敛数列的性质收敛数列的性质（1）惟一性）惟一性定理定理1 1 收敛的数列极限惟一收敛的数列极限惟一. .x261.唯一性唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯
5、一.27（2）有界性有界性例如例如, ,有界；有界；无界无界.28定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注注:29例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.30o若若且且时时, 有有定理定理3 3（3）保号性）保号性31若若且且时时, 有有推论推论1 1(用反证法证明用反证法证明)32例例6 6证证33（4 4）四则运算性质）四则运算性质3435例例7 7解解36（5 5）保不等式性）保不等式性37（1)夹逼准则夹逼准则5、极限存在准则、极限存在准则38例例8 839(2)单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:更细致地，单调更细致地，单调增加增加且有且有上界上界的数列必有极限的数列必有极限.单调单调递减递减且有且有下界下界的数列必有极限的数列必有极限.40例例9 9证证41
